用一元一次方程解实际问题

用一元一次方程解实际问题一、和、差、倍、分问题：本类问题依具体题意，由和、差、倍、分列方程求解．例1 某大型商场三个季度共销售DVD2800台，第一季度销售量是第二季度的31，第三季度销量是第二季度的2倍，问第三季度销售DVD 多少台？分析：列总量=各分量之和解：二、人数调配问题本类问题依调动后列等量关系例2 甲、乙两个工程队分别有80人和60人，为了支援乙队，需要从甲队调出一部分人进乙队，使乙队的人数比甲队人数的2倍多5人，问从甲队调出的人数应是多少？解：三、商品的销售问题a) 商品利润=商品售价-商品进价（即商品成本）b) 商品利润率=商品进价商品利润×100% c) 折扣率：打n 折，指按售价为10n 售出，n 折可以是小数（如8.5折） 例3 某商品的进价是1530元，按商品标价的9折出售时，利润率是15% ，商品的标价是多少元？分析：本题由利润=进价×利润率=标价×折扣率-进价列方程解：四、数字型问题解决这类问题关键在于如何巧妙设出未知数，从而化简计算，常用的设未知数方法是：①连续数设中间；②多位自然数设一位；③数字换位设部分；④小数点移动直接设；⑤数字成比例设比值；⑥特殊关系特殊设例4 一个四位整数，其个位数字为2，若把末位数字移到首位，所得新数比原数小108，求这个四位数． 解：五、 百分比问题例5 某所中学现有学生4200人，计划一年后初中在校生增加8%，高中在校生增加11%，这样全校在校生将增加10%，问：这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数分别是多少？分析：本题等量关系是：一年后初中在校生增加的人数+高中在校生增加的人数=全校在校生增加的总人数 解：六、 工程问题工程问题经常把总工作量看成1，存在等量关系：工作效率×工作时间=工作量，工作量的和=1例1 某单位开展植树活动，由一人植树要80小时完成，现由一部分人先植树5小时，由于单位有紧急事情，再增加2人，且必须在4小时之内完成植树任务，这些人的工作效率相同，应先安排多少人植树？分析：把工作量看作1，每一个人的工作效率为801，由x 人先做5小时，完成的工作量为801×5×x=805x ，增加2人后，4小时完成的工作量为801×（x+2）×4=80)2(4 x ，由5小时的工作量×4小时的工作量=工作总量，解：例2 某车间接到一批加工任务，计划每天加工120件，可以如期完成，实际加工时每天多加工20件，结果提前4天完成任务，问这批加工任务共有多少件？分析：假设这批加工任务一共有x 件，那么计划120x 天完成，而实际用了20120 x 天完成，所以由等量关系：计划用的时间 -实际用的时间=4，列方程解：七、 行程问题行程问题，它涉及路程、速度和时间三个基本量，在匀速条件下，它们的基本关系是：路程=速度×时间，行程问题又分为以下四种情况a) 相遇问题基本关系式：快者路程+慢者路程=两地距离例3 甲、乙两列火车从A 、B 两地相向而行，乙车比甲车早发车1h ，甲车比乙车速度每小时快30km ，甲车发车两小时恰好与乙车相遇，相遇后为了错车，甲车放慢了速度，以它原来的32速度行驶；而乙车加快了速度，以它原来的35倍飞速行驶，结果241h 后，两车距离又等于A 、B 两地之间的距离，求两车相遇前速度及A 、B 两地之间的距离。

解析：设相遇前乙车的速度为xkm/h ，则相遇前、后两车行驶的路程可由图1表示出来b) 追及问题 i.同地追及。

基本关系式：快者路程=慢者路程例4 一队学生在校外进行军事野营训练，他们以5km/h 的速度行进，走了18min 的时候，学校要将一个紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14km/h 的速度按原路追去，问通讯员用多少时间可以追上学生队伍？解：ii.异地追及：基本关系式：快者路程-慢者路程=两地距离例5 A 、B 两站间的距离为448km ，一列慢车从A 站出发，每小时行驶60km ，一列快车从B 站出发，每小时行驶80km ，问经过几小时快车能追上慢车？分析：本题虽未明确两车的行驶方向，但既然快车能追上慢车，则两车只能沿从A 到B 的方向同向而行解：c) 环形跑道问题一般情况下，在环形跑道上，两人同时出发，第n 次相遇有两种情况：相向而行，路程和等于n 圈长；同向而行，路程差等于n 圈长例6 小王每天去体育场晨练，每次都见到一位田径队的叔叔也在锻炼，两人沿400米跑道跑步，每次总是小王跑2圈的时间叔叔跑3圈，一天，两人在同地反向而跑，小明看了一下记时表，发现隔了32秒两人第一次相遇，求两人的速度；第二天小王打算和叔叔在同地同向而跑，看叔叔隔多少时间首次与他相遇，你能先帮小王预测一A 3x 乙A 9×5x 甲 49×32（x+30） 图1d)航行问题对于航行问题，需注意以下几点：i.航行问题主要包括轮船航行和飞机航行ii.