向量的线性运算经典测试题含答案

向量的线性运算经典测试题含答案一、选择题1．化简()()AB CD BE DE -+-的结果是（ ）．A ．CAB ．AC C ．0D ．AE【答案】B【解析】【分析】根据三角形法则计算即可解决问题．【详解】解：原式()()AB BE CD DE =+-+AE CE =-AE EC =+ AC =，故选：B ．【点睛】本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则解决问题，属于中考基础题．2．下列等式正确的是（ ）A ．AB +BC ＝CB +BAB ．AB ﹣BC ＝ACC ．AB +BC +CD ＝DAD ．AB +BC ﹣AC ＝0【答案】D【解析】【分析】根据三角形法则即可判断.【详解】∵AB BC AC +=，∴0AB BC AC AC AC +-=-= ，故选D ．【点睛】本题考查平面向量的三角形法则，解题的关键是熟练掌握三角形法则.3．已知a 、b 和c 都是非零向量，在下列选项中，不能判定//a b 的是( ) A ．2a b =B ．//a c ，//b cC ．||||a b =D ．12a c =，2bc = 【答案】C【解析】【分析】由方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断．【详解】A 选项：由2a b =，可以推出//a b ．本选项不符合题意；B 选项：由//a c ，//b c ，可以推出//a b ．本选项不符合题意；C 选项：由||||a b =，不可以推出//a b ．本选项符合题意；D 选项：由12a c =，2bc =，可以推出//a b ．本选项不符合题意；故选：C ．【点睛】考查了平面向量，解题关键是熟记平行向量的定义．4．已知5AB a b =+，28BC a b =-+，()3CD a b =-，则（ ）．A ．A 、B 、D 三点共线B ．A 、B 、C 三点共线 C ．B 、C 、D 三点共线D ．A 、C 、D 三点共线 【答案】A【解析】【分析】根据共线向量定理逐一判断即可.【详解】解：∵28BC a b =-+，()3CD a b =-，5AB a b =+∴()2835BD BC CD a b a b a b =+=-++-=+， ∴AB 、BD 是共线向量∴A 、B 、D 三点共线，故A 正确；∵5AB a b =+，28BC a b =-+∴不存在实数λ，使AB BC λ=，即AB 、BC 不是共线向量∴A 、B 、C 三点共线，故B 错误；∵28BC a b =-+，()3CD a b =-∴不存在实数λ，使BC CD λ=，即BC 、CD 不是共线向量∴B 、C 、D 三点共线，故C 错误；∵5AB a b =+，28BC a b =-+，()3CD a b =-，∴()52813AC AB BC a b a b a b =+=++-+=-+∴不存在实数λ，使AC CD λ=，即AC 、CD 不是共线向量∴A 、C 、D 三点共线，故D 错误；故选A.【点睛】此题考查的是共线向量的判定，掌握共线向量的定理是解决此题的关键.5．若点O 为平行四边形的中心，14AB m =，26BC m =，则2132m m -等于（ ）． A ．AOB ．BOC ．COD ．DO 【答案】B【解析】【分析】根据向量加法的平行四边形法则和平行四边形的性质逐一判断即可.【详解】解:∵在平行四边形ABCD 中, 14AB m =，26BC m =，∴1246B m C AC AB m =+=+,1246BD BA BC AC m m =+==-+,M 分别为AC 、BD 的中点, ∴122312AO AC m m =+=，故A 不符合题意； 211322BO BD m m ==-，故B 符合题意； 122312CO AC m m ==---，故C 不符合题意； 121232DO BD m m =-=-，故D 不符合题意. 故选B.【点睛】此题考查的是平行四边形的性质及向量的加、减法,掌握平行四边形的对角线互相平分和向量加法的平行四边形法则是解决此题的关键.6．已知m 、n 是实数，则在下列命题中正确命题的个数是（ ）．①0m <，0a ≠时，ma 与a 的方向一定相反；②0m ≠，0a ≠时，ma 与a 是平行向量；③0mn >，0a ≠时，ma 与na 的方向一定相同；④0mn <，0a ≠时，ma 与na 的方向一定相反．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】根据向量关系的条件逐一判断即可.【详解】解：①因为0m <，1＞0，0a ≠，所以ma 与a 的方向一定相反，故①正确； ②因为0m ≠，1≠0，0a ≠，所以ma 与a 是平行向量，故②正确；③因为0mn >，0a ≠，所以m 和n 同号，所以ma 与na 的方向一定相同，故③正确； ④因为0mn <，0a ≠，所以m 和n 异号，所以ma 与na 的方向一定相反，故④正确． 