Darboux定理的一个简短证明
第五章微分中值定理及其应用答案
139第五章 微分中值定理及其应用上册P 178—180 习题解答1． 设0)(0>'+x f ，0)(0<'-x f .证明0x 是函数)(x f 的极小值点 .证 0)()(lim )(0000<--='-→-x x x f x f x f x x ，⇒在点0x 的某左去心邻域内有0)()(00<--x x x f x f ， 此时00<-x x ，⇒在点0x 的该左去心邻域内有 0)()(0>-x f x f ， 即)()(0x f x f >； 0)()(lim )(0000>--='+→+x x x f x f x f x x ，⇒在点0x 的某右去心邻域内有0)()(00>--x x x f x f ，此时00>-x x ，⇒在点0x 的该左去心邻域内有 0)()(0>-x f x f ， 即)()(0x f x f >.综上 , 在点0x 的某去心邻域内有)()(0x f x f >. 即0x 是函数)(x f 的极小值点 .2. 举例说明 , Rolle 定理的三个条件都不满足 , 函数仍然可以存在水平的切线 .解答: 例如函数 . 21 , 1,12 , )(2⎩⎨⎧≤<-≤≤-=x x x x x f )(x f 定义在区间] 2 , 2 [-上 , )(x f 在点1=x 间断 ,因此不满足在闭区间上连续和在开区间内可导的条件 , 并且4) 2(=-f , 而1) 2 (=f , ≠-) 2(f ) 2 (f . 对区间] 2 , 2 [-上的这个函数)(x f , Rolle 定理的三个条件都不满足 . 但是 , 0) 0 (='f , 该曲线上点) 0 , 0 (处的切线仍然是水平的 . 3. 设函数)(x f 在闭区间] , [b a 上连续 , 在开区间) , (b a 内可微 .⑴ 利用辅助函数1)(1)(1)( )(b f ba f ax f xx =ψ.证明Lagrange 中值定理 .140证 易见函数)(x ψ在闭区间] , [b a 上连续 , 在开区间) , (b a 内可微 ,且0 1)(1)(1)( )(==b f ba f aa f a a ψ, 0 1)(1)(1)( )(==b f ba f ab f b b ψ, 有)()(b a ψψ=. 函数)(x ψ在区间] , [b a 上满足Rolle 定理的三个条件 , 于是由Rolle 定理 , ∈∃ξ) , (b a , 使0)(='ξψ. 而)()()()( 1)(1)(0)(1)(x f b a b f a f b f ba f ax f x '---='='ψ. 0)()()()()(='---='ξξψf b a b f a f , 即 ))(()()(a b f a f b f -'=-ξ.⑵ 说明)(x ψ的几何意义 .解答 |)(|2x ψ表示以点) )( , (a f a 、) )( , (b f b 以及) )( , (x f x 为顶点的三角形的 面积 。
洛必达法则及斯铎兹定理的一种简便证法
未定 式 的定 值 法 是 极 限 计 算 中 的难 点 ． 型 和 设 和 柯 西 中 值 定 理 有 ０ 型是 最基 本 的未 定 式 ， 它 类 型 的未 定 式 都 可 以 其
