第四讲 matlab插值、拟合和回归分析
matlab插值与拟合
matlab插值与拟合
在MATLAB中，插值和拟合都是通过函数来实现的。
插值是通过创建新的数据点来填充在已知数据点之间的空白。
MATLAB提供了几种不同的插值方法，例如分段线性插值、三次样条插值、立方插值等。
具体使用哪种插值方法取决于数据的特性和所需的精度。
插值函数的一般形式是`interp1(x, y, xi, 'method')`，其中`x`和`y`是已知的数据点，`xi`是待插值点的横坐标向量，`method`是插值方法，例如最近邻点插值、线性插值、三次样条插值、立方插值等。
拟合是通过调整一个数学模型来使得该模型尽可能地接近给定的数据点。
在MATLAB中，可以使用`polyfit`函数进行多项式拟合。
该函数的一般形式是`p = polyfit(x, y, n)`，其中`x`和`y`是已知的数据点，`n`是多项式的阶数。
该函数返回一个向量`p`，表示多项式的系数。
可以使用`polyval`函数来评估这个多项式模型在给定数据点上的值。
需要注意的是，插值和拟合都是数学上的近似方法，它们只能尽可能地逼近真实的情况，而不能完全准确地描述数据的变化。
因此，选择合适的插值和拟合方法是非常重要的。
Matlab__数据处理函数(插值,拟合,回归分析)
Matlab曲线拟合工具箱zy搜集整理1 插值 (1)1.1 一维插值interp1 (1)1.2 二维数据内插值interp2 (3)1.3 三维插值interp3 (4)1.4 快速Fourier 算法作一维插值interpft (5)1.5 命令5 griddata (5)1.6 三次样条数据插值spline (6)1.7 n 维数据插值interpn (7)1.8 生成三位图形矩阵数据meshgrid (8)1.9 多维函数数据产生函数ndgrid (8)2 拟合 (9)2.1 多项式曲线拟合ployfit (9)2.2 多项式曲线求值函数polyval (10)2.3 多项式曲线拟合的评价和置信区间函数polyconf (10)2.4 稳健回归函数robust (11)2.5 向自定义函数拟合nlinfit (12)2.6 拟合工具cftool (13)3 回归分析 (14)3.1 多元线性回归分析函数regress (15)1插值Matlab中插值函数汇总和使用说明1.1 一维插值interp1MATLAB中的插值函数为interp1，其调用格式为：yi= interp1(x,y,xi,'method') 其中x，y为插值点，yi为在被插值点xi处的插值结果；x,y为向量，'method'表示采用的插值方法，MATLAB提供的插值方法有几种：'method'是最邻近插值，'linear'线性插值；'spline'三次样条插值；'cubic'立方插值．缺省时表示线性插值注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。
例如：在一天24小时内，从零点开始每间隔2小时测得的环境温度数据分别为12，9，9，10，18 ，24，28，27，25，20，18，15，13，推测中午12点（即13点）时的温度．x=0:2:24;y=[12 9 9 10 18 24 28 27 25 20 18 15 13];a=13;y1=interp1(x,y,a,'spline')结果为：27.8725若要得到一天24小时的温度曲线，则：xi=0:1/3600:24;yi=interp1(x,y,xi, 'spline');plot(x,y,'o' ,xi,yi)命令1 interp1功能一维数据插值（表格查找）。
matlab4插值与拟合
