一个不等式的应用
基本不等式的八大应用
基本不等式的八大应用不等式充斥着整个数学空间.随意浏览一下任意一套试卷，用不等号连接的式子总是占据着“上风”，这说明了不等式的应用性与重要性,也说明了不等式是永不衰退的高考热点.面对丰富的不等式内容，哪些知识点的“出镜率”高？又为什么总是它们高？请看：应用一：最值问题最值问题是基本不等式的重要应用之一，是不等式应用的核心，也是不等式应用的精华.应用基本不等式求最值时，一定要注意等号会不会成立.有些时候不等式的推导没有问题，但不可能有等号成立的时刻，这时的值是取不到的值，当然，不能作为最值.例1 设x,y∈R+，且+ =1，求x+y的最小值.解法一由x+y=( + )(x+y)=(2+ + )≥4，当且仅当= ，结合+ =1，得x=2，y=2时，取得最小值4.解法二由已知，设= ，=x=1+ ，y=1+ ，x+y=(1+ )+(1+ )=2+( + )≥4，当且仅当m=n，即x=2，y=2时，取得最小值4.解法三由+ =1 x+y=xy x+y≤( )2，由x,y∈R+，得x+y≥4，当且仅当x=y=2时，取得最小值4.点评本题给出了三种方法求解，这三种方法都是基本方法.涉及的技能是我们必须熟练掌握的基本技能.例2 已知x,y∈(-1,1)，且xy=- ，求u= + 的最小值.解析由u= + ≥2 =2 ≥2 =4，或由u= + = =1+ ≥1+ =4.点评本题很精干，基本不等式的应用也很特别，第一种解法，两次使用到它，幸好两次不等式成立的条件相同；第二种解法转化后再用，两解都具有“活”的特点，欣赏价值较高.应用二：恒成立问题恒成立问题是不等式的“特产”，它的求解方法常规是最值转化法，求最值的方法往往有两类，一类是利用基本不等式求最值；另一类是函数求最值.例3 若常数k＞0，对于任意非负实数a，b，都有a2+b2+kab≥c(a+b)2恒成立，求最大的常数c.解析（i）当k≥2时，a2+b2+kab≥a2+b2+2ab=(a+b)2，当且仅当ab=0时等号成立.（ii）当04a2时，在[-1,1]上是否存在一个x值使得|f(x)|>b；（2）当a,b,c均为整数，且方程f(x)=0在(0,1)内有两根，求证：|a|≥4.解析（１）由b2>4a2 - >1或- b f(x)>b或f(x)b或f(-1)0或a+c0，f(1)>0，又a,b,c均为整数，得f(0)≥1，f(1)≥1，则f(0)f(1)≥1，∴1≤a2 |a|≥4.点评本题的综合性较强，它将二次不等式与二次函数有机地结合在一起．第一问利用二次函数的单调性；第二问利用二次函数的“零点式”、基本不等式等,可以看出，在第二问求解中，基本不等式起到至关重要的作用.应用四：证明问题证明问题是基本不等式的常规题型之一.在对不等式的证明过程中，有时应用基本不等式进行和与积不等关系的相互转换；有时应用基本不等式的各种变式.例7 已知a>2时，求证：loga(a-1)2，得loga(a-1)>0且log(a+1)a>0.又=loga(a-1)?loga(a+1)≤[ ]2=[ ]2 ( )2= ，当且仅当100-3x=80-(20-2x)，即x= 时，等号成立.故在线段AB上取点G(5, )，过G分别作AE,BC的平行线DE交于F、交CD于H，则矩形GHDF的面积最大，其值为.点评房地产是近年倍受关注的行业，针对房地产的命题也随之诞生.本题的求解借助直线方程，通过直线方程进行设点，然后利用基本不等式产生问题的结论.应用六：交汇性问题不等式的交汇性是人所共知的，可以说，没有不等式不能交汇的.此类题既可以是基础题，也可以是高难度的解答题，君不见：数列中不等式呈强、导数中不等式泛滥、解几中不等式压轴、函数中不等式随处可见.不等式的交汇性是高考命题的热点，必须引起高度重视.