故选D.【点睛】此题考查的是共线向量，掌握共线向量定理是解决此题的关键.7．下列各式正确的是（ ）．A ．()22a b c a b c ++=++B ．()()330a b b a ++-= C ．2AB BA AB +=D ．3544a b a b a b ++-=- 【答案】D【解析】【分析】根据平面向量计算法则依次判断即可.【详解】 A 、()222a b c a b c ++=++，故A 选项错误；B 、()()3333+33=6a b b a a b b a b ++-=+-，故B 选项错误；C 、0AB BA +=，故C 选项错误；D 、3544a b a b a b ++-=-，故D 选项正确；故选D.【点睛】本题是对平面向量计算法则的考查，熟练掌握平面向量计算法则是解决本题的关键.8．下列结论正确的是（ ）．A ．2004cm 长的有向线段不可以表示单位向量B ．若AB 是单位向量，则BA 不是单位向量C ．若O 是直线l 上一点，单位长度已选定，则l 上只有两点A 、B ，使得OA 、OB 是单位向量D ．计算向量的模与单位长度无关【答案】C【解析】根据单位向量的定义及意义判断即可.【详解】A.1个单位长度取作2004cm 时，2004cm 长的有向线段才刚好表示单位向量，故选项A 不正确；B. AB 是单位向量时，1AB =，而此时1AB BA ==，即BA 也是单位向量，故选项B 不正确；C.单位长度选定以后，在l 上点O 的两侧各取一点A 、B ，使得OA 、OB 都等于这个单位长度，这时OA 、OB 都是单位向量，故选项C 正确；D.没有单位长度就等于没有度量标准，故选项D 不正确.故选C. 【点睛】 本题考查单位向量，掌握单位向量的定义及意义是解题的关键.9．□ABCD 中， -+等于( ) A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】【分析】 在平行四边形中，两对对边平行且相等，以一对对边所在的线段构成向量，得到的向量要么相等，要么是相反向量，根据本题所给的两个向量来看，它们是一对相反向量，和为零向量，得到结果．【详解】 ∵在平行四边形ABCD 中，与 是一对相反向量， ∴= - ∴ -+=- +=， 故选A ．【点睛】此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于得出 与 是一对相反向量.10．如图，点C 、D 在线段AB 上，AC BD =，那么下列结论中，正确的是（ ）A ．AC 与BD 是相等向量B ．AD 与BD 是平行向量C ．AD 与BD 是相反向量D ．AD 与BC 是相等向量【答案】B【解析】【分析】由AC=BD，可得AD=BD，即可得AD与BD是平行向量，AD BC AC BD=-=-，，继而证得结论．【详解】A、∵AC=BD，∴AC BD=-，该选项错误；B、∵点C、D是线段AB上的两个点，∴AD与BD是平行向量，该选项正确；C、∵AC=BC，∴AD≠BD，∴AD与BD不是相反向量，该选项错误；D、∵AC=BD，∴AD=BC，∴AD BC=-，，该选项错误；故选：B．【点睛】本题考查了平面向量的知识．注意掌握相等向量与相反向量的定义是解此题的关键．11．若a＝2e，向量b和向量a方向相反，且|b|＝2|a|，则下列结论中不正确的是（）A．|a|＝2 B．|b|＝4 C．b＝4e D．a＝1 2b -【答案】C【解析】【分析】根据已知条件可以得到：b＝﹣4e，由此对选项进行判断．【详解】A、由a＝2e推知|a|＝2，故本选项不符合题意．B、由b＝-4e推知|b|＝4，故本选项不符合题意．C、依题意得：b＝﹣4e，故本选项符合题意．D、依题意得：a＝-12b，故本选项不符合题意．故选C．【点睛】考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向．12．在下列关于向量的等式中，正确的是（）A．AB BC CA=+B．AB BC AC=-C．AB CA BC=-D ．0AB BC CA ++=【答案】D【解析】【分析】 根据平面向量的线性运算逐项判断即可.【详解】AB AC CB =+，故A 选项错误；AB AC BC =-，故B 、C 选项错误；0AB BC CA ++=，故D 选正确.故选：D.【点睛】本题考查向量的线性运算，熟练掌握运算法则是关键.13．如图,在平行四边形ABCD 中，设AB a =,AD b =，那么向量OC 可以表示为. ( )A ．1122a b + B ．1122a b - C ．1122a b -+ D ．1122a b -- 【答案】A【解析】【分析】 利用平行四边形的性质以及平面向量的加法与减法运算法则解题即可. 【详解】由题意可得 ()()1111122222OC AC AD AB a b a b ==+=+=+ 【点睛】 本题主要考察平面向量的加法与减法运算，掌握平行四边形法则是解题的关键.14．