晶体学基础
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材第二章_晶体学基础
25
12 简单立方点阵
a=b=c，α=β=γ =90°
26
13 体心立方点阵
a=b=c，α=β=γ =90°
27
14 面心立方点阵
a=b=c，α=β=γ =90°
28
2.3、晶向指数和晶面指数
晶向——通过晶体中任意两个原子中心连成直 线 来表示晶体结构的空间的各个方向。 晶面——晶体结构一系列原子所构成的平面。
8
2.2 布拉菲点阵
点阵（晶格）模型
晶胞
代表性的基本单元（最小平行六面体）
9
c
b
a
空间点阵及晶胞的不同取法
10
选取晶胞的原则： 1.要能充分反映整个空间点成的周期性和对称性； 2.在满足1的基础上，单胞要具有尽可能多的直角； 3.在满足上条件，晶胞应具有最小的体积。
1
2
6
3
4 5
晶体学选取晶胞的原则
47
描述晶胞从以下几个方面： 晶胞中原子的排列方式 (原子所处的位置) 点阵参数 (晶格常数和晶轴间夹角) 晶胞中原子数 原子半径 R(原子的半径和点阵常数关系) 配位数和致密度 密排方向和密排面 晶体结构中间隙 (大小和数量) 原子的堆垛方式
48
三种典型金属晶体结构刚球模型
间隙有两种:四面体间隙和八面体间隙 八面体间隙: 位于晶胞体中心和每个棱边的中点， 由 6 个面心原子所围成,大小rB=0.414R，rB为间隙半径， R为原子半径，间隙数量为4个。
面心立方八面体间隙
55
面心立方四面体间隙
四面体间隙:由一个顶点原子和三个面心原子围成，其大 小：rB=0.225R，间隙数量为8个。
42
晶带定理的应用
2-1-晶体学基础
原始晶胞)、 素晶胞 (原始晶胞 、复晶胞 原始晶胞
晶胞参数： 晶胞参数：大小和形状 a, b, c, αβγ 分数坐标
7
Na+ 与 Cl- 之间的距离： ½ a. 之间的距离：
Cs+ 与 Cl- 之间的距离： a . 之间的距离：
3 2
结构基元数目： 结构基元数目：
4
1
2
8
晶体结构： 晶体结构：空间点阵 + 结构基元
31
32
7 个晶系和 32 个点群
33
空间群
空间群：晶体的全部对称性群。 空间群：晶体的全部对称性群。 全部对称性群 空间群的元素是点群操作和平移操作的组合， 空间群的元素是点群操作和平移操作的组合， 点群操作和平移操作的组合 共有230个晶体空间群。 个晶体空间群。 共有
34
石英晶体：m 与 m 面 (法线 夹角为 法线) 石英晶体： 法线 60°0'，m 与 r 面 (法线 夹角为 38°13' 法线) ° ， 法线 °
理想石英晶体: 六个m面原组成六方柱 理想石英晶体 六个 面原组成六方柱 歪晶: 外界环境的影响，形态畸变。 歪晶 外界环境的影响，形态畸变。 通过对晶面间角度的测量，可以揭示晶体固有的对称性， 通过对晶面间角度的测量，可以揭示晶体固有的对称性，绘制出理想的晶 体形态图，为几何结晶学研究打下基础， 体形态图，为几何结晶学研究打下基础，并为晶体内部结构的探索给予了 有益的启发； 有益的启发； 通过晶体测量，即可鉴定晶体的种类。 通过晶体测量，即可鉴定晶体的种类。
13
Fe，Ni: 混合价态，存在不同价态之间的电荷转移跃迁， ， 混合价态，存在不同价态之间的电荷转移跃迁， 吸收可见光，使其具备很深的颜色。 吸收可见光，使其具备很深的颜色。
材料科学基础-第1章
晶面指数及晶面间距
现在广泛使用的用来表示晶面指数的密勒指数是由 英国晶体学家ler于1939年提出的。
z
确定晶面指数的具体步骤如下： 1.以各晶轴点阵常数为度量单位,求 出晶面与三晶轴的截距m,n,p； 2.取上述截距的倒数1/m,1/n,1/p； 3. 将以上三数值简为比值相同的三 个最小简单整数,即 1 1 1 h k l (553) : : : : h:k :l x m n p e e e 其中e为m,n,p三数的最小公倍数,h,k,l为简单整数； 4.将所得指数括以圆括号, (hkl)即为密勒指数。
13 体心立方点阵
a=b=c，α=β=γ =90°
14 面心立方点阵
a=b=c，α=β=γ =90°
§ 1.5 晶体结构的对称性
