2020九年级数学下册 第二十七章 相似本章中考演练同步练习
人教版数学九年级下册 第二十七章 相似 习题练习(附答案)
人教版数学九年级下册第二十七章相似习题练习（附答案）一、选择题1.如果一个直角三角形的两条边分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3,4及x，那么x的值()A．只有一个B．可以有2个C．可以有3个D．无数个2.如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D.①△OB1C∽△OA1D;②OA·OC＝OB·OD；③OC·G＝OD·F1；④F＝F1.其中正确的说法有()A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个3.如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD交CB延长线于E，则图中一定相似的三角形是()A．△AED与△ACBB．△AEB与△ACDC．△BAE与△ACED．△AEC与△DAC4.如图是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD.且测得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米．那么该古城墙CD的高度是()A ． 6米B ． 8米C ． 10米D ． 12米5.如图所示格点图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 的三个顶点均在格点上，以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABC 缩小，则点C 的对应点C ′的坐标为( )A ． (1，32)B ． (2,6)C ． (2,6)或(－2，－6)D ． (1，32)或(－1，−32)6.如图，AD ∥BC ，∠D ＝90°，AD ＝2，BC ＝5，DC ＝8.若在边DC 上有点P ，使△PAD 与△PBC 相似，则这样的点P 有( )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个7.志远要在报纸上刊登广告，一块10 cm×5 cm 的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费( )A ． 540元B ． 1 080元C ． 1 620元D ． 1 800元8.△ABC 的三边之比为3∶4∶5，与其相似的△DEF 的最短边是9 cm ，则其最长边的长是( ) A ． 5 cm B ． 10 cm C ． 15 cm D ． 30 cm9.如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论中正确的是( )A ．CD EF ＝AD AFB ．AB CD ＝BC ECC．ADBC ＝AFBED．CEBE ＝AFAD10.如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA∶OA′＝2∶3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为()A． 4∶9B． 2∶5C． 2∶3D．√2∶√311.若a5＝b7＝c8，且3a－2b＋c＝3，则2a＋4b－3c的值是()A． 14 B． 42 C． 7 D．14312.一个数与3、4、6能组成比例，这个数是()A． 2或8B． 8 或4.5C． 4.5 或2D． 2,8或4.513.两个相似三角形的面积比为1∶4，那么它们的周长比为()A． 1∶√2B． 2∶1 C． 1∶4 D． 1∶2二、填空题14.如图，已知△ABC中，D为BC中点，E，F为AB边三等分点，AD分别交CE，CF于点M，N，则AM∶MN∶ND等于____________．15.如图所示，已知∠DAB＝∠CAE，再添加一个条件就能使△ADE∽△ABC，则这个条件可能是________________．(写出一个即可)16.如图，AD ＝DF ＝FB ，DE ∥FG ∥BC ，则S Ⅰ∶S Ⅱ∶S Ⅲ＝__________.17.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD 是△ABC 的“和谐分割线”，△ACD 为等腰三角形，△CBD 和△ABC 相似，∠A ＝46°，则∠ACB 的度数为______________．18.某同学用一等边三角形木板制作一些相似的直角三角形．如图，其方法是：过C 点作CD 1⊥AB 于D 1，再过D 1作D 1D 2⊥CA 于D 2，再过D 2作D 2D 3⊥AB 于D 3，…，若△ABC 的边长为a ，则CD 1＝√32a ，D 1D 2＝√34a ，D 2D 3＝√38a ，依此规律，则D 5D 6的长为________．19.如图是测量玻璃管内径的示意图，点D 正对“10 mm”刻度线，点A 正对“30 mm”刻度线，DE ∥AB .若量得AB 的长为6 mm ，则内径DE 的长为____________ mm.三、解答题20.如图，△ABC 在方格纸中．(1)请建立平面直角坐标系．使A 、C 两点的坐标分别为(2,3)、C (5,2)，求点B 的坐标．(2)以原点O 为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC 放大，画出放大后的图形△A ′B ′C ′.(3)计算△A ′B ′C ′的面积S .21.如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1千米、AN＝1.8千米，AB＝54米、BC＝45米、AC＝30米，求M、N两点之间的直线距离．22.如图，△ABC与△A1B1C1是位似图形．(1)在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为(－6，－1)，点C1的坐标为(－3,2)，则点B 的坐标为____________；(2)以点A为位似中心，在网格图中作△AB2C2，使△AB2C2和△ABC位似，且位似比为1∶2；(3)在图上标出△ABC与△A1B1C1的位似中心P，并写出点P的坐标为________，计算四边形ABCP 的周长为____________．23.△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC 的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE；(2)如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP＝2，CQ＝9时BC 的长．图①图②答案解析1.【答案】B【解析】∵一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3和4及x，∴x可能是斜边或4是斜边，∴x＝5或√7.∴x的值可以有2个．故选B.2.【答案】D【解析】∵B1C⊥OA，A1D⊥OA，∴B1C∥A1D，∴△OB1C∽△OA1D，故①正确；∴OCOD ＝OBOA1，由旋转的性质，得OB＝OB1，OA＝OA1，∴OA·OC＝OB·OD，故②正确；由杠杆平衡原理，OC·G＝OD·F1，故③正确；∴F1G ＝OCOD＝OB1OA1＝OBOA是定值，∴F1的大小不变，∴F＝F1，故④正确．综上所述，说法正确的是①②③④.故选D.3.【答案】C【解析】∵斜边中线长为斜边的一半，∴AD＝BD＝CD，∴∠C＝∠DAC，∵∠BAE＋∠BAD＝90°，∠DAC＋∠BAD＝90°，∴∠BAE＝∠DAC，∴∠C＝∠BAE，∵∠E＝∠E，∴△BAE∽△ACE.故选C.4.【答案】B【解析】∵∠APB ＝∠CPD ，∠ABP ＝∠CDP ，∴△ABP ∽△CDP ，∴AB CD ＝BP PD， 即1.4CD ＝2.112，解得CD ＝8米．故选B.5.【答案】D【解析】∵以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABC 缩小，∴点C 的对应点C ′的坐标(1，32)或(－1，−32)．故选D.6.【答案】C【解析】∵AD ∥BC ，∠D ＝90°，∴∠C ＝∠D ＝90°，∵DC ＝8，AD ＝2，BC ＝5，设PD ＝x ，则PC ＝8－x .①若PD ∶PC ＝AD ∶BC ，则△PAD ∽△PBC ，则x 8−x ＝25，解得x ＝167；②若PD ∶BC ＝AD ∶PC ，则△PAD ∽△BPC ，则x 5＝28−x ，解得PD ＝4±√6，所以这样的点P 存在的个数有3个．故选C.7.【答案】C【解析】∵一块10 cm×5 cm 的长方形版面要付广告费180元， ∴每平方厘米的广告费为180÷50＝185元， ∴把该版面的边长都扩大为原来的3倍后的广告费为30×15×185＝1 620元故选C.8.【答案】C【解析】∵△ABC 和△DEF 相似，∴△DEF 的三边之比为3∶4∶5，∴△DEF 的最短边和最长边的比为3∶5，设最长边为x ，则3∶5＝9∶x ，解得x ＝15，∴△DEF 的最长边为15 cm ，故选C.9.【答案】C【解析】∵AB ∥CD ∥EF ，∴AD AF ＝BC BE ，A 错误；AD DF ＝BC EC ，B 错误；AD AF ＝BC BE ，∴AD BC ＝AF BE ，C 正确；CE BE ＝DF AF ，D 错误，故选C.10.【答案】A【解析】∵四边形ABCD 和A ′B ′C ′D ′是以点O 为位似中心的位似图形，OA ∶OA ′＝2∶3， ∴DA ∶D ′A ′＝OA ∶OA ′＝2∶3，∴四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′的面积比为(23)2＝49， 故选A.11.【答案】D【解析】设a ＝5k ，则b ＝7k ，c ＝8k ，又3a －2b ＋c ＝3，则15k －14k ＋8k ＝3，得k ＝13，即a ＝53，b ＝73，c ＝83，所以2a ＋4b －3c ＝143.故选D.12.【答案】D【解析】设这个数是x ，则3x ＝4×6或4x ＝3×6或6x ＝3×4， 解得x ＝8或x ＝4.5或x ＝2，所以，这个数是2,8或4.5.故选D.13.【答案】D【解析】∵两个相似三角形的面积比为1∶4，∴它们的相似比为1∶2，∴它们的周长比为1∶2.故选D.14.【答案】5∶3∶2【解析】如图，作PD ∥BF ，QE ∥BC ，∵D 为BC 的中点，∴PD ∶BF ＝1∶2，∵E ，F 为AB 边三等分点，∴PD ∶AF ＝1∶4，∴DN ∶NA ＝PD ∶AF ＝1∶4，∴ND ＝15AD ，AQ ∶AD ＝QE ∶BD ＝AE ∶AB ＝1∶3， ∴AQ ＝13AD ，QM ＝14QD ＝14×23AD ＝16AD ， ∴AM ＝AQ ＋QM ＝12AD ，MN ＝AD －AM －ND ＝310AD ，∴AM ∶MN ∶ND ＝5∶3∶2.15.【答案】∠D ＝∠B【解析】这个条件可能是∠D ＝∠B ；理由如下： ∵∠DAB ＝∠CAE ，∴∠DAB ＋∠BAE ＝∠CAE ＋∠BAE ，即∠DAE ＝∠BAC ，又∵∠D ＝∠B ，∴△ADE ∽△ABC .16.【答案】1∶3∶5【解析】∵DE ∥FG ∥BC ，∴△ADE ∽△AFG ∽△ABC ，∵AD ＝DF ＝FB ，∴AD ∶AF ∶AB ＝1∶2∶3，∴S △ADE ∶S △AFG ∶S △ABC ＝1∶4∶9，∴S Ⅰ∶S Ⅱ∶S Ⅲ＝1∶3∶5.17.【答案】113°或92°【解析】∵△BCD ∽△BAC ，∴∠BCD ＝∠A ＝46°，∵△ACD 是等腰三角形，∠ADC ＞∠BCD ，∴∠ADC ＞∠A ，即AC ≠CD ，①当AC ＝AD 时，∠ACD ＝∠ADC ＝12(180°－46°)＝67°，∴∠ACB ＝67°＋46°＝113°，②当DA ＝DC 时，∠ACD ＝∠A ＝46°，∴∠ACB ＝46°＋46°＝92°. 18.【答案】√364a 【解析】CD 1＝√32a ＝√321a ， D 1D 2＝√34a ＝√322a ， D 2D 3＝√38a =√323a ， 则D 5D 6的长为√326a ＝√364a ， 19.【答案】2【解析】由题意可得DE ∥AB ，∴△CDE ∽△CAB ，∴DE AD ＝DC AC ， 即DE 6＝1030，解得DE ＝2，20.【答案】解 (1)如图画出原点O ，x 轴、y 轴，建立直角坐标系，可知B 的坐标为(2,1)；(2)如(1)中图，画出图形△A ′B ′C ′，即为所求；(3)S △A ′B ′C ′＝12×4×6＝12.【解析】(1)根据A ，C 点坐标进而得出原点位置，进而得出B 点坐标；(2)直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；(3)直接利用三角形面积求法得出答案．21.【答案】解在△ABC与△AMN中，ACAB ＝3054＝59，AMAN＝1?0001?800＝59，∴ACAB＝AMAN，又∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AMN，∴BCMN ＝ACAM，即45MN＝301?000，解得MN＝1 500米，答：M、N两点之间的直线距离是1 500米；【解析】先根据相似三角形的判定得出△ABC∽△AMN，再利用相似三角形的性质解答即可．22.【答案】解(1)如图所示：点B的坐标为(－2，－5)；故答案为(－2，－5)；(2)如图所示：△AB2C2，即为所求；(3)如图所示：P点即为所求，P点坐标为(－2,1)，四边形ABCP的周长为√42+42＋√22+42＋√22+22＋√22+42＝4√2＋2√5＋2√2＋2√5＝6√2＋4√5.故答案为6√2＋4√5.【解析】(1)直接利用已知点位置得出B点坐标即可；(2)直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；(3)直接利用位似图形的性质得出对应点交点即可位似中心，再利用勾股定理得出四边形ABCP的周长．23.【答案】(1)证明∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，AB＝AC，∵AP＝AQ，∴BP＝CQ，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，在△BPE和△CQE中，∵{BE＝CE，∠B＝∠C，BP＝CQ，∴△BPE≌△CQE(SAS)；(2)解连接PQ，∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，∵∠BEQ＝∠EQC＋∠C，即∠BEP＋∠DEF＝∠EQC＋∠C，∴∠BEP＋45°＝∠EQC＋45°，∴∠BEP＝∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴BPCE ＝BECQ，∵BP＝2，CQ＝9，BE＝CE，∴BE2＝18，∴BE＝CE＝3√2，∴BC＝6√2【解析】。
人教版九年级数学下册第二十七章《相似——相似三角形》同步测试含答案
人教版九年级数学下册第二十七章《相似——相似三角形》同步测试题一．选择题（共10小题）1．（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（）A．11 B．10 C．9D．82．（2013•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 3．（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（）A．B．C．D．4．（2013•咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）A．B．C．D．5．（2013•绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（）A．4B．5C．6D．76．（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：27．（2013•黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．48．（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：2 9．（2013•德阳）如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP 的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：⊙O半径为，tan∠ABC=，则CQ的最大值是（）A．5B．C．D．10．（2012•岳阳）如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：①OD2=DE•CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD•OA；⑤∠DOC=90°，其中正确的是（）A．①②⑤B．②③④C．③④⑤D．①④⑤二．填空题（共10小题）11．（2013•昭通）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t ＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为_________．（填出一个正确的即可）12．（2013•南通）如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4cm，则EF+CF的长为_________ cm．13．（2013•菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P 在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=_________．14．（2013•巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为_________．15．（2012•自贡）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM=_________cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为_________cm2．16．（2012•宜宾）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．其中正确的是_________（写出所有正确结论的序号）．17．（2012•泉州）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（l x）（x为自然数）．（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC 的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有_________条；（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当=_________时，P（l x）截得的三角形面积为△ABC面积的．18．（2012•嘉兴）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①；②点F是GE的中点；③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是_________．19．（2012•泸州）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△B n C n M n的面积为S n，则S n=_________．（用含n的式子表示）20．（2013•荆州）如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C 内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形A n B n D n E n的边长是_________．三．解答题（共8小题）21．（2013•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．（1）求证：∠CBP=∠ABP；（2）求证：AE=CP；（3）当，BP′=5时，求线段AB的长．22．（2013•湛江）如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．（1）求证：PA为⊙O的切线；（2）若OB=5，OP=，求AC的长．23．（2013•宜宾）如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．24．（2013•襄阳）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O 于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．（1）求证：DP∥AB；（2）若AC=6，BC=8，求线段PD的长．25．（2013•绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．26．（2013•汕头）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E．（1）求证：∠BCA=∠BAD；（2）求DE的长；（3）求证：BE是⊙O的切线．27．（2013•朝阳）如图，直线AB与⊙O相切于点A，直径DC的延长线交AB于点B，AB=8，OB=10（1）求⊙O的半径．（2）点E在⊙O上，连接AE，AC，EC，并且AE=AC，判断直线EC与AB有怎样的位置关系？并证明你的结论．（3）求弦EC的长．28．（2013•成都）如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．（1）求证：AC=AD+CE；（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；（i）当点P与A，B两点不重合时，求的值；（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）参考答案与解析一．选择题（共10小题）1．（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（）A．11 B．10 C．9D．8考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．分析：判断出△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的长度，继而得到EC的长度，在Rt△BGE中求出GE，继而得到AE，求出△ABE的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出△EFC的周长．解答：解：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠BAF=∠DAF，∵AB∥DF，AD∥BC，∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=6，AD=DF=9，∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，∵AD∥BC，∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE，∴EC=FC=9﹣6=3，在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4，∴AG==2，∴AE=2AG=4，∴△ABE的周长等于16，又∵△CEF∽△BEA，相似比为1：2，∴△CEF的周长为8．故选D．点评：本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比，此题难度较大．2．（2013•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：由边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，即可证得△AFE∽△DEC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△AFE∽△DEC，∴AE：DE=AF：CD，∵AE=2ED，CD=3cm，∴AF=2CD=6cm．故选B．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．3．（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：依次判定△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，根据相似三角形的对应边成比例的知识，可得出EF的长度．解答：解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠CBD=∠A，∴△ABC∽△BDC，同理可得：△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，∴=，=，=，=，∵AB=AC，∴CD=CE，解得：CD=CE=，DE=，EF=．故选C．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，本题中相似三角形比较容易找到，难点在于根据对应边成比例求解线段的长度，注意仔细对应，不要出错．4．（2013•咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）A．B．C．D．考点：相似三角形的应用；正方形的性质；几何概率．专题：压轴题．分析：求得阴影部分的面积与正方形ABCD的面积的比即可求得小鸟在花圃上的概率；解答：解：设正方形的ABCD的边长为a，则BF=BC=，AN=NM=MC=a，∴阴影部分的面积为（）2+（a）2=a2，∴小鸟在花圃上的概率为=故选C．点评：本题考查了正方形的性质及几何概率，关键是表示出大正方形的边长，从而表示出两个阴影正方形的边长，最后表示出面积．5．（2013•绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（）A．4B．5C．6D．7考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质．分析：根据圆周角定理∠CAD=∠CDB，继而证明△ACD∽△DCE，设AE=x，则AC=x+4，利用对应边成比例，可求出x的值．解答：解：设AE=x，则AC=x+4，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD，∵∠CDB=∠BAC（圆周角定理），∴∠CAD=∠CDB，∴△ACD∽△DCE，∴=，即=，解得：x=5．故选B．点评：本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出∠CAD=∠CDB，证明△ACD∽△DCE．6．（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：S△ABF=4：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出DE：AB 的值，由AB=CD即可得出结论．