16梯度法和共轭梯度法基本原理和特点
预处理共轭梯度法
预处理共轭梯度法引言预处理共轭梯度法是一种用于解决线性方程组问题的迭代方法。
它在处理大规模稀疏方程组时表现出色，相比于传统的直接解法更具有高效性和稳定性。
本文将对预处理共轭梯度法进行全面、详细、完整且深入地探讨。
什么是共轭梯度法共轭梯度法是一种迭代优化方法，用于求解对称和正定的线性方程组Ax=b。
它的基本思想是通过找到一组相互”共轭”的搜索方向来加速迭代过程。
预处理共轭梯度法的介绍预处理共轭梯度法是对共轭梯度法的改进和优化。
它通过在每一步迭代中应用预处理矩阵M来加速收敛过程。
预处理矩阵通常是原方程系数矩阵A的逆或近似逆。
预处理共轭梯度法的核心算法可以分为以下几个步骤：步骤1：初始化•设定初始解x0和残差r0=b-Ax0。
•计算初步搜索方向d0=M*r0。
步骤2：迭代计算•对于第k次迭代：–计算步长αk。
–更新解：xk+1 = xk + αk * dk。
–计算新的残差：rk+1 = rk - αk * Adk。
–计算新的搜索方向：dk+1 = Mk+1 * rk+1。
步骤3：收敛判断•判断残差rk+1的范数是否满足收敛条件，若满足则终止迭代。
预处理矩阵的选择预处理矩阵的选择是预处理共轭梯度法的关键。
常见的预处理矩阵选择方法有以下几种：1. 不完全因式分解预处理不完全因式分解预处理是通过对系数矩阵的若干个元素进行保留或丢弃，得到一个近似逆矩阵。
常见的不完全因式分解预处理方法有不完全LU分解、不完全Cholesky分解等。
2. 迭代求解预处理迭代求解预处理方法是通过迭代方法求解预处理矩阵的逆。
常见的迭代求解预处理方法有Jacobi预处理、Gauss-Seidel预处理等。
3. 基于特征值的预处理基于特征值的预处理方法是通过对系数矩阵的特征值进行分析，选择适当的预处理矩阵。
常见的基于特征值的预处理方法有谱条件预处理、谱平滑预处理等。
预处理共轭梯度法的收敛性和稳定性预处理共轭梯度法相比于传统的共轭梯度法在收敛速度和稳定性方面有显著的改进。
共轭梯度法求解高维二次
共轭梯度法求解高维二次共轭梯度法是一种迭代算法，用于求解具有二次目标函数形式的最小化问题。
本文将介绍共轭梯度法的原理、步骤和应用，并详细讨论高维二次目标函数的求解过程。
一、共轭梯度法原理共轭梯度法是一种迭代算法，用于求解形如f(x) = 1/2x^T A x - b^T x的最小化问题，其中A是对称正定矩阵（对于二次函数来说，二阶偏导数矩阵必然是对称正定的）。
共轭梯度法的基本原理是利用梯度信息快速收敛到最优解。
二、共轭梯度法步骤1.初始化：选择初始点x0和初始残差r0=b-Ax0，并令d0=r0。
2.迭代更新：对于第k次迭代，计算步长αk、新的搜索方向dk和新的迭代点xk。
a.步长计算：αk = (r_k^T r_k) / (d_k^T A d_k)。
b.新的搜索方向计算：d_k+1 = r_k+1 + (r_k+1^T r_k+1) /(r_k^T r_k) * d_k。
c.新的迭代点计算：x_k+1 = x_k + αk * d_k。
3.终止条件：判断收敛条件是否满足。
可以将残差的模长或者目标函数值与一个给定的阈值进行比较，如果差距较小则算法停止。
4.输出结果：返回最优解x*。
三、共轭梯度法的应用共轭梯度法主要适用于求解二次目标函数形式的最小化问题，在许多优化问题中都有广泛应用。
下面我们将讨论其中一个具体的高维二次目标函数的求解过程。
假设我们有一个高维二次目标函数f(x) = 1/2x^T A x - b^T x，其中x是一个n维向量，A是一个对称正定矩阵，b是一个n维向量。
