2016-2017年河北省保定市定州中学高二(上)期末数学试卷及答案答案
河北省定州市2016-2017学年高二上学期期末考试文数试题含答案
河北省定州市2016—2017学年高二上学期期末考试数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.“5x >”是“2x >”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要必要条件D ．即不充分也不必要条件2。
曲线22y xx =-在点()0,0处的切线方程为（ ）A ．20x y ++=B ．20x y -+=C ．0x y -=D ．0x y += 3。
双曲线22143x y -=的渐近线所在直线方程为()A ．x y =B ．y x =C ．y =±D ．x y = 4. 函数321393y x x x =--+的零点个数为（ ）A ．0B ．1 C.2 D ．35。
执行图中程序框图,如果输入1232,3,7x x x ===，那么输出的T 值为（ )A ．3B ．4 C. 113D ．56。
命题“x R ∀∈,使得210x x ++>”的否定是 （ ）A ．0x R ∃∈，使得20010x x ++> B ．x R ∀∈，使得210xx ++>C.x R ∀∈，使得210x x ++≤D ．0x R ∃∈,使得20010x x ++≤7. 将一条5米长的绳子随机地切断为两段，则两段绳子都不短于1米的概率为（ ）A ．15B ．25C.35D ．458. 在平面直角坐标系中，已知定点()()0,2,0,2A B -，直线PA 与PB 的斜率之积为2-，则动点P 的轨迹方程为（ ） A ．2212y x += B ．()22102y x x +=≠C 。
2212y x -=D ．()22102x y y +=≠9。
如图,一个正六角星薄片（其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，直到全部露出水面为止,记时刻t 薄片露出水面部分的图形面积为()()()00S t S =,则导函数()'y S t =的图象大致为（）A ．B ．C 。
河北省定州中学2016-2017学年高二上学期开学考试 数学
定州中学2016一2017学年第一学期高二开学考试数学试题一、选择题：共12题每题5分共60分1．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则球O的表面积为（）A．123πB．12πC．8πD．4π2．已知某个三棱锥的三视图如图所示,其中正视图是等边三角形,侧视图是直角三角形,俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（）A．3B．23C．3D．33．已知某个三棱锥的三视图如图所示,其中正视图是等边三角形,侧视图是直角三角形,俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（）A3B．233C．33D．364．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（）A ．4B ．2C ．524+D ．52+5．如图所示，直四棱柱1111D C B A ABCD -内接于半径为3的半球O ，四边形ABCD 为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．26．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（ ）A ．2B ．4C ．52+D ．524+7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球半径为（ ）A ．22B ．72C ．11D ．238．已知圆22:(1)(3)2C x y -+-=被直线3y x b =+所截得的线段的长度等于2，则b 等于（ ）A ．5±B ．10±C ．25±D ．30±9．圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为（ ） （A ）内切 （B ）相交 （C ）外切 （D ）相离 10．六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体．如图甲，在平行四边形ABCD 中，有AC2+BD2= 2（AB2+AD2），那么在图乙所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，22221111AC BD CA DB +++等于（ ）A ．2（AB2+AD2+21AA ） B ．3（AB2+AD2+21AA ）C ．4（AB2+AD2+21AA ）D ．4（AB2+AD2）11．一直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的半径为（ ）A．21 2B．6C．7D．312．若一个四棱锥底面为正方形, 顶点在底面的射影为正方形的中心, 且该四棱锥的体积为9,当其外接球的体积最小时, 它的高为（）A．3B．22C．23D．33二、填空题：共4题每题5分共20分13．已知矩形ABCD的顶点都在半径为R的球O的球面上，且6,23AB BC==,棱锥O ABCD-的体积为83，则R= ________．14．直线y kx=与圆()()22214x y-++=相交于,A B两点，若23AB≥，则k的取值范围是______．15．过点P（1，2）且在Ｘ轴，Ｙ轴上截距相等的直线方程是.16．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝3cm，AD＝2cm，AA1＝1cm，则三棱锥B1—ABD1的体积___________cm3.三、解答题：共8题共70分17．如图，已知四棱锥ABCDP-中，⊥PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，且1,2,2,45,90===︒=∠︒=∠PAABCBABCDAB．（1）求证：⊥BC平面PAC；（2）若M是PC的中点，求三棱锥MADC-的体积．18．如图，在三棱锥ABCP-中，PAB∆和CAB∆都是以AB为斜边的等腰直角三角形.（1）求证：PC AB ⊥； （2）若22==PC AB ，求三棱锥ABC P -的体积.19．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，090BCD ∠=，2,4BC CD AB ===，//EC FD ,FD ⊥底面ABCD ，M 是AB 的中点.（1）求证：平面CFM ⊥平面BDF ；（2）若点N 为线段CE 的中点，2,3EC FD ==，求证：//MN 平面BEF . 20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，,,1AD AB DCAB PA ⊥=，2,2AB PD BC ===．（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面PCD ；（Ⅱ）试在棱PB 上确定一点E ，使截面AEC 把该几何体分成的两部分PDCEA 与EACB 的体积比为2:1；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角E AC P --的余弦值． 21．已知动点满足方程．（Ⅰ）求动点P 到直线距离的最小值；（Ⅱ）设定点，若点之间的最短距离为,求满足条件的实数的取值．22．已知圆C ：4)4()3(22=-+-y x ，直线l 过定点(1,0)A ． （Ⅰ）若l 与圆C 相切，求直线l 的方程； （Ⅱ）若l 与圆C 相交于P 、Q 两点，且，求直线l 的方程．23．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，090ABD ∠=，EB ⊥面ABCD ，//EF AB ，2AB =，3EB =，1,13EF BC ==，且M 是BD 的中点.（1）求证: //EM 平面ADF ； （2）求二面角D AF B --的大小.24．如图所示，在长方体ABCD ﹣A1B1C1D1中，BC=2AB=4，221=AA ，E 是A1D1的中点．（Ⅰ）在平面A1B1C1D1内，请作出过点E与CE垂直的直线l，并证明l⊥CE；（Ⅱ）设（Ⅰ）中所作直线l与CE确定的平面为α，求点C1到平面α的距离．参考答案 1． B 【解析】试题分析：由题球心O 到平面α，可得；R == 则球的表面积为；4312S ππ=⨯⨯=．考点：球的截面性质及表面积．2．C 【解析】试题分析：由三视图，则左（侧）视图可推知底面的高，俯视图可推知底面再结合主视图，则三棱锥的底面积为；12底面＝1S ，而三棱锥的高为；h得：1133⨯＝V 考点：三视图与几何体的体积．3．C 【解析】试题分析：由三视图，则左（侧）视图可推知底面的高，俯视图可推知底面再结合主视图，则三棱锥的底面积为；12底面＝1S ，而三棱锥的高为；h得：1133⨯＝V 考点：三视图与几何体的体积．4．D 【解析】试题分析：从三视图所提供的图形信息和数据信息可知:该几何体是一个三棱锥,其中SBC SAB ∆∆,都是直角三角形,且2==AB SB ,故22221=⨯⨯=∆SAB S ;又1,2==OB CO ,故514=+=BC ,所以55221=⨯⨯=∆SBC S ,所以该几何体的四个面中是直角三角形的所有面积之和是52+.故应选D.BCA2考点：三视图的识读和理解及运用. 5．D 【解析】试题分析：设x AB =,则21213,22x BB x OB -==,所以直四棱柱的体积为22213x x V -=,令t x =-2213,则2226t x -=,则t t t t V 62)26(32+-=-=,故)1)(1(6662/+--=+-=t t t V ,所以当1=t 时,即2=x 时,体积V 最大.故应选D.考点：导数的知识、四棱柱和球等知识的综合运用.6．C 【解析】试题分析：从三视图所提供的图形信息和数据信息可知:该几何体是一个三棱锥如上图,其中SBC SAB ∆∆,都是直角三角形,且2==AB SB ,故22221=⨯⨯=∆SAB S ;又1,2==OB CO ,故514=+=BC ,所以55221=⨯⨯=∆SBC S ,所以该几何体的四个面中是直角三角形的所有面积之和是52+.故应选C.BCA2考点：三视图的识读和理解及运用. 7．C 【解析】试题分析：从三视图可以看出这是一个正方体上的一个四面体,如图,其中正MNP ∆的边长为24,其外接圆的半径3241=r ,同样正111P N M ∆的外接圆的半径是3222=r ,由球的对称性可知球心O必在正方体的对角线AC 上,且934,9382211====h CO h AO ,该球经过六个点111,,,,,P N M P N M ,设球心O 到平面111P N M ∆的距离为1d ;球心O 到平面MNP ∆的距离为2d ,而两个平面MNP 和111PN M 之间的距离为2121334)(34d d h h d +==+-=,则由球心距、垂面圆半径之间的关系可得2222221212,r d R r d R +=+=,所以822212122=-=-r r d d ,即82122=-d d ,又33421=+d d ,将其代入82122=-d d 可得3212=-d d ,由此可得3352=d ,所以113333832522222==+=+=r d R ,所以外接球的半径11=R ,应选C.N 1C AP考点：三视图的识读和理解及几何体体积的计算.【易错点晴】本题以网格纸上的几何图形为背景,提供了一个三棱锥的几何体的三视图,要求求其外接球的半径,是一道较为困难的难题.难就难在无法搞清其几何形状,只知道是一个三棱锥（四面体）是没有任何用的.通过仔细观察不难看出这是一个正方体上的一个四面体,如图,正MNP ∆的边长为24,其外接圆的半径3241=r ,同样正111P N M ∆的外接圆的半径是3222=r ,由球的对称性可知球心O必在对角线上,且经过六个点111,,,,,PN M P N M ,设球心O 到平面111P N M ∆的距离为1d ；球心O 到平面MNP ∆的距离为2d ,而两个平面MNP 和111PN M 之间的距离为2121334)(34d d h h d +==+-=,则由球心距垂面圆半径之间的关系可得2222221212,r d R r d R +=+=,所以822212122=-=-r r d d ,即82122=-d d ,又33421=+d d ,将其代入82122=-d d 可得3212=-d d ,由此可得3352=d ,所以113333832522222==+=+=r d R ,所以外接球的半径11=R ,其中计算21,h h 时可用等积法进行. 8．B【解析】试题分析：因圆心到直线3y x b =+的距离是10||b d =,半弦长为1,故21012=+b ,解之得10±=b ,应选B.考点：直线与圆的位置关系. 9．B【解析】试题分析：因两圆心距,而,故两圆的位置关系相交,选B.考点：两圆的位置关系. 10．C 【解析】试题分析：因在平面上有结论)(22222AD AB BD AC +=+,故由类比推理在空间应有结论22221111AC BD CA DB +++)(42122AA AD AB ++,故应选C ．考点：类比推理及运用．【易错点晴】本题是一道属于合情推理的类比推理题,类比的内容是二维平面与三维空间之间的数量关系的类比．类比推理的内涵是指运用两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其它方面也相似或相同的推理方法．本题就是平面上的平行四边形的边长和对角线之间的关系和空间平行六面体的的棱长和对角线之间的这种相似进行类比推理的．解答时,平方关系照样保留,将系数2进行升格为4,将两条对角线升格为三条对角线进行类比推理,从而使得问题巧妙解． 11．A 【解析】试题分析：球O 的半径满足2223321()3)2R R =+⇒=考点：外接球【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解. 12．A 【解析】试题分析：设四棱锥底面正方形边长为a ，四棱锥高为h ，外接球半径为R ，则222219,(h R)32a ha R ==-+，所以2227272,224h hR h R h h =+=+，因为3127=0322R h h '=-⇒=，所以3h =时R 取唯一一个极小值，也是最小值，即外接球的体积最小，因此选A.考点：导数实际应用【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′（x ）＞0或f′（x ）＜0求单调区间；第二步：解f′（x ）＝0得两个根x1、x2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小． 