例10 定长为3的线段AB的两端点在y2=x上移动，AB 的中点为M，求M点到y轴的最短距离.解析设A(x,x1)，B(x,x2)，M(x,y)，则x+x=2x,x1+x2=2y,(x-x)2+(x1-x2)2=9x+x=2x,2x1x2=4y2-2x,(x1-x2)2[(x1+x2)2+1]=9．由于(x1-x2)2[(x1+x2)2+1]≥2 =6，即4x+1≥6，得x≥，其中等号成立的条件为(x1-x2)2=[(x1+x2)2+1]，即4x1x2=-1，也就是4y2-2x=- ，结合x= ，得到y=±,故最短距离为，此时点M的坐标为( ,±).点评本题是解几问题，但求解中的关键是基本不等式.通过合理的应用基本不等式使条件恰到好处地得到了应用，既方便了求解，也优化了解题过程.例11 设数列{an}是由正数组成的等比数列，sn为前n 项和，试问：是否存在常数c，使得：[lg(sn-c)+lg(sn+2-c)]=lg(sn+1-c)成立？证明你的结论.解析由snsn+2-s=sn(a1+qsn+1)-sn+1(a1+qsn)=a1(sn-sn+1)=-anan+1m+ 1时，结论同上.综合可知：当4a2-16b≤1时一定存在整数n，使|f(n)|≤成立.点评本题是一道探索性试题，求解过程有两大特点：第一，对根所在区间进行分类;第二，在每一类中灵活应用基本不等式.抓住这两个特点，就抓住了求解的关键.关于基本不等式的应用就谈到此，当你掩卷时，有何感想呢？是为了解了基本不等式的试题类型而高兴，还是为见到基本不等式诸多灵活应用而惊讶呢？相信，你一定会有自己的答案.责任编校徐国坚注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF 格式阅读原文。
一元一次不等式(组)在生活中的应用
一元一次不等式(组)在生活中的应用
一元一次不等式(组)是小学数学中的一个重要内容，它在我们的日常生活中有很多应用。
以下是一些关于一元一次不等式(组)在生活中的应用：
购物打折：很多商场会举办打折活动，例如：打五折、打八折等。
我们可以用一元一次不等式来计算打折后商品的价格，帮助我们做出更明智的购物决策。
制定家庭预算：家庭预算可以帮助我们合理规划家庭收支，避免浪费。
在制定家庭预算时，我们可以使用一元一次不等式来计算各种开支和收入之间的关系，以及如何分配家庭预算。
健身计划：健身计划可以帮助我们制定科学合理的健身计划，达到健身的目的。
在健身计划中，我们可以用一元一次不等式来计算身体指标和目标之间的关系，例如：BMI指数和体重、身高之间的关系。
公交出行：公交车站的到达时间通常是不确定的，我们可以使用一元一次不等式来计算公交车的到达时间和出发时间之间的关系，以便更好地安排出行时间。
总之，一元一次不等式(组)在我们的日常生活中有很多应用。
它可以帮助我们计算各种事物之间的关系，从而更好地规划生活和工作。
例析不等式在实际生活中的应用
不等式在实际生活中有广泛的应用，下面列举几个常见的例子：
1.金融：不等式可以用来分析金融市场的风险和收益。
例如，可以使用不等式来估算
投资的最大损失，或者计算最小投资回报率。
2.公平竞赛：不等式可以用来保证公平竞赛的公正性。
例如，在体育竞赛中，可以使
用不等式来确定最多能够获得的奖励，以确保所有参赛者有同等的机会获胜。
3.保险：不等式可以用来分析保险公司的风险和收益，并确定保险费用。
例如，可以
使用不等式来估算保险公司的最大赔偿金额，或者计算最小保费收益率。
4.工程设计：不等式可以用来分析工程设计的安全性和可靠性。
例如，在建造高楼大
厦时，可以使用不等式来确定楼房的最大承载能力，以确保安全。