1. 多项式拟合x0=0:0.1:1；y0=[-.447 1.978 3.11 5.25 5.02 4.66 4.01 4.58 3.45 5.35 9.22];p=polyfit(x0,y0,3)p = 56.6915 -87.1174 40.0070 -0.9043poly2str(p,'x')xx=0:0.01:1;yy=polyval(p,xx);plot(xx,yy,'-b',x0,y0,'or')2.插值插值的定义——是对某些集合给定的数据点之间函数的估值方法。
当不能很快地求出所需中间点的函数时，插值是一个非常有价值的工具。
Matlab提供了一维、二维、三次样条等许多插值选择table1 ——table2 ——intep1 ——interp2 ——spline ——利用已知点确定未知点粗糙——精确集合大的——简化的二维数据插值在MATLAB中，提供了解决二维插值问题的函数interp2，其调用格式为：Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,'method')其中X,Y是两个向量，分别描述两个参数的采样点，Z是与参数采样点对应的函数值，X1,Y1是两个向量或标量，描述欲插值的点。
Z1是根据相应的插值方法得到的插值结果。
method的取值与一维插值函数相同。
X,Y,Z也可以是矩阵形式。
同样，X1,Y1的取值范围不能超出X,Y的给定范围，否则，会给出“NaN”错误，若X维数为1*n, Y维数为1*m,则Z的维数必须是m*n.例如1某实验对一根长10米的钢轨进行热源的温度传播测试。
用x表示测量点0:2.5:10(米)，用h表示测量时间0:30:60(秒)，用T表示测试所得各点的温度(℃)。
试用线性插值求出在一分钟内每隔20秒、钢轨每隔1米处的温度TI。
命令如下：x=0:2.5:10;h=[0:30:60]';T=[95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41];xi=[0:10];hi=[0:20:60]';TI=interp2(x,h,T,xi,hi)mesh(xi,hi,TI)surfc(x,h,T)例2 某观测站测得某日6:00时至18:00时之间每隔2小时的室内外温度(℃)，用3次样条插值分别求得该日室内外6:30至17:30时之间每隔2小时各点的近似温度(℃)。
Matlab中的插值与拟合技术
Matlab中的插值与拟合技术在科学研究和工程领域中，数据的插值和拟合技术在数值计算和数据处理中具有重要意义。
Matlab作为一款强大的科学计算软件，提供了丰富的插值和拟合函数和工具箱，能够满足不同场景下的需求。
插值是一种通过已知数据点构建新数据点的技术。
在实际问题中，我们经常会遇到仅有少量已知数据点，但需要了解未知数据点的情况。
插值技术就可以帮助我们填补数据之间的空缺，以便更好地分析和理解数据。
Matlab中提供了多种插值函数，包括线性插值、多项式插值、样条插值等。
这些函数能够根据已知数据点的特征，推测出未知数据点的可能取值。
通过合理选择插值方法和参数，我们可以得到较为准确的结果。
以线性插值为例，其原理是根据已知数据点的直线特征，推测出未知数据点的取值。
在Matlab中，我们可以使用interp1函数实现线性插值。
该函数的基本用法是给定一组x和对应的y值，以及待插值的点xq，函数将计算出对应的插值点yq。
通过指定xq的形式，我们可以实现不仅仅是单个点的插值，还可以实现多点插值和插值曲线绘制。
这种灵活性使得插值操作更加方便快捷。
拟合技术则是通过一定数学函数的近似表示，来描述已知数据的特征。
它可以帮助我们找到数据背后的规律和趋势，从而更好地预测未知数据。
在Matlab中，拟合问题可以通过polyfit和polyval函数来解决。
polyfit函数可以根据一组已知数据点，拟合出最优的多项式曲线。
该函数的输入参数包括x和y，代表已知数据的横纵坐标值；以及n，代表拟合的多项式次数。
polyfit函数将返回拟合得到的多项式系数。
通过polyval函数，我们可以使用这些系数来求解拟合曲线的纵坐标值。