13．4 【解析】试题分析：由题可得四棱锥的侧棱为R，则1623V h h =⨯⨯==，再由；4R ==．考点：多面体与外接球．14．4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：由于圆的半径为2，若AB ≥)1,2(-到直线y kx =的距离d 不大于1，因此11122≤++=k k d ，034≤≤-k ，填4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.考点：直线与圆的位置关系.. 15．2030x y x y -=+-=或. 【解析】试题分析：当直线过原点时，可设直线的方程为y kx =，代入点P （1，2）可得2k =，故方程为2y x =，化为一般式可得20x y -=；当直线不过原点时，可设直线的方程为1x ya a +=，代入点P （1，2）可得3a =，故方程为133x y +=，化为一般式可得30x y +-=；综上可得所求直线的方程为：2030x y x y -=+-=或. 故答案为：2030x y x y -=+-=或. 考点：直线的截距式方程． 16．1 【解析】试题分析：111111312132B ABD D ABB V V --==⨯⨯⨯⨯=考点：棱锥体积17．（1）见解析；（2）112【解析】试题分析：（1）证线面垂直可回到判定定理（化为线与两条相交直线垂直来证）．结合条件⊥PA 平面ABCD及所给的边和角的条件可通过解三角形证得AC BC ⊥，从而证出；另外也可建立空间坐标系，运用向量运算来解决．（2）由题求三棱锥MAD C -的体积，结合条件及观察图形，可运用等体积法，化为求C MAD M ACD V V --=，则底面积和高易算出，可求得．试题解析：（1）证明：⊥PA 平面ABCD ，∴⊥PA BC在ABC ∆中，02,45AB BC ABC ==∠=依余弦定理有：2220222cos 452AC =+-⨯=，AC ∴= 又222224AC BC AB +=+==，090ACB ∴∠=，即AC BC ⊥又PA AC A ⋂=，BC ∴⊥平面PAC （2）解：取AC 的中点O ，连结MO ,M 是PC 的中点，∴MO ∥PA⊥PA 平面ABCD ，MO ∴⊥平面ABCD即MO 为三棱锥M ACD -的高， 且1122MO PA ==由（1）知：AC BC ⊥，∴090ACB ∠=，045CAB ∴∠=又090DAB ∠=，AB ∥CD ，0090,45ADC DAC ACD ∴∠=∠=∠=1AD CD ∴=== ,11111222ACD S AD CD ∆∴=⋅=⨯⨯= 11111332212C MAD M ACD ACD V V S MO --∆∴==⋅=⨯⨯=∴三棱锥MAD C -的体积为112【考点】（1）线面垂直的证明；（2）等体积法求几何体的体积．18．（1）证明见解析；（2）246.【解析】 试题分析：（1）运用线面垂直的性质定理推证；（2）借助题设条件运用三棱锥的体积公式进行求解. 试题解析：（1）证明：取AB 中点G ，连结CG PG 、.∵PAB ∆和CAB ∆都是以AB 为斜边的等腰直角三角形，∴AB PG ⊥，AB CG ⊥， ∵G CG PG = ，⊂PG 平面PCG ，⊂CG 平面PCG ，∴⊥AB 平面PCG ∵⊂PC 平面PCG ，∴PC AB ⊥.（2）解：在等腰直角三角形PAB ∆中，2=AB ， G 为斜边AB 的中点，∴2221==AB PG ，同理得22=CG . ∵22=PC ， ∴PCG ∆是等边三角形.∴832322222160sin 21=⨯⨯⨯=⋅⋅=∆ CG PC S PCG .∵⊥AB 平面PCG ，∴2468323131=⨯⨯=⋅=∆-PCG ABC P S AB V .考点：空间的直线与平面的位置关系等有关知识的综合运用．19．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 试题分析：（1）借助题设条件运用面面垂直的判定定理求证；（2）运用线面平行的判定定理推证. 试题解析：（1）证明：∵FD ⊥底面ABCD ，∴FD MC ⊥， 连接DM ,∵//AB CD ，0,90DC BM BC BCD ==∠=，∴四边形BCDM 是正方形，∴BD CM ⊥，∵DF CM ⊥，∴CM ⊥平面BDF ，∵CM ⊂平面CFM ，∴平面CFM ⊥平面BDF . （2）解：过N 作//NO EF 交DF 于O ，连接MO , ∵//EC FD ,∴四连形EFON 是平行四边形， ∵2,3,1EC FD EN ===,∴1OF =，则2OD =, 连接OE ，则////OE DC MB ，且OE DC MB ==,∴四边形BMOE 是平行四边形，则//OM BE ，从而//OM 平面BEF , 同理//ON 平面BEF ，又OM ON O =,∴平面//OMN 平面BEF ，∵MN ⊂平面OMN ，∴//MN 平面BEF .考点：空间的直线与平面的平行、垂直等位置关系的推证方法及综合运用．20．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）E 为PB 的中点；（Ⅲ）3【解析】试题分析：（Ⅰ）证明：∵,AD AB DC AB ⊥，∴DC AD ⊥．∵PA ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ， ∴DC PA ⊥． ∵ADPA A =，∴DC ⊥平面PAD ． ∵DC ⊂平面PCD ， ∴平面PAD ⊥平面PCD ． （Ⅱ）解：作EF AB ⊥于F 点， ∵在ABP ∆中，PA AB ⊥， ∴EFPA ．∴EF ⊥平面ABCD ．设1,1,12ABC EF h AD S AB AD ∆====⋅=，则1133E ABC ABC V S h h-∆=⋅=． ()12111113322P ABCD ABCD V S PA -+⨯=⋅=⨯⨯=． 由:2:1PDCEA EACBV V =，得111:2:1233h h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得12h =． 12EF PA =，故E 为PB 的中点．（Ⅲ）解：连接FC 、FD ，FD 与AC 交于点O ，连接OE ，由（Ⅱ）可知EF ⊥平面ABCD ，所以EF AC ⊥． ∵ADCF 为正方形， ∴FO AC ⊥． ∵FOEF F =，∴AC ⊥平面EFO ，故EO AC ⊥． ∴EOF ∠是二面角E AC B --的平面角．由PA ⊥平面ABCD ，可知平面PAC ⊥平面ABCD ． ∴二面角E AC B --与平面角E AC P --互余．设二面角E AC P --的平面角为θ，则cos sin EOF θ=∠，在Rt EOF ∆中，123,,222EF FO EO ===， 3cos sin 3EOF θ=∠=，所以二面角E AC P --的余弦值为3．考点：空间直线与平面的平行与垂直，二面角的求法.21．（Ⅰ）；（Ⅱ）或.【解析】 试题分析：（Ⅰ）先点到直线的距离公式建立函数,再用基本不等式求解；（Ⅱ）借助题设条件建立函数关系,再运用二次函数的知识求解. 试题解析：（Ⅰ）当且仅当时距离取得最小值（Ⅱ）设点（）, 则设（）,则,设（）对称轴为分两种情况:（1）时, 在区间上是单调增函数,故时, 取最小值∴,∴,∴（舍）（2）＞时,∵在区间上是单调减,在区间上是单调增,∴时, 取最小值∴,∴（舍）综上所述, 或考点：函数的图象和性质或基本不等式的综合运用．22．（Ⅰ）或；（Ⅱ）或.【解析】试题分析：（Ⅰ）对斜率的存在和不存在进行分类再运用点到直线的距离公式建立方程求解；（Ⅱ）借助题设条件运用点到直线的距离公式建立方程求解.试题解析：（Ⅰ）当斜率不存在时，方程x=1满足条件；当L1斜率存在时，设其方程是y=k（x-1）,则，解得，所以所求方程是x=1和3x-4y-3=0;（Ⅱ）由题意，直线斜率存在且不为0，设其方程是y=k （x-1）,则圆心到直线的距离d=，，此时k=1或k=7，所以所求直线方程是或.考点：直线与圆的位置关系及综合运用．【易错点晴】本题考查和检测是直线与圆的位置关系的基础知识和基本方法.求解时充分借助题设条件,运用了直线与圆相切的条件和直线与圆相交所截得的弦长的条件求出满足题设条件的直线的方程.需要强调的是:本题在设置时,特别注意到直线的点斜式的运用的条件问题,当直线的斜率存在时,可以运用直线的点斜式方程；若直线的斜率不存在,则不能运用直线的点斜式方程,但直线的方程还是存在的,即是这是许多学生容易忽视的地方.23．（1）证明见解析；（2）60. 【解析】试题分析：以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，（1）求出面ADF 的法向量，利用MN 与法向量垂直，得到线面平行；（2）求出平面ADF 、平面EBAF 的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角B AF D --的大小． 试题解析：因为EB ⊥平面ABD ，AB BD ⊥，故以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，由已知可得(0,0,0),(0,2,0),(3,0,0)B A D ,3(3,2,0),3),3),(,0,0)2C E F M - （1）3(,0,3),(3,2,0),(0,3)2EM AD AF =-=-=-,设平面ADF 的一个法向量是(,,)n x y z =，由00n AD n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得32030x y y z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 令3y =，则(2,3,3)n =.又因为3(,0,3)3)30302EM n ⋅=-⋅=+-=所以EM n ⊥，又EM ⊄平面ADF ，所以//EM 平面ADF .（2）由（1）可知平面ADF 的一个法向量是(2,3,3)n=，因为EB ⊥平面ABD ，所以EB BD ⊥，又因为AB BD ⊥，所以BD ⊥平面EBAF .故(3,0,0)BD =是平面EBAF 的一个法向量. 所以1cos ,2BD n BD n BD n ⋅==⋅，又二面角D AF B --为锐角，故二面角D AF B --的大小为060.考点：（1）直线与平面平行判定；（2）利用空间向量求二面角.【一题多解】（1）取AD 的中点N ，连接,MN NF ,在DAB ∆中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点，所以1//,2MN AB MN AB =,又因为1//,2EF AB EF AB =，所以//MN EF 且MN EF =.所以四边形MNFE 为平行四边形，所以//EM FN .又因为FN ⊂平面ADF ，EM ⊄平面ADF ，故//EM 平面ADF .24．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）2.【解析】试题分析：（Ⅰ）如图所示，连接11,B E C E ，则直线1B E 即为所求直线l .只需利用勾股定理证明11B E EC ⊥，1122B E C E ==2221111B E C E B C +=；（Ⅱ）如图所示，过1C 作1C F CE ⊥于F ，由（Ⅰ）知11B E C F ⊥，故1C F α⊥，在1ECC ∆中，1122EC CC ==，且11EC CC ⊥，所以1122C F EC ==. 试题解析：（Ⅰ）如图所示，连接B1E ，C1E ，则直线B1E 即为所求直线l…2分证明：∵在长方体ABCD ﹣A1B1C1D1中，CC1⊥平面A1B1C1D1，B1E ⊂平面A1B1C1D1 ∴B1E ⊥CC1 …3分∵B1C1=2A1B1=4，E 是A1D1的中点，2211==∴E C E B∴2112121C B E C E B =+ ∴B1E ⊥C1E 又CC1∩C1E=C1 ∴B1E ⊥平面CC1E∴B1E ⊥CE ，即l ⊥CE（Ⅱ）如图所示，连接B1C ，则平面CEB1即为平面α过点C1作C1F ⊥CE 于F由（Ⅰ）知B1E ⊥平面CC1E ，故B1E ⊥C1F∵C1F ⊥CE ，CE∩B1E=E∴C1F ⊥平面CEB1，即C1F ⊥平面α∵在△ECC1中，2211==CC EC ，且EC1⊥CC1 ∴C1F=221==EC ∴点C1到平面α的距离为2（此题也可用等体积法解答：其中411=∆EC B S ，221=CC ，32811=-EC B C V ，241=∆EC B S ）考点：立体几何证明平行、垂直与求体积.。
河北省定州市2016-2017学年高二上学期期末考试理数试题 Word版含答案