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∵S△DEF：S△ABF=4：25，∴DE：AB=2：5，∵AB=CD，∴DE：EC=2：3．故选B．点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．7．（2013•黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△AB F∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角梯形．专题：压轴题．分析：如解答图所示：结论①正确：证明△ACM≌△ABF即可；结论②正确：由△ACM≌△ABF得∠2=∠4，进而得∠4+∠6=90°，即CE⊥AF；结论③正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等；结论④正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等．解答：解：（1）结论①正确．理由如下：∵∠1=∠2，∠1+∠CMN=90°，∠2+∠6=90°，∴∠6=∠CMN，又∵∠5=∠CMN，∴∠5=∠6，∴AM=AE=BF．易知ADCN为正方形，△ABC为等腰直角三角形，∴AB=AC．在△ACM与△ABF中，，∴△ACM≌△ABF（SAS），∴CM=AF；（2）结论②正确．理由如下：∵△ACM≌△ABF，∴∠2=∠4，∵∠2+∠6=90°，∴∠4+∠6=90°，∴CE⊥AF；（3）结论③正确．理由如下：证法一：∵CE⊥AF，∴∠ADC+∠AGC=180°，∴A、D、C、G四点共圆，∴∠7=∠2，∵∠2=∠4，∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，∴△ABF∽△DAH；证法二：∵CE⊥AF，∠1=∠2，∴△ACF为等腰三角形，AC=CF，点G为AF中点．在Rt△ANF中，点G为斜边AF中点，∴NG=AG，∴∠MNG=∠3，∴∠DAG=∠CNG．在△ADG与△NCG中，，∴△ADG≌△NCG（SAS），∴∠7=∠1，又∵∠1=∠2=∠4，∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，∴△ABF∽△DAH；（4）结论④正确．理由如下：证法一：∵A、D、C、G四点共圆，∴∠DGC=∠DAC=45°，∠DGA=∠DCA=45°，∴∠DGC=∠DGA，即GD平分∠AGC．证法二：∵AM=AE，CE⊥AF，∴∠3=∠4，又∠2=∠4，∴∠3=∠2则∠CGN=180°﹣∠1﹣90°﹣∠MNG=180°﹣∠1﹣90°﹣∠3=90°﹣∠1﹣∠2=45°．∵△ADG≌△NCG，∴∠DGA=∠CGN=45°=∠AGC，∴GD平分∠AGC．综上所述，正确的结论是：①②③④，共4个．故选D．点评：本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、正方形、等腰直角三角形、直角梯形、等腰三角形等知识点，有一定的难度．解答中四点共圆的证法，仅供同学们参考．8．（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD 的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：2考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：首先证明△DFE∽△BAE，然后利用对应变成比例，E为OD的中点，求出DF：AB 的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值．解答：解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，则△DFE∽△BAE，∴=，∵O为对角线的交点，∴DO=BO，又∵E为OD的中点，∴DE=DB，则DE：EB=1：3，∴DF：AB=1：3，∵DC=AB，∴DF：DC=1：3，∴DF：FC=1：2．故选D．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明△DFE∽△BAE，然后根据对应边成比例求值．9．（2013•德阳）如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP 的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：⊙O半径为，tan∠ABC=，则CQ的最大值是（）A．5B．C．D．考点：圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：计算题；压轴题．分析：根据圆周角定理的推论由AB为⊙O的直径得到∠ACB=90°，再根据正切的定义得到tan∠ABC==，然后根据圆周角定理得到∠A=∠P，则可证得△ACB∽△PCQ，利用相似比得CQ=•PC=PC，PC为直径时，PC最长，此时CQ最长，然后把PC=5代入计算即可．解答：解：∵AB为⊙O的直径，∴AB=5，∠ACB=90°，∵tan∠ABC=，∴=，∵CP⊥CQ，∴∠PCQ=90°，而∠A=∠P，∴△ACB∽△PCQ，∴=，∴CQ=•PC=PC，当PC最大时，CQ最大，即PC为⊙O的直径时，CQ最大，此时CQ=×5=．故选D．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了三角形相似的判定与性质．10．（2012•岳阳）如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：①OD2=DE•CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD•OA；⑤∠DOC=90°，其中正确的是（）A．①②⑤B．②③④C．③④⑤D．①④⑤考点：切线的性质；切线长定理；相似三角形的判定与性质．专题：计算题；压轴题．分析：连接OE，由AD，DC，BC都为圆的切线，根据切线的性质得到三个角为直角，且利用切线长定理得到DE=DA，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代换可得出CD=AD+BC，选项②正确；由AD=ED，OD为公共边，利用HL可得出直角三角形ADO与直角三角形EDO全等，可得出∠AOD=∠EOD，同理得到∠EOC=∠BOC，而这四个角之和为平角，可得出∠DOC为直角，选项⑤正确；由∠DOC与∠DEO都为直角，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形DEO与三角形DOC相似，由相似得比例可得出OD2=DE•CD，选项①正确；又ABCD为直角梯形，利用梯形的面积计算后得到梯形ABCD的面积为AB（AD+BC），将AD+BC化为CD，可得出梯形面积为AB•CD，选项④错误，而OD不一定等于OC，选项③错误，即可得到正确的选项．解答：解：连接OE，如图所示：∵AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切，∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC，∴CD=DE+EC=AD+BC，选项②正确；在Rt△ADO和Rt△EDO中，，∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL），∴∠AOD=∠EOD，同理Rt△CEO≌Rt△CBO，∴∠EOC=∠BOC，又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°，选项⑤正确；∴∠DOC=∠DEO=90°，又∠EDO=∠ODC，∴△EDO∽△ODC，∴=，即OD2=DC•DE，选项①正确；而S梯形ABCD=AB•（AD+BC）=AB•CD，选项④错误；由OD不一定等于OC，选项③错误，则正确的选项有①②⑤．故选A点评：此题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及梯形面积的求法，利用了转化的数学思想，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．二．填空题（共10小题）11．（2013•昭通）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t ＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为4s．（填出一个正确的即可）考点：圆周角定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题；开放型．分析：根据圆周角定理得到∠C=90°，由于∠ABC=60°，BC=4cm，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=8cm，而F是弦BC的中点，所以当EF∥AC时，△BEF 是直角三角形，此时E为AB的中点，易得t=4s；当从A点出发运动到B点名，再运动到O点时，此时t=12s；也可以过F点作AB的垂线，点E点运动到垂足时，△BEF 是直角三角形．解答：解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，而∠ABC=60°，BC=4cm，∴AB=2BC=8cm，∵F是弦BC的中点，∴当EF∥AC时，△BEF是直角三角形，此时E为AB的中点，即AE=AO=4cm，∴t==4（s）．故答案为4s．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆周角定理的推论以及含30度的直角三角形三边的关系．12．（2013•南通）如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4cm，则EF+CF的长为5cm．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．专题：压轴题．分析：首先，由于AE平分∠BAD，那么∠BAE=∠DAE，由AD∥BC，可得内错角∠DAE=∠BEA，等量代换后可证得AB=BE，即△ABE是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出AE=2AG，而在Rt△ABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的长；然后，利用平行线分线段成比例的性质分别得出EF，FC的长，即可得出答案．解答：解：∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE；又∵AD∥BC，∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，∴AB=BE=6cm，∴EC=9﹣6=3（cm），∵BG⊥AE，垂足为G，∴AE=2AG．在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6cm，BG=4cm，∴AG==2（cm），∴AE=2AG=4cm；∵EC∥AD，∴====，∴=，=，解得：EF=2（cm），FC=3（cm），∴EF+CF的长为5cm．故答案为：5．点评：本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中．13．（2013•菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P 在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=12．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理．专题：压轴题．分析：延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根据CQ=CE求出EQ=2CQ，然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．解答：解：如图，延长BQ交射线EF于M，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥BC，∴∠M=∠CBM，∵BQ是∠CBP的平分线，∴∠PBM=∠CBM，∴∠M=∠PBM，∴BP=PM，∴EP+BP=EP+PM=EM，∵CQ=CE，∴EQ=2CQ，由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，∴==2，∴EM=2BC=2×6=12，即EP+BP=12．故答案为：12．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ构造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．14．（2013•巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为 1.5米．考点：相似三角形的应用．分析：根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE∥BC可知，△ADE∽△ACB，根据其相似比即可求解．解答：解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，即=，则=，∴h=1.5m．故答案为：1.5米．点评：本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．15．（2012•自贡）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM=cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为cm2．考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质．专题：压轴题．分析：设BM=xcm，则MC=1﹣xcm，当AM⊥MN时，利用互余关系可证△ABM∽△MCN，利用相似比求CN，根据梯形的面积公式表示四边形ABCN的面积，用二次函数的性质求面积的最大值．解答：解：设BM=xcm，则MC=1﹣xcm，∵∠AMN=90°，∴∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，∴∠AMB=∠MNC，又∵∠B=∠C∴△ABM∽△MCN，则，即，解得CN==x（1﹣x），∴S四边形ABCN=×1×[1+x（1﹣x）]=﹣x2+x+，∵﹣＜0，∴当x=﹣=cm时，S四边形ABCN最大，最大值是﹣×（）2+×+=cm2．故答案是：，．点评：本题考查了二次函数的性质的运用．关键是根据已知条件判断相似三角形，利用相似比求函数关系式．16．（2012•宜宾）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．其中正确的是②③④（写出所有正确结论的序号）．考点：切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质．专题：计算题；压轴题．分析：连接BD，由GD为圆O的切线，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到∠GDP=∠ABD，再由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB为直角，由CE垂直于AB，得到∠AFP为直角，再由一对公共角，得到三角形APF与三角形ABD相似，根据相似三角形的对应角相等可得出∠APF等于∠ABD，根据等量代换及对顶角相等可得出∠GPD=∠GDP，利用等角对等边可得出GP=GD，选项②正确；由直径AB垂直于弦CE，利用垂径定理得到A为的中点，得到两条弧相等，再由C为的中点，得到两条弧相等，等量代换得到三条弧相等，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP=∠ACP，利用等角对等边可得出AP=CP，又AB为直径得到∠ACQ为直角，利用等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC，得出CP=PQ，即P为直角三角形ACQ斜边上的中点，即为直角三角形ACQ的外心，选项③正确；利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，得到三角形ACQ 与三角形ABC相似，根据相似得比例得到AC2=CQ•CB，连接CD，同理可得出三角形ACP与三角形ACD相似，根据相似三角形对应边成比例可得出AC2=AP•AD，等量代换可得出AP•AD=CQ•CB，选项④正确．解答：解：∠BAD与∠ABC不一定相等，选项①错误；连接BD，如图所示：∵GD为圆O的切线，∴∠GDP=∠ABD，又AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，∵CE⊥AB，∴∠AFP=90°，∴∠ADB=∠AFP，又∠PAF=∠BAD，∴△APF∽△ABD，∴∠ABD=∠APF，又∠APF=∠GPD，∴∠GDP=∠GPD，∴GP=GD，选项②正确；∵直径AB⊥CE，∴A为的中点，即=，又C为的中点，∴=，∴=，∴∠CAP=∠ACP，∴AP=CP，又AB为圆O的直径，∴∠ACQ=90°，∴∠PCQ=∠PQC，∴PC=PQ，∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，∴P为Rt△ACQ的外心，选项③正确；连接CD，如图所示：∵=，∴∠B=∠CAD，又∠ACQ=∠BCA，∴△ACQ∽△BCA，∴=，即AC2=CQ•CB，∵=，∴∠ACP=∠ADC，又∠CAP=∠DAC，∴△ACP∽△ADC，∴=，即AC2=AP•AD，∴AP•AD=CQ•CB，选项④正确，则正确的选项序号有②③④．故答案为：②③④点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与圆心，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．17．（2012•泉州）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（l x）（x为自然数）．（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC 的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有1条；（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当=或或时，P（l x）截得的三角形面积为△ABC面积的．考点：相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：（1）过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC，l3是第3条相似线；（2）按照相似线的定义，找出所有符合条件的相似线．总共有4条，注意不要遗漏．解答：解：（1）存在另外 1 条相似线．如图1所示，过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC；故答案为：1；（2）设P（l x）截得的三角形面积为S，S=S△ABC，则相似比为1：2．如图2所示，共有4条相似线：①第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1∥AC，∴=；②第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2∥BC，∴=；③第3条l3，此时BP与BC为对应边，且=，∴==；④第4条l4，此时AP与AC为对应边，且=，∴==，∴=．故答案为：或或．点评：本题引入“相似线”的新定义，考查相似三角形的判定与性质和解直角三角形的运算；难点在于找出所有的相似线，不要遗漏．18．（2012•嘉兴）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①；②点F是GE的中点；③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是①③．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．专题：压轴题．分析：首先根据题意易证得△AFG∽△CFB，根据相似三角形的对应边成比例与BA=BC，继而证得正确；由点D是AB的中点，易证得BC=2BD，由等角的余角相等，可得∠DBE=∠BCD，即可得AG=AB，继而可得FG=BF；即可得AF=AC，又由等腰直角三角形的性质，可得AC=AB，即可求得AF=AB；则可得S△ABC=6S△BDF．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∴AB⊥BC，AG⊥AB，∴AG∥BC，∴△AFG∽△CFB，∴，∵BA=BC，∴，故①正确；∵∠ABC=90°，BG⊥CD，∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°，∴∠DBE=∠BCD，∵AB=CB，点D是AB的中点，∴BD=AB=CB，∵tan∠BCD==，∴在Rt△ABG中，tan∠DBE==，∵=，∴FG=FB，∵GE≠BF，∴点F不是GE的中点．故②错误；∵△AFG∽△CFB，∴AF：CF=AG：BC=1：2，∴AF=AC，∵AC=AB，∴AF=AB，故③正确；∵BD=AB，AF=AC，∴S△ABC=6S△BDF，故④错误．故答案为：①③．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，解题的关键是证得△AFG∽△CFB，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．19．（2012•泸州）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△B n C n M n的面积为S n，则S n=．（用含n的式子表示）考点：相似三角形的判定与性质．专题：压轴题；规律型．分析：由n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，即可求得△B1C1M n的面积，又由B n C n∥B1C1，即可得△B n C n M n∽△B1C1M n，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得答案．解答：解：∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，∴S1=×B1C1×B1M1=×1×=，S△B1C1M2=×B1C1×B1M2=×1×=，S△B1C1M3=×B1C1×B1M3=×1×=，S△B1C1M4=×B1C1×B1M4=×1×=，S△B1C1Mn=×B1C1×B1M n=×1×=，∵B n C n∥B1C1，∴△B n C n M n∽△B1C1M n，∴S△BnCnMn：S△B1C1Mn=（）2=（）2，即S n：=，∴S n=．故答案为：．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及直角三角形面积的公式．此题难度较大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．20．（2013•荆州）如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C 内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形A n B n D n E n的边长是．考点：相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：规律型．分析：求出第一个、第二个、第三个内接正方形的边长，总结规律可得出第n个小正方形A nB n D n E n的边长．解答：解：∵∠A=∠B=45°，∴AE1=A1E=A1B1=B1D1=D1B，∴第一个内接正方形的边长=AB=1；同理可得：第二个内接正方形的边长=A1B1=AB=；第三个内接正方形的边长=A2B2=AB=；故可推出第n个小正方形A n B n D n E n的边长=AB=．故答案为：．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是求出前几个内接正方形的边长，得出一般规律．三．解答题（共8小题）21．（2013•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．（1）求证：∠CBP=∠ABP；（2）求证：AE=CP；（3）当，BP′=5时，求线段AB的长．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）根据旋转的性质可得AP=AP′，根据等边对等角的性质可得∠APP′=∠AP′P，再根据等角的余角相等证明即可；（2）过点P作PD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CP=DP，然后求出∠PAD=∠AP′E，利用“角角边”证明△APD和△P′AE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DP，从而得证；（3）设CP=3k，PE=2k，表示出AE=CP=3k，AP′=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出P′E=4k，再求出△ABP′和△EPP′相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出P′A=AB，然后在Rt△ABP′中，利用勾股定理列式求解即可．解答：（1）证明：∵AP′是AP旋转得到，∴AP=AP′，∴∠APP′=∠AP′P，∵∠C=90°，AP′⊥AB，∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，又∵∠BPC=∠APP′（对顶角相等），∴∠CBP=∠ABP；（2）证明：如图，过点P作PD⊥AB于D，∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，∴CP=DP，∵P′E⊥AC，。
人教版 九年级数学下册 第27章相似综合测试卷及答案
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参考答案
1.答案：D 解析：A 项，两个矩形，角对应相等，边不一定对应成比例，故不符合题意;B 项，两个等腰三角形 顶角不一定对应相等，故不 符合题意;C 项，两个直角三角形，只有一个直角相等，锐角不 一定对 应相等，故不符合题意；D 项，两个正方形，形状相同， 角对应相等，边对应成比例，符合相似多 边形的定义，故符合题意.故选 D. 2.答案：C 解析：A 中，同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片，形状相同，相似;B 中，同一个标签投出 的不同的像，形状相同，相似;C 中，侧身照片和正面照片，照片中人的形状不同，不相 似;D 中，C929 远程宽体客机与其模型，形状相同，相似.故选 C. 3.答案：B 解析： 4.答案：A 解析：如图， 两个四边形相似， = 138° ,
9.答案：C
解析：①当△ADE ~△ACB 时， AE = AD , 即 AE = 3 , 解得 AE = 9 .