这样，我们就能够利用拟合曲线来预测未知数据点。
插值和拟合技术在实际问题中都有广泛的应用，尤其在数据处理和信号处理方面。
例如，当我们在实验中测量一组数据时，可能会存在测量误差或者数据缺失的情况。
此时，通过插值技术我们可以填补数据之间的空白，并得到一个更加完整的数据集。
Matlab中的曲线拟合与插值技巧
Matlab中的曲线拟合与插值技巧在数据科学和工程领域中，曲线拟合和插值技术是常用的数学方法。
在Matlab 中，有许多工具和函数可用于处理这些技术。
本文将讨论Matlab中的曲线拟合和插值技巧，并介绍一些实际应用案例。
一、曲线拟合技术曲线拟合是根据已知数据点来构造一个与这些点最匹配的曲线模型。
在Matlab 中，常用的曲线拟合函数包括polyfit和lsqcurvefit。
1. polyfit函数polyfit函数是Matlab中一个功能强大的多项式拟合函数。
它可以拟合多项式曲线模型，并通过最小二乘法找到最佳拟合系数。
例如，我们有一组数据点(x,y)，我们想要拟合一个二次多项式曲线来描述这些数据。
可以使用polyfit函数：```matlabx = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 4, 6, 8, 10];degree = 2;coefficients = polyfit(x, y, degree);```在上述例子中，degree参数设置为2，表示拟合一个二次多项式曲线。
polyfit 函数将返回一个包含拟合系数的向量，可以用来构造拟合曲线。
2. lsqcurvefit函数lsqcurvefit函数是Matlab中一个用于非线性最小二乘拟合的函数。
与polyfit函数不同，lsqcurvefit函数可以用于拟合任意曲线模型，不局限于多项式。
例如，我们想要拟合一个指数函数曲线来拟合数据：```matlabx = [1, 2, 3, 4, 5];y = [1.1, 2.2, 3.7, 6.5, 12.3];model = @(params, x) params(1)*exp(params(2)*x);params0 = [1, 0];estimated_params = lsqcurvefit(model, params0, x, y);```在上述例子中，model是一个函数句柄，表示要拟合的曲线模型。
第四章数据处理1. 插值与拟合2. MATLAB指令的用法
1. 插值与拟合
插值问题 :已知函数f (x)的离散值,用已知函数g(x)逼近f (x)。 g(x)称为插值函数，可以是代数多项式，三角多项式或有理函数等。 按插值范围分为内插:在已知数据点范围之内插入数据
外插:在已知数据点的范围之外插入数据。 按插值方法分为
• 多项式插值 二点可连直线，三点可定抛物线，通常n + 1个数据点可定不高于n次的代 数多项式，使其代表的曲线通过这n + 1个数据点。 插值多项式有：拉格朗日多项式，牛顿多项式，埃尔米特多项式。
l1(x)
=
(x (x1
− −
x0)(x − x2) x0)(x1 − x2)
l2(x)
=
(x (x2
− −
x0)(x − x1) x0)(x2 − x1)
L2(x)
=
(x (x0
− −
x1)(x − x2) x1)(x0 − x2)
y0
+
(x (x1
− −
x0)(x − x2) x0)(x1 − x2)
解：设所求的最小二乘二次拟合多项式是P2(x) = a0 + a1x + a2x2,此问题的
正则方程组是
9a0 + 0 + 3.75a2 = 18.1732
0 + 3.75a1 3.75a0 + 0
a2 =
7.6173
其解为a0 = 2.0034, a1 = 2.2625, a3 = 0.0378，所求多项式为
l1(x0) = 0, l1(x1) = 1, l1(x2) = 0,
也就是
l2(x0) = 0, l2(x1) = 0, l2(x2) = 1.