顺水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）速度；逆水（风）速度=静水（风）速度-水流（风）速度，顺水（风）速度-逆水（风）速度=2倍水（风）速度iii.基本关系式：往路程=返路程例7 有甲、乙两艘船，现同时由A地顺流而下，乙船到B地时接到通知，须立即返回C地执行任务，甲船继续顺流航行，已知甲、乙两船在静水中的速度都是每小时7.5km，水流速度为每小时2.5km，A、B两地间的距离为10km，如果乙船由A地经B地再到达C地共用了4h，问：乙船从B地到达C地时，甲船距离B地多远？分析：本题C地可能在A、B两地之间，也可能不在A、B两地之间，所以应分两种情况分析解：八、方案决策问题例1 商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种型号每台1500元，乙种型号每台2100元，丙种型号每台2500元．a)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；b)若商场销售一台甲种型号电视机可获利150元，销售一台乙种型号电视机可获利200元，销售一台丙种型号电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为使销售时获利最多，应选择哪种进货方案？分析：（1）本题没有明确进哪两种型号的电视机，而厂家提供了三种型号的电视机，故有三种不同的购货方案，即甲和乙，甲和丙，乙和丙，应分别求之；（2）把（1）中每种方案的获利分别求出，比较后即可得到获利最多的方案．解：点评：当我们面临数学问题而无法确定其情形时，就必须进行分类讨论．分类讨论思想的实质是把问题“分而治之，各个击破”．九、图表信息问题i.在话：爸爸：大人们票每张35元，学生门票5折优惠，我们共有12人，共需350小明：爸爸，等一下，让我算一算，换一种方式买票是否可以更省钱．问题：（1）小明他们一共去了几个成人？几个学生？（2）请你帮小明算一算，用哪种方式买票更省钱？并说明理由．分析：（1）此题的相等关系是：买成人票的钱+买学生票的钱=350（元），其中学生票按成人票的5折优惠，即要乘以0.5．（2）虽然旅游的总共是12人，不够16人团体票的优惠，但我们可以用虚拟方式，凑成16人，用团体票的方式购买，然后再比较两种方法的优劣性，作出决策．解：评注：图表信息类的应用题，立意新颖，来源广泛，形式灵活，将数学真正融入到日常生活当中，使同学们感到数学就在我们身边．此类题主要考查同学们分析图表，并从中获取信息，应用方程的知识解决问题的能力．解这类题的关键要仔细观察，挖掘出图表中所提供的信息，通过联想把图表中的信息与相应的数学知识、数学模型联十、利息问题：对这一问题主要是弄清什么是本金，利息，本息和，利率，税率及它们之间的关系．关系式：本息和=本金+利息，利息=本金×利率×期数，利息税=利息×税率例3 一年期定期储蓄年利率为2.25%，所得利息要交纳70%的利息税，已知某储户的一笔年期定期储蓄到期纳税后得利息450元，问该储户存入多少本金？分析：利用等量关系：利息-利息税=450元列方程解：十一、配套问题：设a个甲件与个b乙件配套，那么生产m个甲件，n个乙件，配套后的等量关系为：ah=bm 例4 现有白铁皮28张，每张白铁皮可做甲件5个或乙件6个，若3个甲件与2个乙件配套，问如何下料正好使机件配套解点评：配套问题应注意比例关系，用比例关系列出相等关系．列方程解应用题设元“三招”搞定列一元一次方程解应用题一个重要的步骤就是要能根据题意，巧妙、灵活地设好未知数，否则就有可能使求解陷入困境.那么如何才能正确地设出未知数呢？一般来说有下面“三招”设元的技巧：一招：直接设元法：例1一条环形跑道长400米.甲练习骑自行车，平均每分钟行驶550米；乙练习长跑，平均每分钟跑250米.两人同时、同地、同向出发，经过多少时间，两人首次相遇？分析本题是行程问题的追及问题.它有两个相等关系：甲的路程－乙的路程＝环形跑道－圆的周长；甲用的时间=乙用的时间.解答说明直接设元就是把应用题所要求的未知数作为方程中的元，即问什么设什么.二招：间接设元法：例2四盘苹果共100个，把第一盘的个数加上4，第二盘的个数减去4，第三盘的个数乘以4，第四盘的个数除以4，所得的数目一样，问原来四盘苹果各多少个?分析本题若从四盘苹果考虑直接设未知数，需要列出四元一次方程组，显然求解时有一定的难度.若对“所得的数目一样”这个条件反过来想，则由此可推出四盘苹果的数目，因此，设间接未知数x表示这个数目，则容易得到四盘苹果原来的个数分别为x－4，x+4，14x，4x，于是很方便地列出方程求解.解说明有些应用题，在不方便直接设未知数的情况下，可以根据具体情况，设出题目中并不要求求出的其它未知数作为方程的元.三招：设辅助元法：例3某种商品2006年比2005年上涨了25％，欲控制该商品2007年零售价比2005年只上涨10％，则2007年应比2006年降价的百分数是多少.