AB AC 9 6
2
②当△ADE ~△ABC 时， AD = AE , 即 3 = AE ,解得 AE = 2 . AB AC 9 6
故选 C.
10.答案：C
解
析
：
由
题
意
可
知
△ABO ~△CDO, AO = AB , CO CD
14.若两个相似三角形的面积比为 1 : 4,则这两个相似三角形的周长比是_________. 15.如图 27-2-2-7, AD = DF = FE = FB, DE //FG//BC, 则 SⅠ∶SⅡ∶SⅢ = __________.
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2020年人教版九年级数学下《第27章相似》专项训练含答案
2020年第27章相似专项训练专训1 证比例式或等积式的技巧名师点金：证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．构造平行线法1．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F，求证：AE·CF＝BF·EC.(第1题)2．如图，已知△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD＝CE，DE交AC于点F，试证明：AB·DF＝BC·EF.(第2题)三点找三角形相似法3．如图，在▱ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F.求证：DCAE＝CFAD.(第3题)4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于D，交AB于E.求证：AM2＝MD·ME.(第4题)构造相似三角形法5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.求证：BP·CP＝BM·CN.(第5题)等比过渡法6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.求证：(1)△DEF∽△BDE；(2)DG·DF＝DB·EF.(第6题)7．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.求证：CE2＝DE·PE.(第7题)两次相似法8．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠ABC 的平分线BE交AC于E，交AD于F.求证：BFBE＝ABBC.(第8题)9．如图，在▱ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为M，N.求证：(1)△AMB∽△AND；(2)AMAB＝MNAC.(第9题)等积代换法10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：AEAF＝ACAB.(第10题)等线段代换法11．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD上一点，CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF 于点F，求证：BP2＝PE·PF.(第11题)12．已知：如图，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.求证：PD2＝PB·PC.(第12题)专训2 巧用“基本图形”探索相似条件名师点金：几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法．相似三角形的四类结构图：1.平行线型．2．相交线型．3．子母型．4．旋转型．平行线型1．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D.(1)求证：AE·BC＝BD·AC；(2)如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的长．(第1题)相交线型2．如图，点D，E分别为△ABC的边AC，AB上的点，BD，CE交于点O，且EOBO＝DOCO，试问△ADE与△ABC相似吗？请说明理由．(第2题)子母型3．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F.求证：ABAC ＝DFAF .(第3题)旋转型4．如图，已知∠DAB ＝∠EAC ，∠ADE ＝∠ABC.求证：(1)△ADE∽△ABC；(2)ADAE＝BDCE.(第4题)专训3 利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系名师点金：判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法．证明两线段的数量关系类型1：证明两线段的相等关系1．如图，已知在△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于点M，与DE交于点N.求证：BM＝MC.(第1题)2．如图，一直线和△ABC的边AB，AC分别交于点D，E，和BC的延长线交于点F，且AE CE＝BF CF.求证：AD＝DB.(第2题)类型2：证明两线段的倍分关系3．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，∠A＝60°，求证：DE＝12 BC.(第3题)4．如图，AM为△ABC的角平分线，D为AB的中点，CE∥AB，CE交DM的延长线于E.求证：AC＝2CE.(第4题)证明两线段的位置关系类型1：证明两线段平行5．如图，已知点D为等腰直角三角形ABC的斜边AB 上一点，连接CD，DE⊥CD，DE＝CD，连接CE，AE.求证：AE∥BC.(第5题)6．在△ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，EF∥BC，DF∥AB，连接CE和AD，分别交DF，EF于点N，M.(1)如图①，若E为AB的中点，图中与MN平行的直线有哪几条？请证明你的结论；(2)如图②，若E不为AB的中点，写出与MN平行的直线，并证明．(第6题)类型2：证明两线垂直7．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AC2＝AB·AD，BC2＝BA·BD，求证：CD⊥AB.(第7题)8．如图，已知矩形ABCD ，AD ＝13AB ，点E ，F 把AB 三等分，DF 交AC 于点G ，求证：EG ⊥DF.(第8题)专训4 相似三角形与函数的综合应用名师点金：解涉及相似三角形与函数的综合题时，由于这类题的综合性强，是中考压轴题重点命题形式之一，因此解题时常结合方程思想、分类讨论思想进行解答．相似三角形与一次函数1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－x ＋3与x 轴交于点C ，与直线AD 交于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，53，点D 的坐标为(0，1)．(1)求直线AD 的解析式；(2)直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上一动点(不与点B 重合)，当△BOD 与△BCE 相似时，求点E 的坐标．(第1题)相似三角形与二次函数2．如图，直线y＝－x＋3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，B，C(1，0)三点．(1)求抛物线对应的函数解析式；(2)若点D的坐标为(－1，0)，在直线y＝－x＋3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标．(第2题)3．如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线BC交于点D(3，－4)．(1)求直线BD和抛物线对应的函数解析式；(2)在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN 垂直于x轴，垂足为点N，使得以M，O，N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(第3题)相似三角形与反比例函数4．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(2，3)，双曲线y＝kx(x>0)经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE.(1)求k的值及点E的坐标；(2)若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB 对应的函数解析式．(第4题)专训5 全章热门考点整合应用名师点金：本章主要内容为：平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，位似图形及其画法等，涉及考点、考法较多，是中考的高频考点．其主要考点可概括为：3个概念、2个性质、1个判定、2个应用、1个作图、1个技巧．3个概念概念1：成比例线段1．下列各组线段，是成比例线段的是( )A．3 cm，6 cm，7 cm，9 cmB．2 cm，5 cm，0.6 dm，8 cmC．3 cm，9 cm，1.8 dm，6 cmD．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm2．有一块三角形的草地，它的一条边长为25 m，在图纸上，这条边的长为5 cm，其他两条边的长都为4 cm，则其他两边的实际长度都是________m.概念2：相似多边形3．如图，已知∠1′＝∠1，∠2′＝∠2，∠3′＝∠3，∠4′＝∠4，∠D′＝∠D，试判断四边形A′B′C′D′与四边形ABCD是否相似，并说明理由．(第3题)概念3：位似图形4．如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C.设点B的对应点B′的坐标是(a，b)，求点B的坐标．(第4题)2个性质性质1：平行线分线段成比例的性质5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6.若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.(1)求出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，△BDE的面积有最大值，最大值为多少？(第5题)性质2：相似三角形的性质6．如图，已知D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE ⊥BC，DE与BA相交于点E，EC与AD相交于点F.(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．(第6题)1个判定——相似三角形的判定7．如图，△ACB为等腰直角三角形，点D为斜边AB 上一点，连接CD，DE⊥CD，DE＝CD，连接AE，过C作CO⊥AB于O.求证：△ACE∽△OCD.(第7题)8.如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过点C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为点E.设P是上异于点A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.(1)求证：△PAC∽△PDF；(2)若AB＝5，＝，求PD的长．(第8题)2个应用应用1：测高的应用9．如图，在离某建筑物CE 4 m处有一棵树AB，在某时刻，1.2 m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH长为2 m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD高为2 m，那么这棵树的高度是多少？(第9题)应用2：测宽的应用10．如图，一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔6 m有一棵树，在河的对岸每隔60 m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．(第10题)1个作图——作一个图形的位似图形11．如图，在方格纸中(每个小方格的边长都是1个单位长度)有一点O和△ABC.请以点O为位似中心，把△ABC 缩小为原来的一半(不改变方向)，画出△ABC的位似图形．(第11题)1个技巧——证明四条线段成比例的技巧12．如图，已知△ABC，∠BAC的平分线与∠DAC的平分线分别交BC及BC的延长线于点P，Q.(1)求∠PAQ的度数；(2)若点M为PQ的中点，求证：PM2＝CM·BM.(第12题)答案专训1(第1题)1．证明：如图，过点C作CM∥AB交DF于点M. ∵CM∥AB，∴△CMF∽△BDF.∴BFCF ＝BD CM.又∵CM∥AD，∴△ADE∽△CME.∴AEEC＝ADCM.∵D为AB的中点，∴BDCM ＝ADCM.∴BFCF＝AEEC，即AE·CF＝BF·EC.2．证明：过点D作DG∥BC，交AC于点G，∴△DGF∽△ECF，△ADG∽△ABC.∴EFDF＝CEDG，ABBC＝ADDG.∵AD＝CE，∴CEDG ＝ADDG.∴ABBC＝EFDF，即AB·DF＝BC·EF.点拨：过某一点作平行线，构造出“A”型或“X”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题．3．证明：∵四边形ABCD是平行四边形．∴AE∥DC，∠A＝∠C.∴∠CDF＝∠E，∴△DAE∽△FCD，∴DCAE＝CFAD.4．证明：∵DM⊥BC，∠BAC＝90°，∴∠B＋∠BEM＝90°，∠D＋∠DEA＝90°.∵∠BEM＝∠DEA，∴∠B＝∠D.又∵M为BC的中点，∠BAC＝90°，∴BM＝AM. ∴∠B＝∠BAM.∴∠BAM＝∠D.又∵∠AME＝∠DMA.∴△AME∽△DMA.∴AMMD＝MEAM.∴AM2＝MD·ME.(第5题) 5．证明：如图，连接PM，PN. ∵MN是AP的垂直平分线，∴MA＝MP，NA＝NP.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.又∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°.∴∠2＋∠4＝60°.∴∠5＋∠6＝120°.又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°. ∴∠5＝∠7.∴△BPM∽△CNP.∴BPCN ＝BMCP，即BP·CP＝BM·CN.6．证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵DE∥BC，∴∠ABC＋∠BDE＝180°，∠ACB＋∠CED＝180°，∴∠CED＝∠BDE.又∵∠EDF＝∠ABE，∴△DEF∽△BDE.(2)由△DEF∽△BDE得DEBD＝EFDE，∴DE2＝DB·EF.又由△DEF∽△BDE，得∠BED＝∠DFE.∵∠GDE＝∠EDF，∴△GDE∽△EDF.∴DG DE＝DE DF，∴DE 2＝DG ·DF ，∴DG ·DF ＝DB ·EF.7．证明：∵BG ⊥AP ，PE ⊥AB ， ∴∠AEP ＝∠BED ＝∠AGB ＝90°.∴∠P ＋∠PAB ＝90°，∠PAB ＋∠ABG ＝90°. ∴∠P ＝∠ABG.∴△AEP ∽△DEB. ∴AE DE ＝PE BE，即AE ·BE ＝PE ·DE.又∵CE ⊥AB ，∴∠CEA ＝∠BEC ＝90°，∴∠CAB ＋∠ACE ＝90°.又∵∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＋∠CBE ＝90°. ∴∠ACE ＝∠CBE.∴△AEC ∽△CEB.∴AE CE ＝CEBE，即CE 2＝AE ·BE.∴CE 2＝DE ·PE. 8．证明：易得∠BAC ＝∠BDF ＝90°. ∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠DBF ， ∴△BDF ∽△BAE ，得BD AB ＝BFBE.∵∠BAC ＝∠BDA ＝90°，∠ABC ＝∠DBA. ∴△ABC ∽△DBA ，得AB BC ＝BD AB ，∴BF BE ＝ABBC.9．证明：(1)∵四边形ABCD 为平行四边形．∴∠B ＝∠D.∵AM⊥BC，AN⊥CD，∴∠AMB＝∠AND＝90°，∴△AMB∽△AND.(2)由△AMB∽△AND得AMAN＝ABAD，∠BAM＝∠DAN.又AD＝BC，∴AMAN＝ABBC.∵AM⊥BC，AD∥BC，∴∠AMB＝∠MAD＝90°. ∴∠B＋∠BAM＝∠MAN＋∠NAD＝90°，∴∠B＝∠MAN.∴△AMN∽△BAC，∴AMAB＝MNAC.10．证明：∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴∠ADB＝∠AED＝90°.又∵∠BAD＝∠DAE，∴△ADE∽△ABD，得AD2＝AE·AB，同理可得AD2＝AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC，∴AEAF＝ACAB.11．证明：连接PC，如图．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∠ABC＝∠ACB，∴BP＝CP，∴∠1＝∠2，∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，即∠3＝∠4.∵CF∥AB，∴∠3＝∠F，∴∠4＝∠F.又∵∠CPF＝∠CPE，∴△CPF∽△EPC，∴CPPE＝PFCP，即CP2＝PF·PE.∵BP＝CP，∴BP2＝PE·PF.(第11题)(第12题)12．证明：如图，连接PA，则PA＝PD，∴∠PDA＝∠PAD.∴∠B＋∠BAD＝∠DAC＋∠CAP.又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.∴∠B＝∠CAP.又∵∠APC＝∠BPA，∴△PAC∽△PBA，∴PAPB＝PCPA，即PA2＝PB·PC，∴PD2＝PB·PC. 专训21．(1)证明：∵ED ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC.∴AE AC＝DE BC.∵BE 平分∠ABC ，∴∠DBE ＝∠EBC. ∵ED ∥BC ，∴∠DEB ＝∠EBC. ∴∠DBE ＝∠DEB.∴DE ＝BD.∴AE AC ＝BD BC ，即AE ·BC ＝BD ·AC.(2)解：设h △ADE 表示△ADE 中DE 边上的高， h △BDE 表示△BDE 中DE 边上的高， h △ABC 表示△ABC 中BC 边上的高．∵S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，∴S△ADE S△BDE＝h △ADEh△BDE＝32. ∴h △ADE h△ABC＝35.∵△ADE∽△ABC，∴DEBC＝h△ADEh△ABC＝35.∵DE＝6，∴BC＝10.2．解：相似．理由如下：因为EOBO＝DOCO，∠BOE＝∠COD，∠DOE＝∠COB，所以△BOE∽△COD，△DOE∽△COB.所以∠EBO＝∠DCO，∠DEO＝∠CBO.因为∠ADE＝∠DCO＋∠DEO，∠ABC＝∠EBO＋∠CBO.所以∠ADE＝∠ABC.又因为∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC.3．证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∴∠BAC＝∠ADB＝90°.又∵∠CBA＝∠ABD(公共角)，∴△ABC∽△DBA.∴ABAC＝DBDA，∠BAD＝∠C.∵AD⊥BC于点D，E为AC的中点，∴DE＝EC. ∴∠BDF＝∠CDE＝∠C.∴∠BDF＝∠BAD.又∵∠F＝∠F，∴△DBF∽△ADF.∴DBAD＝DFAF.∴ABAC＝DFAF.(第3题)点拨：当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称为“等比替换法”，有时还可用“等积替换法”，例如：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：AE·AB＝AF·AC.可由两组“射影图”得AE·AB＝AD2，AF·AC＝AD2，∴AE·AB＝AF·AC.4．证明：(1)∵∠DAB＝∠EAC，∴∠DAE＝∠BAC.又∵∠ADE＝∠ABC，∴△ADE∽△ABC.(2)∵△ADE∽△ABC，∴ADAE＝ABAC.∵∠DAB＝∠EAC，∴△ADB∽△AEC.∴ADAE＝BDCE.专训31．证明：∵DE∥BC.∴△NEO∽△MBO.∴NEMB＝ONOM.同理可得DNMC＝ONOM.∴DNMC＝NEBM.∴DNNE＝MCBM.∵DE∥BC，∴△ANE∽△AMC.∴ANAM＝NEMC.同理可得ANAM＝DNBM，∴DNBM＝NEMC.∴DNNE＝BMMC.∴MCBM＝BMMC.∴MC2＝BM2.∴BM＝MC.(第2题) 2．证明：如图，过C作CG∥AB交DF于G点．