插值与拟合的MATLAB实现
插值与拟合的MATLAB实现插值和拟合是MATLAB中常用的数据处理方法。
插值是通过已知数据点之间的数值来估计未知位置的数值。
而拟合则是通过已知数据点来拟合一个曲线或者函数，以便于进行预测和分析。
插值方法：1.线性插值：使用MATLAB中的interp1函数可以进行线性插值。
interp1函数的基本语法为：yinterp = interp1(x, y, xinterp)，其中x和y为已知数据点的向量，xinterp为待插值的位置。
函数将根据已知数据点的线性关系，在xinterp位置返回相应的yinterp值。
2.拉格朗日插值：MATLAB中的lagrangepoly函数可以使用拉格朗日插值方法。
lagrangepoly的基本语法为：yinterp = lagrangepoly(x, y, xinterp)，其中x和y为已知数据点的向量，xinterp为待插值的位置。
函数将根据拉格朗日插值公式，在xinterp位置返回相应的yinterp值。
3.三次样条插值：使用MATLAB中的spline函数可以进行三次样条插值。
spline函数的基本语法为：yinterp = spline(x, y, xinterp)，其中x和y为已知数据点的向量，xinterp为待插值的位置。
函数将根据已知数据点之间的曲线关系，在xinterp位置返回相应的yinterp值。
拟合方法：1.多项式拟合：MATLAB中的polyfit函数可以进行多项式拟合。
polyfit的基本语法为：p = polyfit(x, y, n)，其中x和y为已知数据点的向量，n为要拟合的多项式的次数。
函数返回一个多项式的系数向量p，从高次到低次排列。
通过使用polyval函数，我们可以将系数向量p应用于其他数据点，得到拟合曲线的y值。
2.曲线拟合：MATLAB中的fit函数可以进行曲线拟合。
fit函数的基本语法为：[f, goodness] = fit(x, y, 'poly2')，其中x和y为已知数据点的向量，'poly2'表示要拟合的曲线类型为二次多项式。
MATLAB中的数据插值与拟合方法介绍
MATLAB中的数据插值与拟合方法介绍概述数据处理是科学研究和工程实践中的重要环节之一。
对于实验或观测数据，我们常常需要通过插值和拟合方法来获取更加精确和连续的函数或曲线。
在MATLAB中，有多种方法和函数可以用于实现数据插值和拟合，本文将介绍其中的一些常用方法。
一、数据插值数据插值是指利用有限个数据点，通过某种方法构建一个连续的函数，以实现在这些点之间任意位置的数值估计。
在MATLAB中，常用的数据插值方法有线性插值、多项式插值、三次样条插值等。
1. 线性插值线性插值是最简单的插值方法之一，假设我们有两个数据点 (x1, y1) 和 (x2, y2)，要在这两个点之间插值一个新的点 (x, y)，线性插值即为连接 (x1, y1) 和 (x2, y2) 这两个点的直线上的点(x, y)。
在MATLAB中，可以通过interp1函数进行线性插值。
2. 多项式插值多项式插值是使用一个低次数的多项式函数来拟合数据的方法。
在MATLAB 中，可以通过polyfit函数进行多项式拟合，然后利用polyval函数来进行插值。
具体的插值效果与所选用的多项式阶数有关。
3. 三次样条插值三次样条插值算法利用相邻数据点之间的三次多项式来拟合数据，从而构成一条光滑的曲线。
在MATLAB中，可以通过spline函数进行三次样条插值。
二、数据拟合除了插值方法外，数据拟合也是处理实验或观测数据的常见方法之一。
数据拟合是指通过选择一个特定的数学模型，使该模型与给定的数据点集最好地拟合。
在MATLAB中，常用的数据拟合方法有多项式拟合、指数拟合、非线性最小二乘拟合等。
1. 多项式拟合在MATLAB中，可以使用polyfit函数进行多项式拟合。
该函数通过最小二乘法来拟合给定数据点集，并得到一个多项式函数。
根据所选用的多项式阶数，拟合效果也会有所不同。
2. 指数拟合指数拟合常用于具有指数关系的数据。
在MATLAB中，可以通过拟合幂函数的对数来实现指数拟合。
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第四讲 插值、拟合与回归分析在生产实践和科学研究中，常常有这样的问题：由实验或测量得到变量间的一批离散样本点，要求得到变量之间的函数关系或得到样本点之外的数据。
解决此类问题的方法一般有插值、拟合和回归分析等。
设有一组实验数据0011(,),(,),(,)n n x y x y x y ，当原始数据精度较高，要求确定一个简单函数()y x ϕ=（一般为多项式或分段多项式）通过各数据点，即(),0,,i i y x i n ϕ== ，称为插值问题。
