(新)高中数学第一章统计案例1_1独立性检验假设检验素材新人教B版选修1-21

假设检验1、某厂生产的化纤纤度服从正态分布)04.0,(2μN 。

某天测得25根纤维的纤度的均值39.1=x ，问与原设计的标准值1.40有无显著差异？（取05.0=α）解 设厂生产的化纤纤度为X ，则总体)04.0,(~2μN X ，且总体方差2204.0=σ已知。

顾客提出要检验的假设为40.1:0=μH ， 40.1:1≠μH因为已知总体标准差04.0=σ，所以选用U 检验，且在0H成立的条件下有)1,0(~2504.00N X U μ-=针对备择假设40.1:1≠μH ，拒绝域的形式可取为}/{0c nX U W >-==σμ为使犯第一类错误的概率不超过05.0=α，就要在40.10=μ时，使临界值c 满足()05.0=>c U P成立。

由此，在给定显著性水平05.0=α时，得到临界值为96.1975.02/1===-u u c α故相应的拒绝域为{}96.1>=U W利用来自总体的样本值求得25.125/04.040.139.1-=-=u即975.096.125.1u u =<=成立。

显然，样本未落在拒绝域内，因此在05.0=α水平上认为纤维的纤度与原设计的标准值1.40没有显著差异。

2、设某厂生产的洗衣机的使用寿命(单位:小时)X 服从正态分布),(2σu N 但2,σu 未知。

随机抽取20台，算得样本均值1832=X ,样本标准差=S 497,检验该厂生产的洗衣机的平均使用时数“2000=μ”是否成立？(取检验水平05.0=α)解 待检验假设20000=μ:H 20001≠μ:HH 的拒绝域：21α->tT =2.093T 的观测值512.1/2000-=-=n S X T W ∈ 不能拒绝H ,可以认为洗衣机的平均使用时数“2000=u ”.3、在正常情况下，某炼钢厂的铁水含碳量（%）X ～),.(2554σN （σ未知）。

一日测得5炉铁水含碳量如下：4.48，4.40，4.42，4.45，4.47在显著水平050.=α下，试问该日铁水含碳量的均值是否有明显变化。

解： （1）:0H 5540.==μμ :1H 5540.=≠μμ（2）选取检验统计量)(~/10--=n t nS X T μ给定α，查知7764241975021.)()(.==--t n tα。

H 的拒绝域为：W ：)(121->-n tT α。

计算|T |=7.054>2.7764，所以显著水平05.0=α下，拒绝0H。

即该日铁水含碳量的均值有明显变化。

4、某厂生产需要用玻璃纸作包装，按规定供应商供应的玻璃纸的横向延伸率不低于65。

已知该指标服从正态分布),(2σμN ,σ一直稳定于5.5。

从近期来货抽查了100个样品，得样本均值06.55=x ，试问在050.水平下能否接收这批玻璃纸。

解65:0≥μH65.105.0-==u u α=*U n X σμ0-=-18.07<-1.65拒绝H ,在050.水平下能否接收这批玻璃纸。

5、根据某地环境保护法规定，倾入河流的废物中某种有毒化学物质含量不得超过3ppm 。

该地区环保组织对某厂连日倾入河流的废物中该物质的含量的记录为：1521,,,x x x 。

经计算得知,48151=∑ix26.1561512=∑ix。

试判断该厂是否符合环保法的规定。

（该有毒化学物质含量X 服从正态分布）解（1）H 0 ：,30=≤μμ H 1：3>μ（2）H 0 的拒绝域为：)1(/10->-=-*n t nS X T αμ（3）计算2.348151=⨯=x ，19.0)(141222=-=∑x n x S i ，436.0=S =*T 154360323/..-=1.77667>7613.1)14(95.0=t .所以在显著水平050.=α下，拒绝H 0.6、某医院用一种中药治疗高血压，记录了50例治疗前与治疗后病人舒张压数据之差，得到其均值为16.28，样本标准差为10.58。

假定舒张压之差服从正态分布，试问在05.0=α水平上，该中药对治疗高血压是否有效？解 设治疗前与治疗后病人舒张压数据之差为X ，则总体),(~2σμN X ，且2σ未知。

要检验中药对治疗高血压是否有效？属于单边检验，故此提出假设:0≥μH ， 0:1<μH在假设:0≥μH 成立的条件下，应该选用t 检验。

针对备择假设0:1<μH ，拒绝域的形式可取为}/{0c nX T W <-==σμ为使犯第一类错误的概率不超过α，就要求()α=<c T P由于在0μμ=时，()1~-n t t ，所以()1-=n t c α。

当t 分布的自由度大于45时，可以用标准正态分布的分数来近似t 分布的分位数。

现在50=n ，t 分布的自由度为49，该值较大，因此在给定05.0=α时，可利用标准正态分布确定出0.05的分位数为()645.14905.005.0-=≈u t 。

根据来自总体的样本值计算出检验统计量的值为85.10-=t 。

而在05.0=α水平上的拒绝域为{}645.1-<=t W显然，样本落在拒绝域内，因此在05.0=α水平上认为该中药材对治疗高血压有效。

7、某种导线的电阻服从),(2σμN ,μ未知,其中一个质量指标是电阻标准差不大于Ω0050..现从中抽取了9根导线测其电阻,算得标准差0066.0=s ,试问在05.0水平下能否认为这批导线的电阻波动合格。