∵CG∥AB，∴ADCG＝AECE，BDCG＝BFCF，∵AECE＝BFCF，∴ADCG＝BDCG，∴AD＝BD.3．证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∠A＝60°，∠ABD＝∠ACE＝30°，∴ADAB＝12，AEAC＝12，∴ADAB＝AEAC.又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC＝ADAB＝12，∴DE＝12BC.4．证明：如图，延长CE，交AM的延长线于F.∵AB∥CF，∴∠BAM＝∠F，△BDM∽△CEM，△BAM∽△CFM，∴BD CE＝BMMC，BACF＝BMMC，∴BDCE＝BACF.又∵BA＝2BD，∴CF＝2CE.又AM平分∠BAC，∴∠BAM＝∠CAM，∴∠CAM＝∠F，∴AC＝CF，∴AC＝2CE.(第4题)(第5题)5．证明：如图，过点C作CO⊥AB于点O.∵DE＝CD，DE⊥CD，∴∠ECD＝∠CED＝45°.∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠B＝45°.∴∠CAB＝∠CED.又∵∠AOC＝∠EDC＝90°，∴△ACO∽△ECD.∴ACCO＝ECCD.又∵∠ACE＋∠ECO＝∠OCD＋∠ECO＝45°，∴∠ACE＝∠OCD.∴△ACE∽△OCD.∴∠CAE＝∠COD＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠CAE＋∠ACB＝180°.∴AE∥BC.6．解：(1)MN∥AC∥ED.证明如下：∵EF∥BC，∴△AEM∽△ABD，△AMF∽△ADC，∴EMBD＝AMAD＝MFDC.∵E为AB的中点，EF∥BC，∴F为AC的中点．又∵DF∥AB，∴D为BC的中点，∴EM＝MF.∵F为AC的中点，FN∥AE，∴N为EC的中点，从而MN∥AC.又∵D为BC的中点，E为AB的中点，∴ED∥AC，∴MN∥AC∥ED.(2)MN∥AC.证明如下：∵EF∥BC，∴△AEM∽△ABD，△AMF∽△ADC，∴EMBD＝AMAD＝MFDC，∴EMMF＝BDDC.又∵DF∥AB，∴BDDC＝ENNC，∴EMMF＝ENNC，∴EMEF＝ENEC.又∵∠MEN＝∠FEC，∴△MEN∽△FEC.∴∠EMN＝∠EFC.∴MN∥AC.7．证明：∵AC2＝AB·AD，∴ACAD＝ABAC.又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC.∴∠ADC＝∠ACB.又∵BC2＝BA·BD，∴BCBD＝BABC.又∵∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC.∴∠BDC＝∠BCA.∴∠ADC＝∠BDC.∵∠BDC＋∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠BDC＝90°. ∴CD⊥AB.8．证明：∵AD＝13AB，点E，F把AB三等分，∴设AE＝EF＝FB＝AD＝k，则AB＝CD＝3k. ∵CD∥AB，∴∠DCG＝∠FAG，∠CDG＝∠AFG.∴△AFG∽△CDG，∴FGDG＝AFCD＝23.设FG＝2m，则DG＝3m，∴DF＝FG＋DG＝2m＋3m ＝5m.在Rt△AFD中，DF2＝AD2＋AF2＝5k2，∴DF＝5k.∴5m＝5k.∴m＝55k.∴FG＝255k.∴AFFG＝2k255k＝5，DFEF＝5kk＝ 5.∴AFFG＝DFEF.又∠AFD＝∠GFE，∴△AFD∽△GFE. ∴∠EGF＝∠DAF＝90°.∴EG⊥DF.专训41．解：(1)设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)将D(0，1) A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，53代入解析式得：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝153＝43k ＋b 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1k ＝12∴直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1.(2)直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1.令y ＝0，得x ＝－2.得B(－2，0)，即OB ＝2. 直线AC 为y ＝－x ＋3. 令y ＝0，得∴x ＝3. 得C(3，0)，即BC ＝5设E ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x ＋1①当E 1C ⊥BC 时，如图，∠BOD ＝∠BCE 1＝90°，∠DBO ＝∠E 1BC.∴△BOD ∽△BCE 1.此时点C 和点E 1的横坐标相同． 将x ＝3代入y ＝12x ＋1，解得y ＝52.∴E 1⎝ ⎛⎭⎪⎫3，52.②当CE 2⊥AD 时，如图，∠BOD ＝∠BE 2C ＝90°，∠DBO ＝∠CBE 2， ∴△BOD ∽△BE 2C.过点E 2作EF ⊥x 轴于点F ，则∠E 2FC ＝∠BFE 2＝90°. 又∵∠E 2BF ＋∠BE 2F ＝90°， ∠CE 2F ＋∠BE 2F ＝90°. ∴∠E 2BF ＝∠CE 2F.∴△E 2BF ∽△CE 2F ，则E 2F BF ＝CFE 2F.即E 2F 2＝CF ·BF.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋12＝(3－x)(x ＋2)解得：x 1＝2，x 2＝－2(舍去) ∴E 2(2，2)当∠EBC ＝90°时，此情况不存在．综上所述：E 1⎝ ⎛⎭⎪⎫3，52或E 2(2，2)．(第1题)(第2题)2．解：(1)由题意得A(3，0)，B(0，3)，∵抛物线经过A ，B ，C 三点，∴把A(3，0)，B(0，3)，C(1，0)三点的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝3，a ＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝3，∴抛物线对应的函数解析式为y ＝x 2－4x ＋3. (2)如图，由题意可得△ABO 为等腰直角三角形．若△ABO ∽△AP 1D ，则AO AD ＝OB DP 1，∴DP 1＝AD ＝4，∴P 1(－1，4)；若△ABO ∽△ADP 2，过点P 2作P 2M ⊥x 轴于M ，∵△ABO 为等腰直角三角形，∴△ADP 2是等腰直角三角形，由三线合一可得DM ＝AM ＝2＝P 2M ，即点M 与点C 重合，∴P 2(1，2)，∴点P 的坐标为(－1，4)或(1，2)．3．解：(1)易得A(－1，0)，B(0，2)，C(1，0)． 设直线BD 对应的函数解析式为y ＝kx ＋m. 把B(0，2)，C(1，0)的坐标分别代入y ＝kx ＋m ，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，k ＋m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，m ＝2.∴直线BD 对应的函数解析式为y ＝－2x ＋2. ∵抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋bx ＋c. ∴把B(0，2)，D(3，－4)的坐标分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，－9＋3b ＋c ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝2.∴抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋x ＋2.(2)存在，①如图①，当△MON ∽△BCO 时，ON CO ＝MN BO ，即ON 1＝MN 2，∴MN ＝2ON.设ON ＝a ，则M(a ，2a)，∴－a 2＋a ＋2＝2a ，解得a 1＝－2(不合题意，舍去)，a 2＝1，∴M(1，2)；②如图②，当△MON ∽△CBO 时，ON BO ＝MN CO，即ON2＝MN1，∴MN ＝12ON.设ON ＝n ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12n ，∴－n 2＋n ＋2＝n2，解得n 1＝1－334(不合题意，舍去)，n 2＝1＋334，∴M(1＋334，1＋338)．∴存在这样的点M(1，2)或⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋334，1＋338.(第3题)4．解：(1)在矩形OABC 中，∵点B 的坐标为(2，3)，∴BC 边的中点D 的坐标为(1，3)．∵双曲线y ＝kx 经过点D(1，3)，∴3＝k1，∴k ＝3，∴y ＝3x .∵点E 在AB 上，∴点E 的横坐标为2.又∵双曲线y ＝3x 经过点E ，∴点E 的纵坐标为y ＝32，∴点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32.(2)易得BD ＝1，BE ＝32，CB ＝2.∵△FBC ∽△DEB ，∴BDCF＝BE CB ，即1CF ＝322，∴CF ＝43，∴OF ＝53，即点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53.设直线FB 对应的函数解析式为y ＝k 1x ＋b ，而直线FB 经过B(2，3)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53，∴k 1＝23，b ＝53，∴直线FB 对应的函数解析式为y ＝23x ＋53.专训5 1．C 2．203．解：四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′相似．由已知条件知，∠DAB ＝∠D ′A ′B ′，∠B ＝∠B ′，∠BCD ＝∠B ′C ′D ′，∠D ＝∠D ′，且AB A ′B ′＝BC B ′C ′＝CD C ′D ′＝DAD ′A ′＝56，所以四边形ABCD与四边形A ′B ′C ′D ′相似．4．解：如图，过点B 作BM ⊥x 轴于点M ，过点B ′作B ′N ⊥x 轴于点N ，则△CBM ∽△CB ′N.所以MC NC ＝BMB ′N ＝BC B ′C.又由已知条件知NC ＝a ＋1，B ′N ＝－b ，BCB ′C ＝12，所以MC(a ＋1)＝BM (－b)＝12.所以MC ＝12(a ＋1)，BM ＝－b2.所以MO ＝12(a ＋1)＋1＝a ＋32.所以点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋32，－b 2.(第4题)5．解：(1)∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC ，∴8－2x 8＝y6，∴y ＝－32x ＋6(0≤x ≤4)． (2)∵S △BDE ＝12·2x ·y ＝12·2x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫6－32x ＝－32(x －2)2＋6，∴当x ＝2时，S △BDE 有最大值，最大值为6.6．(1)证明：如图，∵D 是BC 边上的中点，DE ⊥BC ， ∴EB ＝EC ，∴∠B ＝∠1.又∵AD ＝AC ，∴∠ACD ＝∠2，∴△ABC ∽△FCD. (2)解：如图，过点A 作AM ⊥CB 于点M. ∵D 是BC 边上的中点，∴BC ＝2CD.由(1)知△ABC ∽△FCD ，∴S△ABC S△FCD＝⎝ ⎛⎭⎪⎫BC CD 2＝41. 又∵S △FCD ＝5，∴S △ABC ＝20.∵S △ABC ＝12BC ·AM ，∴AM ＝2S△ABCBC＝2×2010＝4.∵DE ⊥BC ，AM ⊥BC ，∴DE ∥AM ， ∴△BDE ∽△BMA.∴DE AM＝BD BM.由AD ＝AC ，AM ⊥BC ，知DM ＝12CD ＝14BC ＝52.∴DE 4＝55＋52，∴DE ＝83.点拨：从复杂的图形中分析线段的特点和联系，找到切入点是解较复杂问题的关键．(第6题)7．证明：∵△ACB为等腰直角三角形，AB为斜边，∴∠CAB＝45°.∵CO⊥AB.∴∠AOC＝90°.又∵DE⊥CD，DE＝CD，∴∠CED＝45°，∠CDE＝90°.∴∠CAO＝∠CED，∠AOC＝∠EDC.∴△ACO∽△ECD.∴∠ACO＝∠ECD，ACCO ＝CE CD.∴∠ACE＝∠OCD.∴△ACE∽△OCD.8．(1)证明：由四边形APCB内接于圆O，得∠FPC＝∠B.又∠B＝∠ACE＝90°－∠BCE，∠ACE＝∠APD，所以∠APD＝∠FPC，所以∠APD＋∠DPC＝∠FPC＋∠DPC，即∠APC＝∠FPD.又∠PAC＝∠PDC，所以△PAC∽△PDF.(2)解：由(1)知△PAC∽△PDF，所以∠PCA＝∠PFD.又∠PAC＝∠CAF，所以△PAC∽△CAF，所以△CAF∽△PDF，所以PDAC＝DFAF，则PD·AF＝AC·DF.由AB＝5，AC＝2BC，∠ACB＝90°，知BC＝5，AC ＝2 5.由OE⊥CD，∠ACB＝90°知CB2＝BE·AB，CE＝DE.所以BE＝CB2AB＝55＝1.所以AE＝4，CE＝CB2－BE2＝5－1＝2，所以DE＝2.又＝，∠AFD＝∠PCA，所以∠AFD＝∠PCA＝45°. 所以FE＝AE＝4，AF＝42，所以PD＝AC·DFAF＝25×（4＋2）42＝3102.9．解：(方法一：作延长线)延长AD，与地面交于点M，如图①.(第9题)由AM∥FH知∠AMB＝∠FHG.又因为AB⊥BG，FG⊥BG，DC⊥BG，所以△ABM∽△DCM∽△FGH，所以ABBM＝CDCM＝FGGH.因为CD＝2 m，FG＝1.2 m，GH＝2 m，所以2CM＝1.22，解得CM＝103m.因为BC＝4 m，所以BM＝BC＋CM＝4＋103＝223(m)．所以AB223＝1.22，解得AB＝4.4 m.故这棵树的高度是4.4 m.(方法二：作垂线)过点D作DM⊥AB于点M，如图②.所以AMDM＝FGGH.而DM＝BC＝4 m，AM＝AB－CD＝AB－2(m)，FG ＝1.2 m，GH＝2 m，所以AB－24＝1.22，解得AB＝4.4 m.故这棵树的高度是4.4 m.10．解：如图，过点A作AF⊥DE，垂足为F，并延长交BC于点G.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∵AF⊥DE，DE∥BC，∴AG⊥BC，∴AFAG＝DEBC，∴30AG＝2460.解得AG＝75，∴FG＝AG－AF＝75－30＝45，即河的宽度为45 m.(第10题)(第11题)11．思路导引：本题位似中心为O，先连接CO，因为要把原三角形缩小为原来的一半，可确定C′O＝12CO，由其确定出C′的位置，再根据同样的方法确定出另外两个点．解：画出图形，如图中的△A′B′C′即为所求作的图形．点拨：抓住位似图形的性质，根据位似中心与三角形对应点的关系及位似比的大小确定所画位似图形的对应点，再画出图形．12．思路导引：(1)由角平分线的定义及∠BAD为平角直接可得．(2)由于线段PM，CM，BM在同一条直线上，所以必须把某条线段转化为另一相等的线段，构造相似三角形，因此可证PM＝AM，从而证明△ACM与△ABM相似即可．(1)解：∵AP平分∠BAC，∴∠PAC＝12∠BAC.又∵AQ平分∠CAD，∴∠CAQ＝12∠CAD.∴∠PAC＋∠CAQ＝12∠BAC＋12∠CAD＝12(∠BAC＋∠CAD)．又∵∠BAC＋∠CAD＝180°，∴∠PAC＋∠CAQ＝90°，即∠PAQ＝90°.(2)证明：由(1)知∠PAQ＝90°，又∵M是线段PQ的中点，∴PM＝AM，∴∠APM＝∠PAM.∵∠APM＝∠B＋∠BAP，∠PAM＝∠CAM＋∠PAC，∠BAP＝∠PAC，∴∠B＝∠CAM.又∵∠AMC＝∠BMA，∴△ACM∽△BAM.∴CMAM ＝AMBM，∴AM2＝CM·BM，即PM2＝CM·BM.点拨：本题运用了转化思想，在证明等积式时，常把它转化成比例式，寻找相似三角形进行求解．。
九年级数学第二十七章《相似三角形的性质》同步练习(含答案)
九年级数学第二十七章《相似三角形的性质》同步练习（含答案）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果△ABC ∽△DEF ，A 、B 分别对应D 、E ，且AB ：DE =1：2，那么下列等式一定成立的是 A ．BC ：DE =1：2B ．△ABC 的面积：△DEF 的面积=1：2 C ．∠A 的度数：∠D 的度数=1：2D ．△ABC 的周长：△DEF 的周长=1：2 【答案】D2．如图，AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，且AB =1，CD =3，那么EF 的长是A ．13B ．23 C ．34D ．45【答案】C【解析】∵AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，∴AB ∥CD ∥EF ， ∴△DEF ∽△DAB ，△BEF ∽△BCD ，∴EF DF AB DB =，EF BF CD BD =，∴EF EF DF BFAB CD DB BD+=+=1． ∵AB =1，CD =3，∴13EF EF +=1，∴EF =34．故选C ．3．已知：如图，在ABCD中，AE：EB=1：2，则FE：FC=A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．3：2 【答案】B【解析】在ABCD中，AB=CD，AB∥CD，∵BE=2AE，∴BE=23AB=23CD，∵AB∥CD，∴EFFC=BEDC=23，故选B．4．已知：如图，E是ABCD的边AD上的一点，且32AEDE=，CE交BD于点F，BF=15cm，则DF的长为A．10cm B．5cmC．6cm D．9cm【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，点E在边AD上，∴DE∥BC，且AD=BC，∴∠DEF=∠BCF；∠EDF=∠CBF，∴△EDF∽△CBF，∴BC BF ED DF=，∵32AEDE=，∴设AE=3k，DE=2k，则AD=BC=5k，52BC BFED DF==，∵BF=15cm，∴DF=25BF═6cm．故选C．5．已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△DEF与△ABC的面积之比为A．9：1 B．1：9C．3：1 D．1：3【答案】B【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，∴△ABC与△DEF的相似比为3，∴△DEF与△ABC的相似比为1：3，∴△DEF与△ABC的面积之比为1：9，故选B．6．如图，△ABC∽△AB'C'，∠A=35°，∠B=72°，则∠AC'B'的度数为A．63°B．72°C．73°D．83°【答案】C【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=35°，∠B=72°，∴∠C=180°–35°–72°=73°，∵△ABC∽△AB'C'，∴∠AC′B′=∠C=73°，故选C．7．如图，△ABC中，E为AB中点，AB=6，AC=4.5，∠ADE=∠B，则CD=A．32B．1C．12D．23【答案】C【解析】∵E为AB中点，∴AE=12AB，∵∠ADE=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴AE ADAC AB，∴12AB2=AD•AC，∴AD=4，∴CD=AC–AD=0.5，故选C．二、填空题：请将答案填在题中横线上．8．两个三角形相似，相似比是12，如果小三角形的面积是9，那么大三角形的面积是__________．【答案】36【解析】∵两个三角形相似，相似比是12，∴两个三角形的面积比是14，∵小三角形的面积是9，∴大三角形的面积是36，故答案为：36．9．矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为__________．【答案】65或310．如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是__________．【答案】3≤AP<4【解析】如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，此时0<AP<4；如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，此时0<AP≤4；如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，此时，△CPG∽△CBA，当点G与点B重合时，CB2=CP×CA，即22=CP×4，∴CP=1，AP=3，∴此时，3≤AP<4；综上所述，AP长的取值范围是3≤AP<4．故答案为：3≤AP<4．11．如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7）、（1，1）、（4，1）、（6，1），且△CDE与△ABC相似，则点E的坐标是__________．