另一类是拟合问题，当我们已经有了函数关系的类型，而其中参数未知或原始数据有误差时，我们确定的初等函数()y x ϕ=并不要求经过数据点，而是要求在某种距离度量下总体误差达到最小，即(),0,,i i i y x i n ϕε=+= ，且20ni i ε=∑达到最小值。
对同一组实验数据，可以作出各种类型的拟合曲线，但拟合效果有好有坏，需要进行有效性的统计检验，这类问题称为回归分析。
一、插值(interpolation)常用的插值方法有分段线性插值、分段立方插值、样条插值等。
1、一元插值yi=interp1(x,y,xi,method)对给定数据点(x,y)，按method 指定的方法求出插值函数在点（或数组）xi 处的函数值yi 。
其中method 是字符串表达式，可以是以下形式：'nearest' ——最邻近点插值'linear' ——分段线性插值（也是缺省形式）'spline' ——分段三次样条插值'cubic' 分段立方插值例：在一天24小时内，从零点开始每间隔2小时测得环境温度数据分别为（℃）：12，9，9，10，18，24，28，27，25，20，18，15，13用不同的插值方法估计中午1点（即13点）的温度，并绘出温度变化曲线。
>> x=0:2:24;>> y=[12 9 9 10 18 24 28 27 25 20 18 15 13];>>y_linear=interp1(x,y,13),y_nearest=interp1(x,y,13,'nearest')>>y_cubic=interp1(x,y,13,'cubic'),y_spline=interp1(x,y,13,'spline')>> y1=interp1(x,y,xx); y2=interp1(x,y,xx,'nearest');>> y3=interp1(x,y,xx,'cubic');y4=interp1(x,y,xx,'spline');>> subplot(2,2,1),plot(x,y,'or',xx,y1)>> subplot(2,2,2),plot(x,y,'or',xx,y2)>> subplot(2,2,3),plot(x,y,'or',xx,y3)>> subplot(2,2,4),plot(x,y,'or',xx,y4)2、二元插值zi=interp2(X,Y,Z,xi,yi,method)已知数据点（X，Y，Z），求插值函数在（xi,yi）处的函数值zi,插值方法method同interp1。
这里要求X,Y,Z是同维矩阵，且X，Y是网格矩阵，或者X是与Z列数相同的行向量，Y是与Z行数相同的列向量。
例：测得平板表面5 3网格点处的温度分别为试作出平板表面的温度分布图>> x=1:5;y=1:3;z=[82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86];>> xx=1:0.1:5;yy=1:0.1:3;yy=yy';>> zz=interp2(x,y,z,xx,yy,'cubic');>> mesh(xx,yy,zz)3、不规则点的插值若数据是不规则的，即数据不能构成矩阵形式，从而不能用interp2函数进行插值。
zi=griddata(x,y,z,xi,yi,method)这里,x,y,z为同维向量，表示已知数据点的坐标，xi,yi是行向量和列向量，返回值zi为在meshgrid(xi,yi)网格矩阵处的函数值。
method 可选择’linear’,’nearest’,’cubic’。
例：假如上例中的数据残缺不全>> x=[3 4 5 1 3 4 1 2 5];y=[1 1 1 2 2 2 3 3 3];>>z=[80 82 84 79 61 65 84 84 86];>> xx=1:0.1:5;yy=1:0.1:3;>> zz=griddata(x,y,z,xx,yy','cubic');>> mesh(xx,yy',zz)二、拟合(Fit)1、多项式拟合p=polyfit(x,y,n) 用n次多项式拟合向量数据(x,y)。
例：拟合下列数据>> x=[0.1 0.2 0.15 0 -0.2 0.3];y=[0.95 0.84 0.86 1.06 1.50 0.72];>> p=polyfit(x,y,2);>> xx=-0.2:0.01:0.3;yy=polyval(p,xx);>> plot(x,y,'or',xx,yy)2、曲线拟合当经验函数不是多项式，而是其它类型的函数时，可以用lsqcurvefit 函数对拟合函数中的未知参数进行估计。