河北省定州市2016-2017学年高二上学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“2x >”是“5x >”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要必要条件D ．即不充分也不必要条件 2. 曲线22y x x =-在点()1,1处的切线方程为（ ）A ．20x y -+=B ．320x y -+=C ．320x y --=D ．320x y --=3.双曲线22143x y -=的一个焦点到渐近线的距离为 （ ）A ．1BC ．24.在空间直角坐标系中,,A B C 三点的坐标分别为()()()2,1,1,3,4,,2,7,1A B C λ-，若AB CB ⊥，则λ= （ ）A ．3B ．1 C.3± D ．3- 5. 执行图中程序框图，若输入1232,3,7x x x ===，则输出的T 值为（ ）A ．3B ．4 C.113D ．5 6. 如图，一个正六角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，直到全部露出水面为止，记时刻t 薄片露出水面部分的图形面积为()()()00S t S =，则导函数()'y S t =的图象大致为（ ）A ．B ． C. D ．7. 在正方体1111ABCD A B C D -中,E F 分别为1CC 和1BB 的中点，则异面直线AE 与1D F 所成角的余弦值为 （ ）A ．0B D ．198. 在平面直角坐标系中，已知定点((0,,A B ，直线PA 与直线PB 的斜率之积为2-，则动点P 的轨迹方程为（ ）A ．2212y x += B ．()22102y x x +=≠C. 2212y x -= D ．()22102x y y +=≠9. 任取k ⎡∈⎣，直线()2y k x =+与圆224x y +=相交于,A B 两点，则AB ≥的概率为（ ）A ．12 B 13D10. 执行如图所示的程序框图，若输出S 的值为0.99，则判断框内可填入的条件是 （ ）A ．100i <B ．100i ≤ C.99i < D ．98i <11. 如图动直线:l y b =与抛物线24y x =交于点A ，与椭圆2212x y +=交于抛物线右侧的点,B F 为抛物线的焦点，则AF BF AB ++的最大值为（ ）A．．2 D． 12. 设函数()()()sin cos 02016xf x e x x x π=-≤≤，则函数()f x 的各极大值之和为（ ）A ．()2018211e e e πππ-- B ．()100911e e e πππ--C.()1008211e e eπππ-- D ．()2016211e e eπππ--第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某校老年教师90人、中年教师180人和青年教师160人，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则该样本的老年教师人数为 ． 14. 若命题“0x R ∃∈”，使得“()200110x a x +-+≤”为真命题，则实数a 的范围为 ．15. 定义在R 上的连续函数()f x 满足()12f =，且()f x 在R 上的导函数()'1f x <，则不等式()1f x x <+的解集为 ．16. 如图，过椭圆()222211x y a b a b+=>>上顶点和右顶点分别作圆221x y +=的两条切线，两切线的斜率之积为，则椭圆的离心率的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，且经过点12,,F F ⎛ ⎝是椭圆的左、右焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 在椭圆上运动，求12PF PF 的最大值.18. 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x (吨)，一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽祥，获得了某年100位居民毎人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[)[)[)0,0.5,0.5,1,...,4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中a 的值；（2）若该市有110万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使80%的居民每月的用水量不超过标准x (吨)，估计x 的值(精确到0.01)，并说明理由.19. 如图四棱锥E ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，BCE ∆为等边三角形，ABE ∆是以A ∠为直角的等腰直角三角形，且AC BC =.（1）证明: 平面ABE ⊥平面BCE ； （2）求二面角A DE C --的余弦值.20. 某化工厂拟建一个下部为圆柱，上部为半球的容器（如图圆柱高为h ，半径为r ，不计厚度，单位：米），按计划容积为72π立方米，且2h r ≥，假设建造费用仅与表面积有关（圆柱底部不计 ），已知圆柱部分每平方米的费用为2千元，半球部分每平方米的费用为4千元，设该容器的建造费用为y 千元.（1）求y 关于r 的函数关系，并求其定义域； （2）求建造费用最小时的r . 21. 已知()2249:14M x y ++=的圆心为()221,:14M N x y -+= 的圆心为N ,一动圆与圆M 内切，与圆N 外切. （1）求动圆圆心P 的轨方迹方程；（2）设,A B 分别为曲线P 与x 轴的左右两个交点，过点()1,0的直线l 与曲线P 交于,C D两点，若12AC DB AD CB +=，求直线l 的方程. 22. 已知函数()()221x x f x x e=-- .（1）求函数的单调区间；（2）若函数()f x 有两个零点12,x x ,证明122x x +>.河北省定州市2016-2017学年高二上学期期末考试数学（理）试题参考答案一、选择题1-5: BDCCB 6-10: ADBCA 11-12：DD二、填空题13.18 14.1a ≤-或3a ≥ 15.{}|1x x >16.⎛⎝ 三、解答题17. 解：(1) 由题意，得222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩,所以椭圆C 的方程是2214x y +=.(2) 由均值定理12PF PF +≥4a=，所以4≥,当且仅当12PF PF =时等号成立，所以12PF PF 的最大值为4.18. 解：(1) 由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1, 频率=(频率/组距)* 组距,()0.50.080.160.30.520.30.120.080.041a ∴⨯++++++++=，解得0.4a =.(2) 由图，不低于3吨的人数所占比例为()0.50.120.080.040.12⨯++=,∴全市月圴用水量不低于3吨的人数为1100.1213.2⨯=(万).(3) 由图可知，月圴用水量小于2.5吨的居民人数所占比例为()0.50.080.160.30.40.520.73⨯++++=.即0073的居民用水量小于2.5吨，同理，0088的居民用水量小于3吨，故2.53x <<.假设月圴用水量平均分布，则()0.80.730.52.50.5 2.730.3x -÷=+⨯≈(吨).19. 解：(1) 设O 为BE 的中点，连接AO 与CO ，则,AO BE CO BE ⊥⊥.设2AC BC ==,则2221,,90AO CO AO CO AC AOC ==⇒+=∠= ,所以AO CO ⊥，故平面ABE ⊥平面BCE .(2) 由（1）可知,,AO BE CO 两两互相垂直，设OE 的方向为x 轴正方向，OE 为单位长，以O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系O xyz.则()()()()()0,0,1,1,0,0,,1,0,0.A E C B OD OC CD OC BA -=+=+=,所以()()()()(),,1,0,1,,1,0,1D AD AE EC CD ==-=-=.设(),,n x y z = 是平面ADE 的法向量，则00n AD n AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即00x x z ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩,所以可取(n = ,设m 是平面DEC 的法向量，则00m EC m CD ⎧=⎪⎨=⎪⎩,同理可取m = ,则1cos ,7n m n m n m <>==,所以二面角A DE C --的余弦值为17.20. 解：(1) 由容积为72π立方米，得322272272233r rr h h r r πππ=+⇒=-≥,解得03r <≤,又圆柱的侧面积为2722223r rh r rππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，半球的表面积为22r π，所以建造费用2288163r y r ππ=+，定义域为(]0,3. (2) ()3222718'16'3233r r y rr ππ-⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，又03r <≤，所以'0y ≤，所以建造费用2288163r y r ππ=+，在定义域(]0,3上单调递减，所以当3r =时建造费用最小. 21. 解：(1) 设动圆P 的半径为r ，则71,22PM r PN r =-=+两式相，得4PM PN MN +=>，由椭圆定义知，点P 的轨迹是以,M N 为焦点，焦距为2实轴长为4的椭圆，其方程为22143x y +=.(2) 当直线的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，则()()331,,1,,2,0,2,022C D A B ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则9622AC DB AD CB +=+≠，当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-,设()()()()1122,,,,2,0,2,0C x y D x y A B -,朕立()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩,消去y 得()22223484120k x k x k +-+-=,则有()22121222438,3434k k x x x x k k -+==++，()()()()112222112,2,2,2,AC DB AD CB x y x y x y x y +=+--++--()()21212121282282211x x y y x x k x x =--=----()()222212122102482222834k k x x k x x k k +=-+++-=++.由已知，得22102481234k k++=+,解得k =故直线l的方程为)1y x =-.22. 解：(1)()()()()11'2112,'01x x x f x x x f x x e e -⎛⎫=--=-+=⇒= ⎪⎝⎭, 当(),1x ∈-∞时,()'0f x <;当()1,x ∈+∞时,()'0f x >,所以函数()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增. (2) ()()110,01f f e=-<=,不妨设12x x <，又由（1）可知12201,1,21x x x <<>-<，又函数()f x 在(),1-∞上单调递减，所以121222x x x x +>⇔>-等价于()()122f x f x <-，即()()1202f x f x =<-.又()()222222221x x f x x e---=--，而()()2222210x x f x x e=--=，所以()()22222222222222222x xx x x x x e x e x x f x e e e e -------=-=,设()()22x x g x xe x e -=--，则()()()2'1x x g x x e e -=--，当()1,x ∈+∞时，()'0g x >，而()10g =，故当1x >时，()0g x >.所以而2220xx e e->恒成立，所以当1x >时,()()222222222222222220x xx x x x x e x e x x f x e e e e-------=-=>,故122x x +>.。
河北省保定市高二数学上学期期末考试试题 理(扫描版)
河北省保定市2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题理（扫描版）数学参考答案（理）一、选择题： ABCAD BADDB CB 二、填空题：13. 56 14. 19.2 15. 错误!未找到引用源。
16 . 错误!未找到引用源。
三、解答题：17.解： 若p 为真，则0422>+-a x x 恒成立，∴ ∆=04162<-a ，解得 a>2或a<-2； (2)分若q 为真，则0652≥--a a ，解得6,1≥-≤a a 或。
……………………………4分由“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，可知p,q 一真一假。
………………………………5分①p 真q 假时， a>2或a<-2且 -1<a<6，∴2<a<6 …………………………………………7分② p 假q 真时，22≤≤-a ，6,1≥-≤a a 或∴12-≤≤-a (9)分综上，2<a<6，或12-≤≤-a 。
∴ a ∈(2,6)∪[-2,-1] (10)分18.(1) 由题意知，O(0,0)，21=r ； …………………………………………1分 ∵⊙C:0271222=+-+y y x∴9)6(22=-+x x ，圆心C(0,6),32=r ……………………………………3分6=OC >21r r + …………………………………………5分∴⊙O 与⊙C 相离。
…………………………………………6分（2）显然，切线斜率存在，设为k. …………………………………………7分 ∴切线l:y=kx+6,即kx-y+6=0.∴2)1(622=-+k , 解得k=±22,……………………………10分∴切线方程为622+±=x y …………………………………………12分19.解：(1) M=100*0.1+110*0.25+120*0.45+130*0.15+140*0.05=118，……………… 4分(2) X 的可能取值为0，1，2，3，4．…………………………………………5分某个考生成绩位于（95,105]的概率=0.01×10=101…………………………………6分因此X ～B （4，错误!未找到引用源。
河北省保定市2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题理(PDF)
9分
其中两人都赞成“使用微信交流”的有 1 个结果，所以 2 人中至少有 1 人不赞成“使用微信
交流”的概率为
P
1
1 10
9 10
.
12 分
20 解：（1）由于五个组的频率之和等于 1，故：
0.015 10 10a 0.025 1 0.015 10 0.0110 1，所以 a 0.035 ．
3)
9.98
6.635
∴有 99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关.
6分
（2）设[55,65）中不赞成“使用微信交流”的人为 A, B, C ，赞成“使用微信交流”的人为
a,b ，则从 5 人中选取 2 人有： AB, AC, Aa, Ab, BC, Ba, Bb, Ca,Cb, ab 共 10 个结果，
即
t t
4 1
2
或
t
4
解得 4 t 3 或 t 4 19. 解：（1） 2 2 列联表：
年龄不低于 45 岁的人数 年龄低于 45 岁的人数 合计
赞成 10
27
37
不赞成 10
3
13
合计 20
30
50
11 分 12 分
3分
∴
K2
(10
50 (10 3 10 27)2 10)(27 3)(10 27)(10
l
6 故直线 MN 的方程为 y＋2＝5(x－3)，
即 6x－5y－28＝0.