我们的目标是求解使得目标函数最小化的向量x*。
1.初始化：选择初始点x0和初始残差r0=b-Ax0，并令d0=r0。
a.初始化向量x0为一个n维零向量。
b.初始残差r0为b-Ax0，即计算b-Ax0的值。
c.初始化搜索方向d0为r0。
2.迭代更新：对于第k次迭代，计算步长αk、新的搜索方向dk和新的迭代点xk。
a.计算步长αk = (r_k^T r_k) / (d_k^T A d_k)。
【实用】共轭梯度法反演PPT资料
我们假设在点X0 处开始沿负梯度方向
蒙特卡洛方法 搜索,到达点X1 ,即
设有一组n 维彼此关于n×n 的正定对称矩阵A共轭的向量
，能够使我们分别沿着这n个共轭向量所指的方向各搜索一
非 统计方法 次,就可以达到极值点 。
为了使搜索能够快速到达极值点选取α使
模拟退火法
为了使搜索能够快速到达极值点选取α使
0 ( Ax k b )T d k 1 ( A ( xk 1 k d k ) b )T d k 1
从而，
k
rkT p k
p
T k
ApBiblioteka k(11)将上式带入 (10) 式可得：
x *
xn
x0
n 1 i0
riT p i
p
T i
Ap
i
di
(12)
*
16
三、共轭梯度法的优缺点
优 分别使用最共 速轭 下梯 降度 法法 和组 解 2 3线 6 2x性 28方 程 点 目标函 :(数 x1,x2为 )-2x13x124x1x28x26x22
性
小值，分0别 .60是 10和 ： 508.76035
P2局部极 小值
P1全局极 小值
*
20
三、共轭梯度法的优缺点
局限性
初始猜测 反演结果 目标函数值 (2,-1) (3.0，0.0) 0.6011 (-2,-1) (-3.0,0.0) 0.7606 (-1.5,0) (-0.0958,0) 0.9932 (4,-1) (3.0，0.0) 0.6011
*
17
三、共轭梯度法的优缺点
计算效率比较
最速下降法
共轭梯度法
*
18
三、共轭梯度法的优缺点
(整理)16梯度法和共轭梯度法基本原理和特点.
16梯度法和共轭梯度法基本原理和特点？梯度法又称最速下降法，基本原理是在迭代点附近采用使目标函数值下降最快的负梯度方向作为搜索方向，求目标函数的极小值，特点；迭代计算简单，只需求一阶偏导数，所占的存储单元少，对初始点的要求不高，在接近极小点位置时收敛速度很慢，共轭的特点为在梯度法靠近极值点收敛速度放慢时，它可以构造共轭方向使其收敛速度加快，迭代计算比较简单，效果好，在每一步迭代过程中都要构造共轭的、方向，比较繁琐。
17迭代终止准则有哪三种？1）当设计变量在相邻两点之间的移动距离充分小时，可用相邻两点的矢量差的模作为终止的判据，2）当相邻两点目标函数值之差达到充分小时，可用两次迭代的目标函数之差作为终止判据。
3）当迭代点逼近极值点时，目标函数在该点的梯度已达到充分小时，可用梯度的模作为终止判据。
18.无约束设计法，1）powell法，它是在下降迭代过运算中只需计算和比较目标函数值的大小，不需计算偏导数的方法，是较好的一种直接搜索算法。
2）梯度法，又称最速下降法，它是采用使目标函数值下降最快的负梯度方向作为搜索方向来求目标函数的极小值。
3）共轭梯度法，又称FR法，是利用目标函数的梯度确定共轭方向，使得计算简便而效果好，只需利用相邻两点的梯度就可以构造一个共轭方向，这种方式产生共轭方向并进行迭代的算法称为共轭梯度法。
4）变尺度法，又称DFP法，为了得到既有快速收敛的性质，又能避免计算二阶导数矩阵及逆矩阵，减少计算工作量。
