2019届全国高考高三模拟考试卷数学(文)试题(一)(解析版)(可编辑修改word版)

22019 届全国高考高三模拟考试卷数学（文）试题（一）（解析版）注意事项：1. 答题前， 先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上， 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2. 选择题的作答：每小题选出答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3. 非选择题的作答： 用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4. 考试结束后， 请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共 12 小题， 每小题 5 分， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．[2019·深圳期末]已知集合 A = {x y = log (x 2-8x + 15)}， B = {x a < x < a + 1} ，若 A B = ∅ ，则 a 的取值范围是（）A ． (-∞, 3]B ． (-∞, 4]C ． (3, 4)D ． [3, 4]2．[2019·广安期末]已知i 为虚数单位， a ∈ R ，若复数 z = a + (1 - a )i 的共轭复数 z 在复平面内对应的点位于第三象限，且 z ⋅ z = 5 ，则 z = （ ）A ． -1 + 2iB ． -1 - 2iC ． 2 - iD ． -2 + 3i3．[2019·潍坊期末]我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一； 冬至晷(gu ǐ) 长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸．意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的 日影长度差为99 1分；且“冬至”时日影长度最大，为 1350 分；“夏至”时日影长度最小，为 160 分．则“立春”6 时日影长度为（）A ． 9531分B ．1052 1分C ．11512分D ．1250 5分32 36页1 第3 0.24．[2019·恩施质检]在区间[-2, 7]上随机选取一个实数 x ，则事件“ log 2 x - 1 ≥ 0 ”发生的概率是（）A.13B.59C.79D.895．[2019·华阴期末]若双曲线 mx 2 - y 2 = 1(m > 0) 的一条渐近线与直线 y = -2x 垂直，则此双曲线的离心率为（）A ．2B ．5C ．D ． 26．[2019·赣州期末]如图所示，某空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2 的正方形，俯视图是四分之三圆，则该几何体的体积为（）A.π4B.π 2C. 3π4D. 3π27．[2019·合肥质检]函数 f ( x ) = x 2 + x sin x 的图象大致为（）A ．B ．C ．D ． 8．[2019·江西联考]已知 a = 1.10.2 ， b = log 1.1， c = 0.21.1 ，则（ ）A. a > b > cB. b > c > aC. a > c > bD. c > a > b9．[2019·汕尾质检]如图所示的程序框图设计的是求100a 99 + 99a 98 +⋯+ 3a 2 + 2a + 1 的一种算法，在空白的“ ”中应填的执行语句是（ ）52A ． n = 100 + iB ． n = 99 - iC ． n = 100 - iD ． n = 99 + i10．[2019·鹰潭质检]如图所示，过抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点 F 的直线l ，交抛物线于点 A ， B ．交其准线l 于点C，若 BC = BF ，且 AF = + 1 ，则此抛物线的方程为（ ）A.y 2 = 2x B. y 2 = 2x C. y 2 = 3xD. y 2 = 3x11．