ｇ）ｇ （≤ 一、、 ’ 麓 ）ｇ） ＜＜ （一（ ｚ 。 ， ｘ一 、～
由条件 （ｉ 知 ）
等 ≤ ＜ ｒ 等 ≥ｒ ・ ＞
则 存在正 整数 Ｎ， ｎ＞ Ｎ 时 当
ａ ｎ＜ ＾ （ ＞ ＾ ）
生 一
＿ －
ｇ（ ｘ
１ 筹旨 ）ｒ ） ｇ）ｇ 一 （一（ ， ｚ １ ｘ≤
一
ｇ（ ｚ）
少 的知识 ， 并且 比相 应 定 理 的传 统 证 法 简 捷 易 懂 ， 从
各 引理 可 以 轻 松 地 推 出相 应 的 定 理 ． 先 考虑 竺 型洛必 达法 则
也 即
≤ｒ 一 （
摘 要 对 的 必 法 、 极 詈 的 铎 定 以 函极 苦 和 的铎 定 ， 针 詈型 洛 达 则数 限 型 斯 兹 理 及 数 限 型 詈型 斯 兹 理分 列
别 建 立 相 应 的 引理 ， 证 明这 些 定 理 提 供 一 种新 的 思 路 ． 这 些 定 理 的传 统 证 明 是 一 种 改 进 和 补 充 ． 为 对 关 键 词 未定 式 ； 必 达 法 则 ； 铎 兹 定 理 ； 理 洛 斯 引 中 图分 类 号 ０１ ２ １ ７ ．
个 引理 ：
可 以 相 仿 地
证 明 对 于 Ａ 为 实 数 的 情 形 ， 给 Ｅ Ｏ 则 存 任 ＞ ，
在 氐 ＞ ｏ 当 ｚ ＜ ｚ＜ 。 ， 。 ＋ 时 ，
引理 ２ 设数 列 （ ＆｝ 和 ｝ 合 ： 符
Ａ ｅ Ａ 号＜ —＜ 一
科学中最深刻的发现—贝尔不等式,一个决定上帝是否掷骰子的公式
科学中最深刻的发现—贝尔不等式，一个决定上帝是否掷骰子的公式展开全文上帝不掷骰子！爱因斯坦坚信斯宾诺莎的上帝，认为大自然规律就是“上帝”，但是量子力学中的不确定性原理让爱因斯坦感到不安，在和波尔的争论当中，爱因斯坦说出了那句名言——上帝不掷骰子！在1935年，爱因斯坦为了论证量子力学根本哈根学派的不完备性，提出了著名的“EPR佯谬”，该佯谬经过玻姆简化后的版本为：一个母粒子分裂成两个相反方向的A粒子和B粒子，理论上A、B具有相反的自旋方向，当A和B相聚很远后，量子力学的根本哈根学派认为我们对任何一个粒子的测量，将会瞬间影响远在另一边的粒子，这在爱因斯坦看来是一种超距作用，爱因斯坦则认为两个粒子在分开时状态就是确定的，与你何时测量没有任何关系。
隐变量理论为了解决这个问题，爱因斯坦着手建立隐变量理论来代替不确定性原理，隐变量认为量子随机并非真正意义的随机，而是存在更深层的物理机制，只是我们还没发现这个机制而已，一旦我们发现了其中的机制，“不确定原理”也将变成确定的。
或许是爱因斯坦把精力都放在了统一场论当中，没有花太多精力在隐变量理论上，扛起隐变量理论大旗的是另外一位物理学家玻姆，玻姆使用超高的数学技巧打造了一个看起来可行的隐变量，但是其中的假设过于累赘，比如他假设了一个存在但是永远无法探测到的“势场”，与奥卡姆剃刀原理相悖，但是不管怎么样，隐变量理论是存在可能的。
然后一位数学大神出来捣乱了，说冯·诺依曼是20世纪最伟大的数学家之一，谁敢质疑？1932年时的冯·诺依曼已经名满天下，他在《量子力学的数学基础》一书当中，以纯数学的数理逻辑，否定了隐变量理论的存在，以他的威望，当时没有人质疑，于是隐变量理论逐渐被人们冷漠了。