5.统计学：不等式可以用来分析数据的统计特征，例如求出数据的平均值和方差。
不等式性质与应用
不等式性质与应用不等式作为数学中一种重要的关系式，在数学领域具有广泛的应用。
通过研究不等式的性质以及应用，可以帮助我们理解数值关系并解决实际问题。
本文将介绍不等式的基本性质，并探讨其在数学和实际问题中的应用。
一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性不等式具有传递性，即若对于任意的实数 a、b 和 c，若a ≤ b 且b ≤ c，则有a ≤ c。
这个性质在不等式的推导和证明过程中起着重要的作用。
2. 不等式的加减性若对于任意的实数 a、b 和 c，若a ≤ b，则a + c ≤ b + c。
若a ≥ b，则 a - c ≥ b - c。
这个性质允许我们在不等式的两侧同时加减相同的数，保持不等式的方向性。
3. 不等式的乘除性若对于任意的实数 a、b 和 c（其中 c > 0），若a ≤ b，则ac ≤ bc。
若a ≥ b，则ac ≥ bc。
若a ≤ b 且 c < 0，则ac ≥ bc。
若a ≥ b 且 c < 0，则ac ≤ bc。
这个性质允许我们在不等式的两侧同时乘除相同的正数，并保持不等式的方向性。
二、不等式的应用1. 不等式在数学问题中的应用不等式在数学问题中起到了重要的作用，尤其在解方程和证明中经常出现。
通过合理运用不等式的性质，我们可以推导出问题的解析解，或者通过大小关系找到某个变量的取值范围。
同时，不等式也是数学竞赛中常见的考点，解题技巧更是需要灵活运用。
2. 不等式在实际问题中的应用不等式在解决实际问题中也扮演着关键角色。
以线性规划为例，通过建立合适的线性不等式模型，可以帮助决策者在资源有限的情况下做出最优决策，例如生产计划、配送路线等。
此外，不等式还能应用于经济学、物理学等领域，解决有关优化、约束条件等方面的问题。
三、不等式的拓展应用1. 不等式的推广除了简单的线性不等式外，还存在多项式不等式、指数不等式、对数不等式等更为复杂的类型。
这些不等式的性质和应用要求我们有更加深入的数学理解和技巧，才能处理更加复杂的问题。
62. 不等式的常见应用实例有哪些？
62. 不等式的常见应用实例有哪些？62、不等式的常见应用实例有哪些？在我们的日常生活和学习中，不等式是一种非常有用的数学工具，它帮助我们解决各种实际问题，并做出更合理的决策。
接下来，让我们一起看看不等式的常见应用实例。
在购物时，不等式就大有用处。
比如说，我们有一定的预算，比如200 元，而商店里有不同价格的商品。
假设我们想买衣服和鞋子，衣服的价格是每件 80 元，鞋子的价格是每双 120 元。
我们可以用不等式来表示我们的购买选择：设购买衣服的数量为 x，购买鞋子的数量为 y，那么 80x ＋120y ≤ 200。
通过这个不等式，我们可以确定在不超出预算的情况下，能够购买的衣服和鞋子的组合。
在工程领域，不等式也经常出现。
例如，在建造桥梁时，需要考虑桥梁的承重能力。
假设桥梁的最大承重为 100 吨，而通过的车辆重量各不相同。
一辆小型汽车重 2 吨，一辆大型卡车重 8 吨。
设通过的小型汽车数量为 m，大型卡车数量为 n，那么 2m ＋8n ≤ 100。
这样的不等式可以帮助工程师确定在保证桥梁安全的前提下，能够允许通过的车辆数量和类型。
在资源分配方面，不等式也发挥着重要作用。
比如，一家工厂有一定数量的原材料，如钢材和铝材。
钢材有 50 吨，铝材有 30 吨。
生产一种产品需要钢材 3 吨，铝材 2 吨；生产另一种产品需要钢材 2 吨，铝材 4 吨。
设生产第一种产品的数量为 a，第二种产品的数量为 b，那么 3a ＋2b ≤ 50，2a ＋4b ≤ 30。