12 分
试卷第 3 页，总 3 页
6分
(2)由(1)知，x1＋x2＝k，x1x2＝－2. k1＝y1＋x1 2＝x12x＋1 2＝x12－x1x1x2＝x1－x2，同理 k2＝x2－x1， 所以 k12＋k22－2k2＝2(x1－x2)2－2(x1＋x2)2＝－8x1x2＝16. 即 k12＋k22－2k2 为定值．
2016-2017年河北省保定市高二(上)期末数学试卷(文科)及答案
2016-2017学年河北省保定市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是（）A．∀x∈R，均有x2+x+1＜0B．∃x∈R，使得x2+x+1＞0C．∃x∈R，使得x2+x+1≥0D．∀x∈R，均有x2+x+1≥02．（5分）如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（）A．B．C．D．3．（5分）已知p：（x﹣1）（x﹣2）≤0，q：log2（x+1）≥1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人，高二780人，高三n人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，则n等于（）A．660B．680C．720D．8005．（5分）圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程为（）A．x+y﹣2=0B．x+y﹣4=0C．x﹣y+4=0D．x﹣y+2=0 6．（5分）将数30012（4）转化为十进制数为（）A．524B．774C．256D．2607．（5分）已知点F是抛物线y2=4x的焦点，M、N是该抛物线上的两点，且|MF|+|NF|=6，则线段MN的中点到y轴的距离为（）A．B．C．2D．38．（5分）若曲线f（x）=cosx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，1）处有公切线，则b=（）A．﹣2B．﹣1C．0D．29．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，则下列结论正确的是（）A．若f′（x0）=0，则x0是f（x）的极值点B．函数f（x）的图象关于原点中心对称C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）上单调递减D．∃x0∈R，f（x0）=010．（5分）双曲线x2﹣=1的左右焦点分别为F1，F2，P为右支上一点，且||=8，•=0，则双曲线的渐近线方程是（）A．y=±2x B．y=±2x C．y=±5x D．y=±x 11．（5分）f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，且f（﹣2）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集为（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞）B．（﹣2，0）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）12．（5分）下列四个判断①某校高二一班和高二二班的人数分别是m，n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学平均分为②10名工人生产同一种零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则c＞a＞b③设m∈R，命题“若a＞b，则am2＞bm2”的逆否命题为假命题④线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）公园263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为．参考数据：=1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305．14．（5分）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是．15．（5分）若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点，点P为椭圆上任意一点，则•的最小值为．16．（5分）已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示下列关于f（x）的命题①函数f（x）的极大值点为0，4②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x ∈[﹣1，t ]时，f （x ）的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④函数f （x ）在x=0处的切线斜率小于零 其中正确命题的序号是 ．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）．为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的数据如表：（1）根据上表数据，请在如图坐标系中画出散点图；（2）根据上表数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；（保留2位小数）（3）若周六同一时间段车流量是25万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时PM2.5的浓度为多少（保留整数）？参考公式：=，=﹣．18．（12分）已知命题p：“存在”，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线表示双曲线”（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围（2）若x=﹣是函数f（x）的极值点，求函数f（x）在[1，a]上的最大值．20．（12分）某校高三某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答如下问题：（1）求分数在[50，60）的频率及全班的人数；（2）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高；（3）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份在[90，100]之间的概率．21．（12分）设函数f（x）=lnx+ax2+x﹣a（a∈R）（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的单调区间（2）证明：当a≥0时，不等式f（x）≥x在[1，+∞）上恒成立．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），其一个顶点为B（0，4），离心率为，直线l交椭圆C于M，N两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l的方程为y=x﹣4，求弦MN的长；（3）如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．2016-2017学年河北省保定市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是（）A．∀x∈R，均有x2+x+1＜0B．∃x∈R，使得x2+x+1＞0C．∃x∈R，使得x2+x+1≥0D．∀x∈R，均有x2+x+1≥0【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故选：D．2．（5分）如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵扇形ADE的半径为1，圆心角等于90°∴扇形ADE的面积为S1=×π×12=同理可得，扇形CBF的在，面积S2=又∵长方形ABCD的面积S=2×1=2∴在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是P===1﹣故选：A．3．（5分）已知p：（x﹣1）（x﹣2）≤0，q：log2（x+1）≥1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由题意可知p：（x﹣1）（x﹣2）≤0，可得p：1＜x＜2；q：log2（x+1）≥1，可得x+1≥2，所以q：1≤x，所以p：（x﹣1）（x﹣2）≤0，q：log2（x+1）≥1，则p是q的充分不必要条件．故选：A．4．（5分）某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人，高二780人，高三n人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，则n等于（）A．660B．680C．720D．800【解答】解：∵高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，∴=，解得n=720，故选：C．5．（5分）圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程为（）A．x+y﹣2=0B．x+y﹣4=0C．x﹣y+4=0D．x﹣y+2=0【解答】解：法一：x2+y2﹣4x=0y=kx﹣k+⇒x2﹣4x+（kx﹣k+）2=0．该二次方程应有两相等实根，即△=0，解得k=．∴y﹣=（x﹣1），即x﹣y+2=0．法二：∵点（1，）在圆x2+y2﹣4x=0上，∴点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直．又∵圆心为（2，0），∴•k=﹣1．解得k=，∴切线方程为x﹣y+2=0．故选：D．6．（5分）将数30012（4）转化为十进制数为（）A．524B．774C．256D．260=2+1×4+3×44=2+4+32+768=774．【解答】解：∵30012（4）故选：B．7．（5分）已知点F是抛物线y2=4x的焦点，M、N是该抛物线上的两点，且|MF|+|NF|=6，则线段MN的中点到y轴的距离为（）A．B．C．2D．3【解答】解：∵F是抛物线y2=4x的焦点∴F（1，0），准线方程x=﹣1，设M（x1，y1），N（x2，y2）∴|MF|+|NF|=x1+1+x2+1=6，解得x1+x2=4，∴线段MN的中点横坐标为2，∴线段NM的中点到y轴的距离为2．故选：C．8．（5分）若曲线f（x）=cosx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，1）处有公切线，则b=（）A．﹣2B．﹣1C．0D．2【解答】解：∵f（x）=cosx，g（x）=x2+bx+1，∴f′（x）=﹣sinx，g′（x）=2x+b，∵曲线f（x）=cosx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，1）处有公切线，∴f（0）=1=g（0）=1，且f′（0）=0=g′（x）=b∴b=0故选：C．9．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，则下列结论正确的是（）A．若f′（x0）=0，则x0是f（x）的极值点B．函数f（x）的图象关于原点中心对称C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）上单调递减D．∃x0∈R，f（x0）=0【解答】解：A．若f′（x0）=0，则x0是f（x）的极值点，不正确，例如取f（x）=x3，f′（0）=0，而0不是函数f（x）的极值点．B．f′（x）=3x2+2ax+b，f″（x）=6x+2a，令f″（x）=0，解得x=﹣，∴函数f（x）关于点中心对称，因此f（x）的图象关于原点不一定中心对称，不正确．C．令f′（x）=3x2+2ax+b=3（x﹣x0）（x﹣x1）=0，若x0是f（x）的极小值点，则x1是函数f（x）的极大值点，可得x1＜x0，则f（x）在区间（﹣∞，x0）上不具有单调性，因此不正确．D．∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，x→+∞时，f（x）→+∞，因此∃x0∈R，f（x0）=0，正确．故选：D．10．（5分）双曲线x2﹣=1的左右焦点分别为F1，F2，P为右支上一点，且||=8，•=0，则双曲线的渐近线方程是（）A．y=±2x B．y=±2x C．y=±5x D．y=±x【解答】解：由已知a=1，||=8，由双曲线的定义可知：丨丨=6，又∵•=0，∴⊥，由勾股定理可知：丨F1F2丨=10，即c=5，b==2，则渐近线方程为y=±x=±2x，故选：A．11．（5分）f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，且f（﹣2）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集为（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞）B．（﹣2，0）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）【解答】解：令h（x）=f（x）g（x），∵f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，∴h（x）=f（x）g（x）为R上的奇函数．又当x＜0时，h′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，∴h（x）=f（x）g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，又h（x）=f（x）g（x）为R上的奇函数，∴h（x）=f（x）g（x）在（0，+∞）上单调递减，又f（﹣2）=0，故f（2）=0，∴当﹣2＜x＜0，或x＞2时，f（x）g（x）＜0．故f（x）g（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（2，+∞）．故选：A．12．（5分）下列四个判断①某校高二一班和高二二班的人数分别是m，n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学平均分为②10名工人生产同一种零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则c＞a＞b③设m∈R，命题“若a＞b，则am2＞bm2”的逆否命题为假命题④线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：对于①，根据高二一班和高二二班的人数分别是m，n，平均分分别是a，b，则这两个班的平均分为，∴①错误；对于②，平均数为a=（15+17+14+10+15+17+17+16+14+12）=14.7，中位数为b=15，众数为c=17，则有c＞b＞a，∴②错误；对于③，m∈R，命题“若a＞b，则am2＞bm2”是假命题，则它的逆否命题为假命题，③正确；对于④，线性相关系数|r|越接近1，两个变量的线性相关性越强，|r|越接近0，两个变量的线性相关性越弱，∴④错误；综上，正确的命题为③，有1个．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）公园263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为24．参考数据：=1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=3×=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故答案为：24．14．（5分）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是．【解答】解：由题意知2b=a+c，又b2=a2﹣c2，∴4（a2﹣c2）=a2+c2+2ac．∴3a2﹣2ac﹣5c2=0，∴5c2+2ac﹣3a2=0．∴5e2+2e﹣3=0，∴e=或e=﹣1（舍去）．故答案为15．（5分）若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点，点P为椭圆上任意一点，则•的最小值为2．【解答】解：椭圆+=1的中心和左焦点为O（0，0），F（﹣1，0）∵椭圆+=1，∴y2=3﹣（﹣2≤x≤2）设P（x，y），则•=（x，y）•（x+1，y）=x2+x+y2=x2+x+3﹣=∵﹣2≤x≤2，∴x=﹣2时，•的最小值为2．故答案为：2．16．（5分）已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示下列关于f（x）的命题①函数f（x）的极大值点为0，4②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④函数f（x）在x=0处的切线斜率小于零其中正确命题的序号是①②．【解答】解：由f （x ）的导函数y=f′（x ）的图象可知：函数f （x ）在区间[﹣1，0），[2，4]上单调递增；在区间[0，2），（4，5]上单调递减．因此函数f （x ）的极大值点为0，4；如果当x ∈[﹣1，t ]时，f （x ）的最大值是2，那么t 的最大值为5；f′（0）=0． 因此只有①②正确． 故答案为：①②．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）．为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的数据如表：（1）根据上表数据，请在如图坐标系中画出散点图；（2）根据上表数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；（保留2位小数）（3）若周六同一时间段车流量是25万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时PM2.5的浓度为多少（保留整数）？参考公式：=，=﹣．【解答】解：（1）散点图如图所示．…（2分）（2），，…（6分）=64，=50，，，…（9分）故y关于x的线性回归方程是：8…（10分）（3）当x=2.5时，y=1.28×25+4.88=36.88≈37所以可以预测此时PM2.5的浓度约为37…（12分）18．（12分）已知命题p：“存在”，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线表示双曲线”（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．【解答】解：（1）若p为真：…（1分）解得m≤﹣1或m≥3…（2分）若q为真：则…（3分）解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4…（4分）若“p且q”是真命题，则…（6分）解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4…（7分）（2）若s为真，则（m﹣t）（m﹣t﹣1）＜0，即t＜m＜t+1…（8分）由q是s的必要不充分条件，则可得{m|t＜m＜t+1}⊊{m|﹣4＜m＜﹣2或m＞4}…（9分）即或t≥4…（11分）解得﹣4≤t≤﹣3或t≥4…（12分）19．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围（2）若x=﹣是函数f（x）的极值点，求函数f（x）在[1，a]上的最大值．