直到20多年后，才有人发现冯·诺依曼的错误，冯·诺依曼的论证依赖于五个假设，前面四个假设是没有问题的，问题出在第五个假设，数学描述为（A+B+C，ψ，Y）=（A，ψ，Y）+（B，ψ，Y）+（C，ψ，Y），而且是非常低级的错误，换个比喻，该假设的意思是指“一个班学生的平均身高为170cm，那么班级上所有人的身高都是170cm。
科学中最深刻的发现—贝尔不等式，一个决定上帝是否掷骰子的公式
科学中最深刻的发现—贝尔不等式，一个决定上帝是否掷骰子的公式上帝不掷骰子！爱因斯坦坚信斯宾诺莎的上帝，认为大自然规律就是“上帝”，但是量子力学中的不确定性原理让爱因斯坦感到不安，在和波尔的争论当中，爱因斯坦说出了那句名言——上帝不掷骰子！在1935年，爱因斯坦为了论证量子力学哥本哈根学派的不完备性，提出了著名的“EPR佯谬”，该佯谬经过玻姆简化后的版本为：一个母粒子分裂成两个相反方向的A粒子和B粒子，理论上A、B 具有相反的自旋方向，当A和B相聚很远后，量子力学的哥本哈根学派认为我们对任何一个粒子的测量，将会瞬间影响远在另一边的粒子，这在爱因斯坦看来是一种超距作用，爱因斯坦则认为两个粒子在分开时状态就是确定的，与你何时测量没有任何关系。
隐变量理论为了解决这个问题，爱因斯坦着手建立隐变量理论来代替不确定性原理，隐变量认为量子随机并非真正意义的随机，而是存在更深层的物理机制，只是我们还没发现这个机制而已，一旦我们发现了其中的机制，“不确定原理”也将变成确定的。
或许是爱因斯坦把精力都放在了统一场论当中，没有花太多精力在隐变量理论上，扛起隐变量理论大旗的是另外一位物理学家玻姆，玻姆使用超高的数学技巧打造了一个看起来可行的隐变量，但是其中的假设过于累赘，比如他假设了一个存在但是永远无法探测到的“势场”，与奥卡姆剃刀原理相悖，但是不管怎么样，隐变量理论是存在可能的。
然后一位数学大神出来捣乱了，说冯·诺依曼是20世纪最伟大的数学家之一，谁敢质疑？1932年时的冯·诺依曼已经名满天下，他在《量子力学的数学基础》一书当中，以纯数学的数理逻辑，否定了隐变量理论的存在，以他的威望，当时没有人质疑，于是隐变量理论逐渐被人们冷漠了。
直到20多年后，才有人发现冯·诺依曼的错误，冯·诺依曼的论证依赖于五个假设，前面四个假设是没有问题的，问题出在第五个假设，数学描述为（A+B+C，ψ，Y）=（A，ψ，Y）+（B，ψ，Y）+（C，ψ，Y），而且是非常低级的错误，换个比喻，该假设的意思是指“一个班学生的平均身高为170cm，那么班级上所有人的身高都是170cm。
有界函数黎曼可积的充要条件
下证充分性。
设∆xi′′ 是使得ωi < ε的那些部分区间的长度，∑i′′ 表示这些区间长度求和，以Ω表示f (x)表
示f (x)在[a, b]上的幅度，于是
∑n
∑
∑
∑
∑
ωi∆xi = ωi′ ∆xi′ + ωi′′ ∆xi′′ < Ω ∆xi′ + ε ∆xi′′ < Ωσ + ε(b − a)
使得相应的振幅满足 ∑n ωi△xi < ϵ
i=1
证明：必要性是显然的，下面证充分性。
设∀ϵ > 0，存在一种划分P ′，使得相应的振幅满足
∑p ωi′ △x′i
<
ϵ 3
i=1
即 S(P ′) − S(P ′) < ϵ 3
取 对任意一个满足
δ
=
min(△x′1,
△x′2,
.
.
.