一、对称：对称是指物体相同部分作有规律的 重复。对称操作所依据的几何元素，亦即在对 称操作中保持不动的点、线、面等几何元素称 为对称元素。 二、对称性
1．晶体的宏观对称性 2. 晶体的32种点群 3. 晶体的微观对称性 4．230种空间群
晶体结构＝空间点阵+基元
注意：上式并不是一个数学关系式，而只是用来表示这三者之间的 关系。
二、晶体的点阵理论
1 、点阵(Lattice):
将晶体中重复出现的最小单元作为结构基元，用一个数 学上的点来代表 , 称为点阵点，整个晶体就被抽象成一组 点,称为点阵。 1 点阵点必须无穷多； 点阵必须具备的三个条件 2 每个点阵点必须处于相同的环境； 3 点阵在平移方向的周期必须相同。
c
b
a
空间点阵及晶胞的不同取法
选取晶胞的原则： 1.要能充分反映整个空间点阵的周期性和对称性； 2.在满足1的基础上，单胞要具有尽可能多的直角； 3.在满足上条件，晶胞应具有最小的体积。
晶体学基础
单斜
abc
abc
90
90
三斜
abc
3. 点阵类型
7大晶系 包含14 种空间 点阵— —布拉 菲 (A.Brav ais)点阵
§1-2晶面指数、晶向指数——Miller指数
晶面——穿过晶体的原子平面。 晶向——晶体中任意原子列的直线方向。 不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和取向。这就是 晶体具有各向异性的原因。
( 1 00), (0 1 0), (00 1 )
思考： {111}包含多少个等价面？
三、 晶向指数与晶面指数的关系
在立方晶系中（包括密排六方）：
[u v w] // (h k l) 时，一定满足：hu+kv+lw = 0 [u v w] (h k l) 时，一定满足：h=u, k=v, l=w
同一直线上，方向相反的晶向其指数加负号；
原子排列相同但空间位向不同的所有晶向称为晶向族， 用< >括号表示。 例如<100>包含：[100],[010],[001 ],[1 00],[0 1 0],[001] z [011] 不通过原点的晶向： (x2-x1):(y2-y1):(z2-z1) =u:v:w
一、晶向指数
确定晶向指数的步骤： 建立坐标系：oxyz， 晶格长度作为单位长度，原点o在待定晶向上；
找出该晶向上除原点外的任意一点的坐标：x,y,z； 将x,y,z 按比例划成互质(最小)整数u,v,w；
将u,v,w 三个数放在方括号内，就得到晶向指数[uvw]。
[说明]： 晶向指数表示的是一族平行的晶向，即相互平行的晶向 具有相同的晶向指数；
[0 1 0]
o x
[1 0 1] [010] y
abc
abc
90
90
三斜
abc
3. 点阵类型
7大晶系 包含14 种空间 点阵— —布拉 菲 (A.Brav ais)点阵
§1-2晶面指数、晶向指数——Miller指数
晶面——穿过晶体的原子平面。 晶向——晶体中任意原子列的直线方向。 不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和取向。这就是 晶体具有各向异性的原因。
( 1 00), (0 1 0), (00 1 )
思考： {111}包含多少个等价面？
三、 晶向指数与晶面指数的关系
在立方晶系中（包括密排六方）：
[u v w] // (h k l) 时，一定满足：hu+kv+lw = 0 [u v w] (h k l) 时，一定满足：h=u, k=v, l=w
同一直线上，方向相反的晶向其指数加负号；
原子排列相同但空间位向不同的所有晶向称为晶向族， 用< >括号表示。 例如<100>包含：[100],[010],[001 ],[1 00],[0 1 0],[001] z [011] 不通过原点的晶向： (x2-x1):(y2-y1):(z2-z1) =u:v:w
一、晶向指数
确定晶向指数的步骤： 建立坐标系：oxyz， 晶格长度作为单位长度，原点o在待定晶向上；
找出该晶向上除原点外的任意一点的坐标：x,y,z； 将x,y,z 按比例划成互质(最小)整数u,v,w；
将u,v,w 三个数放在方括号内，就得到晶向指数[uvw]。
[说明]： 晶向指数表示的是一族平行的晶向，即相互平行的晶向 具有相同的晶向指数；