[2019·陕西联考]将函数 y = sin ⎛ 2x + π ⎫ 的图象向右平移 π 个单位，在向上平移一个单位，得到 g ( x ) 的6 ⎪ 3 ⎝ ⎭ 图象．若 g ( x 1 ) g ( x 2 ) = 4 ，且 x 1 ， x 2 ∈[-2π, 2π] ，则 x 1 - 2x 2 的最大值为（）A.9π2B.7π 2C.5π 2 D. 3π 212．[2019·菏泽期末]如图所示，正方体 ABCD - A 'B 'C 'D ' 的棱长为 1， E ， F 分别是棱 AA ' ， CC ' 的中点， 过直线 E ， F 的平面分别与棱 BB ' 、 DD ' 交于 M ， N ，设 BM = x ， x ∈[0,1] ，给出以下四个命题： ①平面 MENF ⊥ 平面 BDD 'B ' ；②当且仅当 x = 1时，四边形 MENF 的面积最小；2 ③四边形 MENF 周长 L = f ( x ) ， x ∈[0,1] 是单调函数； ④四棱锥C ' - MENF 的体积V = h ( x ) 为常函数； 以上命题中假命题的序号为（）213 7A ．①④B ．②C ．③D ．③④二、填空题： 本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分．13．[2019·西安一模]已知向量a 与b 的夹角为60︒ ， a = 3 ， a + b = ，则 b =．14．[2019·醴陵一中]某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．则该小组人数的最小值为．15．[2019·广安一诊]某车间租赁甲、乙两种设备生产 A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产 A 类产品 8 件和B 类产品 15 件，乙种设备每天能生产 A 类产品 10 件和B 类产品 25 件，已知设备甲每天的租赁费 300 元， 设备乙每天的租赁费 400 元，现车间至少要生产 A 类产品 100 件，B 类产品 200 件，所需租赁费最少为元．16．[2019·哈三中]设数列{a n } 的前 n 项和为 S n ， a n +1 + a n = 2n + 1 ， a 2 < 2 ，且 S n = 2019 ，则 n 的最大值为．三、解答题： 本大题共 6 大题， 共 70 分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12 分）[2019·濮阳期末]已知△ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且c (1 + cos A ) = 3a sin C ．（1） 求角 A 的大小；（2） 若 a = ， b = 1 ，求△ABC 的面积．218．（12 分）[2019·揭阳一模]如图，在四边形 ABED 中， AB ∥DE ， AB ⊥ BE ，点C 在 AB 上，且 AB ⊥ CD ，AC = BC = CD = 2 ，现将△ACD 沿CD 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且 PE = 2 ．（1） 求证：平面 PBC ⊥ 平面 DEBC ； （2） 求三棱锥 P - EBC 的体积．19．（12 分）[2019·合肥质检]为了了解 A 地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：年份 x20142015201620172018足球特色学校 y （百个）0.300.601.001.401.70i（1） 根据上表数据，计算 y 与 x 的相关系数 r ，并说明 y 与 x 的线性相关性强弱（已知： 0.75≤ r ≤ 1，则认为 y 与 x 线性相关性很强； 0.3 ≤ r < 0.75 ，则认为 y 与 x 线性相关性一般； r ≤ 0.25 ，则认为 y 与 x 线性相关性较弱）；（2） 求 y 关于 x 的线性回归方程，并预测 A 地区 2019 年足球特色学校的个数（精确到个）∑n( x - x )( y - y )nn参考公式： r =i =1 ， ∑( x - x )2= 10 ， ∑( y - y )2= 1.3 ， ≈ 3.6056 ，b ˆ =ni =1( x i - x )( y i- y) ， a ˆ = y - b ˆx ．