,
△x′p,
3(p
−
ϵ 1)(M
λ→0 i=1
充要条件二
定理二：有界函数f (x)在[a, b]可积的充分必要条件是，对任意的划分，当
时，有下面的结果
λ = max (∆x) → 0
1≤i≤n
∑n lim ωi∆xi = 0
λ→0 i=1
2
证明： 先证明必要性。 由定理一可知，若有界函数f (x)在[a, b]上可积，则对于任意的划分P ，有
+[S(P ′′) − S(P )]
<
ϵ
+0+
ϵ
ϵ +0&#定理1，可知f (x)在[a, b]上可积。
充要条件四
定理四： 有界函数f (x)在[a, b]上可积的充分必要条件是，对于任意给定ε > 0，σ > 0，存在δ > 0，使得
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--7章
21 1 2 3源自1 nε， f ( x) 在区间 [
1 ,1] 上只有有限个不连续点， m
所以 f ( x) 在 [
1 1 ,1] 上可积，即存在 [ ,1] 的一个划分 P ，使得 m m
∑ ω ∆x
i =1 i
n
i
<
ε
2
，将 P 的分点和 0 合在一起，作为[0,1]的划分 P ' ，则
7. 有界函数 f ( x ) 在 [a, b] 上的不连续点为 {x n }∞ n =1 ，且 lim x n 存在，证明
f ( x) ≤ M 。 ∀ε > 0 ， 取
ε
3
。将 P (1) 、
课
P ( 2) 的分点合并在一起组成 [a , b] 的一个划分 P ，则
∑ ω ∆x ≤ ∑ ω
i =1 i i
1 n
课
4
ε
，则 f ( x) 在 [
1 ,1] 上只有有限个不连续点， m
所以 f ( x) 在 [
n 1 1 ε ,1] 上可积，即存在 [ ,1] 的划分 P ，使得 ∑ ω i ∆xi < 。 2 m m i =1
将 P 的分点与 0 合在一起作为[0,1]的划分 P ' ，则
∑ ωi′∆xi′ = ∑ ωi ∆xi + ω1′∆x1′ <
1≤ i ≤ n
取定了划分后， n 与 ∆xi (i = 1, 2," n) 也就确定，如果 f ( x ) 在 [a, b] 上无 界，则必定存在小区间 [ xi −1 , xi ] ， f ( x ) 在 [ xi −1 , xi ] 上无界。取定
泊松定理电磁
泊松定理电磁
泊松定理是电磁学中的重要定理之一，它描述了电荷或电流在空间中的分布情况对电场或磁场的影响。
具体来说，泊松定理指出，对于一个给定的电荷或电流分布，它所产生的电场或磁场可以通过求解泊松方程来得到。
泊松方程是一个偏微分方程，它描述了场量在空间中的变化率。
在电磁学中，泊松方程通常表示为：
Φ = -ρ/ε
其中，Φ表示电场或磁场的场量，ρ表示电荷密度或电流密度，ε表示介质常数。
泊松定理的应用非常广泛，例如可以用来计算电容器的电势分布，也可以用来研究电荷在半导体器件中的分布情况。
泊松定理是电磁学中的基础定理之一，对于深入理解电磁现象和应用电磁学原理具有重要意义。
- 1 -。
函数可积的必要条件
函数可积的必要条件一、引言函数可积是数学中一个重要的概念，它是指在给定区间上，函数的积分存在且有限。
函数可积的必要条件是指在什么情况下，一个函数才能被称为可积函数。
本文将详细介绍函数可积的必要条件。
二、Riemann和Riemann和是计算区间上函数积分的一种方法，它将区间分成若干个小区间，并在每个小区间内取一个样本点，然后用这些样本点来计算每个小区间内函数值的平均数。
最后将这些平均数相加即可得到整个区间上的积分值。