[0 1 0]
o x
[1 0 1] [010] y
晶体学基础
2020/3/3
3
1.1 晶体及其基本性质
晶体结构 = 点阵 + 结构基元
2020/3/3
4
空间点阵的四要素
1. 阵点: 空间点阵中的点； 2. 阵列: 结点在直线上的排列； 3. 阵面: 阵点在平面上的分布。
2020/3/3
5
空间点阵的四要素
4. 阵胞: 结点在三维空间形成的平行六面体。
原胞：最小的平行六面体，只考虑周期性，不考虑对称性； 晶胞：通常满足对称性的前提下，选取体积最小的平行六面体。
ur b/k
P
a/h A
v
a
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倒易点阵的应用
uur dhkl 1/ r *hkl
1、计算面间距
1
d2 hkl
r rhkl
r .rhkl
h
k
av*
l
r bcv**
av*
r b*
h
cv*
k
l
h
h
k
l
G
*
k
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3
c
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倒易点阵的应用
2、计算晶面夹角
• 两晶面之间的夹角，可以用各自法线之间的夹角来表示， 或用它们的倒易矢量的夹角来表示：
c((ohhs21kk12ll12)c)osrvrv(hh2rv1kk2h1l1l21k1l1 ,hhrv21hav2avk*2*l+2+)kk21bvbv*rvv*+h+1kl12ll11cvcv*vrv*h2k2l2
4. 若已知两个晶带面,则晶带轴；
5. 已知两个不平行的晶向，可以求出过这两个晶向的晶面；
材料科学基础 第1章 晶体学基础
人类使用的材料中大多为晶态(Crystalline)，包括单晶、 多晶、微晶和液晶等。那么什么是晶体？ 晶体有何特点？
金刚石
Nacl
水晶
CaF2
MoS2
闪锌矿
高分辨率电镜－High Resolution Electron Microscopy (HREM)
The surface of a gold specimen, was taken with a atomic force microscope (AFM). Individual atoms for this (111) crystallographic surface plane are resolved.
底心正方和简单 正方点阵的关系
例：结构对性能的影响－Sn 1850 in Russia. The winter that year was particularly cold, and record low temperatures persisted for extended periods of time. The uniforms of some Russian soldiers had tin buttons, many of which crumbled due to these extreme cold conditions, as did also many of the tin church organ pipes. This problem came to be known as the “tin disease.”
组平行的晶面应当包含点阵所有的阵点。 ● ２、晶向(lattice or crystal directions) 通过两阵点之间的直线。 ● ３、定量表示晶面和晶向的意义 各向异性，结构分析（需要表征晶体结构内部的不同
金刚石
Nacl
水晶
CaF2
MoS2
闪锌矿
高分辨率电镜－High Resolution Electron Microscopy (HREM)
The surface of a gold specimen, was taken with a atomic force microscope (AFM). Individual atoms for this (111) crystallographic surface plane are resolved.