【答案】（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）．【解析】在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．①当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC；②当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC；③当点E的坐标为（6，2）时，∠ECD=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC；同理，当点E的坐标为（4，2）、（4，5）、（4，0），故答案为：（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．求证：相似三角形面积的比等于相似比的平方．（请根据题意画出图形，写出已知，求证并证明）【解析】已知：如图，已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比为k ．求证：111ABC A B C S S △△=k 2；证明：作AD ⊥BC 于D ，A 1D 1⊥B 1C 1于D 1，∵△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应， ∴∠B =∠B 1，∵AD 、A 1D 1分别是△ABC ，△A 1B 1C 1的高线， ∴∠BDA =∠B 1D 1A 1，∴△ABD ∽△A 1B 1D 1，∴11AD A D =11ABA B =k ， ∴111ABC A B C S S △△=11111212BC AD B C A D ⋅⋅⋅⋅=k 2．13．如图所示，Rt △ABC ∽Rt △DFE ，CM 、EN 分别是斜边AB 、DF 上的中线，已知AC =9cm ，CB =12cm ，DE =3cm ．（1）求CM 和EN 的长； （2）你发现CMEN的值与相似比有什么关系？得到什么结论？【解析】（1）在Rt △ABC 中，AB =22AC CB +=22912+=15，∵CM 是斜边AB 的中线， ∴CM =12AB=7.5， ∵Rt △ABC ∽Rt △DFE ， ∴DE DF AC AB =，即319315DF==， ∴DF =5，∵EN 为斜边DF 上的中线，∴EN =12DF =2.5； （2）∵7.532.51CM EN ==，相似比为9331AC DE ==，∴相似三角形对应中线的比等于相似比．14．如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且△ACP ∽△PDB ．（1）求∠APB 的大小．（2）说明线段AC 、CD 、BD 之间的数量关系．15．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC 中，∠A =48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且AD =CD ，则∠ACB =__________°． （2）如图2，在△ABC 中，AC =2，BC 2，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．【解析】（1）当AD=CD时，如图，∠ACD=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．（2）由已知得AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴BCBA=BDBC，设BD=x2）2=x（x+2），∵x＞0，∴x3–1，∵△BCD∽△BAC，∴CD BDAC BC=32，∴CD 312-×62．故答案为：96．。
人教版九年级数学下册第27章相似单元达标训练试题(含答案)
人教版九年级数学下册第27章相似单元达标训练一．选择题1．下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有( )(1)菱形都相似；(2)等腰直角三角形都相似；(3)正方形都相似；(4)矩形都相似；(5)正六边形都相似．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．图K－9－2中的四个三角形与图K－9－1中的三角形相似的是( )图K－9－1图K－9－23．下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点到位似中心的距离之比等于相似比．其中正确的序号是( )A．②③ B．①②C．③④ D．②③④4．五边形ABCDE相似于五边形A′B′C′D′E′，若对应边AB与A′B′的长分别为50厘米和40厘米，则五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE的相似比是( ) A．5∶4 B．4∶5 C．5∶2 5 D．25∶55. 如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为( )A．4 B．4 2 C．6 D．4 36．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形，如图，则小鱼上的点(a，b)对应大鱼上的点( )A．(－2a，－2b) B．(－a，－2b)C．(－2b，－2a) D．(－2a，－b)7．图K－6－4中与图K－6－3相似的图形是( )图K－6－3图K－6－48．如图K－10－6，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD＝2OA＝6，AD∶AB＝3∶1，则点C的坐标是( )图K－10－6A．(2，7) B．(3，7) C．(3，8) D．(4，8)9．如图K－14－4所示，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4∶9，则OB′∶OB为( )图K－14－4A．2∶3 B．3∶2C．4∶5 D．4∶910．观察图K－6－1中各组图形，其中相似的图形有( )图K －6－1A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组 二、填空题11．如图K －15－4，△ABO 三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(6，0)，O(0，0)，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是(3，0)，则点A′的坐标是________．图K －15－412．如图K －9－5，D 是△ABC 内的一点，连接BD 并延长到点E ，连接AD ，AE ，若AD AB＝DE BC ＝AEAC，且∠CAE ＝29°，则∠BAD ＝________°.图K －9－513．如图K －7－2，已知在矩形ABCD 中，AB ＝1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使点B 落在AD 上的点F 处．若四边形FDCE 与矩形ABCD 相似，则AD ＝________．图K －7－214．在平面直角坐标系中，点C ，D 的坐标分别为C(2，3)，D(1，0)．现以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点D 的对应点B 在x 轴上且OB ＝2，则点C 的对应点A 的坐标为__________．15.如图K －11－8，Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，双曲线y ＝kx(x >0)经过斜边OA 的中点C ，与另一条直角边交于点D .若S △OCD ＝9，则S △OBD 的值为________．图K －11－816.放大镜下的图形和原来的图形________相似图形；哈哈镜中的图形和原来的图形________相似图形．(填“是”或“不是”)三、解答题17．如图K －6－6是用相似图形设计的图案．图K －6－6(1)想一想：各个图案的基本图形是什么？(2)做一做：自己设计几个漂亮有趣的图案(至少两个)．18．如图K －11－11所示，在▱ABCD 中，E 是CD 延长线上的一点，BE 与AD 交于点F ，DE ＝12CD .(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求▱ABCD 的面积．图K －11－1119．如图K －14－11，矩形ABCD 与矩形AB ′C ′D ′是位似图形，点A 为位似中心，已知矩形ABCD 的周长为24，BB ′＝4，DD ′＝2，求AB ，AD 的长．图K －14－1120．如图K－12－8是一个常见铁夹的侧面示意图，OA，OB表示铁夹的两个面，C是轴，CD⊥OA于点D，已知DA＝15 mm，DO＝24 mm，DC＝10 mm，我们知道铁夹的侧面是轴对称图形，请求出A，B两点间的距离．图K－12－821. 如图K－7－4是学校内的一矩形花坛，四周修筑的小路中相对的两条小路的宽均相等．已知AB＝20米，AD＝30米，试问当小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′与矩形ABCD相似？(A′B′与AB是对应边)图K－7－422．如图K－12－9 所示，小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝4米，BC＝10米，CD与地面成30°的角，且此时测得1米高的标杆的影长为2米，求电线杆的高度(精确到0.1米)．图K－12－9参考答案一、选择题1．下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有( C )(1)菱形都相似；(2)等腰直角三角形都相似；(3)正方形都相似；(4)矩形都相似；(5)正六边形都相似．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．图K－9－2中的四个三角形与图K－9－1中的三角形相似的是( B )图K－9－1图K－9－23．下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点到位似中心的距离之比等于相似比．其中正确的序号是( A )A．②③ B．①②C．③④ D．②③④4．五边形ABCDE相似于五边形A′B′C′D′E′，若对应边AB与A′B′的长分别为50厘米和40厘米，则五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE的相似比是( B ) A．5∶4 B．4∶5 C．5∶2 5 D．25∶55. 如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为( B )A．4 B．4 2 C．6 D．4 36．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形，如图，则小鱼上的点(a，b)对应大鱼上的点( A )A．(－2a，－2b) B．(－a，－2b)C．(－2b，－2a) D．(－2a，－b)7．图K－6－4中与图K－6－3相似的图形是( D )图K－6－3图K －6－48．如图K －10－6，已知矩形ABCD 的顶点A ，D 分别落在x 轴、y 轴上，OD ＝2OA ＝6，AD ∶AB ＝3∶1，则点C 的坐标是( A )图K －10－6A ．(2，7)B ．(3，7)C ．(3，8)D ．(4，8)9．如图K －14－4所示，△A ′B ′C ′是△ABC 以点O 为位似中心经过位似变换得到的，若△A ′B ′C ′的面积与△ABC 的面积比是4∶9，则OB ′∶OB 为( A )图K －14－4A ．2∶3B ．3∶2C ．4∶5D ．4∶910．观察图K －6－1中各组图形，其中相似的图形有( B )图K －6－1A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组 二、填空题11．如图K －15－4，△ABO 三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(6，0)，O(0，0)，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是(3，0)，则点A′的坐标是________．图K －15－4[答案] (1，2)12．如图K －9－5，D 是△ABC 内的一点，连接BD 并延长到点E ，连接AD ，AE ，若AD AB＝DE BC ＝AEAC，且∠CAE ＝29°，则∠BAD ＝________°.图K －9－5[答案] 2913．如图K －7－2，已知在矩形ABCD 中，AB ＝1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使点B 落在AD 上的点F 处．若四边形FDCE 与矩形ABCD 相似，则AD ＝________．图K －7－2[答案].5＋1214．在平面直角坐标系中，点C ，D 的坐标分别为C(2，3)，D(1，0)．现以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点D 的对应点B 在x 轴上且OB ＝2，则点C 的对应点A 的坐标为__________．[答案] (4，6)或(－4，－6)15.如图K －11－8，Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，双曲线y ＝kx(x >0)经过斜边OA 的中点C ，与另一条直角边交于点D .若S △OCD ＝9，则S △OBD 的值为________．图K －11－8[答案] 616.放大镜下的图形和原来的图形________相似图形；哈哈镜中的图形和原来的图形________相似图形．(填“是”或“不是”)[答案] 是 不是 三、解答题17．如图K －6－6是用相似图形设计的图案．图K －6－6(1)想一想：各个图案的基本图形是什么？(2)做一做：自己设计几个漂亮有趣的图案(至少两个)．解：(1)各个图案的基本图形分别是直角三角形、正方形、正五边形． (2)答案不唯一，只要是用相似图形做的，都符合要求．如图：18．如图K －11－11所示，在▱ABCD 中，E 是CD 延长线上的一点，BE 与AD 交于点F ，DE ＝12CD .(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求▱ABCD 的面积．图K －11－11[解析] (1)由平行四边形的对角相等，对边平行，证得△ABF ∽△CEB ；(2)由△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可以求出△ABF 和△BCE 的面积，从而▱ABCD 的面积可求．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A ＝∠C ，AB ∥CD ， ∴∠ABF ＝∠CEB ， ∴△ABF ∽△CEB.(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB 綊CD ，∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF.∵DE ＝12CD ，∴EC ＝3DE ，∴S △DEF S △CEB ＝(DE EC )2＝19，S △DEF S △ABF ＝(DE AB )2＝14. ∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8,∴S 四边形BCDF ＝S △CEB －S △DEF ＝16，∴S ▱ABCD ＝S 四边形BCDF ＋S △ABF ＝16＋8＝24.19．如图K －14－11，矩形ABCD 与矩形AB ′C ′D ′是位似图形，点A 为位似中心，已知矩形ABCD 的周长为24，BB ′＝4，DD ′＝2，求AB ，AD 的长．图K －14－11解：∵矩形ABCD 的周长为24， ∴AB ＋AD ＝12.设AB ＝x ，则AD ＝12－x ，AB′＝x ＋4，AD′＝14－x. ∵矩形ABCD 与矩形AB′C′D′是位似图形， ∴AB AB′＝AD AD′， 即x x ＋4＝12－x 14－x， 解得x ＝8，∴AB ＝8，AD ＝12－8＝4.20．如图K －12－8是一个常见铁夹的侧面示意图，OA ，OB 表示铁夹的两个面，C 是轴，CD ⊥OA 于点D ，已知DA ＝15 mm ，DO ＝24 mm ，DC ＝10 mm ，我们知道铁夹的侧面是轴对称图形，请求出A ，B 两点间的距离．图K －12－8解：如图，连接AB ，同时连接OC 并延长交AB 于点E ，∵铁夹的侧面是轴对称图形，故OE 是对称轴，∴OE ⊥AB ，AE ＝BE. ∵∠COD ＝∠AOE ，∠CDO ＝∠AEO ＝90°，∴Rt △OCD ∽Rt △OAE ，∴OC OA ＝CDAE ，而OC ＝OD 2＋DC 2＝242＋102＝26，∴2624＋15＝10AE ，∴AE ＝39×1026＝15，∴AB ＝2AE ＝30(mm)．答：A ，B 两点间的距离为30 mm.21. 如图K －7－4是学校内的一矩形花坛，四周修筑的小路中相对的两条小路的宽均相等．已知AB ＝20米，AD ＝30米，试问当小路的宽x 与y 的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A ′B ′C ′D ′与矩形ABCD 相似？(A ′B ′与AB 是对应边) 图K －7－4[解析] 若矩形A′B′C′D′与矩形ABCD 相似，由相似多边形的性质可知，这两个矩形的对应边成比例，即可求出相似比，再由相似比求出x 与y 的比值．解：由题意可知，矩形A′B′C′D′与矩形ABCD 相似(A′B′与AB 是对应边)，则应有AB A′B′＝BC B′C′，即2020＋2y ＝3030＋2x ，从而有20(30＋2x)＝30(20＋2y)，解得x y ＝32.22．如图K －12－9 所示，小明想测量电线杆AB 的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD ＝4米，BC ＝10米，CD 与地面成30°的角，且此时测得1米高的标杆的影长为2米，求电线杆的高度(精确到0.1米)．图K －12－9解：如图所示，过点D 作DF ⊥BC 交BC 的延长线于点F ，延长AD 交BC 的延长线于点E.∵∠DCF ＝30°，∴DF ＝12CD ＝2米，CF ＝CD 2－DF 2＝2 3 米． 根据已知条件，1米高的标杆的影长为2米，可求得EF ＝2DF ＝4米，∴BE ＝(14＋2 3)米．∵DF ⊥BE ，AB ⊥BE ，∴△DFE ∽△ABE ，∴DF AB ＝EF BE，∴2AB ＝4BE， ∴AB ＝12BE ＝7＋3≈8.7(米)． 即电线杆的高度约为8.7米．1、只要朝着一个方向奋斗，一切都会变得得心应手。
人教版九年级数学下第二十七章 相似单元练习题(含答案)含答案