分析欲求2007年比2006年降价多少元，若设2005年这种商品零售价为a元，又设2007年应比2006年降价的百分数为x，则该商品2006年的零售价为a (1+25％)，2007年的零售价为a (1+25％) (1－x)，可列出方程求解.说明某些应用题，直接设出未知数还难以列出方程，这时，可以根据具体的情况设出题目中并不要求出的其他未知数来作为辅助元.本例中设出辅助未知数a，可以将2006年、2007年该商品的零售价更清楚地表示出来.用一元一次方程解实际问题答案一、和、差、倍、分问题：本类问题依具体题意，由和、差、倍、分列方程求解．例1 某大型商场三个季度共销售DVD2800台，第一季度销售量是第二季度的31，第三季度销量是第二季度的2倍，问第三季度销售DVD 多少台？分析：列总量=各分量之和解：设第二季度销售量为x ，则31x+x+2x=2800 x=840 2x=1680答：第三季度销售量为1680台．十二、 人数调配问题：本类问题依调动后列等量关系例2 甲、乙两个工程队分别有80人和60人，为了支援乙队，需要从甲队调出一部分人进乙队，使乙队的人数比甲队人数的2倍多5人，问从甲队调出的人数应是多少？解：应从甲队调出人进乙队，则调动后的等量关系是：乙队的人数=甲队的人数×2+5，所以60+x=2（80-x ）+5 解之得x=35答：从甲队调出的人是35．十三、 商品的销售问题a) 商品利润=商品售价-商品进价（即商品成本）b) 商品利润率=商品进价商品利润×100%c) 折扣率：打n 折，指按售价为10n 售出，n 折可以是小数（如8.5折）例3 某商品的进价是1530元，按商品标价的9折出售时，利润率是15% ，商品的标价是多少元？分析：本题由利润=进价×利润率=标价×折扣率-进价列方程解：设此商品的标价是x元，则0.9x-1530=1530×15% 解得x=1955答：此商品的标价是1955元．十四、数字型问题解决这类问题关键在于如何巧妙设出未知数，从而化简计算，常用的设未知数方法是：①连续数设中间；②多位自然数设一位；③数字换位设部分；④小数点移动直接设；⑤数字成比例设比值；⑥特殊关系特殊设例4 一个四位整数，其个位数字为2，若把末位数字移到首位，所得新数比原数小108，求这个四位数．解：设这个四位数的前三位数为x，由此四位数为10x+2，末位数移到首位后所得新数为1000×2+x，则（10x+2）-（1000×2+x）=108 解得x=234 所以10x+2=2343答：所求四位数为2342．十五、百分比问题例5 某所中学现有学生4200人，计划一年后初中在校生增加8%，高中在校生增加11%，这样全校在校生将增加10%，问：这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数分别是多少？数+高中在校生增加的人数=全校在校生增加的总人数解：设这所学校现在的初中在校生人数为x 人，则现在的高中在校生为（4200-x ）人，由题意可得8%·x+（4200-x ）×11%=4200×10%，解得x=1400 当x=1400时，4200-x=2800答：这所学校现在的初中在校生人数为1400人，现在的高中在校生人数为2800人．十六、 工程问题工程问题经常把总工作量看成1，存在等量关系：工作效率×工作时间=工作量，工作量的和=1例1 某单位开展植树活动，由一人植树要80小时完成，现由一部分人先植树5小时，由于单位有紧急事情，再增加2人，且必须在4小时之内完成植树任务，这些人的工作效率相同，应先安排多少人植树？分析：把工作量看作1，每一个人的工作效率为801，由x 人先做5小时，完成的工作量为801×5×x=805x ，增加2人后，4小时完成的工作量为801×（x+2）×4=80)2(4+x ，由5小时的工作量×4小时的工作量=工作总量，可列方程解：设安排x 人先工作5小时，根据工作总量等于各分量之和，得5x +)2(4+x =1 解得x=8，答：（略）例 2 某车间接到一批加工任务，计划每天加工120件，可以如期完成，实际加工时每天多加工20件，结果提前4天完成任务，问这批加工任务共有多少件？分析：假设这批加工任务一共有x 件，那么计划120x 天完成，而实际用了20120+x 天完成，所以由等量关系：计划用的时间 -实际用的时间=4，列方程解：设这批加工任务共有x 件，依题意得120x -20120+x =4解得x=3360，答：（略）十七、 行程问题行程问题，它涉及路程、速度和时间三个基本量，在匀速条件下，它们的基本关系是：路程=速度×时间，行程问题又分为以下四种情况a) 相遇问题基本关系式：快者路程+慢者路程=两地距离例3 甲、乙两列火车从A 、B 两地相向而行，乙车比甲车早发车1h ，甲车比乙车速度每小时快30km ，甲车发车两小时恰好与乙车相遇，相遇后为了错车，甲车放慢了速度，以它原来的32速度行驶；而乙车加快了速度，以它原来的35倍飞速行驶，结果241h 后，两车距离又等于A 、B 两地之间的距离，求两车相遇前速度及A 、B 两地之间的距离。