2-3-2第二讲 数列的通项与求和

1 10－3n－ 1 1 － 7 10
＋
1 1 － 4 7
＋„＋
1 13－3n
1 1 1 n － ＝ 10－3n 10＝ . 3 1010－3n
3．(2014· 山东)已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为 Sn，且S1，S2，S4成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝(－1)
1 . 2n＋1－1
错位相减法求和
[试题调研] [例3] (2014· 大连模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn，等比
(3)裂项相消法：把数列的各项分别裂开后，前后抵消从而 1 计算和的方法，适用于求通项为 的数列的前n项和，其中 anan＋1 1 1 1 1 {an}为等差数列，则 ＝da －a . ＋ anan＋1 n 1 n 常见的拆项公式： 1 1 1 ① ＝ － ； nn＋1 n n＋1
＝(－1) ＝(－1)
n－1
4n 2n－12n＋1

n－1
1 1 ＋ 2n－1 2n＋1.
当n为偶数时，
1 1 1 Tn＝1＋3－ ＋ ＋„＋ 3 5 1 1 1 1 ＋ 2n－3 2n－1－2n－1＋2n＋1
＝1－
1 2n＋1
专题三
数
列
第二讲
数列的通项与求和
1.数列的通项公式及递推公式的应用也是命题的热点，根据 an与Sn的关系求通项公式以及利用构造或转化的方法求通项公式 也是常考的热点. 2.数列的求和问题多以考查等差、等比数列的前n项和公 式、错位相减法和裂项相消法为主，且考查频率较高，是高考 命题的热点.
基础记忆
试做真题
基础要记牢,真题须做熟
基础知识不“背死”，就不能“用活”！ 1．求数列通项公式的常见类型及方法 (1)归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式， 可采用归纳猜想法．
S1，n＝1， (2)已知Sn与an的关系，利用an＝ Sn－Sn－1，n≥2
求an.
(3)累加法：数列递推关系形如an＋1＝an＋f(n)，其中数列 {f(n)}前n项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加 法(叠加法)． (4)累乘法：数列递推关系形如an＋1＝g(n)an，其中数列{g(n)} 前n项积可求，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法)． (5)构造法：①递推关系形如an＋1＝pan＋q(p，q为常数)，可
2．裂项相消法求和应注意的问题 c (1)通项公式形如an＝ (其中a，b1，b2，c为 an＋b1an＋b2 常数)用裂项相消法． (2)裂项时要保证裂项前后相等，为此可通过通分检验裂项 的正确性．
[回访名题] a2 a3 an (2014· 广州调研)设数列{an}满足a1＋ 2 ＋ 22 ＋„＋ n－1 ＝ 2 2n，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； an (2)设bn＝ ，求数列{bn}的前n项和Sn. an－1an＋1－1
2n ＝ . 2n＋1
当n为奇数时，
1 1 1 1 1 Tn＝1＋3－ ＋ ＋„－2n－3＋2n－1 ＋ 3 5 1 1 ＋ 2n－1 2n＋1
2n＋2 1 ＝1＋ ＝ . 2n＋1 2n＋1 2n＋2，n为奇数， 2n＋1 所以Tn＝ 2n ，n为偶数. 2n＋1
则Sk＝3＋5＋7＋„＋(2k＋1) k[3＋2k＋1] ＝ ＝k(k＋2)． 2 又Sk＝2kak＋1－3k2－4k， ∴k(k＋2)＝2kak＋1－3k2－4k， 解得2ak＋1＝4k＋6， ∴ak＋1＝2(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时，结论成立． 由①②知，∀n∈N*，an＝2n＋1.
[答案]
2 2n＋1－2
[解析]
因为数列{an}是等比数列，
且a3＋a5＝a2· q＋a4· q＝40， a3＋a5 40 即有q＝ ＝ ＝2，代入a2＋a4＝20， a2＋a4 20 21－2n ＋ 得a1＝2，故Sn＝ ＝2n 1－2. 1－2
2．(2014· 全国大纲卷)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1 ＝10，a2为整数，且Sn≤S4. (1)求{an}的通项公式； 1 (2)设bn＝ ，求数列{bn}的前n项和Tn. anan＋1
11 1 11 1 1 1 1 ＝ 1－3 ＋ 3－5 ＋„＋ － 2 22n－1 2n＋1 2 1 1 n ＝ 1－2n＋1＝ . 2 2n＋1 n 故Tn＝ . 2n＋1
1．裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成an＝bn＋k－ bn(k∈N*)的形式，从而达到在求和时某些项相消的目的，在解 题时要善于根据这个基本思想变换数列{an}的通项公式，使之 符合裂项相消的条件．
n－1 2 n ＋ 1 ＋ － 1 或 T ＝ n 2n＋1
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必须回访的热点名题
求数列的通项公式
[试题调研] [例1] (2014· 广东)设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝
2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15. (1)求a1，a2，a3的值； (2)求数列{an}的通项公式．
2 知它的公差不等于零，S3＝a2 ，且S1，S2，S4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
1 (2)设bn＝anan＋1，求数列 b 的前n项和Tn. n
[命题意图] 本题考查等差数列通项公式的求解方法、等比 中项的应用及裂项相消法求和，考查考生的运算求解能力．
当n≥2时，可得， bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋„＋(bn－bn－1)
4 － 1－3n 1 4 － ＝3×3n 1－1，
＝2＋
4 1－3
当n＝1时，上式成立，
4 － ∴数列{bn}的通项公式为bn＝3×3n 1－1.