通过这样的不等式，工厂可以合理安排生产，以充分利用有限的资源。
在行程问题中，不等式同样有应用。
假设你要去一个距离为 200 公里的地方，你的汽车每小时能行驶 60 公里，但由于路况等因素，平均速度可能会降低。
你希望在 4 小时内到达目的地。
设平均速度为 v 公里/小时，那么v × 4 ≥ 200。
通过这个不等式，可以确定为了按时到达，汽车的平均速度至少要达到多少。
不等式的应用
不等式的应用不等式在数学中有着广泛的应用，可以用于解决各种实际问题。
不等式是一种比较大小关系的数学表达式，通过不等号（如大于号或小于号）来表示两个数之间的大小关系。
本文将以几个不等式应用的实例来说明其在实际问题中的作用。
一、成本与收益不等式在商业领域中，成本和收益是一个重要的考虑因素。
当我们考虑某个项目或产品时，需要确定其成本和预计收益，并通过不等式来评估其可行性。
假设我们有一个生产某种产品的计划，成本为C，每个单位的收益为R，销售数量为x。
那么我们可以建立不等式C ≤ R * x，来限制生产的成本不能超过预期的收益。
二、速度与时间不等式在物理学中，速度和时间是一个常见的关系。
例如，当我们考虑一个物体的运动时，可以利用速度和时间之间的不等式来解决相关问题。
假设一个物体的速度为v，运动的时间为t，那么我们可以建立不等式v * t ≤ d，其中d为物体的位移。
这个不等式告诉我们，物体在一段时间内的位移不会超过速度与时间的乘积。
三、资源分配不等式在资源管理中，资源的有限性是一个重要的考虑因素。
假设我们有一定数量的资源，需要分配给不同的工作或项目，我们可以利用不等式来确定资源的合理分配。
设资源数量为N，需要分配给n个项目，每个项目所需的资源分别为r1、r2、...、rn。
我们可以建立不等式r1 +r2 + ... + rn ≤ N，来限制资源分配不超过总数量。
四、难度与能力不等式在教育领域中，考试和评估是一种常见的方式来衡量学生的能力。
考试的题目难度通常是不同的，我们可以利用不等式来判断学生是否具备解答某道题目的能力。
假设题目的难度为D，学生的能力为S，那么我们可以建立不等式S ≥ D，来要求学生的能力能够超过题目的难度。
总结：以上仅是不等式应用的一些实例，实际上不等式在各个领域都有着广泛的应用，包括经济学、工程学等等。
通过合理运用不等式，我们可以解决各种实际问题，做出正确的决策和评估。
因此，掌握和理解不等式的应用是数学学习的重要一环，也是我们在日常生活中需要具备的数学思维能力之一。
不等式的应用解题方法与技巧
不等式的应用解题方法与技巧解不等式的问题需要掌握一些基本的数学知识，以下是一些解决不等式问题的方法和技巧：
1. 熟悉基本概念：理解不等式的基本定义，知道什么是大于、小于、等于以及他们的符号表示。
此外，还要了解绝对值、平方根等基本数学概念。
2. 掌握求解步骤：一般情况下，求解一个不等式需要先移项，再化简，最后确定解集。
在移项时要注意变号，在化简时要灵活运用乘法分配律等基础知识。
3. 注意系数正负：在移项过程中，如果某个项的系数为负，那么这个项就需要改变符号。
因此，注意每个项的系数是正还是负是非常重要的。
4. 能够识别图形：有时不等式的问题会转化为几何问题，这时能够识别直角坐标系中的直线、圆、抛物线等各种图形是非常有用的。
5. 利用特殊值检验：当无法直接求出解集时，可以尝试使用特殊值来检验答案是否正确。
比如，对于形如ax + b > 0的不等式，可以尝试取x = -b/a看看是否满足不等式。
6. 不断练习：解决不等式问题需要一定的技巧和经验，多做题目可以帮助你更好地理解和熟练这些技巧。
不等式的应用与解法
不等式的应用与解法不等式是数学中一种常见的表达方式，用于表示两个数或者两个表达式之间的关系。