底心正方和简单 正方点阵的关系
例：结构对性能的影响－Sn 1850 in Russia. The winter that year was particularly cold, and record low temperatures persisted for extended periods of time. The uniforms of some Russian soldiers had tin buttons, many of which crumbled due to these extreme cold conditions, as did also many of the tin church organ pipes. This problem came to be known as the “tin disease.”
组平行的晶面应当包含点阵所有的阵点。 ● ２、晶向(lattice or crystal directions) 通过两阵点之间的直线。 ● ３、定量表示晶面和晶向的意义 各向异性，结构分析（需要表征晶体结构内部的不同
第一章 晶体学基础
例：
X 轴坐标 —— 1 Y 轴坐标 —— 1 Z 轴坐标 —— ∞
11∞ ( 1 1 0)
绘出( 3 3 4 ) 和 ( 1 1 2 ) 晶面
取倒数
111
化简
3
( 334 )
(-
)
( -1 1 )
334
4
(11 2)
( 1 -1 1 ) 2
请绘出下列晶向： [001] [010] [100]
[110] [1 1 0] [10 1] [112] 请绘出下列晶面： (001) (010) (100) (110) (1 1 0) (10 1) (112)
单胞
晶体结构与点阵的关系
-Fe
CsCl bcc
a a
a
a
simple cubic
a a
-Fe
Cu3Au
CuAu
fcc
a
a
c
a
a simple cubic
a a Simple tetragonal
aa
-Fe
NaCl
a a
a fcc
CaF2
ZnS
a a
a fcc
晶体结构是晶体的直接表达； 点阵是对晶体结构的数学抽象。
数学抽象
晶体法则结：构的周期性和对称性，
1. 一个或几个小球合并成一个数学点
由于2. 高各度阵对称点的的几何周关围系 环境相同， 它只结原果子能：或有原子1群4中具有类相型同的环境
得到
数学点的集合
得到
空间点阵
原子的具体排列方式
直接表达
数学抽象
晶体结构
空间点阵
提取
有代表性的、基本的单元
提取
+晶体学基础
5. 晶体的稳定性
与具有相同化学成分的非晶体、气体和液体相比，晶体的内 能最小，最稳定。
晶体的特性是由晶体内部原子或分子排列的周期性所
决定的，是各种晶体所共有的，是晶体的基本特性。
1.2 晶体结构与空间点阵
理想晶体看成是由一个基本单位在空间按一定的规则周期性无 限重复构成的。
•结构基本单位称为基元(motif) 。如：Na + Cl
2 晶体的均匀性
一切晶体内部各个部分的宏观性质是相同的。 如化学组成、密度、热容量等晶体的标量性质。
3. 晶体的各向性
--不同的方向上具有不同的物理性质（矢量）。如电导率、热导 率、磁导率、光折射率、扩散系数和机械强度等。 晶体的这种特性，是由于在晶体内部原子的周期性排列结构中， 不同方向上原子或分子的排列情况不同，而反映出物理性质具有 异向性。
图1.2 三种不同的二维周期重复图形及其平面点阵
§1.3 点阵的描述
•点阵可用平移矢量r描述。 •任选一阵点为原点，选非共面、非共线的三个方向上的最 近邻点的平移基矢a，b，c，则：
r= ua + vb + wc
u, v, w 为任意整数。
§1.3点阵的描述
• 空间点阵按照平行六面体划分为许多形状和大小相同的网格， 此平行六面体成为点阵晶胞（Unit cells）。
3)六方晶系