【解答】解：（1）f′（x）=3x2﹣2ax﹣3，∵函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，∴f′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，∴3x2﹣2ax﹣3≥0，化为：2a≤在区间[1，+∞）上恒成立．令g（x）=，则g′（x）=＞0在区间[1，+∞）上恒成立，∴函数h（x）在区间[1，+∞）上单调递增．∴h（x）min=h（1）=0．∴2a≤0，解得a≤0．当a=0时，只有f′（1）=0．∴实数a的取值范围是（﹣∞，0]．（2）∵x=﹣是函数f（x）的极值点，∴=﹣2a×﹣3=0，解得a=4．∴x∈[1，4]．∴f′（x）=3x2﹣8x﹣3=（3x+1）（x﹣3），令f′（x）=0，解得x=3．列出表格：由表格可得：函数f（x）在[1，4]上的最大值为f（1）=﹣6．20．（12分）某校高三某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答如下问题：（1）求分数在[50，60）的频率及全班的人数；（2）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高；（3）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份在[90，100]之间的概率．【解答】解：（1）分数在[50，60）的频率为0.008×10=0.08，由茎叶图知：分数在[50，60）之间的频数为2，所以全班人数为25．（2）分数在[80，90）之间的频数为25﹣2﹣7﹣10﹣2=4，频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为4÷25÷10=0.016（3）由题意知本题是一个等可能事件的概率，将[80，90）之间的4个分数编号为1，2，3，4[90，100）之间的2个分数编号为5，6，在[80，100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：（1，2 ），（1，3），（1，4），（1，5 ）（1，6 ），（2，3 ），（2，4 ），（2，5 ），（2，6），（3，4 ）（3，5 ），（3，6）（4，5 ），（4，6），（5，6 ）其中至少有一份在[90，100]之间的基本的事件有9个，所以至少有一份在[90，100]之间的概率为21．（12分）设函数f（x）=lnx+ax2+x﹣a（a∈R）（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的单调区间（2）证明：当a≥0时，不等式f（x）≥x在[1，+∞）上恒成立．【解答】（1）解：f′（x）=+2ax+1．（x∈（0，+∞））．当a=﹣1时，f′（x）=﹣2x+1=．令f′（x）=0，解得x=1．∴0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；1＜x时，f′（x）＜0，函数f （x）单调递减．∴函数f（x）单调递增区间为（0，1）；函数f（x）单调递减区间为（1，+∞）．（2）证明：令g（x）=f（x）﹣x=lnx+ax2﹣a．（a≥0，x≥1）．则g′（x）=+2ax＞0，∴函数g（x）在[1，+∞）上单调递增．∴g（x）≥g（1）=0+a﹣a=0，因此不等式g（x）≥0在[1，+∞）上恒成立．即a≥0时，不等式f（x）≥x在[1，+∞）上恒成立．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），其一个顶点为B（0，4），离心率为，直线l交椭圆C于M，N两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l的方程为y=x﹣4，求弦MN的长；（3）如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．【解答】解：（1）由已知得，b=4，且，即，∴，得a2=20．∴椭圆方程为；（2）联立，得9x2﹣40x=0，解得x1=0，．∴所求弦长|MN|==；（3）椭圆右焦点F得坐标为（2，0），设线段MN的中点为Q（x0，y0），由三角形重心的性质，又B（0，4），∴（2，﹣4）=2（x0﹣2，y0），得x0=3，y0=﹣2．即Q（3，﹣2），设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=6，y1+y2=﹣4．且，，以上两式相减得：．∴=．∴直线MN的方程为y+2=，即6x﹣5y﹣28=0．。
【全国市级联考】2016-2017学年河北省定州市高二上学期期末考试理数试卷(带解析)
绝密★启用前【全国市级联考】2016-2017学年河北省定州市高二上学期期末考试理数试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：66分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、如图，过椭圆上顶点和右顶点分别作圆的两条切线，两切线的斜率之积为，则椭圆的离心率的取值范围是__________．2、某校老年教师人、中年教师人和青年教师人，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有人，则该样本的老年教师人数为__________．3、设函数，则函数的各极大值之和为（ ） A ． B ．C ．D ．4、如图动直线与抛物线交于点，与椭圆交于抛物线右侧的点为抛物线的焦点，则的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．5、执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则判断框内可填入的条件是（ ）A ．B ．C ．D ．6、任取，直线与圆相交于两点，则的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．7、在平面直角坐标系中，已知定点，直线与直线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为（ ）A ．B ．C ．D ．8、在正方体中分别为和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．9、如图，一个正六角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，直到全部露出水面为止，记时刻薄片露出水面部分的图形面积为，则导函数的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10、在空间直角坐标系中三点的坐标分别为，若，则（）A． B． C． D．11、双曲线的一个焦点到渐近线的距离为（）A． B． C． D．12、曲线在点处的切线方程为（）A． B．C． D．13、“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要必要条件 D．即不充分也不必要条件14、执行图中程序框图，若输入，则输出的值为（）A． B． C． D．第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）15、定义在上的连续函数满足，且在上的导函数，则不等式的解集为__________．16、若命题“”，使得“”为真命题，则实数的范围为__________．三、解答题（题型注释）17、已知函数 .（1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个零点,证明.18、已知的圆心为的圆心为,一动圆与圆内切，与圆外切.（1）求动圆圆心的轨方迹方程；（2）设分别为曲线与轴的左右两个交点，过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程.19、如图四棱锥中，四边形为平行四边形，为等边三角形，是以为直角的等腰直角三角形，且.（1）证明:平面平面； （2）求二面角的余弦值.20、我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准(吨)，一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽祥，获得了某年位居民毎人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照分成组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中的值； （2）若该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准(吨)，估计的值(精确到)，并说明理由.21、已知椭圆的离心率为，且经过点是椭圆的左、右焦点. （1）求椭圆的方程； （2）点在椭圆上运动，求的最大值.22、某化工厂拟建一个下部为圆柱，上部为半球的容器（如图圆柱高为，半径为，不计厚度，单位：米），按计划容积为立方米，且，假设建造费用仅与表面积有关（圆柱底部不计），已知圆柱部分每平方米的费用为千元，半球部分每平方米的费用为千元，设该容器的建造费用为千元.（1）求关于的函数关系，并求其定义域； （2）求建造费用最小时的.参考答案1、2、183、D4、D5、A6、C7、B8、D9、A10、C11、C12、D13、B14、B15、16、或17、(1)在上单调递减，在上单调递增；(2)见解析.18、(1) ；(2) .19、(1)见解析；(2) .20、(1) ;(2) 万；(3)2.73.21、（.1）；（2）4．22、(1)，定义域为；(2)3.【解析】1、设过椭圆上顶点和右顶点作的两条切线的斜率为，则两条切线方程分别为；由于圆心到两条直线的距离为，可知，又，化简可得，所以，得，由椭圆的性质可得，所以，所以，故答案为.2、由题意，老年和青年教师的人数比为90：160="9：16，" 因为青年教师有32人，所以老年教师有18人.3、因，故由此可得，即，所以是极大点，故所有极大值之和为，应选答案D。
河北省保定市定州中学2016-2017学年高二(上)12月月考数学试卷(承智班)(解析版)
2016-2017学年河北省保定市定州中学高二（上）12月月考数学试卷（承智班）一、选择题1．设全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}，则∁U A=（）A．∅B．{2}C．{5}D．{2，5}2．若实数x、y满足，则Z=的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）C．[﹣2，]D．[﹣4，]3．若实数x，y满足条件，则z=2x+y的最大值是（）A．10 B．8 C．6 D．44．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍，则最少的那份有（）个面包．A．4 B．3 C．2 D．15．已知O，N，P在△ABC所在平面内，且|=，且，则点O，N，P依次是△ABC的（）A．重心外心垂心 B．重心外心内心C．外心重心垂心 D．外心重心内心6．已知平面向量、满足•（+）=5，且||=2，||=1，则向量与夹角的余弦值为（）A．B．﹣C．D．﹣7．若方程x3﹣3x+m=0在[0，2]上只有一个解，则实数m的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．（0，2]C．[﹣2，0）∪{2} D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）8．设S n是等比数列{a n}的前n项和，S4=5S2，则此数列的公比q=（）A．﹣2或﹣1 B．1或2 C．±1或2 D．±2或﹣19．若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（3﹣x），且f（x）在[m，+∞）单调递增，则实数m的最小值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．110．已知函数是定义域上的单调增函数，则a的取值范围是（）A．[3﹣，2）B．C．D．11．函数f（x）=x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的最大值、最小值分别是（）A．1，﹣1 B．1，﹣17 C．3，﹣17 D．9，﹣1912．公差不为0的等差数列{a n}的部分项a k1，a k2，a k3…，…构成等比数列{a kn}，且k1=1，k2=2，k3=6，则k4为（）A．20 B．22 C．24 D．28二、填空题13．关于下列命题①函数y=tanx在第一象限是增函数；②函数y=cos2（﹣x）是偶函数；③函数y=4sin（2x﹣）的一个对称中心是（，0）；④函数y=sin（x+）在闭区间[﹣，]上是增函数；写出所有正确的命题的题号：．14．已知方程+=﹣1表示椭圆，求k的取值范围．．15．已知函数f（x）=，则f（f（8））=．16．计算：（﹣lg4）÷的值为．三、解答题17．已知点H（﹣6，0），点P（0，b）在y轴上，点Q（a，0）在x轴的正半轴上，且满足⊥，点M在直线PQ上，且满足﹣2=，（Ⅰ）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点T（﹣1，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴的交点为E（x0，0），设线段AB的中点为D，且2|DE|=|AB|，求x0的值．18．（1）焦点在y轴上的椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．（2）已知双曲线的一条渐近线方程是x+2y=0，并经过点（2，2），求此双曲线的标准方程．19．滨湖区拟建一主题游戏园，该游戏园为四边形区域ABCD，其中三角形区城ABC为主题活动区，其中∠ACB=60°，∠ABC=45°，AB=12m；AD、CD为游客通道（不考虑宽度），且∠ADC=120°，通道AD、CD围成三角形区域ADC为游客休闲中心，供游客休憩．（1）求AC的长度；（2）记游客通道AD与CD的长度和为L，求L的最大值．20．已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程6x﹣y+7=0．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=x2﹣9x+a+2与y=f（x）的图象有三个交点，求a的取值范围．2016-2017学年河北省保定市定州中学高二（上）12月月考数学试卷（承智班）参考答案与试题解析一、选择题1．设全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}，则∁U A=（）A．∅B．{2}C．{5}D．{2，5}【考点】补集及其运算．【分析】先化简集合A，结合全集，求得∁U A．【解答】解：∵全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}={x∈N|x≥3}，则∁U A={2}，故选：B．2．若实数x、y满足，则Z=的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）C．[﹣2，] D．[﹣4，]【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，然后利用Z=的几何意义求解z的范围．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域OBC．因为，所以z的几何意义是区域内任意一点（x，y）与点P（1，﹣2）两点直线的斜率．所以由图象可知当直线经过点P，C时，斜率为正值中的最小值，经过点P，O时，直线斜率为负值中的最大值．由题意知C（4，0），所以k OP=﹣2，，所以的取值范围为或z≤﹣2，即（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）．故选B．3．若实数x，y满足条件，则z=2x+y的最大值是（）A．10 B．8 C．6 D．4【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求出最优解即可求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，2），代入目标函数z=2x+y得z=2×2+2=6．即目标函数z=2x+y的最大值为6，故选：C．4．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍，则最少的那份有（）个面包．A．4 B．3 C．2 D．1【考点】等差数列的通项公式．【分析】设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，（其中d＞0），则由条件求得a 和d的值，可得最少的一份为a﹣2d的值．【解答】解：设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，（其中d ＞0），则有（a﹣2d）+（a﹣d）+a+（a+d）+（a+2d）=5a=120，∴a=24．由a+a+d+a+2d=7（a﹣2d+a﹣d），得3a+3d=7（2a﹣3d）；∴24d=11a，∴d=11．∴最少的一份为a﹣2d=24﹣22=2，故选：C．5．已知O，N，P在△ABC所在平面内，且|=，且，则点O，N，P依次是△ABC的（）A．重心外心垂心 B．重心外心内心C．外心重心垂心 D．外心重心内心【考点】向量在几何中的应用．【分析】据O到三角形三个顶点的距离相等，得到O是三角形的外心，根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有③④两个选项，只要判断第三个条件可以得到三角形的什么心就可以，移项相减，得到垂直，即得到P是三角形的垂心．【解答】解：∵||=||=||，∴O到三角形三个顶点的距离相等，∴O是三角形的外心，根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有C，D两个选项，∴只要判断第三个条件可以得到三角形的内心或垂心就可以，∵，∴（）=0，=0，∴，同理得到另外两个向量都与边垂直，得到P是三角形的垂心，故选C．6．已知平面向量、满足•（+）=5，且||=2，||=1，则向量与夹角的余弦值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件进行向量数量积的运算便可得出，从而得出向量夹角的余弦值．【解答】解：根据条件，=；∴．故选：C．7．若方程x3﹣3x+m=0在[0，2]上只有一个解，则实数m的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．（0，2]C．[﹣2，0）∪{2} D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）【考点】二分法求方程的近似解．【分析】令f（x）=x3﹣3x+m，则由题意可得函数f（x）在[0，2]只有一个零点，故有f（0）•f（2）≤0，并验证其结论，问题得以解决．【解答】解：设f（x）=x3﹣3x+m，f′（x）=3x2﹣3=0，可得x=1或x=﹣1是函数的极值点，故函数的减区间为[0，1]，增区间为（1，2]，根据f（x）在区间[0，2]上只有一个解，f（0）=m，f（1）=m﹣2，f（2）=2﹣m，当f（1）=m﹣2=0时满足条件，即m=2，满足条件，当f（0）f（2）≤0时，解得﹣2≤m≤0时，当m=0时，方程x3﹣3x=0．