人教版九年级数学下第二十七章相似单元练习题（含答案）含答案一、选择题1.如图，AD∥BE∥CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，已知AB＝5，BC＝10，DE＝4，则EF的长为()A．12.5B．12C．8D．42.一个数与3、4、6能组成比例，这个数是()A．2或8B．8 或4.5C．4.5 或2D．2,8或4.53.如图，已知△OAB与△OA′B′是相似比为1∶2 的位似图形，点O为位似中心，若△OAB 内一点P(x，y)与△OA′B′内一点P′是一对对应点，则点P′的坐标为()A．(－x，－y)B．(－2x，－2y)C．(－2x,2y)D．(2x，－2y)4.在下列图形中，不是位似图形的是()A．B．C．D．5.如果两个相似三角形的周长比为1∶4，那么这两个三角形的相似比为()A．1∶2B．1∶4C．1∶8D．1∶166.已知图(1)、(2)中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图(2)中AB、CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是()A．只有(1)相似B．只有(2)相似C．都相似D．都不相似7.如图，在直角坐标系xOy中，A(－4,0)，B(0,2)，连接AB并延长到C，连接CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为()A．(1，)B．(，)C．(，2)D．(，2)8.已知△ABC∽△DEF，△ABC的面积为1，△DEF的面积为4，则△ABC与△DEF的周长之比为()A．1∶2B．1∶4C．2∶1D．4∶19.如图，直角坐标系中，线段AB两端点坐标分别为A(4,2)、B(8,0)，以原点O为位似中心，将线段AB缩小后得到对应线段A1B1，若B1的坐标为(－4,0)，则A1的坐标为()A．(2,1)B．(－2，－1)C．(－1,2)D．(－4，－2)10.两个相似三角形的最短边分别是5 cm和3 cm，它们的周长之差为12 cm，那么小三角形的周长为()A．14 cmB．16 cmC．18 cmD．30 cm二、填空题11.如图，△ABC中，BC＝1.若AD1＝AB，且D1E1∥BC，则D1E1＝；照这样继续下去，D1D2＝D1B，且D2E2∥BC；D2D3＝D2B，且D3E3∥BC；…；Dn－1Dn＝Dn－1B，且DnEn∥BC，则DnEn ＝____________(用含n的式子表示)．12.小红家的阳台上放置了一个晒衣架如图1.图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点立于地面，经测量：AB＝CD＝136 cm，OA＝OC＝51 cm，OE＝OF＝34 cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF＝32 cm.垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于__________ cm时，连衣裙才不会拖落到地面上．图1图213.如图，正方形ABCD中，BC＝2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE＝45°.若PF＝，则CE＝________.14.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1,0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是______________．15.若＝＝，且a＋b＋c＝6，则a－b＋c＝________.16.如图，在△ABC中，AB≠AC.D、E分别为边AB、AC上的点．AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：________________，可以使得△FDB与△ADE相似．(只需写出一个)17.已知△ABC与△A1B1C1的相似比为2∶3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为3∶5，那么△ABC 与△A2B2C2的相似比为__________．18.如图，点A1，A2在射线OA上，B1在射线OB上，依次作A2B2∥A1B1，A3B2∥A2B1，A3B3∥A2B2，A4B3∥A3B2，….若△A2B1B2和△A3B2B3的面积分别为1,9，则△A1007B1007A1008的面积是__________．19.如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，D为半圆上一点，AC∥OD，AD与OC交于点E，连接CD、BD，给出以下三个结论：①OD平分∠COB；②BD＝CD；③CD2＝CE·CO，其中正确结论的序号是________．20.如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，已知＝，则＝__________.三、解答题21.如图，点C为线段AB上任意一点(不与A、B两点重合)，分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都是锐角且∠ACD＝∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC.(1)求证：△ACE≌△DCB；(2)请你判断△AMC与△DPM的形状有何关系，并说明理由．22.课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．(1)加工成的正方形零件的边长是多少mm?(2)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少？请你计算．(3)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．23.如图，延长△ABC的边BC到D，使CD＝BC.取AB的中点F，连接FD交AC于点E.求EC∶AC 的值．24.已知：△ABC∽△A′B′C′，它们的周长之差为20，面积比为4∶1，求△ABC和△A′B′C′的周长．25.如图，l1∥l2∥l3，AB＝3，AD＝2，DE＝4，EF＝7.5，求BC、BF的长．26.如图，已知AC∥BD，AB和CD相交于点E，AC＝6，BD＝4，F是BC上一点，S△BEF∶S△EFC ＝2∶3.(1)求EF的长；(2)如果△BEF的面积为4，求△ABC的面积．27.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，F为CA延长线上一点，∠F＝∠C.(1)若BC＝8，求FD的长；(2)若AB＝AC，求证：△ADE∽△DFE.28.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，BE交AD于点F，AB＝A D.(1)判断△FDB与△ABC是否相似，并说明理由．(2)AF与DF相等吗？为什么？答案解析1.【答案】C【解析】∵AD∥BE∥CF，∴＝，即＝，解得EF＝8，故选C.2.【答案】D【解析】设这个数是x，则3x＝4×6或4x＝3×6或6x＝3×4，解得x＝8或x＝4.5或x＝2，所以，这个数是2,8或4.5.故选D.3.【答案】B【解析】∵P(x，y)，相似比为1∶2，点O为位似中心，∴P′的坐标是(－2x，－2y)．故选B.4.【答案】D【解析】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．根据位似图形的概念，A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形；D中的两个图形不符合位似图形的概念，对应顶点不能相交于一点，故不是位似图形．故选D.5.【答案】B【解析】∵两个相似三角形的周长比为1∶4，∴这两个三角形的相似比为1∶4，故选B.6.【答案】C【解析】对于图(1)：180°－75°－35°＝70°，则两个三角形中有两组角对应相等，所以(1)图中的两个三角形相似；对于(2)图：由于＝，∠AOC＝∠DOB，所以△AOC∽△DOB.故选C.7.【答案】B【解析】∵A(－4,0)，B(0,2)，∴OA＝4，OB＝2，∵△COB∽△CAO，∴＝＝＝＝，∴CO＝2CB，AC＝2CO，∴AC＝4CB，∴＝，过点C作CD⊥y轴于点D，∵AO⊥y轴，∴AO∥CD，∴△AOB∽△CDB，∴＝＝＝，∴CD＝AO＝，BD＝OB＝，∴OD＝OB＋BD＝2＋＝，∴点C的坐标为.故选B.8.【答案】A【解析】∵△ABC∽△DEF，∴△ABC的面积：△DEF的面积＝△ABC与△DEF的周长之比的平方，而△ABC的面积为1，△DEF的面积为4，∴△ABC与△DEF的周长之比＝1∶2.故选A.9.【答案】B【解析】∵线段AB两端点坐标分别为A(4,2)、B(8,0)，以原点O为位似中心，将线段AB缩小后得到对应线段A1B1，若B1的坐标为(－4,0)，∴对应点在原点的两侧，且位似比为2∶1，则A1的坐标为(－2，－1)．故选B.10.【答案】C【解析】根据题意，得两三角形的周长的比为5∶3，设两三角形的周长分别为5x cm,3x cm，则5x－3x＝12，解得x＝6，所以3x＝18，即小三角形的周长为18 cm.故选C.11.【答案】1－【解析】∵D1E1∥BC，∴△AD1E1∽△ABC，∴＝，∵BC＝1，AD1＝AB，∴D1E1＝；∵D1D2＝D1B，∴AD2＝AB，同理可得：D2E2＝＝1－＝1－，D3E3＝＝1－，∴DnEn＝1－.12.【答案】120【解析】∵AB、CD相交于点O，∴∠AOC＝∠BOD∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝(180°－∠BOD)，同理可证：∠OBD＝∠ODB＝(180°－∠BOD)，∴∠OAC＝∠OBD，∴AC∥BD，在Rt△OEM中，OM＝＝30(cm)，过点A作AH⊥BD于点H，同理可证：EF∥BD，∴∠ABH＝∠OEM，则Rt△OEM∽Rt△ABH，∴＝，AH＝＝＝120(cm)，所以垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于120 cm时，连衣裙才不会拖落到地面上．13.【答案】【解析】如图，连接EF.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∠DAB＝90°，∠DCP＝45°，∴AM＝BM＝1，在Rt△ADM中，DM＝＝＝，∵AM∥CD，∴＝＝，∴DP＝DM＝，∵PF＝，∴DF＝DP＝PF＝，∵∠EDF＝∠PDC，∠DFE＝∠DCP，∴△DEF∽△DPC，∴＝，∴＝，∴DE＝，∴CE＝CD－DE＝2－＝.故答案为.14.【答案】(a＋3)【解析】设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为－1－x，B′、C间的横坐标的长度为a＋1，∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，∴2(－1－x)＝a＋1，解得x＝(a＋3)．15.【答案】3【解析】设＝＝＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝7k，∵a＋b＋c＝6，∴2k＋3k＋7k＝6，解得k＝，所以，a＝2×＝1，b＝3×＝，c＝7×＝，所以，a－b＋c＝1－＋＝3.16.【答案】DF∥AC(或∠BFD＝∠A)【解析】DF∥AC，或∠BFD＝∠A.理由：∵∠A＝∠A，＝＝，∴△ADE∽△ACB，∴①当DF∥AC时，△BDF∽△BAC，∴△BDF∽△EAD.②当∠BFD＝∠A时，∵∠B＝∠AED，∴△FBD∽△AED.17.【答案】2∶5【解析】∵△ABC与△A1B1C1的相似比为2∶3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为3∶5，∴AB∶A1B1＝2∶3，A1B1∶A2B2＝3∶5，设AB＝2x，则A1B1＝3x，A2B2＝5x，∴AB∶A2B2＝2∶5，∴△ABC与△A2B2C2的相似比为2∶5.18.【答案】34 031【解析】∵△A2B1B2和△A3B2B3的面积分别为1,9，A3B3∥A2B2，A3B2∥A2B1，∴∠B1B2A2＝∠B2B3A3，∠A2B1B2＝∠A3B2B3，∴△A2B1B2∽△A3B2B3,∴＝＝＝＝，∵A3B2∥A2B1，∴△OA2B1∽△OA3B2，∴＝＝＝，∴△OB1A2的面积为，△A1B1A2的面积为，△A2B2A3的面积为3，△A3B3A4的面积为27，…∴△A1 007B1 007A1 008的面积为×3(2 017－1)＝34 031，故答案为34 031.19.【答案】①②③【解析】①∵OC⊥AB，∴∠BOC＝∠AOC＝90°.∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC＝45°.∵AC∥OD，∴∠BOD＝∠CAO＝45°，∴∠DOC＝45°，∴∠BOD＝∠DOC，∴OD平分∠COB.故①正确；②∵∠BOD＝∠DOC，∴BD＝CD.故②正确；③∵∠AOC＝90°，∴∠CDA＝45°，∴∠DOC＝∠CDA.∵∠OCD＝∠OCD，∴△DOC∽△EDC，∴＝，∴CD2＝CE·CO.故③正确．故答案为①②③.20.【答案】【解析】∵l1∥l2∥l3，∴＝，∵＝，∴＝.21.【答案】(1)证明∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，∴∠ACE＝∠DCB，又∵CA＝CD，CE＝CB，在△ACE和△DCB中，∴△ACE≌△DCB(SAS)．(2)解△AMC∽△DMP.理由：∵△ACE≌△DCB，∴∠CAE＝∠CDB，又∵∠AMC＝∠DMP，∴△AMC∽△DMP.【解析】(1)证明∠ACE＝∠DCB，根据“SAS”证明全等；(2)由(1)得∠CAM＝∠PDM，又∠AMC＝∠DMP，所以两个三角形相似．22.【答案】解(1)如图1，设正方形的边长为x mm，则PN＝PQ＝ED＝x，∴AE＝AD－ED＝80－x，∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴＝，即＝，解得x＝48.∴加工成的正方形零件的边长是48 mm；(2)如图2，设PQ＝x，则PN＝2x，AE＝80－x，∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴＝，即＝，解得x＝，∴2x＝，∴这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm；(3)如图3，设PN＝x(mm)，矩形PQMN的面积为S(mm2)，由条件可得△APN∽△ABC，∴＝，即＝，解得PQ＝80－x.则S＝PN·PQ＝x(80－x)＝－x2＋80x＝－(x－60)2＋2 400，故S的最大值为2 400 mm2，此时PN＝60 mm，PQ＝80－×60＝40(mm)．【解析】(1)设正方形的边长为x mm，则PN＝PQ＝ED＝x，AE＝AD－ED＝80－x，通过证明△APN∽△ABC，利用相似比可得到＝，然后根据比例性质求出x即可；(2)由于矩形是由两个并排放置的正方形所组成，则可设PQ＝x，则PN＝2x，AE＝80－x，然后与(1)的方法一样求解；(3)设PN＝x，用PQ表示出AE的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答．23.【答案】解取BC中点G，则CG＝BC，连接GF，如图所示：又∵F为AB中点，∴FG∥AC，且FG＝AC，∴EC∥FG，∴＝，∵CG＝BC，DC＝BC，设CG＝k，那么DC＝BC＝2k，DG＝3k，∴＝＝即EC＝FG，∵FG＝AC∴EC＝AC，∴EC∶AC＝1∶3.【解析】取BC中点G，则CG＝BC，连接GF，得出FG∥AC，FG＝AC，证出EC＝FG，进而得出答案．24.【答案】解∵△ABC∽△A′B′C′，面积比为4∶1，∴相似比为2∶1，周长比为2∶1.∵周长比相差1，而周长之差为20，∴每份周长为20，∴△ABC的周长是2×20＝40，△A′B′C′的周长是1×20＝20.【解析】根据面积的比等于相似比的平方可求出相似比的值，相似三角形周长的比等于相似比可分别求出周长．25.【答案】解∵l1∥l2∥l3，∴＝，∵AB＝3，AD＝2，DE＝4，∴＝，解得BC＝6，∵l1∥l2∥l3，∴＝，∴＝，解得BF＝2.5.【解析】由平行线分线段成比例解答即可．26.【答案】解(1)∵AC∥BD，∴＝，∵AC＝6，BD＝4，∴＝＝.∵△BEF和△CEF同高，且S△BEF∶S△CEF＝2∶3，∴＝，∴＝.∴EF∥BD，∴＝，∴＝，∴EF＝.(2)∵AC∥BD，EF∥BD，∴EF∥AC，∴△BEF∽△ABC，∴＝.∵＝，∴＝.∵S△BEF＝4，∵＝，∴S△ABC＝25.【解析】27.【答案】解(1)∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE＝BC，DE∥BC.∴∠AED＝∠C.∵∠F＝∠C，∴∠AED＝∠F，∴FD＝DE＝BC＝4；(2)∵AB＝AC，DE∥BC.∴∠B＝∠C＝∠AED＝∠ADE，∵∠AED＝∠F，∴∠ADE＝∠F，又∵∠AED＝∠AED，∴△ADE∽△DFE.【解析】(1)利用三角形中位线的性质得出DE∥BC，进而得出∠AED＝∠F，即可得出FD＝DE，即可得出答案；(2)利用等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠B＝∠C＝∠AED＝∠ADE，即可得出∠ADE ＝∠F，即可得出△ADE∽△DFE.28.【答案】解(1)∵DE是BC垂直平分线，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB，∵AB＝AD，∴∠ABC＝∠ADB，∴△FDB∽△ABC；(2)∵△FDB∽△ABC，∴＝＝，∴AB＝2FD，∵AB＝AD，∴AD＝2FD，∴DF＝AF.【解析】(1)易证∠EBC＝∠ECB和∠ABC＝∠ADB，即可判定△FDB与△ABC相似；(2)根据相似三角形对应边比例相等的性质即可求得DF＝AB，即可解题．九年级数学第27章《相似》同步提高测试（有答案）一、选择题：1、观察下列每组图形，相似图形是（）2、（2018•玉林）两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（）A．：B．2：3 C．4：9 D．8：273、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）4、（2018•内江）已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（）A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：95、如果五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，那么五边形ABCDE和五边形POGMN的面积之比是（）A．2：3 B．3：2 C．6：4 D．9：46、已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（）A．32 B．8 C．4 D．167、如图，路灯OP距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B处时，人影的长度()A．变长了1.5米B．变短了2.5米C．变长了3.5米D．变短了3.5米8、（2018•重庆）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm9、如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB 于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A．=B．=C．=D．=10、如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE．记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2（）A．若2AD＞AB，则3S1＞2S2B．若2AD＞AB，则3S1＜2S2C．若2AD＜AB，则3S1＞2S2D．若2AD＜AB，则3S1＜2S211、如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（）A．8 B．12 C．14 D．1612、如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1二、填空题：13、已知x：y：z＝1：2：3，且2x+y﹣3z＝﹣15，则x的值为14、（2018•邵阳）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形：．15、已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为16、（2018•北京）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为．17、学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD 为18、如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，若AB＝4，AC＝6，DF＝9，则DE＝19、《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为。
人教版九年级数学下册第27章(精选)相似测试卷及答案【新】