i i =1 ii =1n i =1 ( x - x )220．（12 分）[2019·鹰潭期末]已知椭圆C 的方程为 x 2 + y 2= 1(a > b > 0) ， F ， F 为椭圆C 的左右焦点，离a 2b 21 2心率为 2，短轴长为 2．2（1） 求椭圆C 的方程；（2） 如图，椭圆C 的内接平行四边形 ABCD 的一组对边分别过椭圆的焦点 F 1 ， F 2 ，求该平行四边形 ABCD面积的最大值．∑ in( ) 2∑ in( )2i =1x - x i =1y - y 13 ∑ ∑21．（12 分）[2019·豫西名校]已知函数f (x)=a ln x +x2-ax (a ∈R )．（1）若x = 3 是f (x)的极值点，求f (x)的单调区间；（2）求g (x)=f (x)- 2x 在区间[1, e]上的最小值h (a)．3请考生在 22、23 两题中任选一题作答， 如果多做， 则按所做的第一题记分． 22．（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】[2019·哈三中]已知曲线C 1 : x +3y = 和C 2 ⎧⎪x = ⎨⎪⎩ y = 6 cos，（ 2 sin为参数）．以原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．（1） 把曲线C 1 和C 2 的方程化为极坐标方程；（2） 设C 1 与 x ， y 轴交于 M ， N 两点，且线段 MN 的中点为 P ．若射线OP 与C 1 ， C 2 交于 P ， Q 两点，求 P ， Q 两点间的距离．23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】[2019·江南十校]设函数 f ( x ) = lg ( 2x - 1 + 2 x + 1 - a ) ． （1） 当 a = 4 时，求函数 f ( x ) 的定义域； （2） 若函数 f (x ) 的定义域为 R ，求 a 的取值范围．:22 + 12 5 2 2y 2019 届高三第三次模拟考试卷文 科 数 学（一）答 案一、选择题：本大题共 12 小题， 每小题 5 分， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】由题意，集合 A = {x y = log (x 2 - 8x + 15)} = {x x 2- 8x + 15 > 0} = {x x < 3或x > 5}，B = {x a < x < a + 1} ；若 A B = ∅ ，则3 ≤ a 且 a + 1 ≤ 5 ，解得3 ≤ a ≤ 4 ，∴实数 a 的取值范围为[3, 4] ．故选 D ． 2．【答案】A【解析】由 z ⋅ z = 5 可得 a 2 + (1 - a )2= 5 ，解得 a = -1 或 a = 2 ，∴ z = -1 + 2i 或 z = 2 - i ， ∵ z 在复平面内对应的点位于第三象限，∴ z = -1 + 2i ．故选 A ． 3．【答案】B【解析】一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为99 1分，6 且“冬至”时日影长度最大，为 1350 分；“夏至”时日影长度最小，为 160 分． ∴1350 + 12d = 160 ，解得 d = -1190， 12∴“立春”时日影长度为：1350 + ⎛ - 1190 ⎫⨯ 3 = 1052 1 （分）．故选 B ．12 ⎪ 2 ⎝ ⎭ 4. 【答案】B【解析】区间[-2, 7]的长度为7 - (-2) = 9 ；由log 2 x - 1 ≥ 0 ，解得 x ≥ 2 ，即 x ∈[2, 7] ，区间长度为7 - 2 = 5 ，事件“ log 25. 【答案】Bx - 1 ≥ 0 ”发生的概率是 P = 5．故选 B ．9【解析】设双曲线 mx2- y 2= 1(m > 0) 为 x 2- 2a = 1 ，它的一条渐近线方程为 y = 1 x ， a直线 y = -2x 的斜率为-2 ，∵直线 y = 1 x 与 y = -2x 垂直，∴ 1 ⨯ (-2) = -1 ，即 a = 2 ，∴ e = c= = ．故选 B ． a a a 2 26. 