解得x=0，x=1，不满足条件，故要求的m的取值范围为[﹣2，0）∪{2}．故选：C．8．设S n是等比数列{a n}的前n项和，S4=5S2，则此数列的公比q=（）A．﹣2或﹣1 B．1或2 C．±1或2 D．±2或﹣1【考点】等比数列的前n项和．【分析】对q分类讨论，利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：q=1时不满足条件，舍去．q≠1时，∵S4=5S2，则=，∴1﹣q4=5（1﹣q2），∴（q2﹣1）（q2﹣4）=0，q≠1，解得q=﹣1，或±2．故选：D．9．若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（3﹣x），且f（x）在[m，+∞）单调递增，则实数m的最小值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】由f（x）的解析式便知f（x）关于x=a对称，而由f（1+x）=f（3﹣x）知f（x）关于x=2对称，从而得出a=2，这样便可得出f（x）的单调递增区间为[2，+∞），而f（x）在[m，+∞）上单调递增，从而便得出m的最小值为2．【解答】解：∵f（x）=2|x﹣a|；∴f（x）关于x=a对称；又f（1+x）=f（3﹣x）；∴f（x）关于x=2对称；∴a=2；∴；∴f（x）的单调递增区间为[2，+∞）；又f（x）在[m，+∞）上单调递增；∴实数m的最小值为2．故选：C．10．已知函数是定义域上的单调增函数，则a的取值范围是（）A．[3﹣，2）B．C．D．【考点】分段函数的应用．【分析】利用分段函数以及指数函数与对数函数的性质，列出不等式组求解即可．【解答】解：函数是定义域上的单调增函数，可得，解得：a∈[3﹣，2）．故选：A．11．函数f（x）=x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的最大值、最小值分别是（）A．1，﹣1 B．1，﹣17 C．3，﹣17 D．9，﹣19【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】求导，用导研究函数f（x）=x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的单调性，利用单调性求函数的最值．【解答】解：f′（x）=3x2﹣3=0，x=±1，故函数f（x）=x3﹣3x+1[﹣3，﹣1]上是增函数，在[﹣1，0]上是减函数又f（﹣3）=﹣17，f（0）=1，f（1）=﹣1，f（﹣1）=3．故最大值、最小值分别为3，﹣17；故选C．12．公差不为0的等差数列{a n}的部分项a k1，a k2，a k3…，…构成等比数列{a kn}，且k1=1，k2=2，k3=6，则k4为（）A．20 B．22 C．24 D．28【考点】等差数列的通项公式．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由a1，a2，a6成等比数列可求得等比数列a k1，a k2，a k3…的公比q=4，从而可求得a k4，继而可求得k4．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1，a2，a6成等比数列，∴a22=a1•a6，即（a1+d）2=a1•（a1+5d），∴d=3a1．∴a2=4a1，∴等比数列a k1，a k2，a k3…的公比q=4，∴a k4=a1•q3=a1•43=64a1．又a k4=a1+（k4﹣1）•d=a1+（k4﹣1）•（3a1），∴a1+（k4﹣1）•（3a1）=64a1，a1≠0，∴3k4﹣2=64，∴k4=22．故选：B．二、填空题13．关于下列命题①函数y=tanx在第一象限是增函数；②函数y=cos2（﹣x）是偶函数；③函数y=4sin（2x﹣）的一个对称中心是（，0）；④函数y=sin（x+）在闭区间[﹣，]上是增函数；写出所有正确的命题的题号：①③．【考点】正弦函数的图象．【分析】①由正切函数的图象可知命题正确；②化简可得f（x）=sin2x，由f（﹣x）=sin（﹣2x）=﹣sin2x=﹣f（x），可知命题不正确；③代入有0=4sin（2×﹣），可得命题正确；④由2k≤x+≤2k可解得函数y=sin（x+）的单调递增区间为[2k，2k]k∈Z，比较即可得命题不正确．【解答】解：①由正切函数的图象可知函数y=tanx在第一象限是增函数，命题正确；②f（x）=cos2（﹣x）=cos（﹣2x）=sin2x，f（﹣x）=sin（﹣2x）=﹣sin2x=﹣f（x），故命题不正确；③∵0=4sin（2×﹣），∴命题正确；④由2k≤x+≤2k可解得函数y=sin（x+）的单调递增区间为[2k，2k]k∈Z，故命题不正确．综上，所有正确的命题的题号：①③，故答案为：①③14．已知方程+=﹣1表示椭圆，求k的取值范围．（﹣∞，﹣3）．【考点】椭圆的标准方程．【分析】化曲线方程为椭圆的标准方程，由分母大于0且不相等求得k的取值范围．【解答】解：由+=﹣1，得，∵方程+=﹣1表示椭圆，∴，解得k＜﹣3．∴k的取值范围是（﹣∞，﹣3）．故答案为：（﹣∞，﹣3）．15．已知函数f（x）=，则f（f（8））=﹣4．【考点】函数的值．【分析】先求f（8），再代入求f（f（8））．【解答】解：f（8）=﹣log28=﹣3，f（f（8））=f（﹣3）=4﹣23=﹣4，故答案为：﹣4．16．计算：（﹣lg4）÷的值为﹣20．【考点】对数的运算性质．【分析】利用对数、指数的性质、运算法则直接求解．【解答】解：：（﹣lg4）÷=lg（）÷=lg=﹣2×10=﹣20．故答案为：﹣20．三、解答题17．已知点H（﹣6，0），点P（0，b）在y轴上，点Q（a，0）在x轴的正半轴上，且满足⊥，点M在直线PQ上，且满足﹣2=，（Ⅰ）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点T（﹣1，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴的交点为E（x0，0），设线段AB的中点为D，且2|DE|=|AB|，求x0的值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），求得、、、的坐标，运用向量垂直的条件：数量积为0，向量共线的坐标表示，运用代入法，即可得到所求轨迹方程；（Ⅱ）由题意知直线l：y=k（x+1），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，以及弦长公式，化简整理，解方程即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），则，，，，由⊥，得6a﹣b2=0．由﹣2=0，得，则由6a﹣b2=0得y2=x，故点M的轨迹C的方程为y2=x（x＞0）；（Ⅱ）由题意知直线l：y=k（x+1），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立得k2x2+（2k2﹣1）x+k2=0（k≠0），由△=（2k2﹣1）2﹣4k4=1﹣4k2＞0，解得﹣＜k＜，∴，∴，∴，，令y=0，解得，∴，∴，∴，∵，故有，则，化简得，此时．18．（1）焦点在y轴上的椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．（2）已知双曲线的一条渐近线方程是x+2y=0，并经过点（2，2），求此双曲线的标准方程．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的标准方程．【分析】（1）直接根据条件得到b=2，a=4，即可求出结论；（2）直接根据渐近线方程设出双曲线方程，再结合经过点（2，）即可求出结论．【解答】解：（1）由题可知b=2，a=4，椭圆的标准方程为：（2）设双曲线方程为：x2﹣4y2=λ，∵双曲线经过点（2，2），∴λ=22﹣4×22=﹣12，故双曲线方程为：．19．滨湖区拟建一主题游戏园，该游戏园为四边形区域ABCD，其中三角形区城ABC为主题活动区，其中∠ACB=60°，∠ABC=45°，AB=12m；AD、CD为游客通道（不考虑宽度），且∠ADC=120°，通道AD、CD围成三角形区域ADC为游客休闲中心，供游客休憩．（1）求AC的长度；（2）记游客通道AD与CD的长度和为L，求L的最大值．【考点】解三角形的实际应用．【分析】（1）利用正弦定理，求AC的长度．（2）求出AD，CD，可得出L关于θ的关系式，化简后求L的最大值．【解答】解：（1）由已知由正弦定理，得，又∠ACB=60°，∠ABC=45°，AB=12cm，所以AC==24m．（2）因为∠ADC=120°∠CAD=θ，∠ACD=60°﹣θ，在△ADC中，由正弦定理得到，所以L=CD+AD=16 [sin（60°﹣θ）+sinθ]=16 [sin60°cosθ﹣cos60°sinθ+sinθ]=16sin（60°+θ），因0°＜θ＜60°，当θ=30°时，L取到最大值16m．20．已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程6x﹣y+7=0．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=x2﹣9x+a+2与y=f（x）的图象有三个交点，求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）由图象过点P（0，2）求出d的值，再代入求出导数，再由切线方程求出f（﹣1）、f′（﹣1），分别代入求出b和c的值；（2）将条件转化为=a有三个根，再转化为的图象与y=a图象有三个交点，再求出h（x）的导数、临界点、单调区间和极值，再求出a的范围即可．【解答】解：（1）由f（x）的图象经过点P（0，2），得d=2．∴f′（x）=3x2+2bx+c，由在M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是6x﹣y+7=0，∴﹣6﹣f（﹣1）+7=0，得f（﹣1）=1，且f′（﹣1）=6．∴，即，解得b=c=﹣3．故所求的解析式是f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2．（2）∵函数g（x）与f（x）的图象有三个交点，∴方程x3﹣3x2﹣3x+2=x2﹣9x+a+2有三个根，即=a有三个根，令，则h（x）的图象与y=a图象有三个交点．接下来求h（x）的极大值与极小值，∴h′（x）=3x2﹣9x+6，令h′（x）=0，解得x=1或2，当x＜1或x＞2时，h′（x）＞0；当1＜x＜2时，h′（x）＜0，∴h（x）的增区间是（﹣∞，1），（2，+∞）；减区间是（1，2），∴h（x）的极大值为h（1）=，h（x）的极小值为h（2）=2因此2＜a＜．2017年1月20日。
河北省定州中学2016-2017学年高二上学期周练(一)数学试题 含解析
百强校河北定州中学:新高二数学周练试题（一）一、选择题：共12题 每题5分 共60分1．直线20ax y a -+=与圆221x y +=的位置关系是（ ）A ．相离B ．相交C ．相切D ．不确定2．已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm ），可得这个几何体的体积( ）A ．313cmB ．323cmC ．343cmD ．383cm3．如图,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．32π 4．直线0)1(22=-+-m y m mx 倾斜角的取值范围（ ）A ．[)π,0B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,4340，C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡40π，D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,240， 5．若直线m l ,与平面α、β、γ满足,l l βγ=∥α，,m m αγ⊂⊥，则有（ ）A ．m ∥β且l m ⊥B ．α⊥γ且l m ⊥C ．α⊥β且m ∥γD ．α∥β且α⊥γ6．若n m ,满足012=-+n m , 则直线03=++n y mx 过定点 ( )A ．)61,21(B ．)61,21(-C ．)21,61(-D ．)21,61(- 7．已知1l 和2l 是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A ，异于点A 的两动点B 、C 分别在1l 、2l 上，且BC=3，则过A 、B 、C 三点圆的面积为（ ）A ．6πB ．9πC ．92π D ． 94π 8．已知1l 和2l 是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A ，异于点A 的两动点B 、C 分别在1l 、2l 上，且BC=3，则过A 、B 、C 三点的圆面积为（ ）A ．6πB ．9πC ．92πD ．94π 9．已知两点A(0,－3)，B(4，0)，若点P 是圆x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 面积的最小值为( ）A ．6B 。
河北省保定市定州中学2016-2017学年高二上学期开学数学试卷(承智班)Word版含解析
2016-2017学年河北省保定市定州中学高二（上）开学数学试卷（承智班）一、选择题：共12题，每题5分，共60分1．若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为（）A．3 B．2C．2D．32．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．16 B．26 C．32 D．20+3．已知三个平面α，β，γ，若β⊥γ，且α与γ相交但不垂直，a，b分别为α，β内的直线，则（）A．∃a⊂α，a⊥γB．∃a⊂α，a∥γC．∀b⊂β，b⊥γ D．∀b⊂β，b∥γ4．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均为半径是1的圆，则这个几何体的体积是（）A．B． C．πD．5．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A． B．C． D．6．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：（）①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．A．①②B．②③C．③④D．①④7．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A．B．C．D．8．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．4cm3 B．6cm3 C．D．9．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．20+2πB．20+3πC．24+2πD．24+3π10．用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为（）A．9πB．18πC．6πD．3π11．如图，三棱锥P﹣ABC的棱长都相等，D是棱AB的中点，则直线PD与直线BC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．若长方体的一个顶点上三条棱长分别是1、2、2，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．6πB．9πC．3πD．12π二、填空题：共4题每题5分共20分13．已知点A（﹣2，﹣1），B（1，﹣5），点P是圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4上的动点，则△PAB面积的最大值与最小值之差为．14．已知在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，将直角梯形ABCD 沿AC折叠成三棱锥D﹣ABC，当三棱锥D﹣ABC的体积取最大值时，其外接球的体积为．15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积是．16．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，且三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为3，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为．三、解答题：共8题共70分17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB ∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．18．如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB=1，BC=，AC=2．（1）求证：BC⊥平面PAB；（2）若AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F，求四棱锥A﹣BCFE的体积．[选修4-1：几何证明选讲]20．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AH⊥CD于H，BD交AH于P，且PC⊥BC （Ⅰ）求证：A，B，C，P四点共圆；（Ⅱ）若∠CAD=，AB=1，求四边形ABCP的面积．21．已知Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，AE=2EB，AF=2FC，将△AEF沿EF 折起，使A变到A′，使平面A′EF⊥平面EFCB．（1）试在段A′C上确定一点H，使FH∥平面A′BE；（2）试求三棱锥A′﹣EBC的外接球的半径与三棱锥A′﹣EBC的表面积．22．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．23．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k（k＞0）．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值．24．已知直线l1：ax+2y+6=0，直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0．（1）若l1⊥l2，求a的值；（2）若l1∥l2，求a的值．2016-2017学年河北省保定市定州中学高二（上）开学数学试卷（承智班）参考答案与试题解析一、选择题：共12题，每题5分，共60分1．若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为（）A．3 B．2C．2D．3【考点】棱锥的结构特征．【分析】由四棱锥的体积为9可得到底面边长a与高h的关系，作出图形，则球心O在棱锥的高或高的延长线上，分两种情况根据勾股定理列出方程，解出球的半径R的表达式，将问题转化为求R何时取得最小值的问题．【解答】解：设底面边长AB=a，棱锥的高SM=h，=•a2•h=9，∵V棱锥S﹣ABCD∴a2=，∵正四棱锥内接于球O，∴O在直线SM上，设球O半径为R，（1）若O在线段SM上，如图一，则OM=SM﹣SO=h﹣R，（2）若O在在线段SM的延长线上，如图二，则OM=SO﹣SM=R﹣h，∵SM⊥平面ABCD，∴△OMB是直角三角形，∴OM2+MB2=OB2，∵OB=R，MB=BD=a，∴（h﹣R）2+=R2，或（R﹣h）2+=R2∴2hR=h2+，即R=+=+=≥3=．