已知e 是单位向量，且2,4a e b e =-=，那么下列说法错误的是（ ）A ．a ∥bB ．|a |=2C ．|b |=﹣2|a |D ．a =﹣12b 【答案】C【解析】【分析】【详解】解：∵e 是单位向量，且2a e =-，4b e =，∴//a b ，2a =， 4b = ， 12a b =-， 故C 选项错误，故选C.15．如图，向量OA 与OB 均为单位向量，且OA ⊥OB ，令n =OA +OB ，则||n =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2【答案】B【解析】 根据向量的运算法则可得:n =()222OA OB +=,故选B.16．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =，OB b =，下列式子中正确的是（ ）A ．DC a b =+B ．DC a b =-； C ．DC a b =-+D ．DC a b =--．【答案】C【解析】【分析】 由平行四边形性质，得DC AB =，由三角形法则，得到OA AB OB +=，代入计算即可得到答案.【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB =，∵OA a=，OB b=，在△OAB中，有OA AB OB+=，∴AB OB OA b a a b=-=-=-+，∴DC a b=-+；故选择：C.【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．17．已知一个单位向量e，设a、b是非零向量，那么下列等式中正确的是（）．A．1a ea=；B．e a a=；C．b e b=；D．11a ba b=．【答案】B【解析】【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．【详解】解：A、左边得出的是a的方向不是单位向量，故错误；B、符合向量的长度及方向，正确；C、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；D、左边得出的是a的方向，右边得出的是b的方向，两者方向不一定相同，故错误．故选：B．【点睛】本题考查了向量的性质．18．设,m n为实数，那么下列结论中错误的是（）A．m na mn a（）＝（）B．m n a ma na++（）＝C．m a b ma mb+（+）＝D．若0ma=，那么0a=【答案】D【解析】【分析】空间向量的线性运算的理解：（1）空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算；（2）注意向量的书写与代数式的书写的不同，我们书写向量的时候一定带上线头，这也是向量与字母的不同之处；（3）虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算，但它们表示的意义不同．【详解】根据向量的运算法则，即可知A （结合律）、B 、C （乘法的分配律）是正确的，D 中的0是有方向的，而0没有，所以错误．解：∵A 、B 、C 均属于向量运算的性质，是正确的；∵D 、如果a =0，则m=0或a =0．∴错误．故选D ．【点睛】本题考查的知识点是向量的线性运算，解题关键是熟记向量的运算法则.19．已知e 是一个单位向量，a 、b 是非零向量，那么下列等式正确的是（ ） A ．a e a = B ．e b b = C ．1a e a = D ．11a b a b= 【答案】B【解析】【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．【详解】A. 由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；B. 符合向量的长度及方向，正确；C. 得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；D. 左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误. 故答案选B.【点睛】本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量.20．对于非零向量a 、b ，如果2|a |＝3|b |，且它们的方向相同，那么用向量a 表示向量b 正确的是（ ）A ．b ＝32a B ．b ＝23a C ．b ＝﹣32a D ．b ＝-23a 【答案】B【解析】【分析】 根据已知条件得到非零向量a 、b 的模间的数量关系，再结合它们的方向相同解题．【详解】 ∵2|a |=3|b |，∴|b |23=|a |．又∵非零向量a与b的方向相同，∴23b a ．故选B．【点睛】本题考查了平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向．。