【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是底面半径为1 、高为2 的圆柱的 3，42 2 2 2 CF20.2 0.2∴该几何体的体积为 3 ⨯ π ⨯12 ⨯ 2 = 3π．故选 D ．4 27. 【答案】A【解析】∵ f (-x ) = x 2 - x sin (-x ) = x 2 + x sin x = f ( x ) ，∴ f ( x ) 为偶函数，选项 B 错误， f ( x ) = x 2 + x sin x = x ( x + sin x ) ，令 g ( x ) = x + sin x ，则 g '( x ) = 1 + cos x ≥ 0 恒成立， ∴ g (x ) 是单调递增函数，则当 x > 0 时， g ( x ) > g (0) = 0 ， 故 x > 0 时， f (x ) = xg ( x ) ， f '( x ) = g ( x ) + xg '( x ) > 0 ， 即 f (x ) 在(0, +∞) 上单调递增，故选 A ． 8. 【答案】C【解析】 a = 1.10.2 > 1.10 = 1 ， b = log 1.1 < log 1 = 0 ， 0 < c = 0.21.1 < 0.20 = 1，故 a > c > b ．故选 C ． 9．【答案】C【解析】由题意， n 的值为多项式的系数，由 100，99 直到 1，由程序框图可知，输出框中“ ”处应该填入 n = 100 - i ．故选C ． 10．【答案】A【解析】如图，过 A 作 AD 垂直于抛物线的准线，垂足为 D ，过 B 作 BE 垂直于抛物线的准线，垂足为 E ， P 为准线与 x 轴的交点，由抛物线的定义， BF = BE ， AF = AD = + 1，∵ BC = BF ，∴ BC = BE ，∴ ∠DCA = 45︒ ，∴ AC = AD = 2 + ， CF = 2 + - - 1 = 1 ，∴ PF = = 2 ， 即 p = PF = 2 2 ，∴抛物线的方程为 y 2 = 2 2x ，故选 A ． 1. 【答案】D2 2 2【解析】将函数 y = sin ⎛2x + π ⎫ 的图象向右平移 π 个单位，再向上平移一个单位，6 ⎪ 3 ⎝ ⎭ 得到 g ( x ) = sin ⎛ 2x - 2π + π ⎫+ 1 = -cos 2x + 1的图象，故 g ( x ) 的最大值为 2，最小值为 0，3 6 ⎪ ⎝ ⎭ 若 g (x 1 ) g ( x 2 ) = 4 ，则 g ( x 1 ) = g ( x 2 ) = 2 ，或 g ( x 1 ) = g ( x 2 ) = -2 （舍去）．故有 g (x 1 ) = g ( x 2 ) = 2 ，即cos 2x 1 = cos 2x 2 = -1 ， 又 x ， x ∈[-2π, 2π] ，则2x = π ， 2x = -π ，则 x - 2x 取得最大值为 π + π = 3π．故选 D ．1 2 1 2 1 22 212. 【答案】C【解析】①连结 BD ， B 'D ' ，则由正方体的性质可知， EF ⊥ 平面 BDD 'B ' ， ∴平面 MENF ⊥ 平面 BDD 'B ' ，∴①正确；②连结 MN ，∵ EF ⊥ 平面 BDD 'B ' ，∴ EF ⊥ MN ，四边形 MENF 的对角线 EF 是固定的， ∴要使面积最小，则只需 MN 的长度最小即可，此时当 M 为棱的中点时，即 x = 1时，此时 MN 长度最小，对应四边形 MENF 的面积最小，∴②正确；2③∵ EF ⊥ MN ，∴四边形 MENF 是菱形，当 x ∈ ⎡0, 1 ⎤时， EM 的长度由大变小，⎣⎢ 2 ⎥⎦ 当 x ∈ ⎡ 1 ,1⎤时， EM 的长度由小变大，∴函数 L = f ( x ) 不单调，∴③错误；⎢⎣ 2 ⎥⎦ ④连结C 'E ， C 'M ， C 'N ，则四棱锥可分割为两个小三棱锥，它们以C 'EF 为底，以 M ， N 分别为顶点的两个小棱锥，∵三角形C ' EF 的面积是个常数， M ， N 到平面C ' EF 的距离是个常数， ∴四棱锥C ' - MENF 的体积V = h ( x ) 为常函数，∴④正确， ∴四个命题中③假命题，故选 C ．二、填空题： 本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分．13. 