第二十七章 相似全章测试一、选择题1．如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ＝1，DB ＝2，则BCDE的值为( )第1题图A ．32B ．41C ．31 D ．212．如图所示，△ABC 中DE ∥BC ，若AD ∶DB ＝1∶2，则下列结论中正确的是( )第2题图A ．21=BC DEB ．21=∆∆的周长的周长ABC ADE C ．的面积的面积ABC ADE ∆∆31=D ．的周长的周长ABC ADE ∆∆31=3．如图所示，在△ABC 中∠BAC ＝90°，D 是BC 中点，AE ⊥AD 交CB 延长线于E 点，则下列结论正确的是( )第3题图A ．△AED ∽△ACB B ．△AEB ∽△ACDC ．△BAE ∽△ACED ．△AEC ∽△DAC4．如图所示，在△ABC 中D 为AC 边上一点，若∠DBC ＝∠A ，6=BC ，AC ＝3，则CD长为( )第4题图A ．1B ．23 C ．2 D ．25 5．若P 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B ，C 的一点，过点P 作直线截△ABC ，截得的三角形与原△ABC 相似，满足这样条件的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条6．如图所示，△ABC 中若DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式正确的是( )第6题图A ．BC DEDB AD =B ．AD EF BC BF = C ．FC BF EC AE =D ．BCDE AB EF =7．如图所示，⊙O 中，弦AB ，CD 相交于P 点，则下列结论正确的是( )第7题图A ．P A ·AB ＝PC ·PB B ．P A ·PB ＝PC ·PD C ．P A ·AB ＝PC ·CD D ．P A ∶PB ＝PC ∶PD 8．如图所示，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，对于下列中的每一个条件第8题图①∠B ＋∠DAC ＝90° ②∠B ＝∠DAC ③CD ：AD ＝AC ：AB ④AB 2＝BD ·BC 其中一定能判定△ABC 是直角三角形的共有( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个D ．0个二、填空题9．如图9所示，身高1.6m 的小华站在距路灯杆5m 的C 点处，测得她在灯光下的影长CD 为2.5m ，则路灯的高度AB 为______．图910．如图所示，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上一点，且61=EB AE ，射线CF 交AB 于E 点，则FDAF等于______．第10题图11．如图所示，△ABC中，DE∥BC，AE∶EB＝2∶3，若△AED的面积是4m2，则四边形DEBC 的面积为______．第11题图12．若两个相似多边形的对应边的比是5∶4，则这两个多边形的周长比是______．三、解答题13．已知，如图，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D为BC边上一点，BD＝1．(1)求证：△ABD∽△CBA；(2)作DE∥AB交AC于点E，请再写出另一个与△ABD相似的三角形，并直接写出DE的长．14．已知：如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于D点，AD＝4cm，DB＝9cm，求CB的长．15．如图所示，在由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC，试在这个网格上画一个与△ABC相似，且面积最大的△A1B1C1(A1，B1，C1三点都在格点上)，并求出这个三角形的面积．16．如图所示，在5×5的方格纸上建立直角坐标系，A(1，0)，B(0，2)，试以5×5的格点为顶点作△ABC与△OAB相似(相似比不为1)，并写出C点的坐标．17．如图所示，⊙O的内接△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝15°，AD∥OC并交BC的延长线于D点，OC交AB于E点．(1)求∠D的度数；(2)求证：AC2＝AD·CE．18．已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点(不与B，C点重合)，∠ADE＝45°．(1)求证：△ABD∽△DCE；(2)设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式；(3)当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．19．已知：如图，△ABC 中，AB ＝4，D 是AB 边上的一个动点，DE ∥BC ，连结DC ，设△ABC的面积为S ，△DCE 的面积为S ′．(1)当D 为AB 边的中点时，求S ′∶S 的值；(2)若设,,y SS x AD ='=试求y 与x 之间的函数关系式及x 的取值范围．20．已知：如图，抛物线y ＝x 2－x －1与y 轴交于C 点，以原点O 为圆心，OC 长为半径作⊙O ，交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于另一点D ．设点P 为抛物线y ＝x 2－x －1上的一点，作PM ⊥x 轴于M 点，求使△PMB ∽△ADB 时的点P 的坐标．21．在平面直角坐标系xOy 中，已知关于x 的二次函数y ＝x 2＋(k －1)x ＋2k －1的图象与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C (0，－3)． 求这个二次函数的解析式及A ，B 两点的坐标．22．如图所示，在平面直角坐标系xOy 内已知点A 和点B 的坐标分别为(0，6)，(8，0)，动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P ，Q 移动的时间为t 秒． (1)求直线AB 的解析式；(2)当t 为何值时，△APQ 与△ABO 相似? (3)当t 为何值时，△APQ 的面积为524个平方单位?23．已知：如图，□ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，∠BAD ＝120°，E 为BC 上一动点(不与B 点重合)，作EF ⊥AB 于F ，FE ，DC 的延长线交于点G ，设BE ＝x ，△DEF 的面积为S ． (1)求证：△BEF ∽△CEG ；(2)求用x 表示S 的函数表达式，并写出x 的取值范围； (3)当E 点运动到何处时，S 有最大值，最大值为多少?第二十七章 相似全章测试答案与提示1．C ． 2．D ． 3．C ． 4．C ． 5．C ． 6．C ． 7．B ． 8．A ．9．4．8m ． 10．⋅3111．21m 2． 12．5∶4．13．(1),BABDCB AB =CBA ABD ∠=∠，得△HBD ∽△CBA ；(2)△ABC ∽△CDE ，DE ＝1.5． 14．.cm 133提示：连结AC ．15．提示：.52,10,25111111===C B B A C A △A 1B 1C 1的面积为5． 16．C (4，4)或C (5，2)．17．提示：(1)连结OB ．∠D ＝45°．(2)由∠BAC ＝∠D ，∠ACE ＝∠DAC 得△ACE ∽△DAC ．18．(1)提示：除∠B ＝∠C 外，证∠ADB ＝∠DEC ．(2)提示：由已知及△ABD ∽△DCE 可得.22x x CE -=从而y ＝AC －CE ＝x 2－.12+x (其中20<<x )．(3)当∠ADE 为顶角时：.22-=AE 提示：当△ADE 是等腰三角形时， △ABD ≌△DCE ．可得.12-=x当∠ADE 为底角时：⋅=21AE19．(1)S ＇∶S ＝1∶4；(2)).40(41162<<+-=x x x y 20．提示：设P 点的横坐标x P ＝a ，则P 点的纵坐标y P ＝a 2－a －1．则PM ＝｜a 2－a －1｜，BM ＝｜a －1｜．因为△ADB 为等腰直角三角形，所以欲使△PMB ∽△ADB ，只要使PM ＝BM .即｜a 2－a －1｜＝｜a －1｜．不难得a 1＝0．.2.2.2432-===a a a∴P 点坐标分别为P 1(0，－1)．P 2(2，1)．).21,2().21,2(43+--P P 21．(1)y ＝x 2－2x －3，A (－1，0)，B (3，0)；(2))49,43(-D 或D (1，－2)． 22．(1);643+-=x y (2)1130=t 或;1350(3)t ＝2或3． 23．(1)略；(2));30(8311832≤<+-=x x x S (3)当x ＝3时，S 最大值33=．。
人教版2019-2020学年初三数学下学期第27章相似单元检测题及答案
人教版初中数学九年级下册第27章相似测试题一、精心选一选(每小题3分，共30分)1．在△ABC 与△A ′B ′C ′中，有下列条件：（1）;(2)''''''''AB BC BC ACA B B C B C A C ==；（3）∠A=∠A ′；（4）∠C=∠C ′．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△A ′B ′C ′的共有多少组（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．将一个菱形放在2倍的放大镜下，则下列说法不正确的是( )A ．菱形的各角扩大为原来的2倍B ．菱形的边长扩大为原来的2倍C ．菱形的对角线扩大为原来的2倍D ．菱形的面积扩大为原来的4倍 3．如图所示，有两个形状相同的星星图案，则x 的值为（ ）A ．15B ．12C ．10D ．8 4．下列判断中，正确的是（ ）A ．各有一个角是67°的两个等腰三角形相似B ．邻边之比都为2:1的两个等腰三角形相似C ．各有一个角是45°的两个等腰三角形相似D ．邻边之比都为2:3的两个等腰三角形相似5．如图所示，小明将一张报纸对折后，发现对折后的半张报纸与整张报纸相似，•你能推算出整张报纸的长与宽的比是下面哪一个答案吗（ ）A ．2：1B ．4：1C ．1：4D ．1：26．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且将这个四边形分成①、②、③和④四个三角形．若OA ∶OC ＝OB ∶OD ，则下列结论中一定正确的是( ) A ．①和②相似 B ．①和③相似 C ．①和④相似 D ．②和④相似7．如图所示，有三个矩形，其中是相似形的是（ ） A ．甲和乙 B ．甲和丙 C ．乙和丙 D ．甲、乙和丙8．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ：FC=（ ） A ．1：4 B ． 1：3 C ． 2：3 D ． 1：2 9．如图，点A ，B ，C ，D 的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C ，D ，E 为顶点的三角形与⊿ABC 相似，则点E 的坐标不可能．．．是（ ） A.（6，0） B.（6，3） C.（6，5） D.（4，2）10．如图，在△ABC 中，AB=AC=a ，BC=b （a ＞b ）．在△ABC 内依次作∠CBD=∠A ，∠DCE=∠CBD ，∠EDF=∠DCE ．则EF 等于（ ） A ．23abB ．23ba C ．34ab D ．34ba 二、细心填一填(每小题3分，共30分)11．如果两个相似多边形的最长边分别为35cm 和14cm ，•那么最短边分别为5cm•和_______cm ．12．如图，铁道口栏杆的短臂长为1.2m ，长臂长为8m ，当短臂端点下降0.6m 时，长臂端点升高________m （杆的粗细忽略不计）．(12题) (13题) (14题) 13．如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，若13AD AB =，ADE S ∆=2，则ED S BC 四边形=________． 14．如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，D 为BC 上一点，过点D 作DE ⊥BC 交AB 于E ，若ED=1，BD=2，则DC 的长为________．15．如图电灯P 在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为CD ，AB•∥CD ，AB=2m ，CD=5m ，点P 到CD 的距离是3m ，则P 到AB 的距离是_______．(15题) (16题) (17题)16．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB•边上的C′处，并且C′D∥BC，则CD的长是_______．17．如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为18．一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm×3.5cm，放映的荧屏的规格为2m×2m，若放映机的光源距胶片20cm时，问荧屏应拉在离镜头_______m的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？(18题) (19题) (20题)19．边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为20．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD•的长为1米，继续往前走2米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度等于_______．三、用心做一做(共60分)21．（6分）如图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝4 cm，BD＝8 cm，DE＝5 cm，求线段BF的长．22．（6分）如图所示，我侦察员在距敌方200米的地方发现敌人的一座建筑物，•但不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员食指竖直举在右眼前，闭上左眼，•并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住．若此时眼睛到食指的距离约为40cm，•食指的长约为8cm．你能根据上述条件计算出敌方建筑物的高度吗（保留到1米）？请说出你的思路．23．（8分）已知：如图，D，E分别在△ABC的边BC，AC上，AD，BE交于点G，AD ⊥BC，点F在AD上，且△EFG∽△BDG.求证：△AEF∽△ACD.24．（10分）在AB=20m，AD=30m的矩形ABCD的花坛四周修筑小路．（1）如果四周的小路的宽均相等，如图（1），那么小路四周所围成的矩形A′B•′C′D′和矩形ABCD相似吗？请说明理由．（2）如果相对着的两条小路的宽均相等，如图（2），试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似？请说明理由．25．（10分）如图所示，在△ABC中，AB=AC=1，点D、E在直线BC上运动，设BD=x，CE=y．（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式；（2）如果∠BAC的度数为α，∠DAE的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，（1）中y与x•之间的函数关系式还成立，试说明理由．26．（10分）如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝40 cm，AD＝30 cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为点M.(1)求证：AMAD＝HGBC；(2)求这个矩形EFGH的周长．27．（10分）（1）阅读下列材料，补全证明过程：已知：如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BC于E，连结DE交OC于点F，作FG⊥BC于G．求证：点G是线段BC的一个三等分点．证明：在矩形ABCD中，OE⊥BC，DC⊥BC，∴ OE ∥DC ．∵ DC OE＝21，∴ FD EF ＝DC OE ＝21．∴ ED EF ＝31． ……（2）请你仿照（1）的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点（要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过程）．参考答案：1．B 2．A 3．D 4．B 5．A 6．B 7．B 8．D 9．B 10．C 11．2 ； 12．4； 13．16 ； 14．4 ； 15．65m ； 16．40/9； 17．； 18.807m ； 19.17 ； 20.6米21.∵ DE ∥BC ，DF ∥AC ，∴ 四边形DECF 是平行四边形． ∴ FC ＝DE ＝5 cm ． ∵ DF ∥AC ，∴FC BF ＝DA BD． 即 5BF ＝48，∴ BF ＝10（cm ）．22．•设建筑物高度为xm ．于是有840200x =，∴x=40m 23．证明：∵△EFG ∽△BDG ，∴∠EFG ＝∠GDB . 又∵∠ADC ＝90°， ∴∠EFG ＝90°.在△AEF 和△ACD 中，∠AFE ＝∠ADC ， ∠A ＝∠A ，∴△AEF ∽△ACD .24.①当x ≠0时，30302'''',20202x A B A D x AB AD+≠∴≠+， 故矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD•不相似 ②当''''A B A D AB AD=时，是矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD 相似，所以3030220202yx+=+，解得x y =23 25.在△ABC 中，AB=AC=1，∠BAC=30°，∠ABC=•∠ACB=75°，∠ABD=∠ACE=105°．又∠DAE=105°，∴∠DAB+∠CAE=75°．• 又∠DAB+•∠ADB=∠ABC=75°， ∴∠CAE=∠ADB ，∴△ADB ∽△EAC ， ∴1,1AB BD x EC AC y ==即，∴y=1x． 当α1β满足β-2α=90°，y=1x仍成立． 此时∠DAB+∠CAE=β-α，∴∠DAB+∠ADB=β-α， ∴∠CAE=∠ADB ．又∵∠ABD=∠ACE ，∴△ADB ∽△EAC ，∴y=1x． 26. (1)证明：∵四边形EFGH 为矩形， ∴EF ∥GH . ∴∠AHG ＝∠ABC . 又∵∠HAG ＝∠BAC ， ∴ △AHG ∽△ABC . ∴ AM AD ＝HGBC .(2)解：由(1)，得AM AD ＝HGBC ，设HE ＝x ，则HG ＝2x ，AM ＝AD －DM ＝AD －HE ＝30－x .可得30－x 30＝2x 40，解得x ＝12 ，即2x ＝24.∴矩形EFGH 的周长为2×(12＋24)＝72(cm)． 27.（1）补全证明过程，方法一：∵ FG ⊥BC ，DC ⊥BC ， ∴ FG ∥DC ． ∴DC FG ＝ED EF ＝31． ∵ AB ＝DC ， ∴AB FG ＝31．又 FG ∥AB ， ∴BC CG ＝AB FG ＝31． 方法二：∵ FG ⊥BC ，DC ⊥BC ， ∴ FG ∥DC ．∴EC EG ＝ED EF ＝31． ∴ EC GC ＝32．∵ E 是BC 的中点， ∴BC GC ＝EC GC2＝62＝31． ∴ 点G 是BC 的一个三等分点． （2）如图，点I 是BC 的一个四等分点．。
九年级数学第二十七章_相似测试题 含答案