c=lsqcurvefit(fun,c0,xdata,ydata)fun 是经验拟合函数，含有未知参数，即具有形式fun(c,x)，c0是未知参数的预估计值，(xdata,ydata)是已知实验数据。
例：已知数据表用适当的曲线进行数据拟合。
先画散点图，根据散点图确定拟合曲线为对数函数ln b t y a += >> t=1:16;>> y=[4 6.4 8 8.4 9.28 9.5 9.7 9.86 10 10.2 10.32 10.42 10.5 ... 10.55 10.58 10.6]; >> plot(t,y,'or')>> f=inline('c(1)+c(2)*log(t)','c','t') %建立拟合函数 >> c=lsqcurvefit(f,[1,1],t,y) %求未知参数 >> tt=1:0.1:16;yy=f(c,tt); >> hold on >> plot(tt,yy) 3、拟合工具箱Matlab 中的拟合工具箱是一个更方便、更直观进行曲线拟合的图形界面，用cftool 指令打开拟合工具箱。
拟合效果主要看2个参数：SSE （误差平方和）和R-Square ，SSE 越接近0，R-Square 越接近1，拟合效果越好。
三、多元线性回归问题：设有因变量y 和p 个自变量12,,p x x x ，它们具有某种线性关系 1122p p y x x x βββε=+++ 其中12,,p βββ 为待定系数，ε为随机误差。
现有容量为n 观测数据,,1,2,,1,2,i ij y x i n j p == ，怎样确定待定系数12,,p βββ ，并进行有效性检验？将样本代入关系式，得Y X βε=+，其中1111211221222212,,p p p n n np p y x x x y x x x Y X y x x x ββββ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦Matlab 求解：[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y ,X,alpha)其中alpha 为显著性水平，省略时为默认值0.05；输出变量中，b 为β的参数估计值，bint 为b 的置信度为1-alpha 的置信区间，r 为残差向量Y X β-，也即ε，rint 为ε的置信区间，stats 是包含3个元素的检验统计量，分别是R-square ：相关系数R 的平方，F-统计量和p 值。
回归效果：R-Square 越接近1，p 值越接近0（一般要求p<0.05）。
例：某种水泥在凝固时放出的热量（单位:卡/克）Y 与水泥中下列4种化学成分所占的百分比有关：x1:233CaO Al O ⋅; x2: 23CaO SiO ⋅; x3:23234.CaO Al O Fe O ⋅; x4:22CaO SiO ⋅ 现测得13组数据，见表，要求建立热量与水泥化学成分之间的经验回归关系式。
输入数据，可以先建立2个全零矩阵x=zeros(13,4);y=zeros(13,1);然后将表中的数据直接复制、粘贴到相应位置。
>> [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x) 最后得到的回归方程为：12342.193 1.15330.75850.4863y x x x x =+++如果回归方程是形式：01122p p y x x x ββββε=++++ ，相当于增加一个变量0x ，001122p p y x x x x ββββε=++++ ，而01x ≡。
如上例>> x=[ones(13,1),x];>> [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x) 得回归关系式：123462.4054 1.55110.51020.10190.1441y x x x x =+++-上机练习1、在1-12的11小时内，每隔1小时测量一次温度，测得的温度依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。
试估计每隔1/10小时的温度值。
2、已知飞机下轮廓线上数据如下，求x 每改变0.1时的y 值。
X 035791112131415Y0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.63、在某海域测得一些点(x,y)处的水深z 由下表给出，船的吃水深度为5英尺，在矩形区域（75，200）*（-50，150）里的哪些地方船要避免进入。
4、山区地貌：在某山区测得一些地点的高程如下表：(平面区域1200<=x<=4000,1200<=y<=3600)，试作出该山区的地貌图和等高线图，并对几种插值方法进行比较。