在实际问题中，不等式常被用来描述条件、限制和约束等情况。
解决不等式问题的过程中，我们可以通过各种方法进行推导和求解。
本文将详细介绍不等式的应用与解法。
一、不等式的应用不等式在日常生活和各个学科中都有广泛的应用。
下面列举几个常见的例子来说明不等式在实际问题中的应用。
1. 金融领域：在股票市场中，人们常用不等式来描述价格变化的范围，并判断是否存在投资机会。
例如，如果股票价格上涨不少于10%，则可以得到利润。
2. 经济学：在经济学中，不等式被用来表示供给和需求等关系。
例如，如果某种商品的需求量超过供给量，则价格将上涨。
3. 物理学：在物理学中，不等式用于描述力学系统中的平衡和稳定性条件。
例如，对于一个悬挂在桥梁上的物体，不等式被用于确定支撑的最大负荷。
4. 工程学：在工程学中，不等式常用于约束条件的限制。
例如，在建筑设计中，不等式被用来确定结构材料的使用范围。
以上只是不等式应用的一些例子，实际中的应用场景更加广泛。
二、不等式的解法解决不等式问题的方法有很多种，下面将详细介绍几种常用的解法。
1. 数轴法：数轴法是一种直观的解决不等式问题的方法。
将不等式中的变量在数轴上表示出来，通过观察数轴上的位置关系，可以找到不等式的解集。
例如，对于不等式x > 3，将3在数轴上标记出来，可以发现x的取值范围是大于3的所有实数。
2. 方程转换法：对于某些特殊的不等式，可以通过将其转化为等价的方程来求解。
例如，不等式x + 2 > 5可以转化为方程x + 2 = 5，然后求解方程得到x的取值范围。
3. 函数法：对于一些复杂的不等式问题，可以利用函数的性质来解决。
通过观察函数图像和函数值的变化，可以确定不等式的解集。
例如，对于不等式x^2 - 4 > 0，可以通过绘制函数y = x^2 - 4的图像，找到使y大于0的x的取值范围。
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６‘ ０ 一Ａ ＝２ ＂ △ＡＢ 唯 ０． ｃ 确定。
一
（ ） Ａ＞６ 同 上面证 法一样 ， 如 Ｐ 点不在 ２设 ０． 假 Ｂ Ｆ上时． 得矛 盾。因此， Ｐ必定在 Ｂ 推 点 Ｆ上。此时， 同样有 脚 ＝２ ／ＡＣ 从而， Ａ Ｂ＝（８ ‘ Ｂ， ￣ Ｃ ｉ １０ 一Ａ）３ ／
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＝（ －１￣ ２ ｎ４ ） ｎａ—ｎｉａ ｆ ｓ ￣ｌ ｎ 。
式成立。 若ｎ ６ ． ＝ ＞０则①式显然成立 。 所以①式对于“ ＞ ， ＞ ｎ ０ ６ ０恒成立， 当且仅 当 ａ 时等号 成立， ＝６ 从而命题成立。 特别地， 令 ＝１印得以下一个推论。 ， 推论 设 ａ ． ＞Ｏ ＞Ｏ 则 Ｏ ｔ ＞２ ． ｔ ｂ ａ一６ （ ２ ￣ ＊＊）
Ａ ） Ｏ 一２ ‘ ５ ， ＝６ ‘ ５ ＝３ ‘
ＡＢ ＝ ２ ＡＣ ＝ Ｃ Ｂ
于是 ， 我们就可 以将本题进 行如下推广 ： （） Ａ＜６ ． １设 ｆ 如上证得￣ Ｂ Ｅ为正三角形时， ．Ｐ 并 没有产生矛盾。但这种情况会出现吗？回答是肯定的。 此 时 ： Ａ Ｃ＝１０， ／ＡＣ Ｂ ２ ．而 Ｂ＝印‘ 一／Ｂ ＡＣ。 只要角 Ａ 的值确定． 三角形 艘 的 其他 二 角也 随 之确 定． 而 △＾ ｃ完 全 确 定。 从 Ｂ
Ａ 的大 小并没有关系。 因此， 我们猜想 ： Ａ＞６ ’ 当 ０时，
Ｐ点仍然在 Ｂ Ｅ上 ； 当 Ａ＜６＂Ｐ 不在 Ｂ 而 ０， Ｆ上， 不 也
会出现矛盾 。
从而． 三角形 Ａ Ｃ也完全确 定。情况如图 ５ Ｂ 所示。 例如． 假设 角 Ａ
＝ ７‘ ５，那 么 就 有 ｝
＾ Ｂ： ｃ （８＂ １０ 一