解 检验假设005.0:00=≤σσH005.0:01=>σσHH 的拒绝区域21202)1(:αχσ->-S n W507.1594.13)1(21202=<=--αχσS n不能拒绝H ,可以认为这批导线的电阻波动合格.8、新设计的一种测量仪器用来测定某物体的膨胀系数11次，又用进口仪器重复测同一物体11次，两样本的方差分别是263.121=S ，789.322=S 。

假定测量值分别服从正态分布，问在05.0=α水平上，设计仪器的精度（方差的倒数）是否比进口仪器的精度显著为好？解 设新设计的仪器测定的膨胀系数为X ，则),(~211σμN X ，且1μ未知，进口仪器测定的膨胀系数为Y ，则()222,~σμN Y 且2μ未知。

要检验的问题是设计仪器的精度（方差的倒数）是否比进口仪器的精度显著为好？属于单边检验。

故提出假设210:σσ≥H ， 211:σσ<H在假设210:σσ≥H 为真时，选用检验统计量)1,1(~22--=m n F S S F YX，针对备择假设211:σσ<H 确定拒绝域为)}1,1({--<=m n F F W α对于给定的显著性水平05.0=α，利用第一自由度10，第二自由度10的F 分布，确定出0.05分位数98.2/1)10,10(/1)10,10(95.005.0==F F由样本值求出3356.098.2/1333.0=<=F 成立，样本落在拒绝域中，应拒绝0H，在05.0=α水平下，认为新设计的仪器精度比进口仪器的精度显著为好。

9、某公司经理听说他们生产的主要商品的价格波动甲地比乙地大，为此他对两地所售商品作了随机抽查。

在甲地调查了51种，其价格的标准差为5.81=S ，在乙地调查了179种，其价格的标准差为75.62=S ，假定两地价格分别服从正态分布，试问05.0=α水平下能支持上述说法吗？解 设甲地价格为X ，则总体),(~211σμN X ，且1μ未知，乙地价格为Y ，则总体()222,~σμN Y 且2μ未知。

要检验的问题是他们生产的主要商品的价格波动甲地比乙地大是否成立，故提出假设210:σσ≥H ，211:σσ<H在假设210:σσ≥H 成立的条件下，选用F 检验，类似上题，利用插值的方法求得05.0=α水平上的拒绝域为{}47.1/1<=F W在由样本求得586.1=F ，显然样本未落在拒绝域中，故在05.0=α水平上支持主要商品价格的波动甲地比乙地大的说法。

10、某厂铸造车间为提高缸体的耐磨性而试制了一种镍合金铸件以取代一种铜合金铸件，现从两种铸件中各抽出一个样本进行硬度测试（表示耐磨性的一种考核指标），其结果如下：镍合金铸件)(X :72.0，69.5，74.0，70.5，71.8铜合金铸件)(Y :69.8，70.0，72.0，68.5，73.0，70.0根据以往经验知硬度),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，且221==σσ，试在05.0=α水平下比较镍合金铸件硬度有无显著提高。

解 因为合镍铸件的硬度),(~211σμN X ，铜合金铸件的硬度),(~222σμN Y ，且已知221==σσ成立。

要检验的问题是比较镍合金铸件硬度有无显著提高，属于单边检验，故提出假设210:μμ=H ， 211:μμ>H在假设210:μμ=H 成立的条件下，由于1σ与2σ均已知，所以选用U 检验。

针对备择假设211:μμ>H ，拒绝域的形式可取为()}/{222121c n n Y X U W >+-==σσ为使犯第一类错误的概率不超过α，就要求在21μμ=时，()α=>c U P ，由于在21μμ=时，()1.0~N U ，所以临界值α-=1u c 。

在给定05.0=α水平上，利用标准正态分布，确定出0.95的分位数为645.195.01==-u u α，相应的拒绝域为}645.1{>=u W现由分别来自两个总体的样本计算出，56.71=x ，55.70=y ，因此可得834.0=u ，显然，样本未落入拒绝域内，在05.0=α水平上，认为镍合金铸件硬度没有明显提高。

11、某物质在化学处理前后的含脂率如下：处理前：0.19 0.18 0.21 0.30 0.66 0.42 0.08 0.12 0.30 0.27处理后：0.15 0.13 0.00 0.07 0.24 0.24 0.19 0.04 0.08 0.20 0.12假定处理前后含脂率分别服从正态分布。

问处理后是否降低了含脂率？（取01.0=α）解 设处理前含脂率为X ，分布为),(211σμN ，处理后含脂率为Y ，分布为),(222σμN ，且21σ与22σ都未知，而21σ是否等于22σ也未知。

所以应该首先检验的假设210:σσ=H ， 211:σσ≠H如果接受H ，即认为1σ与2σ无明显差异，则可以在两个方差相等的条件下对正态均值作如下检验，即提出假设211210:,:μμμμ>=H H 。

在假设210:σσ=H 成立的条件下，选用F 检验，根据备择假设211:σσ≠H ，在给定01.0=α水平上，利用第一自由度为9，第二自由度为10的F 分布确定出0.005与0.995的分位数，获得01.0=α水平上的拒绝域为()42.6/110,9{005.0=<=F F W 或()}97.510,9995.0=>F F现在利用样本的数字特征135.0,273.0==y x ，00642.0,02811.022==Y Xs s 。