【答案】1【解析】根据题意，设 b = t ， (t > 0) ，向量a 与b 的夹角为60︒ ， a = 3 ，则a ⋅ b = 3t ，2⎨ ⎩⎨又由 a+ b = ，则(a + b )2= a 2 + 2a ⋅ b + b 2 = 9 + 3t + t 2 = 13 ，变形可得： t 2 + 3t - 4 = 0 ，解可得t = -4 或 1， 又由t > 0 ，则t = 1 ；故答案为 1．14. 【答案】12【解析】设男学生人生为 x ，女学生人数为 y ，教师人数为 z ，且 x ， y ， z ∈ N * ， 则2z > x > y > z ，当 z = 1 时， 2 > x > y > 1 不成立；当 z = 2 时， 4 > x > y > 2 不成立； 当 z = 3 时， 6 > x > y > 3 ，则 x = 5 ， y = 4 ，此时该小组的人数最小为 12．15. 【答案】3800【解析】设甲种设备需要生产 x 天，乙种设备需要生产 y 天， 该公司所需租赁费为 z 元，则 z = 300x + 400 y ，⎧4x + 5 y ≥ 50甲、乙两种设备生产 A ，B 两类产品的情况为⎪3x + 5 y ≥ 40 ，做出不等式表示的平面区域，⎪x ∈ N , y ∈ N由⎧4x + 5 y = 50，解得(10, 2) ，⎩3x + 5 y = 40当 z = 300x + 400 y 经过的交点(10, 2) 时，目标函数 z = 300x + 400 y 取得最低为 3800 元． 故答案为3800 ．16. 【答案】63【解析】数列{a n - n } 是以-1 为公比，以 a 1- 1为首项的等比数列，n (n + 1)1 - (-1)n数列{a n - n } 的前 n 项和为 S n - (1 + 2 +⋯+ n ) = S n - = (a 1 - 1) ⋅ ，2 2137 3 n (n + 1)1 - (-1)nn (n + 1)S n = (a 1 - 1) ⋅ + ，2 2n (n + 1)当 n 为偶数时， S n == 2019 ，无解； 2n (n + 1) n (n + 1)当 n 为奇数时，由 S n = + (a 1 - 1) = 2019 ，可得 a 1 = 2020 - ，2 2 由 a n +1 + a n = 2n + 1 可得 a 2 + a 1 =3 ， a 1 = 3 - a 2 ，∵ a 2 < 2 ，∴ a 1 > 1 ，即 a 1 = 2020 - > 1 ⇒ n (n + 1) < 4038 ，2结合 n ∈ N ，可得 n ≤ 63 ，∴使得 S n = 2019 的 n 的最大值为63 ，故答案为63 ．三、解答题： 本大题共 6 大题， 共 70 分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1） A = π；（2） S = 3 3 ．3 4 【解析】（1）∵ c (1 + cos A ) = 3a sin C ，由正弦定理可得sin C (1 + cos A ) = 3sin A sin C ，即 3 sin A - cos A = 1 ，∴ sin ⎛A - π ⎫ = 1 ， A 是△ABC 的内角，∴ A - π = π ，∴ A = π ． 6 ⎪ 2 6 63 ⎝ ⎭ （2）∵ a = ， b = 1 ．由余弦定理可得 a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A ， 即1 + c 2 - c = 7 ，可得c 2 - c - 6 = 0 ，又c > 0 ，∴ c = 3 ，∴△ABC 的面积 S = 1 bc sin A = 1⨯1⨯ 3 ⨯3 = 3 3 ．18．【答案】（1）见解析；（2） 2 2 2 4．【解析】（1）证明：∵ AB ⊥ BE ， AB ⊥ CD ，∴ BE ∥CD ， ∵ AC ⊥ CD ，∴ PC ⊥ CD ，∴ PC ⊥ BE ， 又 BC ⊥ BE ， PC BC = C ，∴ EB ⊥ 平面 PBC ， 又∵ EB ⊂ 平面 DEBC ，∴平面 PBC ⊥ 平面 DEBC ； （2）解法 1：∵ AB ∥DE ，结合CD ∥EB 得 BE = CD = 2 ，由（1）知 EB ⊥ 平面 PBC ，∴ EB ⊥ PB ，由 PE = 2 得 PB = = 2 ，∴△PBC 为等边三角形，∴ S △PBC = 3 ⨯ 22 = ，4∴V= V= 1 S ⋅ EB = 1 ⨯ 3 ⨯ 2 = 2 3， P - EBCE - PBC3 △PBC 3 32 3 3 2 PE 2 - EB 23 3 2 2 2 2 ∑ i y y + 2 解法 2：∵ AB ∥DE ，结合CD ∥EB 得 BE = CD = 2 ， 由（1）知 EB ⊥ 平面 PBC ，∴ EB ⊥ PB ，由 PE = 2 ，得 PB = = 2 ，∴△PBC 为等边三角形，取 BC 的中点O ，连结OP ，则 PO = ，∵ PO ⊥ BC ，∴ PO ⊥ 平面 EBCD ，∴V = 1 S ⋅ PO = 1 ⨯ 1 ⨯ 22 ⨯ = 2 3．