当且仅当=取等号，即h=3时R取得最小值．故选：A．2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．16 B．26 C．32 D．20+【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是三棱锥，根据三视图可得三棱锥的一侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，把数据代入棱锥的表面积公式计算即可．【解答】解：根据三视图知：该几何体是三棱锥，且三棱锥的一个侧棱与底面垂直，高为4，如图所示：其中SC⊥平面ABC，SC=3，AB=4，BC=3，AC=5，SC=4，∴AB⊥BC，由三垂线定理得：AB⊥BC，S=×3×4=6，△ABC=×3×4=6，S△SBCS=×4×5=10，△SACS=×AB×SB=×4×5=10，△SAB∴该几何体的表面积S=6+6+10+10=32．故选：C．3．已知三个平面α，β，γ，若β⊥γ，且α与γ相交但不垂直，a，b分别为α，β内的直线，则（）A．∃a⊂α，a⊥γB．∃a⊂α，a∥γC．∀b⊂β，b⊥γ D．∀b⊂β，b∥γ【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】选项A若存在a⊂α，a⊥γ，则必然α⊥γ，选项B只要在平面α内存在与平面α与γ的交线平行的直线，则此直线平行于平面γ，进行判定即可，选项C中β⊥γ，但并不是平面β内的任意直线都与平面γ垂直，选项D只有在平面β内与平面β与γ的交线平行的直线才和平面γ平行．【解答】解答：解：若存在a⊂α，a⊥γ，则必然α⊥γ，选项A不正确；只要在平面α内存在与平面α与γ的交线平行的直线，则此直线平行于平面γ，故选项B正确；选项C中β⊥γ，但并不是平面β内的任意直线都与平面γ垂直，故选项C不正确；由于β⊥γ，只有在平面β内与平面β与γ的交线平行的直线才和平面γ平行，选项D不正确；故选B．4．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均为半径是1的圆，则这个几何体的体积是（）A．B． C．πD．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体为一个球体的，缺口部分为挖去的，利用体积公式即可得出结论．【解答】解：由三视图可知该几何体为一个球体的，缺口部分为挖去的．∵球的半径R=1，∴V==π故选：C ．5．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．故选：D ．6．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：（ ）①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④【考点】类比推理．【分析】①④根据课本中的定理即可判断正确，②③根据正方体中的直线，平面即可盘不正确【解答】解：①垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故正确．②垂直于同一条直线的两条直线互相平行，不一定平行，也可能相交直线，异面直线，故不正确．③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；不一定平行，也可能相交平面，如墙角，故不正确．④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．故正确．故选：D．7．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1=，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，=，∴S△ABC∴V=××=，故选：A．8．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．4cm3 B．6cm3 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是三棱锥与三棱柱的组合体，由此求出它的体积即可【解答】解：根据几何体的三视图，得该几何体是上部为三棱锥，下部为三棱柱的组合体，三棱柱的每条棱长为2cm，三棱锥的高为2cm，∴该组合体的体积为V=×2×2×2+××2×2×2=cm2，选：C．9．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．20+2πB．20+3πC．24+2πD．24+3π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为半圆柱与正方体的组合体，由7个平面和1个曲面组成．【解答】解：由三视图可知该几何体为半圆柱与正方体的组合体，半圆柱的底面半径为1，高为2，正方体的边长为2，∴几何体的表面积S=2×2×5+π×12+π×1×2=20+3π．故选B．10．用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为（）A．9πB．18πC．6πD．3π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设圆锥的母线和底面半径长分别为l，r，由已知条件列方程求出r=3，由此能求出此圆锥的体积．【解答】解：设圆锥的母线和底面半径长分别为l，r，∴l=6，2πr=6π，解得r=3，∴此圆锥的体积V==9．故选：A．11．如图，三棱锥P﹣ABC的棱长都相等，D是棱AB的中点，则直线PD与直线BC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取AC的中点E，DE∥BC，即构造出直线PD与直线BC所成角为∠PDE．【解答】解：取AC的中点E，连接DE，PE，∴DE∥BC，则直线PD与直线BC所成角为∠PDE．∵三棱锥P﹣ABC的棱长都相等，设：AP=PB=PC=a，D是棱AB的中点，∴PD⊥AB，PE⊥AC，PD=PE，可得：△APE≌△ADP，且是直角三角形，∴PD=PE=．利用余弦定理：∴cos∠PDE==故选：C．12．若长方体的一个顶点上三条棱长分别是1、2、2，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．6πB．9πC．3πD．12π【考点】球的体积和表面积．【分析】长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，求出直径即可求出表面积．【解答】解：由题意得，此问题是球内接长方体，所以可得长方体的对角线长等于球的直径，即，所以，所以求得表面积为．故选：B．二、填空题：共4题每题5分共20分13．已知点A（﹣2，﹣1），B（1，﹣5），点P是圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4上的动点，则△PAB面积的最大值与最小值之差为10．【考点】圆方程的综合应用．【分析】先求得|AB|=5，所以当点P到直线AB距离最大值与最小值时，△PAB面积取最大值与最小值计算，求得结果．【解答】解：由于底边AB为定值5，所以当点P到直线AB距离最大值与最小值时，△PAB面积取最大值与最小值，因此△PAB面积的最大值与最小值之差为=2×5=10．故答案为：10．14．已知在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，将直角梯形ABCD 沿AC折叠成三棱锥D﹣ABC，当三棱锥D﹣ABC的体积取最大值时，其外接球的体积为．【考点】球的体积和表面积．【分析】画出图形，确定三棱锥外接球的半径，然后求解外接球的体积即可．【解答】解：已知直角梯形ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，沿AC折叠成三棱锥，如图：AB=2，AD=1，CD=1，∴AC=，BC=，∴BC⊥AC，取AC的中点E，AB的中点O，连结DE，OE，∵当三棱锥体积最大时，∴平面DCA⊥平面ACB，∴OB=OA=OC=OD，∴OB=1，就是外接球的半径为1，此时三棱锥外接球的体积： =．故答案为：．15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积是 32π ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】首先由三视图还原几何体为三棱柱，根据图中数据求外接球的表面积．【解答】解：由已知三视图得到几何体是三棱柱，底面是斜边为4，高为2的等腰直角三角形，其外接圆半径为2，棱柱的高为4，所以其外接球半径为，所以外接球表面积为4π=32π．故答案为：32π．16．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，且三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为3，则三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的外接球的表面积为 16π ． 【考点】球的体积和表面积．【分析】根据棱柱的体积公式求得棱柱的侧棱长，再利用三棱柱的底面是直角三角形可得外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O ，从而求得外接球的半径R ，代入球的表面积公式计算．【解答】解：∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中侧棱垂直于底面，设侧棱长为H ， 又三棱柱的底面为直角三角形，BC=1，∠BAC=30°， ∴AC=，AB=2，∴三棱柱的体积V=××H=3，∴H=2，△ABC的外接圆半径为AB=1，三棱柱的外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O，如图：∴外接球的半径R==2，∴外接球的表面积S=4π×22=16π．故答案为：16π．三、解答题：共8题共70分17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB ∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明平面EAC⊥平面PBC，只需证明AC⊥平面PBC，即证AC⊥PC，AC⊥BC；（Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量=（1，﹣1，0），面EAC的法向量=（a，﹣a，﹣2），利用二面角P﹣A C﹣E的余弦值为，可求a的值，从而可求=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2），即可求得直线PA与平面EAC 所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），…=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．…于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…18．如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）取CE中点P，连接FP、BP，根据中位线定理可知FP∥DE，且FP=，而AB∥DE，且AB=则ABPF为平行四边形，则AF∥BP，AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，满足线面平行的判定定理，从而证得结论；（2）根据AB⊥平面ACD，DE∥AB，则DE⊥平面ACD，又AF⊂平面ACD，根据线面垂直的性质可知DE⊥AF．又AF⊥CD，CD∩DE=D，满足线面垂直的判定定理，证得AF ⊥平面CDE，又BP∥AF，则BP⊥平面CDE，BP⊂平面BCE，根据面面垂直的判定定理可证得结论；（3）由（2），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系F﹣xyz．设AC=2，根据线面垂直求出平面BCE的法向量n，而m=（0，0，1）为平面ACD的法向量，设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为α，根据可求出所求．【解答】（1）证：取CE中点P，连接FP、BP，∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP=．又AB∥DE，且AB=．∴AB∥FP，且AB=FP，∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．…又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE．…（2）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD．∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，∴DE⊥平面ACD，又AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF．又AF⊥CD，CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE．…又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE．又∵BP⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．…（3）由（2），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图），建立空间直角坐标系F﹣xyz．设AC=2，则C（0，﹣1，0），．…设n=（x，y，z）为平面BCE的法向量，则令z=1，则n=（0，﹣1，1）．…显然，m=（0，0，1）为平面ACD的法向量．设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为α，则．α=45°，即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°．…19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB=1，BC=，AC=2．（1）求证：BC⊥平面PAB；（2）若AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F，求四棱锥A﹣BCFE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）证明PA⊥BC，AB⊥BC，即可利用直线与平面垂直的判定定理证明BC⊥平面PAB．（2）说明AE⊥平面PAB，利用△PFE相似于△PBC，求出S BCFE的面积，然后求解四棱锥A﹣BCFE的体积．【解答】解：（1）证明：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，△ABC中，，∴AB2+BC2=AC2，AB⊥BC，∵PA、AB是平面PAB上的两条相交直线，∴BC⊥平面PAB．（2）解：由BC⊥平面PAB，BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB，交线为PB，∵AE⊥PB于点E，∴AE⊥平面PAB，从而AE⊥EF，AE⊥PC．又AF⊥PC于点F，∴PC⊥平面AEF，∵EF⊂平面AEF，∴PC⊥EF，直角△PBC中，．又△PFE相似于△PBC，∴，从而，所以，四棱锥A ﹣BCFE 的体积．[选修4-1：几何证明选讲]20．如图，四边形ABCD 中，AB=AC=AD ，AH ⊥CD 于H ，BD 交AH 于P ，且PC ⊥BC （Ⅰ）求证：A ，B ，C ，P 四点共圆；（Ⅱ）若∠CAD=，AB=1，求四边形ABCP 的面积．【考点】圆內接多边形的性质与判定． 【分析】（Ⅰ）由已知AC=AD ，AH ⊥CD 可得△ACP ≌△ADP ，得∠ACP=∠ADP ．再由AB=AD ，得∠ADP=∠ABP ，进一步得到∠ABP=∠ACP ，可知A ，B ，C ，P 四点共圆；（Ⅱ）由AC=AD ，，得△ACD 是边长为1的等边三角形，结合AH ⊥CD ，得．再结合A ，B ，C ，P 四点共圆，，得，即△ABC 也是边长为1的等边三角形，进一步得到P 为△ACD 的中心．可得S ABCP =S △ABC +S △ACP =．【解答】证明：（Ⅰ）∵AC=AD ，AH ⊥CD ，∴∠CAD=∠DAP ， 从而△ACP ≌△ADP ，得∠ACP=∠ADP ． 又AB=AD ，故∠ADP=∠ABP ，从而∠ABP=∠ACP ，可知A ，B ，C ，P 四点共圆；（Ⅱ）由AC=AD ，，从而△ACD 是边长为1的等边三角形，又AH ⊥CD ，故．由（Ⅰ）知A ，B ，C ，P 四点共圆，又，故，从而，故△ABC 也是边长为1的等边三角形，由PC ⊥BC ，，得，知CP ，AH 为等边三角形的角平分线，从而P 为△ACD 的中心．故此时S ABCP =S △ABC +S △ACP =．21．已知Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，AE=2EB，AF=2FC，将△AEF沿EF 折起，使A变到A′，使平面A′EF⊥平面EFCB．（1）试在段A′C上确定一点H，使FH∥平面A′BE；（2）试求三棱锥A′﹣EBC的外接球的半径与三棱锥A′﹣EBC的表面积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）由AE=2EB，AF=2FC，可得EF∥BC，且EF=，在底面BEFC中，过F作FG∥EB，交BC于G，在平面A′BC中，过G作GH∥A′B交A′C于H，连接FH，由面面平行的判定可得平面HGF∥面A′BE，从而得到FH∥平面A′BE，且；（2）由题意可得三棱锥A′﹣EBC的三个侧面和底面均为直角三角形，求解个直角三角形面积，作和后可得三棱锥A′﹣EBC的表面积；在直角三角形EBC中，取EC中点K，则KE=KB=KC，过K作KO∥A′E交A′C于O，则O为A′C的中点，此时OA′=OE=OB=OC，即OA′为三棱锥A′﹣EBC的外接球的半径，求解直角三角形得三棱锥A′﹣EBC的外接球的半径．【解答】解：（1）如图，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，∴AC=5，∵AE=2EB，AF=2FC，∴EF∥BC，且EF=，在底面BEFC中，过F作FG∥EB，交BC于G，在平面A′BC中，过G作GH∥A′B交A′C于H，连接FH，∵FG∥EB，BE⊂面A′BE，FG⊄面A′BE，∴FG∥面A′BE．∵GH∥A′B，A′B⊂面A′BE，HG⊄面A′BE，∴HG∥面A′BE，又HG∩FG=G，∴平面HGF∥面A′BE，则FH∥平面A′BE，由EF=BG=，可得；（2）A′E=2，BE=1，BC=4，∵∠EBC=90°，∴，，由A′EF⊥平面EFCB，且A′E⊥EF，可得A′E⊥平面EFCB，∴△A′EB，△A′EC为Rt△，由面A′EB⊥平面EFCB，BC⊥BE，可得A′B⊥BC，则△A′BC，△EBC为Rt△，∴三棱锥A′﹣EBC的表面积为=；在直角三角形EBC中，取EC中点K，则KE=KB=KC，过K作KO∥A′E交A′C于O，则O为A′C的中点，此时OA′=OE=OB=OC，即OA′为三棱锥A′﹣EBC的外接球的半径，等于．