新人教版22.2二次函数与一元二次方程

o
y =a（x－x1）（x－ x 2）
y
（2） y = 4x2 －4x +1
解：当 y = 0 时， 4x2 －4x +1 = 0
o
x
（ 2x－ 1） 2 = 0 1 x1=x2= 2 所以与 x 轴有一个交点。
y
（ 3） y = x2 – x+ 1
解：当 y = 0 时， x2 – x+ 1 = 0 因为（-1）2－4×1×1 = －3 < 0
已知二次函数，求自变量的值
解一元二次方程的根
探究思考2
1、二次函数y = x2+x-2 , y = x2 - 6x +9 , y = x2 – x+ 1 2 2 y x x 1 的图象如图所示。 y x 6x 9 y x2 x 2
(1).每个图象与x轴有几个交点？ 答：2个，1个，0个 (2).一元二次方程? x2+x-2=0 , x2 - 6x +9=0有几个根? 验证一下一元二次方程x2 – x+ 1 =0有根吗? (3).二次函数y=ax +bx+c的图象和x轴交点的坐标与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
2
解:作y x2 2 x 2的图象,
它与x轴的公共点的横坐标 大约是 0.7, 2.7. 方程 x 2 x 2 0的实数为x1 0.7, x2 2.7
2
随堂练习
1.不与x轴相交的抛物线是（ D ）
A. y = 2x2 – 3 C. y= －x2 – 3x B. y=－2 x2 + 3 D. y=－2(x+1)2 －3
解：（1）当 h = 15 时， 20 t – 5 t 2 = 15 t 2 － 4 t ＋3 = 0 t 1 = 1， t 2 = 3
当球飞行 1s 和 3s 时，它的高度为 15m .
15 m
1s 3s
20 m
2s （2）当 h = 20 时， 20 t – 5 t 2 = 20 t 2 － 4 t ＋4 = 0 t1=t2=2 当球飞行 2s 时，它的高度为 20m .
2.若抛物线 y = ax2+bx+c= 0，当 a>0，c<0时，图象 与x轴交点情况是（ C） A. 无交点 C. 有两个交点 B. 只有一个交点 D. 不能确定
3. 如果关于x的一元二次方程 x2－2x+m=0有两
1 个相等的实数根，则m=＿＿＿，此时抛物线 y=x2－
1 2x+m与x轴有＿＿个交点 .
2
y x x 1
2
与x轴交点坐标 (-2,0),(1,0)
相应方程的根 x1=-2,x2=1
(3,0) x1=x2=3
无交点 无实根
抛物线y=ax2+bx+c与x轴交 点的横坐标是方程ax2+bx+c =0 的根。
=0的 根是抛物线y=ax2+bx+c与x轴交 点的横坐标。
2 反之，方程ax +bx+c
22.2二次函数与一元二次方程
九年级数学
复习引入
二次函数的一般式：
y ax bx c （a≠0）
2
x 是自变量，____ y 是____ x 的函数。 ______
当 y = 0 时，
ax² + bx43; bx + c = 0
这是什么方程？ 一元二次方程与二 次函数有什么关系？
7.已知抛物线y = ax2+bx+c的图象如图,则关 于x的方程ax2 + bx + c－3 = 0根的情况是（ A ） A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个异号绝对值相等的实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 y 3 . -1 o 1.3 x
x =－ 1
二次函数与一 元二次方程的 关系
探究思考3
下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗? 若有，求出交点坐标. y （1） y = 2x2＋x－3 （2） y = 4x2 －4x +1
（ 3） y = x2 – x+ 1 o x
令 y= 0，解一元二次方程的根
y
（1） y = 2x2＋x－3 解：当 y = 0 时， 2x2＋x－3 = 0 （2x＋3）（x－1） = 0 3 x 1 =－ ，x 2 = 1 2 x 所以与 x 轴有交点，有两个交点。 二次函数的两点式
当二次函数y=ax2+bx+c中y的值 确定，求x的值时，二次函数就变 为一元二次方程。即当y取定值时， 二次函数就为一元二次方程。
两个交点
二 轴次 的函 交数 点与
交
一个交点 点 没有交点
b2-4ac>0
二次函数与x轴的交点的横坐标是一元二次方程的解
x
b2-4ac=0
b2-4ac<0
下课!
结束寄语
•
•
时间是一个常数,但对勤奋者来说, 是一个“变数”. 用“分”来计算时间的人比用“小 时”来计算时间的人时间多59倍.
b2 – 4ac > 0 b2 – 4ac = 0
没有实数根
b2 – 4ac < 0
1.一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是 x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10 与x轴的交点坐标是＿＿＿＿＿ (-2,0) (5/3,0).
2.抛物线y=2x2-3x-5 与x轴有无交点？若无说 出理由,若有求出交点坐标？ 有 (2.5,0)， (-1,0)
（3）当 h = 20.5 时， 20 t – 5 t 2 = 20.5 t 2 － 4 t ＋4.1 = 0 因为(－4)2－4×4.1 < 0 ，所以方程无实根。 球的飞行高度达不到 20.5 m.
20.5 m
0s （4）当 h = 0 时， 20 t – 5 t 2 = 0 t 2－ 4 t = 0
我们学习了的“一元二次方程”
探究思考1
以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方 向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考 虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t – 5 t 2 考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要 多少时间? （2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要 多少时间? （3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间?
归纳：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为 x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标 是(x1,0),(x2,0)
例题讲解
利用函数图象求方程x 2 x 2 0的实数根 (精确到0.1). 思路: (1)先作出图象; (2)写出交点的坐标; (3)得出方程的解.
4s
0m
t 1 = 0， t 2 = 4
当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ，即 0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面。
为一个常数 （定值）
从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为 一元二次方程? 一般地，当y取定值时，二次函数为一元 二次方程。
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就 是一个一元二次方程。
o
x
所以与 x 轴没有交点。
有更快的方法知道二次 函数与x轴交点个数吗？
y=ax2+bx+c 的图象 与x轴交点情况
有两个交点
有一个交点
ax2+bx+c = 0 的根
有两个根 b2 – 4ac > 没有根 2
0 有一个根 （两个相同的根） b2 – 4ac = 0
没有交点
b – 4ac < 0
2.2个根,2个相等的根 , 无实数根. 2
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标 与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
y x x2
2
y x2 6 x 9
y x2 x 1
二次函数
2 y x 6x 9 y x x2
若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有交点，则 b2 – 4ac ≥ 0 ________________ 。
△ = b2 – 4ac
y △＜0 △=0
△＞0
o
x
归纳小结
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点 的三种情况与一元二次方程根的关系：
二次函数 一元二次方程 一元二次方程 2 2+bx+c= 0根的判 y=ax +bx+c的图 ax ax2+bx+c= 0的根 象和x轴交点 别式Δ=b2-4ac 有两个交点 只有一个交点 没有交点 有两个不相 等的实数根 有两个相等的 实数根
4.已知抛物线 y=x2 – 8x + c的顶点在 x轴上，
16 . 则 c =＿＿ 5.若抛物线 y=x2 + bx+ c 的顶点在第一象限,则方 2－4ac < 0 无实数根 2 b 程 x + bx+ c =0 的根的情况是＿＿＿＿＿.
(0，－5) 6.抛物线 y=2x2－3x－5 与y轴交于点＿＿＿＿， 与x轴交于点 (2.5，0) (－1，0) .