P - EBC3 △EBC 3 2 319．【答案】（1）相关性很强；（2） yˆ = 0.36x - 724.76 ，208 个．【解析】（1） x = 2016 ， y = 1，nr =i =1 x i - x )(y i - y )=(-2) ⨯ (-0.7) + (-1) ⨯ (-0.4) + 1⨯ 0.4 + 2 ⨯ 0.7 =3．6> 0.75 ， 10 ⋅ 3．6056∴ y 与 x 线性相关性很强．（2） b ˆ = ni =1( x i - x )( y i - y ) = (-2) ⨯ (-0.7) + (-1) ⨯ (-0.4) + 1⨯ 0.4 + 2 ⨯ 0.7 = 0.36 ， n i =1 ( x - x )24 + 1 + 0 + 1 + 4a ˆ = y -b ˆx = 1 - 2016 ⨯ 0.36 = -724.76 ，∴ y 关于 x 的线性回归方程是 y ˆ = 0.36x - 724.76 ． 当 x = 2019 时， y ˆ = 0.36x - 724.76 = 2.08 （百个），即 A 地区 2019 年足球特色学校的个数为 208 个．20．【答案】（1） x 2 + 22= 1 ；（2）2 ． 【解析】（1）依题意得2b = 2 ， e = c = a 2，解得 a = ， b = c = 1 ，2∴椭圆C 的方程为 x 2 + 22= 1 ．（2）当 AD 所在直线与 x 轴垂直时，则 AD 所在直线方程为 x = 1 ，联立 x y 22 = 1 ，解得 y = ± ，此时平行四边形 ABCD 的面积 S = 2 ；2当 AD 所在的直线斜率存在时，设直线方程为 y = k ( x - 1) ，x 2 + 22 2 2 2 联立 y 2= 1 ，得(1 + 2k ) x - 4k x + 2k 4k 2- 2 = 0 ，2k 2 - 2 设 A ( x 1, y 1 ) ， D ( x 2 , y 2 ) ，则 x 1 + x 2 = 1 + 2k 2 ， x 1 x 2 = ， 1 + 2k 22 PE 2 - EB 2 ∑ i n( ) 2∑ in( )2i =1x - x i =1y - y 1.3∑ ∑1 + k 2x + x - x x ( )21 2 1 2 (1 + k 2 )k 2 2 (1 + 2k 2 )2t + 1 ⨯ t - 12 2 t 22 ( ) t( ) 2 2 2 ⎢ ⎭ ⎝则 AD = = 2 2 (k 2 + 1) = 1 + 2k 2 ，两条平行线间的距离 d = -2k， 1 + k 22 2 k 2 + 1 则平行四边形 ABCD 的面积 S = ⋅ 1 + 2k 2 -2k = 4 ，1 + k 2令t = 1 + 2k 2 ， t > 1 ，则 S = 4 2 ⨯ = 2， 1 ∈(0,1) ， t 开口向下，关于1单调递减，则S = (0, 2 2 )，综上所述，平行四边形 ABCD 的面积的最大值为2 ．21．【答案】（1） f (x ) 的单调递增区间为⎛ 0, 3 ⎫ ， (3, +∞) ，单调递减区间为⎛ 3 , 3⎫； 2 ⎪ 2 ⎪⎧-a - 1, ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ a ≤ 2（2） h (a ) ⎪ = ⎪a ln a - 1 a 2 - a , 2 < a < 2e ． min⎨ ⎪ 2 4 ⎪⎩(1 - e )a + e 2 - 2e, a ≥ 2e ' a2x 2 - ax + a【解析】（1） f ( x ) 的定义域为(0, +∞) ， f ( x ) = + 2x - a = ， x x ∵ x = 3 是 f ( x ) 的极值点，∴ f '(3) = 18 - 3a + a= 0 ，解得 a = 9 ，3∴ f ' 2x 2 - 9x + 9 x == (2x - 3)( x - 3) ， x x 当0 < x < 3 或 x > 3 时， f '( x ) > 0 ；当 3< x < 3 时， f '( x ) < 0 ．