1c b a 第2题图n m F E D C B A 第3题图E D C B A第4题图F E D C B A 第7题图PD C BA E 第8题图DC B A九年级数学第二十七章 相似测试一、 选择题：（本大题共12小题，每小题2分，共24分)1.下列四组线段中，不能成比例的是.A. a ＝3，b ＝6，c ＝2，d ＝4B. a ＝1，b ＝3，c ＝4，d ＝12C. a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10D. a ＝2，b ＝3，c ＝4，d ＝62.如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于A 、C 、E 、B 、D 、F ， AC ＝4，CE ＝6，BD ＝3，则BF ＝.A. 7B. 7.5C. 8D. 8.53.如图，在△ABC 中，已知DE ∥BC ，AD ＝3，DB ＝6，DE ＝2，则BC ＝. A. 4 B. 6 C. 10 D. 84.如图，E 是□ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连接AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形.A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对 5.把一张矩形的纸片对折后和原矩形相似，那么大矩形与小矩形的相似比是. A. ∶1 B. 4∶1 C. 3∶1 D. 2∶1 6.已知a 、b 、c 为正数，且＝＝＝k ，下列四个点中，在正比例函数y ＝k x 的图像上的是. A.（1，） B.（1，2） C.（1，－） D.（1，－1）7.如图，已知AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点P ，AB ＝4，CD ＝7，AD ＝10，则AP 的长等于. A. B. C. D.8.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 中点， AE ⊥AD 交CB 的延长线于E ，则下列结论正确的是 A.△AED ∽△ACB B. △AEB ∽△ACDC.△BAE ∽△ACED.△AEC ∽△DAC9.要作一个多边形与已知多边形相似，且使面积 扩大为原来16倍，那么边长为原来.A. 2倍B. 3倍C. 4倍D. 5倍10.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为AB 边上的高，则下列结论：①AC 2＝AD ·AB ； ②CD 2＝AD ·BD ；③BC 2＝BD ·AB ；④CD ·AD ＝AC ·BC ；⑤＝.正确的个数有.2第10题图DC BA第12题图F EDCBA第14题图E D C B A第16题图ED C B A 第15题图E D C B A 第17题图Q PK G F D CBA 第18题图EG F D CBA 第19题图E D CB AA.2个B.3个C.4个D.5个11.如图，△ABC 中，A 、B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是（－1，0），以点C为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A /B /C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍.设点B 的对应点B /的横坐标是a ，则点B /的横坐标是. A. －a B. － C. － D. －12.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 边上的一个动点，AE ⊥EF ，EF 交DC于点F ，设BE ＝x ，FC ＝y ，则当点E 从点B 运动到点C 时，关于x 的函数图像是二、填空题：（本大题共10小题，每小题2分，共20分）13.如果两个相似三角形的面积比是1∶2，那么它们对应边的比是. 14.如图，DE 是△ABC 的中位线，已知＝2，则四边形BCED 的面积为.15.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 是DC 上一点，∠DAE ＝∠BAC ， 则EC 长为.16.顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，△ABC 、△BDC 、△DEC 都是黄金的三角形，已知AB ＝1，则DE ＝.17.如图，Rt △ABC 内有三个内接正方形，DF ＝9cm ，GK ＝6cm ，则第三个正方形的边长PQ 的长是.3第22题图P E D C B A 第23题图D C B A P 第24题图M F ED C BA18.如图，已知△ABC 中，若BC ＝6，△ABC 的面积为12，四边形DEFG 是△ABC 的内接的正方形，则正方形DEFG 的边长是.19.如图，以A 为位似中心，将△ADE 放大2倍后，得位似形△ABC ，若S 1表示△ADE的面积，S 2表示四边形DBCE 的面积，则S 1∶S 2＝.20.直角三角形的两条直角边的长分别为a 和b ，则它的斜边上的高与斜边比为21.如图，直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 是坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在y轴上，如果矩形OA /B /C /与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA /B /C /的面积等于矩形OABC 面积的，那么点B /的坐标是.22.△ABC ≌Rt △ADE ，∠A ＝90°，BC 和DE 交于点P ，若AC ＝6，AB ＝8， 则点P 到AB 边的距离是. 三、解答题：（本大题共56分）23.（6分）如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形. ⑴当AC 、CD 、DB 满足怎样的关系式时，△ACP ∽△PDB ？ ⑵当△ACP ∽△PDB 时，求∠APB 的度数.24.（10分）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF 与BD 相交于点M. ⑴求证：△EDM ∽△FBM ； ⑵若DB ＝9，求BM.4B 第27题图F E DC BA25.（10分）已知△ABC 的三边长分别为20cm 、50cm 、60cm ，现要利用长度分别为30cm和60cm 的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC 相似，要求以其中一根为一边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边，求另外两边的长度（单位：cm ）26.（10分）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，以BC 上一点O 为圆心，OB 为半径的圆交AB 于点M ，交取于点N ， ⑴求证：BA ·BM ＝BC ·BN ；⑵如果CM 是⊙O 的切线，N 是OC 的中点，当AC ＝3时，求AB 的值.27.（10分）如图，已知△ABC ，延长BC 到D ，使CD ＝BC ，取AB 的中点F ，连结FD 交AC 于点E. ⑴求AE ∶AC 的值；⑵若AB ＝a ，FB ＝EC ，求AC 的长.5C第11题图28.（10分）如图，在△ABC 中，AB ＝10cm ，BC ＝20cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向B点以2cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以4cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，问经过几秒钟，△PBQ 与△ABC 相似.参考答案：一、 选择题：1.C ；2.B ；3.B ；4.C ；5.A ；6.A ；7.C ；8.C ；9.C ；10.C ；11.D ；12.A ； 二、填空题：13. 1∶；14. 6；15. 25；16.；17. 4cm ；18. 2.4；19. 1∶3；20.；21.（3，2）或（－3，－2）；22.；11.解：把图形向右平移1个单位长度，则点C 的坐标 与原点O 重合，与B /的对应点B //的横坐标6F第22题图PE DCB A第23题图DC BA P 第24题图M FE D C BA 第12题图F ED CBA 变为a ＋1，此时△ABC 以原点O 为位似中心 的位似图形是△A //B //C ，则与点B //对应的点 的横坐标为－（a ＋1），把该点的横坐标向左平移一个单位，则得到B 的横坐标为－（a ＋1）－1，即 －（a ＋3）.选择D. 12.解：特别的，当BE ＝0和4时，FC ＝0.当0＜BE ＜4时，易证： Rt △ABE ∽Rt △ECF∴＝ ∴＝∴y ＝x 2＋x ∴y 是x 的函数.当x ＝2时，y 有最大值，最大值是1. 选择A. 22题：解：作PF ⊥AB 于点F设PF ＝x ，由题意：BE ＝CD ＝2， ∴Rt △EFP ∽Rt △EAD. ∴＝∴EF ＝x∴Rt △BFP ∽Rt △BAC ∴＝∴＝∴x ＝三、解答题：23.解：⑴∵△PCD 是等边三角形∴∠PCD ＝∠PDC ＝60°PC ＝PD ＝CD ∴∠PCA ＝∠PDB ＝120° ∴当AC 、CD 、DB 满足 CD 2＝AC ·BD即 ＝ 时，△ACP ∽△PDB⑵当△ACP ∽△PDB 时由∠A ＝∠BPD ，∠B ＝∠APC∴∠PCD ＝∠A ＋∠APC ＝60°＝∠A ＋∠B ∠PDC ＝∠B ＋∠BPD ＝60°∴∠APB ＝60°＋∠APC ＋∠BPD ＝60°＋60°－∠A ＋∠60°－∠B ＝180°－（∠A ＋∠B ）＝180°－60°＝120° 24.解：⑴∵AB ＝2CD AE ＝BE ∴CD ＝BE 又∵AB ∥CD ∴CD ∥BE 且CD ＝BE∴四边形EBCD 是平行四边形 ∴DE ∥BC∴△EDM ∽△FBM⑵∵△EDM ∽△FBM FB ＝BC ＝DE ∴＝＝∴＝∴＝∴BM ＝3.7B G第27题图F E D C B A第28题图①Q PC B A 第28题图②QP CBA 25.解：⑴如果将长度为60cm 木条作为其中一边，把30cm 木条截成两段，其三角形不存在；⑵如果将长度为30cm 的木条作为其中一边，把60cm 的木条截成两边，则：①将30cm 的木条作最长边，于是有 ＝＝ 三边成比例.此时三角形木架与△ABC 相似；②将30cm 的木条作为第二长的边，于是有 ＝＝ 三边成比例，此时三角形木架与△ABC 相似；③将30cm 的木条作为最短边，则三边对应不成比例； 因此，另外两边的长度分别为10cm 、25cm 或12cm 、36cm.26.解：⑴证明：连NM∵NB 是⊙O 的直径 ∴NM ⊥BM 在△ACB 和△NMB 中∠ACB ＝∠NMB ＝90°∠ABC ＝∠NBM ∴△ACB ∽△NMB∴＝ 即 BA ·BM ＝BC ·BN ⑵连OM ∵CM 是⊙O 的切线 ∴CM ⊥OM ∴△CMO 是直角三角形 ∵CN ＝ON ∴MN ＝OC ＝ON ∵ON ＝OM ∴△OMN 是等边三角形 ∴∠MON ＝60°∵OM ＝OB ∴∠B ＝30°∴在Rt △ACB 中，AB ＝6. 27.解：⑴证明：过点C 作CG ∥AB 交DF 于G则 △EAF ∽△ECG △DCG ∽△DBF ∴＝＝又∵AF ＝BF ∴＝ ∵BC ＝CD ∴＝ ∴＝ 即＝⑵∵AB ＝a ，BF ＝AB ＝a ，又∵FB ＝EC ，∴EC ＝a ∵＝ ，∴AC ＝3EC ＝a.28.解：设经过t s 时，△PBQ ∽△ABC ，则 AP ＝2t ，BQ ＝4t ，BP ＝10－2t⑴ 如图① 当△PBQ ∽△ABC 时，有 ＝即 ＝∴t ＝2.5⑵ 如图②当△QBP ∽△ABC 时，有＝ 即 ＝ ∴t ＝1综合以上可知：经过2.5秒或1秒时，△QBP和△ABC相似.8。
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第二十七章 相似一、选择题1．2018·内江已知△ABC 与△A 1B 1C 1相似，且相似比为1∶3，则△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比为( ) A ．1∶1 B ．1∶3 C ．1∶6 D ．1∶92．2018·绍兴学校门口的栏杆如图1所示，栏杆从水平位置BD 绕O 点旋转到AC 位置，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，垂足分别为B ，D ，AO ＝4 m ，AB ＝1.6 m ，CO ＝1 m ，则栏杆C 端应下降的垂直距离CD 为( )图1A ．0.2 mB ．0.3 mC ．0.4 mD ．0.5 m3．2018·临沂如图2，利用标杆BE 测量建筑物的高度．已知标杆BE 高1.2 m ，测得AB ＝1.6 m ，BC ＝12.4 m ，则建筑物CD 的高是( )图2A ．9.3 mB ．10.5 mC ．12.4 mD ．14 m4．2018·潍坊在平面直角坐标系中，P(m ，n)是线段AB 上一点，以原点O 为位似中心把△AOB 放大到原来的两倍，则点P 的对应点的坐标为( )A ．(2m ，2n)B ．(2m ，2n)或(－2m ，－2n)C ．(12m ，12n)D ．(12m ，12n)或(－12m ，－12n)5．2018·宜宾如图3，将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到△A′B′C′的位置，已知△ABC 的面积为9，阴影部分三角形的面积为4.若AA′＝1，则A′D 等于( )图3A ．2B ．3 C.23 D.326．2018·泰州如图4，平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(9，6)，AB ⊥y 轴，垂足为B ，点P 从原点O出发向x 轴正方向运动，同时，点Q 从点A 出发向点B 运动，当点Q 到达点B 时，点P ，Q 同时停止运动，若点P 与点Q 的速度之比为1∶2，则下列说法正确的是( )图4A ．线段PQ 始终经过点(2，3)B ．线段PQ 始终经过点(3，2)C ．线段PQ 始终经过点(2，2)D ．线段PQ 不可能始终经过某一定点 二、填空题7．2018·嘉兴如图5，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ，直线DF 分别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ，已知AB AC ＝13，则EFDE＝________．图58．2018·南充如图6，在△ABC 中，DE ∥BC ，BF 平分∠ABC ，交DE 的延长线于点F ，若AD ＝1，BD ＝2，BC ＝4，则EF ＝________．图69．2018·岳阳《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“如图7，今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是________步．图7三、解答题10．2018·杭州如图8，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的中线，DE ⊥AB 于点E. (1)求证：△BDE ∽△CAD ；(2)若AB ＝13，BC ＝10，求线段DE 的长．图811．2018·安徽如图9，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O ，A ，B 均为网格线的交点．(1)在给定的网格中，以点O 为位似中心，将线段AB 放大为原来的2倍，得到线段A 1B 1(点A ，B 的对应点分别为A 1，B 1)，画出线段A 1B 1；(2)将线段A 1B 1绕点B 1逆时针旋转90°得到线段A 2B 1，画出线段A 2B 1；(3)以A ，A 1，B 1，A 2为顶点的四边形AA 1B 1A 2的面积是________个平方单位．图912．2018·衢州如图10，已知AB 为⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，连接BC 交⊙O 于点F ，取BF ︵的中点D ，连接AD 交BC 于点E ，过点E 作EH ⊥AB 于点H.(1)求证：△HBE ∽△ABC ；(2)若CF ＝4，BF ＝5，求AC 和EH 的长．图1013．2018·宁波若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形． (1)已知△ABC 是比例三角形，AB ＝2，BC ＝3，请直接写出所有满足条件的AC 的长；(2)如图11①，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线BD 平分∠ABC ，∠BAC ＝∠ADC.求证：△ABC 是比例三角形；(3)如图②，在(2)的条件下，当∠ADC ＝90°时，求BDAC的值．图11详解详析1．[解析] D ∵△ABC 与△A 1B 1C 1相似，且相似比为1∶3，∴S △ABC S △A 1B 1C 1＝(13)2＝19.故选D.2．[解析] C 由题意可知△ABO ∽△CDO ，根据相似三角形的性质可得AO CO ＝ABCD，又AO ＝4 m ，AB ＝1.6 m ，CO＝1 m ，∴41＝1.6CD，解得CD ＝0.4(m)．故选C.3．[解析] B 由题意知BE ∥CD ，∴△ABE ∽△ACD ，∴BE CD ＝AB AC ，即1.2CD ＝ 1.61.6＋12.4，解得CD ＝10.5(m)．故选B.4．[解析] B 当放大后的△A′O′B′与△AOB 在原点O 的同侧时，点P 的对应点的坐标为(2m ，2n)；当放大后的△A′O′B′与△AOB 在原点O 的异侧时，点P 的对应点的坐标为(－2m ，－2n)．故选B.5．[解析] A 如图，∵S △ABC ＝9，S △A′EF ＝4，且AD 为BC 边上的中线，∴S △A′DE ＝12S △A′EF ＝2，S △ABD ＝12S △ABC ＝92.∵将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移得到△A′B′C′， ∴A′E∥AB ，∴△DA′E∽△DAB ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫A′D AD 2＝S △A′DE S △ABD， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫A′D A′D＋12＝292， 解得A′D＝2或A′D＝－25(舍去)．故选A.6．[解析] B 解法一：如图，连接AO 交⊥AB 于点D ， ∵AB ⊥y 轴， ∴AB ∥x 轴，∴∠A ＝∠COP ，∠AQC ＝∠OPC ， ∴△AQC ∽△OPC ， ∴AC OC ＝AQOP ＝2， ∴AC AO ＝23. 同理可得CD ＝23BO ＝4，AD ＝23AB ＝6.∵点A 的坐标为(9，6)， ∴点C 的坐标为(3，2)．即线段PQ 始终经过点(3，2)．故选B.解法二：当OP ＝t 时，点P 的坐标为(t ，0)，点Q 的坐标为(9－2t ，6)． 设直线PQ 的解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)，将P(t ，0)，Q(9－2t ，6)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧kt ＋b ＝0，（9－2t ）k ＋b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝23－t ，b ＝2t t －3， ∴直线PQ 的解析式为y ＝23－t x ＋2tt －3.当x ＝3时，y ＝2，∴直线PQ 始终经过点(3，2)． 故选B.7．[答案] 2[解析] 由AB AC ＝13得AB BC ＝13－1＝12，则BCAB＝2.因为直线l 1∥l 2∥l 3，所以EF DE ＝BCAB＝2.故答案为2.8．[答案] 23[解析] ∵DE ∥BC ，AD ＝1，BD ＝2，BC ＝4，∴AD AB ＝DE BC ，即13＝DE 4，解得DE ＝43.∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABF ＝∠FBC.又∵DE ∥BC ，∴∠FBC ＝∠F ，∴∠ABF ＝∠F ，∴BD ＝DF ＝2.∵DF ＝DE ＋EF ，∴EF ＝2－43＝23.故答案为：23.9．[答案] 6017[解析] 如图．设该直角三角形能容纳的正方形边长为x ，则AD ＝12－x ，FC ＝5－x. 根据题意，得△ADE ∽△EFC ， ∴AD EF ＝DE FC ， 即12－x x ＝x 5－x ，解得x ＝6017.故答案为6017.10．解：(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠∵AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，∴BD ＝CD ，AD ⊥BC. 又∵DE ⊥AB ，∴∠DEB ＝∠ADC ， ∴△BDE ∽△CAD.(2)∵BC ＝10，∴BD ＝12BC ＝5.在Rt △ABD 中，有AD 2＋BD 2＝AB 2，∴AD ＝132－52＝12.∵△BDE ∽△CAD ，∴BD CA ＝DE AD ，即513＝DE 12，∴DE ＝6013.11．解：(1)如图所示，线段A 1B 1即为所求． (2)如图所示，线段A 2B 1即为所求．112∴四边形AA 1B 1A 2的面积是(22＋42)2＝(20)2＝20. 故答案为：20.12．[解析] (1)根据切线的性质可证明∠CAB ＝∠EHB ，由此即可解决问题；(2)连接AF.由△CAF ∽△CBA ，推出AC 2＝CF·CB＝36，可得AC ＝6，AB ＝BC 2－AC 2＝3 5，AF ＝AB 2－BF 2＝2 5，由Rt △AEF ≌Rt △AEH ，推出AF ＝AH ＝2 5.设EF ＝EH ＝x.在Rt △EHB 中，可得(5－x)2＝x 2＋(5)2，解方程即可解决问题．解：(1)证明：∵AC 是⊙O 的切线，∴CA ⊥AB. ∵EH ⊥AB ，∴∠EHB ＝∠CAB.又∵∠EBH ＝∠CBA ，∴△HBE ∽△ABC. (2)如图，连接AF.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AFB ＝90°. ∵∠C ＝∠C ，∠CAB ＝∠AFC ，∴△CAF ∽△CBA ，∴AC CB ＝CFAC，∴AC 2＝CF·CB＝36，∴AC ＝6，AB ＝BC 2－AC 2＝3 5，AF ＝AB 2－BF 2＝2 5. ∵DF ︵＝BD ︵，∴∠EAF ＝∠EAH. ∵EF ⊥AF ，EH ⊥AB ，∴EF ＝EH.又∵AE ＝AE ，∴Rt △AEF ≌Rt △AEH ， ∴AF ＝AH ＝2 5.设EF ＝EH ＝x.在Rt △EHB 中，(5－x)2＝x 2＋(5)2， ∴x ＝2，∴EH ＝2.13．解：(1)AC 的长为43或92或 6.(2)证明：∵AD ∥BC ， ∴∠ACB ＝∠CAD. 又∵∠BAC ＝∠ADC ， ∴△ABC ∽△DCA ， ∴BC CA ＝CA AD ，即CA 2＝BC·AD. ∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠CBD. ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD ＝∠CBD ， ∴∠ADB ＝∠ABD ， ∴AB ＝AD ，∴CA 2＝BC·AB，∴△ABC 是比例三角形．(3)如图，过点A 作AH ⊥BD 于点H. ∵AB ＝AD ，∴BH ＝12BD.∵AD ∥BC ，∠ADC ＝90°， ∴∠BCD ＝90°，∴∠BHA ＝∠BCD ＝90°. 又∵∠ABH ＝∠DBC ，∴△ABH ∽△DBC ， ∴AB BD ＝BH BC， ∴AB·BC＝DB·BH，∴AB·BC ＝12BD 2.又∵AB·BC＝AC 2， ∴12BD 2＝AC 2， ∴BDAC＝ 2.。