4)斜方晶系 a b c 90
•晶胞选取既反映点阵周期性 又反映对称性，面心或体心 也可有阵点。 •晶胞的体积不一定最小，如 六方系。
•初基晶胞加心得到底心、 面心和体心。
5)菱方晶系
a b c 90
6)单斜晶系
7)三斜晶系 a b c 90 a b c 90
与具有相同化学成分的非晶体、气体和液体相比，晶体的内 能最小，最稳定。
晶体的特性是由晶体内部原子或分子排列的周期性所
决定的，是各种晶体所共有的，是晶体的基本特性。
1.2 晶体结构与空间点阵
理想晶体看成是由一个基本单位在空间按一定的规则周期性无 限重复构成的。
•结构基本单位称为基元(motif) 。如：Na + Cl
2 晶体的均匀性
一切晶体内部各个部分的宏观性质是相同的。 如化学组成、密度、热容量等晶体的标量性质。
3. 晶体的各向性
--不同的方向上具有不同的物理性质（矢量）。如电导率、热导 率、磁导率、光折射率、扩散系数和机械强度等。 晶体的这种特性，是由于在晶体内部原子的周期性排列结构中， 不同方向上原子或分子的排列情况不同，而反映出物理性质具有 异向性。
图1.2 三种不同的二维周期重复图形及其平面点阵
§1.3 点阵的描述
•点阵可用平移矢量r描述。 •任选一阵点为原点，选非共面、非共线的三个方向上的最 近邻点的平移基矢a，b，c，则：
r= ua + vb + wc
u, v, w 为任意整数。
§1.3点阵的描述
• 空间点阵按照平行六面体划分为许多形状和大小相同的网格， 此平行六面体成为点阵晶胞（Unit cells）。
3)六方晶系
4)斜方晶系 a b c 90
•晶胞选取既反映点阵周期性 又反映对称性，面心或体心 也可有阵点。 •晶胞的体积不一定最小，如 六方系。
•初基晶胞加心得到底心、 面心和体心。
5)菱方晶系
a b c 90
6)单斜晶系
7)三斜晶系 a b c 90 a b c 90
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图 六方晶系的一些晶向指数与晶面指数
4.晶带
相交于某一晶向直线或平行于此直线的晶面构成一个晶带， 此直线称为晶带轴 设晶带轴的指数为[uvw]，则晶带中任何一个晶面的指数 （hkl）都必须满足：hu+kv+lw=0，满足此关系的晶面都属 于以[uvw]为晶带轴的晶带。→晶带定律 （a） 由两晶面(h1k1l1) (h2k2l2)求其晶带轴[uvw]：
简单晶胞计算公式
正交晶系
dhkl
1 h k l a b c
2 2 2
立方晶系
d hkl
d hkl
a h k l
2 2 2
六方晶系
1 4 h hk k l 2 3 a c
2 2 2 2
的一组晶向，用<uvw>表示。数字相同，但排列顺序不
同或正负号不同的晶向属于同一晶向族。
eg： 立方晶系中
[111 ], [1 11], [1 1 1], [11 1][11 1], [1 11][1 1 1], [111 ] 八个晶向是立方体中
四个体对角线的方向，其原子排列完全相同，属同一晶向族，故用<111>表示。
六方晶系的晶向指数和晶面指
数同样可以应用上述方法标定，
这时取a1，a2，c为晶轴，而 a1轴与a2轴的夹角为120度，c 轴与a1，a2轴相垂直。但这种 方法标定的晶面指数和晶向指 数，不能显示六方晶系的对称 性，同类型 晶面和晶向，其指 数却不相雷同，往往看不出他 们的等同关系。
根据六方晶系的对称特点，对六 方晶系采用a1，a2，a3及c四个
§2.2.2 晶系和布拉菲点阵
1.七个晶系
2. 十四种布拉菲点阵 按照“每个阵点的周围环境相同”的要求，最先是布拉菲 （A. Bravais）用数学方法证明了只能有14种空间点阵。通 常人们所说的点阵就是指布拉菲点阵。
图 布拉菲点阵
思考题
体心单斜点阵是不是一个新的点阵？