2 2∴ f ( x ) 的单调递增区间为⎛ 0, 3 ⎫ ， (3, +∞) ，单调递减区间为⎛ 3 , 3⎫．2 ⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭2' 2x 2 - ax + a (2x - a )( x - 1) （2） g ( x ) = a ln x + x - ax - 2x ，则g ( x ) = - 2 = ， x x令 g '( x ) = 0 ，得 x = a 或 x = 1 ． 2 ①当 a≤ 1 ，即 a ≤ 2 时， g ( x ) 在[1, e ] 上为增函数， h (a ) 2min= g (1) = -a - 1 ；②当1 < a < e ，即2 < a < 2e 时， g ( x ) 在⎡1, a ⎫ 上单调递减，在⎛ a , e ⎤上单调递增，∴ h (a ) 2 ⎣ ⎪ = g ⎛ a ⎫ = a ln a - 1 a 2 - a ；⎥⎦ min⎪ ⎝⎭ 2 4 ③当 a≥ e ，即 a ≥ 2e 时， g ( x ) 在[1, e ] 上为减函数，∴ h (a ) 2min= g (e ) = (1 - e ) a + e 2 - 2e ．1 + k2 ⎛ 4k 2 ⎫28k 2 - 8 ⎝ 1 + 2k 2 ⎭1 + 2k2 ⎪ - 2 1 - t ⎪ ⎛ 1 ⎫2 ⎝ ⎭3 + =⎧-a - 1, a ≤ 2综上， h (a ) ⎪ = ⎪a ln a - 1 a 2 - a , 2 < a < 2e ．min⎨ ⎪ 2 4 ⎪⎩(1 - e )a + e 2 - 2e, a ≥ 2e请考生在 22、23 两题中任选一题作答， 如果多做， 则按所做的第一题记分．22．【答案】（1） C : sin ⎛+ π ⎫=3 ， C: 2 =6；（2）1．1 6 ⎪221 + 2sin 2⎝ ⎭【解析】（1）∵ C 的参数方程为⎧⎪x =6 cos为参数），∴其普通方程为2x 2 y 21 ，6 2 ⎨ ⎪⎩ y = ，（ 2 sin又C 1 : x + 3y = ，∴可得极坐标方程分别为C : sin ⎛+ π ⎫=3 ， C: 2 =6．1 6 ⎪221 + 2sin 2（2）∵ M( ⎝ ⎭3, 0) ， N (0,1) ，∴ P ⎛ 3 , 1 ⎫，∴ OP 的极坐标方程为= π， 2 2 ⎪ 6⎝⎭把= π 代入sin ⎛+ π ⎫ = 3 得 = 1， P ⎛1, π ⎫， 6 6 ⎪ 2 1 6⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭把= π 代入 2 = 6 得 = 2 ，Q ⎛ 2, π ⎫ ， 6 1 + 2sin 2 26 ⎪ ⎝ ⎭ ∴ PQ = 2 - 1 = 1，即 P ， Q 两点间的距离为1 ．23．【答案】（1） ⎛ -∞, - 5 ⎫ ⎛ 3 , +∞⎫；（2） a < 3 ．4 ⎪ 4 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭【解析】（1）当 a = 4 时， f ( x ) 定义域基本要求为 2x - 1 + 2 x + 1 > 4 ， 当 x ≤ -1 时，1 - 2x - 2x - 2 > 4 ⇒ x < - 5；4当-1 < x < 1时，1 - 2x + 2x + 2 > 4 ，无解；2 当 x ≥ 1 时， 2x - 1 + 2x + 2 > 4 ⇒ x >3 ，2 4综上： f ( x ) 的定义域为⎛ -∞, - 5 ⎫ ⎛ 3 , +∞⎫；4 ⎪ 4 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭（2）由题意得 2x - 1 + 2 x + 1 > a 恒成立⇒ a < ( 2x - 1 + 2 x + 1 )min ，( 2x - 1 + 2 x + 1 )min= 2x - 1 + 2x + 2 ≥ (2x - 1) - (2x + 2) = 3 ，∴a 3 ．。