22．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）通过AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求出AB，作AH⊥PB角PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，∵ABCD是矩形，∴O为BD的中点∵E为PD的中点，∴EO∥PB．EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC∴PB∥平面AEC；（Ⅱ）∵AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，∴V==，∴AB=，PB==．作AH⊥PB交PB于H，由题意可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，故AH⊥平面PBC．又在三角形PAB中，由射影定理可得：A到平面PBC的距离．23．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k（k＞0）．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取CD的中点E，连结BE，证明BE⊥CD，可得CD⊥AD，利用AA1⊥平面ABCD，可得AA1⊥CD，即可证明CD⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）以D为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面AB1C的法向量，利用直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，建立方程，即可求k的值．【解答】（Ⅰ）证明：取CD的中点E，连结BE．∵AB∥DE，AB=DE=3k，∴四边形ABED为平行四边形，…∴BE∥AD且BE=AD=4k．在△BCE中，∵BE=4k，CE=3k，BC=5k，∴BE2+CE2=BC2，∴∠BEC=90°，即BE⊥CD，又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．…∵AA1⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴AA1⊥CD．又AA1∩AD=A，∴CD⊥平面ADD1A1．…（Ⅱ）解：以D为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A（4k，0，0），C（0，6k，0），B1（4k，3k，1），A1（4k，0，1），所以=（﹣4k，6k，0），=（0，3k，1），=（0，0，1）．设平面AB1C的法向量=（x，y，z），则取y=2，得=（3，2，﹣6k）（k＞0）．…设AA1与平面AB1C所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=，解得k=1，故所求k的值为1．…24．已知直线l1：ax+2y+6=0，直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0．（1）若l1⊥l2，求a的值；（2）若l1∥l2，求a的值．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（1）当两条直线垂直时，斜率之积等于﹣1，解方程求出a的值．（2）利用两直线平行时，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求出a的值．【解答】解：（1）l1⊥l2 时，a×1+2×（a﹣1）=0，解得a=．∴a=．（2）∵a=1时，l1不平行l2，∴l1∥l2⇔，解得a=﹣1．2017年1月1日。
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2016-2017学年河北省保定市定州中学高二（上）期末数学试卷一、选择题1．（3分）如果函数f（x）的定义域为[﹣1，3]，那么函数f（2x+3）的定义域为（）A．[﹣2，0]B．[1，9]C．[﹣1，3]D．[﹣2，9] 2．（3分）一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（）A．39πB．48πC．57πD．63π3．（3分）下列说法错误的是（）A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a不一定平行于直线bB．若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面βC．若平面α⊥平面β，则α内一定不存在直线平行于平面βD．若平面α⊥平面v，平面β⊥平面v，α∩β=l，则l一定垂直于平面v4．（3分）若命题P：所有的对数函数都是单调函数，则￢P为（）A．所有对数函数都不是单调函数B．所有的单调函数都不是对数函数C．存在一个对数函数不是单调函数D．存在一个单调函数都不是对数函数5．（3分）已知a＞0，b＞0，且ab=1，则函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x 的图象可能是（）A．B．C．D．6．（3分）函数y=的定义域为（）A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，1）C．（1，1）D．（﹣1，1）7．（3分）若f（x）=，f（f（1））=1，则a的值是（）A．﹣1B．﹣2C．2D．18．（3分）直线x﹣y+1=0的倾斜角的大小为（）A．30°B．60°C．120°D．150°9．（3分）若函数f（x）=log2（x2﹣ax﹣3a）在区间（﹣∞，﹣2]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣4，4]C．（﹣∞，4）∪[2，+∞）D．[﹣4，4）10．（3分）若函数f（x）=，则f（f（e））（其中e为自然对数的底数）=（）A．0B．1C．2D．eln211．（3分）设奇函数f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1．当x ∈[﹣1，1]时，函数f（x）≤t2﹣2at+1，对一切a∈[﹣1，1]恒成立，则实数t 的取值范围为（）A．﹣2≤t≤2B．t≤﹣2或t≥2C．t≤0或t≥2D．t≤﹣2或t≥2或t=012．（3分）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A．（0，]B．[，]C．[，]∪{}D．[，）∪{}二、填空题13．（3分）点P（1，3）关于直线x+2y﹣2=0的对称点为Q，则点Q的坐标为．14．（3分）如图所示，程序框图的输出结果是．15．（3分）已知集合P{a，b}，Q={﹣1，0，1}，则从集合P到集合Q的映射共有种．16．（3分）设函数f（x）=，a∈R，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则实数a的取值范围为．三、解答题17．已知y=f（x）（x∈R）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x．（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式f（x）≥mx在1≤x≤2时都成立，求m的取值范围．18．某同学参加学校自主招生3门课程的考试，假设该同学第一门课程取得优秀成绩概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立，记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q的值；（Ⅱ）求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望Eξ．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=AA1=4，AB=3，AB⊥AC．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求二面角A﹣BC1﹣A1的平面角的余弦值．2016-2017学年河北省保定市定州中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）如果函数f（x）的定义域为[﹣1，3]，那么函数f（2x+3）的定义域为（）A．[﹣2，0]B．[1，9]C．[﹣1，3]D．[﹣2，9]【解答】解：∵﹣1≤x≤3，∴﹣1≤2x+3≤3，∴﹣2≤x≤0，故选：A．2．（3分）一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（）A．39πB．48πC．57πD．63π【解答】解：根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，且圆柱底面圆的半径为3，母线长是4，则圆锥的母线长是=5，∴剩余部分的表面积S=π×32+2π×3×4+π×3×5=48π，故选：B．3．（3分）下列说法错误的是（）A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a不一定平行于直线bB．若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面βC．若平面α⊥平面β，则α内一定不存在直线平行于平面βD．若平面α⊥平面v，平面β⊥平面v，α∩β=l，则l一定垂直于平面v【解答】解：A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a，b平行或相交或是异面直线，则直线a不一定平行于直线b正确，故A正确，B．若α内存在直线垂直于平面β，则根据面面垂直的判定定理得α⊥β，与平面α不垂直于平面β矛盾，故若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面β正确，故B错误，C．若平面α⊥平面β，则α内当直线与平面的交线平行时，直线即与平面β平行，故C错误，D．若平面α⊥平面v，平面β⊥平面v，α∩β=l，则根据面面垂直的性质得l一定垂直于平面v，故D正确，故选：C．4．（3分）若命题P：所有的对数函数都是单调函数，则￢P为（）A．所有对数函数都不是单调函数B．所有的单调函数都不是对数函数C．存在一个对数函数不是单调函数D．存在一个单调函数都不是对数函数【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题P：所有的对数函数都是单调函数，则￢P为：存在一个对数函数不是单调函数．故选：C．5．（3分）已知a＞0，b＞0，且ab=1，则函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x 的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：∵ab=1g（x）=﹣log b x=log a x则函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）与g（x）=﹣log b x（b＞0且b≠1）互为反函数故函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）与g（x）=﹣log b x（b＞0且b≠1）的图象关于直线y=x对称故选：B．6．（3分）函数y=的定义域为（）A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，1）C．（1，1）D．（﹣1，1）【解答】解：要使函数有意义，则，即，即，解得﹣1＜x＜1，故选：D．7．（3分）若f（x）=，f（f（1））=1，则a的值是（）A．﹣1B．﹣2C．2D．1【解答】解：∵f（x）=，f（f（1））=1，∴f（1）=lg1=0，f（f（1））=f（0）=0+==a3=1，解得a=1．故选：D．8．（3分）直线x﹣y+1=0的倾斜角的大小为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：设直线x﹣y+1=0的倾斜角为θ，则tanθ=，θ∈[0°，180°）．∴θ=60°，故选：B．9．（3分）若函数f（x）=log2（x2﹣ax﹣3a）在区间（﹣∞，﹣2]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣4，4]C．（﹣∞，4）∪[2，+∞）D．[﹣4，4）【解答】解：令t=x2﹣ax﹣3a=﹣﹣3a，则由题意可得函数f（x）=log2t，函数t在区间（﹣∞，﹣2]上是减函数且t＞0恒成立．∴，求得﹣4≤a＜4，故选：D．10．（3分）若函数f（x）=，则f（f（e））（其中e为自然对数的底数）=（）A．0B．1C．2D．eln2【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（e）=lne=1，∴f（f（e））=f（1）=21=2．故选：C．11．（3分）设奇函数f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1．当x ∈[﹣1，1]时，函数f（x）≤t2﹣2at+1，对一切a∈[﹣1，1]恒成立，则实数t 的取值范围为（）A．﹣2≤t≤2B．t≤﹣2或t≥2C．t≤0或t≥2D．t≤﹣2或t≥2或t=0【解答】解：奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，在[﹣1，1]最大值是1，∴1≤t2﹣2at+1，当t=0时显然成立当t≠0时，则t2﹣2at≥0成立，又a∈[﹣1，1]令g（a）=2at﹣t2，a∈[﹣1，1]当t＞0时，g（a）是减函数，故令g（1）≥0，解得t≥2当t＜0时，g（a）是增函数，故令g（﹣1）≥0，解得t≤﹣2综上知，t≥2或t≤﹣2或t=0故选：D．12．（3分）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A．（0，]B．[，]C．[，]∪{}D．[，）∪{}【解答】解：y=loga（x+1）+1在[0，+∞）递减，则0＜a＜1，函数f（x）在R上单调递减，则：；解得，；由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|=2﹣x有且仅有一个解，故在（﹣∞，0）上，|f（x）|=2﹣x同样有且仅有一个解，当3a＞2即a＞时，联立|x2+（4a﹣3）x+3a|=2﹣x，则△=（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）=0，解得a=或1（舍去），当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件，综上：a的取值范围为[，]∪{}，故选：C．二、填空题13．（3分）点P（1，3）关于直线x+2y﹣2=0的对称点为Q，则点Q的坐标为（﹣1，﹣1）．【解答】解：设点P（1，3）关于直线x+2y﹣2=0的对称点坐标为（a，b），则由，解得a=﹣1，b=﹣1，故答案为（﹣1，﹣1）．14．（3分）如图所示，程序框图的输出结果是3．【解答】解：x=1，y=1，x≤4，得：x=2，y=2，x+y=4≤4，得：x=4，y=3，x+y=7＞4，输出y=3，故答案为：3．15．（3分）已知集合P{a，b}，Q={﹣1，0，1}，则从集合P到集合Q的映射共有9种．【解答】解：集合P中的元素a在集合BQ中有3种不同的对应方式（﹣1，0，1三选一），集合P中的元素b在集合Q中也有3种不同的对应方式（﹣1，0，1三选一），根据“分步计数原理（乘法原理）”，集合P到集合Q的映射共有N=3×3=9，故答案为9．16．（3分）设函数f（x）=，a∈R，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）．【解答】解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，由于y=﹣x2在（﹣∞，a）递增，y=x3在[a，+∞）递增，要使y=f（x）与y=b的图象有两个交点，可得，可得a＜﹣1．实数a的取值范围为：（﹣∞，﹣1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）．三、解答题17．已知y=f（x）（x∈R）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x．（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式f（x）≥mx在1≤x≤2时都成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）当x＜0时，有﹣x＞0，∵f（x）为偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x，∴f（x）=．（2）由题意得x2﹣2x≥mx在1≤x≤2时都成立，即x﹣2≥m在1≤x≤2时都成立，即m≤x﹣2在1≤x≤2时都成立．而在1≤x≤2时，（x﹣2）min=﹣1，∴m≤﹣1．18．某同学参加学校自主招生3门课程的考试，假设该同学第一门课程取得优秀成绩概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立，记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q的值；（Ⅱ）求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望Eξ．【解答】解：（Ⅰ）由已知得该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率：P=1﹣P（ξ=0）=1﹣=．∵P（ξ=0）=，P（ξ=3）=，p＜q，∴，解得p=，q=．（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）=，P（ξ=3）=，P（ξ=1）=++=，P（ξ=2）=+=，∴Eξ==．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=AA1=4，AB=3，AB⊥AC．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求二面角A﹣BC1﹣A1的平面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）证法一：由已知AA1⊥AB，又AB⊥AC，∴AB⊥平面ACC1A1，…（2分）∴A1C⊥AB，又AC=AA1=4，∴A1C⊥AC1，…（4分）∵AC1∩AB=A，∴A1C⊥平面ABC1；…（5分）证法二：由已知条件可得AA1、AB、AC两两互相垂直，因此以A为原点，以AC、AB、AA1所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，…（1分）则A（0，0，0），B（0，3，0），C（4，0，0），A1（0，0，4），C1（4，0，4），∴，，，…（3分）∵，且，…（4分）∴，且，∴A1C⊥平面ABC1；…（6分）解：（Ⅱ）∵，，设平面A 1BC1，则，取y=4，得；…（8分）由（Ⅰ）知，为平面ABC1的法向量，…（9分）设二面角A﹣BC1﹣A1的大小为θ，由题意可知θ为锐角，∴．…（11分）即二面角A﹣BC1﹣A1的余弦值为．…（12分）。