三、Darboux和Darboux和也是计算区间上函数积分的一种方法，它与Riemann和类似，但是在每个小区间内取样本点时采用了不同的策略。
具体来说，在每个小区间内，Darboux和选择了最大值和最小值作为样本点，并用它们来计算该小区间内函数值的平均数。
四、黎曼可积根据黎曼可积定理，如果一个函数在给定区间上连续，则它必然是可积的。
此外，在某些情况下，非连续但有界的函数也可以是可积的。
这是因为在这种情况下，函数的振幅是有限的，因此可以通过将区间分成若干个小区间，并在每个小区间内取样本点来计算函数的积分。
五、必要条件除了上述情况外，一个函数是否可积还需要满足一些必要条件。
具体来说，以下条件是必要的：1. 有界性：一个函数在给定区间上必须是有界的，即它的值不能无限制地增加或减少。
2. 非奇异性：一个函数在给定区间上必须是非奇异的，即它不能存在任何不连续点或跳跃点。
3. 可数多个分点：如果一个函数在给定区间内存在有限个分点，则它一定是可积的。
但如果存在无限多个分点，则需要进一步判断。
4. 柯西主值：如果一个函数在给定区间内存在某些无穷大或无穷小值，则需要用柯西主值来计算其积分。
六、总结通过以上介绍，我们可以看出函数可积的必要条件非常严格。
只有满足这些条件才能保证一个函数在给定区间上是可积的。
因此，在计算函数积分时，我们需要仔细检查所选取的函数是否满足这些条件。
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对有界 函数 ， ［ ，］ ：口 ６ 一 及 ［ ，］ 口 ６ 的一分划 △： ： ＜ ＜ 。 …＜ 一ｂ 命 上 、 和为 口 。 。 ＜ ， 下
’
ｓ一 △
ｔ １ ；
一
ｓ ｐ 厂（） －ｊ～ ） ｕ ￡（ Ｔ １， ｉ
一 １… ｉ
∑ ｉ 厂 ￡ －Ｔ ， （ （ － ｉ） ｆ ） ｊ ～
微积 分 中的 Ｄ ｒｏ ｘ上 、 和与上 、 ａｂ ｕ 下 下积 分概 念 的生活 原型 可认 为是对 总量 （ 总产 量 、 消耗 量等 ） 总
的两个极端 估计 （ 最大与最 小 、 最好 与最坏 等 ）所 以有 鲜 明的现 实 意义． 积分 理论 中有 一 个关 键命 题 ， 定
（ ａｂｕ Ｄ ｒ ｏ ｘ定理 ） 正是 给 出上 、 和与上 、 积分之 间最 为本质 的关 系． 下 下
ａ ∈Ａ使 ａ ｕ Ａ一￡ 等 ） 与传统 教材一致 ； 二 ， ￣ｓ ｐ ， 要 第 关键 道 理 要简 单 明 了； 第三 ， 键道 理 要特 别 突 出， 关
即整证 明就 是关键 道理 的直接体 现 ； 四 ， 明中不加 说 明的部分 只是通用 的基本 知识 ． 第 证
一
特简 单的事 实 ： △， 。 ［ ，］ 设 △ 是 ｎ ６ 的二分 划 ， 。 △ 有 。 内分 点 ， 个 即除去 ａ ｂ之外 △ ， 。有 。 分点． 个
［ ］ Ｐ １ —１ ） 既然 Ｄ ｒｏ ｘ定理是 个 简单 命 题 ， ２ ，． ８ ９ ． ａｂ ｕ 其证 明 理应 简短 ． 以本 文 要 给 出它 的 一个 简短 证 所
明． 里所说 简短有 明确 的标 准 ： 一 ， 这 第 所利 用 的基 本知识 （ 和随分 划的加 细而下 降 ； 任给 的 ｅ 上 对 ＞０有
记 △Ｕ△ 为将 △的分 点与 △。 。 的分 点都拿来 作为 分点 的分划 ， 则 （） △的一段 但不是 △Ｕ△ ｉ是 。的一 段者 至多有 。 ； 个 （ ）是 △Ｕ△ ｉ ｉ 。的一段但不 是 △的一段 者至 多有 ２ 。 （ 图 １． 个 见 ）