裂项相消法求和
[试题调研] [例2] (2014· 内蒙古检测)等差数列{an}的前n项和为Sn，已
[解析]
(1)设{an}的公差为d，由S3＝a2 2，得
2 3a2＝a2 ，故a2＝0或a2＝3.
即a1＋d＝0或a1＋d＝3. 由S1，S2，S4成等比数列得S2 2＝S1S4， 所以有(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d)． 化简得d(d－2a1)＝0. 因为d≠0，所以d＝2a1.
d＝2a1， 由 a1＋d＝0，
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a2 a3 an 解：(1)因为a1＋ 2 ＋22＋„＋ n－1＝2n，n∈N*，① 2 所以当n＝1时，a1＝2. 当n≥2时， an－1 a2 a3 a1＋ ＋ 3＋„＋ n－2＝2(n－1)，② 2 2 2 an ①－②，得 n－1＝2.所以an＝2n. 2 因为a1＝2，适合上式，所以an＝2n(n∈N*)． (2)由(1)，得an＝2n，
an 所以bn＝ an－1an＋1－1 2n 1 1 ＝ n ＝ － . 2 －12n＋1－1 2n－1 2n＋1－1 所以Sn＝b1＋b2＋„＋bn ＝
1 1－ 3
＋
1 1 － 3 7
＋
1 1 － 7 15
1 1 ＋„＋ n － ＝1－ 2 －1 2n＋1－1
此类题通常是先将所给递推关系式进行适当变形整理(如分 解因式，待定系数，同除或者累加、累乘等)，构造或转化为等 差数列或等比数列，然后求其通项．
[回访名题] (2014· 陕西质检)已知数列{an}的前n项和为 Sn，且Sn＝4an－ 3(n∈N*)． (1)证明：数列{an}是等比数列； (2)若数列{bn}满足bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，且b1＝2，求数列 {bn}的通项公式．
q q q a ＋ a ＋ 化为an＋1＋ ＝p n p－1 (p≠1)的形式，利用 n p－1 是 p－1
以p为公比的等比数列求解；
pan 1 1 ②递推关系形如an＋1＝ (p为非零常数)，可化为 － an＋p an＋1 an 1 ＝p的形式． 2．活用数列求和的四种方法 (1)公式法：适合求等差数列或等比数列的前n项和．对等比 数列利用公式法求和时，注意分q＝1或q≠1的情况． 常见数列的前n项和公式：
解：(1)由a1＝10，a2为整数，知等差数列{an}的公差d为整 数． 又Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0， 于是10＋3d≥0,10＋4d≤0. 10 5 解得－ 3 ≤d≤－2.因此d＝－3. 数列{an}的通项公式为an＝13－3n.
1 (2)bn＝ 13－3n10－3n 1 1 1 ＝ 10－3n－13－3n . 3 1 于是Tn＝b1＋b2＋„＋bn＝ 3
n－1
4n ，求数列{bn}的前n项和Tn. anan＋1
2×1 解：(1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋ ×2＝2a1＋2，S4＝4a1＋ 2 4×3 ×2＝4a1＋12， 2 由题意，得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)， 解得a1＝1， 所以an＝2n－1. (2)bn＝(－1)
n－1
4n anan＋1
[命题意图]
本题主要考查赋值法、数列前n项和Sn与通项
an之间的关系、构造新数列等，考查考生的运算求解能力． [审题策略] (1)反复利用递推公式Sn＝2nan＋1－3n2－4n，Sn
－Sn－1＝an(n≥2)进行递推． (2)由前三项a1，a2，a3归纳猜想出数列{an}的通项公式，再 用数学归纳法证明．
得a1＝d＝0，不合题意，舍去．
d＝2a1， 由 a1＋d＝3，
a1＝1， 得 d＝2，
故an＝2n－1.
(2)bn＝anan＋1＝(2n－1)(2n＋1)， 1 1 1 1 1 所以 ＝ ＝ － ， bn 2n－12n＋1 22n－1 2n＋1 1 1 1 所以Tn＝b ＋b ＋„＋b 1 2 n
1 1 1 1 ② ＝ 2n－1－2n＋1 ； 2n－12n＋1 2 ③ ＝ n＋1－ n. n＋ n＋1 1