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２０ 年 第 １ ０２ 期
中学数学教学
１ ９
一
个 不 等 式 的 应 用
浙江省金华一中 陶文强 （ 邮编： １１ ） ３ ０７ ２
当且仅当 ｎ 时等号成立。 ＝ 不等式（ 的右边恰为左边分式的分子的幂 指数 ＊）
（＊）
本文 介绍 一个结 构简 单但应用广泛的不等式 。 定理
・
一６＋ ） ＋１ ．１ ＋（ ｜ ）
简单优美． 容易记忆 。合理运 用不等式 （ ）可将 某些 ＊， 高次不等式同题转化为 低次不等式 回题． 而使解答 从 避 繁就简、 化难为易． 收到 出奇制胜的效果。对于 不等
式（ ＊＊） 的应用已讨论得比较 多， 里不再涉 及。 这
（ ６一ａ ≥Ｏ （ ） ｎ ＋ｎ ６＋ｎ 一 ） 错 ｎ— 【 ６ ＋… ＋
－ ４ 一（ ４１ ］ ０ ｒ－ ） ＞ ｔ １
①
若 ｎ＞６ ， ＞０ 则 十 一 ６ 一 ＋ ＋口 ’十 一 十 一（ ＋１ ＞（ ） ＋１ 一（ ） ｎ＋１ ：０ 从而 ① ） ，
倒 已ａ （ ） ＋ １ 知、 ０ 求 口． 证 嗡 ∈号
＝
６＂ Ａ ，） Ａ Ｃ＝１０ 一（Ａ／ ） ０ 一（ ３ ， Ｂ ２＂ ２ ３ 。
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２ ０
中学数学 教学
２０ ０ ２年 第 １ 期
例 ２ 看 口、 ｃ是 △ Ａ ｂ、 ＢＣ 的 二 边 ， 口＋ｂ＋ ｃ： 且
一 一
！ ！： 墨 ：
（ ∑ ） 。
２． ｓ则对任 意 ＥＮ有
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例 ５ 设 ∈Ｎ， ． 口 ∈Ｒ （ ：１ ２ …， ） 求证 ： ｉ ，， Ｈ，
（ ＋。 ＋・ ２ ３ 一十口 ） 。 。 ＋。 ＋… ＋口 ） 。 （ Ｉ ３
＋ ＋ －一
／ 。（数学通报） ９ ４ １ 数学问题 ８ １ ＞１ （ １９（） ７）
式成立 若０ ＜ｄ＜６ 则 十口 一 ６＋ｎ 一 ６ ＋… ＋ｄ ’ ， ６ 一
＋ 一（ ＂＋１ ｂ ＜（ ）－ ＂＋１ 一（ ） ＋１ ＝ｏ 从而① ） ，
删 ¨ 苗 桶： 一
（ ２ 第 ８届 Ｉ ＭＯ预 选题 ）
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证 原 等 错 ｌ’ 明 不式 ＿
２ ＋ ・ ≥王 （ ｓ３ Ｉ ａ＋ｂ （ｓ３ ２ ｔ ） １ ２ ／ ） 一
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设 ｎ ． ＞０ ∈Ｎ， ＞０ ６ ． 则
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证明 （ ） ’ （ －） ≥ 月４１ 一 一 ’ 】
十月 ¨ 一（ ４１ｄ Ｏ （ － ）６ ≥ 茸
发现 ； 且培 养了我们创新 思维能力。 而 参考 文献
１ 唐发庚 向量法证 明正三棱 锥求 高公 式 中 ． 学敷 学教学 ｏ ￣３ 。 ２ ０ （ ） ２ 林 常。 第 ４ ． ２届 Ｉ Ｍ０试题解 答。福 建 中学数 学．Ｏ ｌ ｉ ） ２Ｏ （ｏ 。
（ 稿 日期 啦 ２Ｏ 一１ Ｏ ｌ ０—１ ） ２
同 譬 ≥（ ＋ ） — ５ 理， ｎ １ｏ ａ ｎ ｏ ｉ ｏ ｎ
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们可以认识到 对一个命题的推广 ． 是一种刨新思维过 程。这样做． 不仅对于原有 的题 目． 以有 新的认识和 可