体心单斜点阵晶胞为ABCD-EFHG。 可以连成底心单斜点阵，其晶胞为JABD-KEFG
晶面间距愈大，该晶面上的原子排列愈密集； 晶面间距愈小，该晶面上的原子排列愈稀疏。
晶面间距公式的推导
d hkl a b c cos cos cos h k l
d
2 hkl
h 2 k 2 l 2 2 2 2 cos cos cos a b c
极射投影原理（principle） 参考球，极点、极射面、大图、基图 Wulff网（wullf net）经线、 纬线、2º 等分
沿赤道线
沿基圆读数
只有两极点位于吴氏经线或赤道上才能正确度 量晶面、晶向间夹角 标准投影：以某个晶面//投影面作出极射投影图。 （001）
• 五、倒易点阵（Reciprocal lattice）
国际上通用米勒指数标定晶向和晶面。
William H. Miller 矿物学家 （1801-1880，英国）
1.晶向指数的标定
晶体中点阵方向的指数，由晶向上 阵点的坐标值决定。
(1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐 标长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标晶向 上；
(2)确定该晶向上距原点最近的一个阵点P的三个坐标值
思考题
常见的金属基本上都是晶 体,但为什么不显示各向同 性? 多晶中各个晶粒往往取向 不同，所以多个晶粒集合 在一起在任一方向上都显 示不出某一个晶向的特性 来。
§2.2 晶体学基础
§2.2.1 空间点阵和晶胞
1.基本概念 （1）阵点、空间点阵 阵点：为了便于研究晶体中原子(分子或离子)的排列情况， 将晶体看成是无错排的理想晶体，忽略其物质性，抽象为规 则排列于空间的无数几何点。这些点代表原子(分子或离子) 的中心，也可是彼此等同的原子群或分子群的中心，各点的 周围环境相同。 可能在每个结点处恰好有一个原子，也可能围绕每个结点 有一群原子（原子集团）。 空间点阵：阵点的空间排列称为空间点阵。
度、光学性质 ）。
4.晶体与非晶体的区别 a.根本区别：质点是否在三维空间作有规则的周期性重复 排列 b.晶体熔化时具有固定的熔点,而非晶体无明显熔点,只存 在一个软化温度范围 c.晶体具有各向异性，非晶体呈各向同性（多晶体也呈各 向同性，称“伪各向同性”）
5.晶体与非晶体的相互转化 玻璃经高温长时间加热后能形成晶态玻璃 通常呈晶体的物质如果将它从液态快速冷却下来也可能得 到非晶态 获得非晶态的金属和合金（采用特殊的制备方法 ）
晶轴，a1，a2，a3之间的夹角均
为120度，这样，其晶面指数就 以(h k i l）四个指数来表示。 根据几何学可知，三维空间独 立的坐标轴最多不超过三个。
前三个指数中只有两个是独立
的，它们之间存在以下关系：i ＝－ ( h + k ) 。因此，可以由前两
个指数求得第三个指数 。
六方晶系晶向指数的标定： 采用四轴坐标，六方晶系晶向指数的标定方法如下：当 晶向通过原点时，把晶向沿四个轴分解成四个分量，晶向 OP可表示为：OP=ua1+va2+ta3+wC，晶向指数用[uvtw]表
第二章 材料中的晶体结构
主要内容：
一、晶体学基础
二、典型晶体结构及其几何特征
§2.1 晶体与非晶体
1.晶体的定义 物质的质点(分子、原子或离子)在三维空间作有规律的周 期性重复排列所形成的物质叫晶体。
2. 非晶体
非晶体在整体上是无序的 ；近程有序 。
图 材料中原子的排列
3. 晶体的特征 （1）周期性（不论沿晶体的哪个方向看去，总是相隔一 定的距离就出现相同的原子或原子集团。这个距离称为周 期 ）液体和气体都是非晶体。 （2）有固定的凝固点和熔点. （3）各向异性（沿着晶体的不同方向所测得的性能通常 是不同的 ：晶体的导电性、导热性、热膨胀性、弹性、强