［ 稿 日期 ］２ ０ —３３ 收 ０ ６０ —０
＜ 时 ， 有 必
０ Ｓ — ｌ，（ ｄ （ｅ ≤ ａ ） ｘ ，
Ｊａ ｒ６
０ Ｉ， ｄ － ＜￡ ≤ （ ）ｘ ．
这是 一个富有 现实 意义 的简单 命题 ， 但是其 证 明在现 行教 材 中却 不 十分 简单 （ ［ ］ ｐ ２ ２ ７ ； 见 １ ，． ７ —２ ３
是至 多 ” 个 加项 之和 与至 多 ２ 。 加项 之 和的差． 。 ｎ个 对 ～ ｕｏ △也是 如此． 这 就是证 明 Ｄ ｒ ｏ ｘ定 理所用 到 的关 键道 理 ， 属 简单． ａｂ ｕ 实
Ｄ ｒ ｏ ｘ定理 的证 明 设 ａｂｕ
Ｉ （） —Ｍ＜ ＋ｏ ￡ ． ［ ，］ ， ￡Ｉ ｏ，＞ｏ 有 ｎ ６ 的分划 Ａ ， ｚ 合 Ａ 适
（ 尔 滨 工业 大学 数 学 系 ， 尔滨 １ ０ ０ ） 哈 哈 ５ ０ １
［ 摘
要］ 给 出了 定 积 分理 论 中 Ｄ ｒｏ ｘ定 理 的 一个 非 常 简 短 的 证 明 ， 出 了 可 用 一 个 简 单 例 子 使 学 生 ａｂ ｕ 指
迅速 掌 握 此 证 明 ．
［ 关键 词 ］ 上 和 ； 和 ； 积 分 ； 积 分 下 上 下 ［ 图分 类 号 ］０１ ． 中 ７２ ［ 献 标识 码 ］ Ｃ 文 ［ 章 编 号］ １７ —４ ４ ２０ ）２０ ４ —３ 文 ６２１ ５ （０ ８ ０—１ ４０
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第 ２期
△ △０
李容 录 ， ： ｒ ｏ ｘ定理的 一个 简短证 明 等 Ｄａｂ ｕ
１５ ４
／＂ ｘ
△ Ｈ
是＝ 的但 一 段 ，
Ａ
＼ 但不是 △的一段 ． ／
囝 １
我们说 这是一 个特 简单 的事实 ， 因为 ： 补充 的 个 分点 ， 是 后 每个 至多 破坏一段 又 每个至 多产 生两 个新 段， 实在 是人人 皆知 的简单 事实 ． 现在 设 △， 。 ｎ ６ 的两个 分划 ， ０ Ａ 是［ ，］ △ 有 。 内分点 ． 考虑 有 界 函数 厂 ［ ，］ 飓 的 与 ｕｎ 个 试 ：ｎ ６ 一 △．
０ 一 （ ｄ 专 ≤ （ ｃ ＜ ． ≤ ， ） ＜ ，。 厂 ） 一 号 Ｌ ｒ
维普资讯
第２ ４卷 第 ２期
２０ ０ ８年 ４月
大 学 数 学
ＣＯＬＬＥＧＥ ＡＴＨ ＥＭ ＡＴＩ Ｍ ＣＳ
Ｖ ｏ ． ４。 ． １２ № ２ Ａ ｐｒ ２ ０ ．０８
Ｄａｂ ｕ ｒ ｏ ｘ定 理 的一个 简短 证 明
李容 录 ， 刘 淑 芬 ， 曹 莉
二者都是 一些加 项 的和 ， 者的公 共加项 在 ～ ｕ０ 二 △中互 相抵 消 ， 如同
ａ ＋ｆ 口 ～ （】 ６ ＋ｆ ６） 日 ＋口 一 （１ ６ ＋ ６） Ｊ ＋ ２ ６＋ ２ ＋ ３一 】 ２ ６ ＋ ２ ３
一
样 ． 以 所
一
ｕ０ （ 属 的 加 项 之 和 ） （ 属 ｕｎ 加 项 之 和 ） △一 只 一 只 △的
＝ １ 一１ ｉ
上 、 积 分 为 下
Ｊ 口
Ｉ， ｄ ＝ｉ 一 ， ｌ， ｄ ＝ｓｐ ， （）ｘ ｎＳ ｆ △ （）ｘ ｕ
△ △
其 中上 、 确界都 是对 ［ ，３ 下 ａ ｂ 的分 划 全体 而 言 的． 又对 ［ ，］ 分划 △记 其 模 Ｉ ｌ △ 的最 长分 段 长 ｎ６的 Ｉ ｌ △ 为 度． 于是 我们有 如下 的 Ｄ ｒｏ ｘ定 理 若 ＿：口 ６ 一 有界 ， ａｂ ｕ 厂 ［ ，］ 则对 任给的 ｅ ， ３ ， ＞０ 有 ＞０ 使得 当［ ，］ 口 ６ 的分 划 △ 的模 『 『 Ｉ Ｉ △