• 布拉格方程： nλ = 2dsinθ • 寻求一种新的点阵（抽象），使其每一阵点对应着实际点阵中的 一定晶面，而且既能反映该晶面的取向，又能反映其晶面间距。 • 晶体点阵（正点阵）三个基矢a、b、c与其相应的倒易点阵的基 矢a*、b*、c*之间的关系如下：
u=k1l2-k2l1; v=l1h2-l2h1; w=h1k2-h2k1。
（b） 由两晶向[u1v1w1][u2v2w2]求其决定的晶面(hkl)。 h=v1w1-v2w2; k=w1u2-w2u1; l=u1v2-u2v1。
5.晶面间距 一组平行晶面中，相邻两个平行晶面之间的距离。 由晶面指数求面间距dhkl 通常，低指数的面间距较大， 而高指数的晶面间距则较小
c.平行晶面：指数相同，或数字相同但正负号相反； d.晶面族：晶体中具有相同条件（原子排列和晶面间距
完全相同），空间位向不同的各组晶面，用{hkl}表示。
e.若晶面与晶向同面，则hu+kv+lw=0; f.若晶面与晶向垂直，则u=h, k=v, w=l。
{110} 晶面族
3.六方系晶面和晶向指数标定
d hkl＝ 1 2 1 4 h ＋hk＋k l 2 （ ）＋（ ） 2 3 a c
2 2
，如{0 如{0 00 0}面 0 1}面
通常低指数的晶面间距较大，而高指数的晶面间距则较小
三、晶体的对称性 crystalline symmetry symmetrization of crystals
图 几种晶体结构的点阵分析 (a) γ-Fe (b) NaCl (c) CaF2 (d) ZnS
§2.2.3 晶面指数和晶向指数
在材料科学中，讨论晶体的生长、变形和
固态相变等问题时，常要涉及到晶体的某些 方向（晶向）和某些平面（晶面）。
晶向：空间点阵中各阵点列的方向。
晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平 面。
对称性元素 （symmetry elements）
点群（point group）—晶体中所有点对称元素的集合 根据晶体外形对称性，共有32种点群 空间群（space group）—晶体中原子组合所有可能方式 根据宏观、微观对称元素在三维空间的组合，可能存在 230种空间群（分属于32种点群）
四、极射投影 Stereographic projection
(5)如有某一数为负值，则将负号标注在该数字的上方，
将h，k，l置于圆括号内，写成(hkl)，则(hkl)就是待标晶面 的晶面指数。
图 晶面指数的标定
图 晶面指数的标定
晶面指数的说明： 晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而是代表着一组相 互平行的晶面 a.指数意义：代表一组平行的晶面；
b.0的意义：面与对应的轴平行；
。
晶体结构和空间点阵的区别
空间点阵是晶体中质 点排列的几何学抽象， 用以描述和分析晶体 晶体结构则是晶体中 实际质点（原子、离 子或分子）的具体排
结构的周期性和对称
性，由于各阵点的周 围环境相同，它只能 有14中类型
列情况，它们能组成
各种类型的排列，因 此，实际存在的晶体 结构是无限的。
图 结构相似的不同点阵
图 晶胞的选取
3. 描述晶胞的六参数 晶胞的尺寸和形状可用点阵参数来描述，它包括晶胞的各 边长度和各边之间的夹角。
图 晶胞、晶轴和点阵参数
§2.2.2 晶系和布拉菲点阵
1.晶系
奥古斯特· 布拉菲（Auguste Bravais，又译布拉伐、布喇菲，1811年 －1863年），法国物理学家，于1845年得出了三维晶体原子排列的所 有14种布拉菲点阵结构，首次将群的概念应用到物理学，为固体物理 学做出了奠基性的贡献。除此之外，布拉菲还对磁性、极光、气象、 植物地理学、天文学和水文学等方面进行过研究。
2.晶面指数的标定
晶体中点阵平面的指数，由晶面与三个坐 标的截距值所决定。