迭代公式X=X+aS,19有约束设计法？1）复合形法，在可行域中选取k个设计点作为初始复合形的顶点，然后比较复合形个各项目标函数值的大小，其中目标函数值最大的点为坏点，以坏点之外其余各点的中心为映射中心，寻坏点的映射点，以映射点替换坏点，并与原复合型除坏点之外其余各点构成就k 顶点的新的复合型，这样反复迭代直到达到精度找到最优点，2）简约梯度法，用来解决线性约束非线性规划问题。
3）罚函数法，是把一个有约束的问题转化为一系列无约束的问题求解，逐渐逼近最优值。
最优化共轭梯度法
最优化共轭梯度法最优化共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）是一种迭代求解线性方程组或优化问题的方法。
它的特点是对于二次正定函数，可以在有限次迭代内精确地求出最优解。
在非二次函数的优化问题中，共轭梯度法表现出了较好的收敛性和全局能力。
共轭梯度法的核心思想是通过选择适当的方向，使得每一次方向的梯度互相“共轭”，从而加快收敛速度。
当目标函数为二次函数时，共轭梯度法能够在有限次迭代中得到精确解；而对于非二次函数的优化问题，共轭梯度法通过先验条件选择合适的方向，最大程度地减小目标函数值。
共轭梯度法的基本步骤如下：1.初始化参数：设置初始点的位置和方向，对于非二次函数，通常选取梯度方向作为方向。
2. 计算步长：通过线方法（如Armijo准则、Wolfe准则等）定位到目标函数上降速度最快的点，并计算目标函数在该点的梯度。
3.更新方向：利用“共轭”梯度法，根据先验条件计算新的方向。
4.判断终止条件：判断目标函数值是否满足设定的终止条件，若满足则停止迭代，否则返回步骤2对于二次函数，最优化共轭梯度法表现出了优良的性能。
当目标函数是非二次函数时，共轭梯度法的表现会有所下降，但仍然比一般的梯度下降法更具有优势。
因此，共轭梯度法常被用于求解大规模线性方程组、信号处理、数字滤波、机器学习等领域。
最优化共轭梯度法的优点在于：收敛速度较快，全局能力较强，不需要存储海量信息。
然而，该方法也存在一些缺点。
首先，共轭梯度法对目标函数的性质有一定的要求，例如目标函数必须是光滑的，并且梯度向量必须是有效的。
其次，共轭梯度法对初始点的选择较为敏感，不同的初始点可能导致不同的解。
总结来说，最优化共轭梯度法是一种高效的优化算法，可以加快目标函数收敛速度，尤其适用于解决二次函数优化问题。
在非二次函数的优化问题中，共轭梯度法以其较好的收敛性和全局能力在实际应用中发挥着重要作用。
共轭梯度法和基本性质
共轭梯度法及其基本性质预备知识定义1设吐竺是对称正定矩阵。
称回凹是A-共轭的，是指況如=0, Pl Ap^ > o p p^Apy >0性质1设有怡久…化⑶s )l 是彼此共轭的即维向量，即则鬥心諾一定是线性无关的［证明］若有一组数1% ■…心討满足则对一切P=°」旳一定有是线性无关的.性质2 设向量国"弧…厨諾是线性无关的向量组,则可通过它们的线性组合得出一组向量 冋丿“…护討，而|円貯，…申詞是两两共轭的.［证明］我们用构造法来证实上面的结论.T_注意到腕弘由此得出:Cfj = O.j即所有的区1=0 .因此，%珂十…+ %P 純^ = Pi + ・・・ +=应住;^Pi r容易验证：列…&胡符合性质2的要求.性质3设1%几…护』是两两A —共轭的，怜已必 是任意指定的向量，那么 从囲出发，逐次沿方向 应1「…化|搜索求际/加-能旬的极小值，所得序列k"i ，满足：［证明］由下山算法可知，从 二出发，沿2方向搜索，获得从而取 Pl 二 El +%弘Jt-iZ =心+乞碍耳，id性质4设 兀乃；匚几-』是两两A 共轭的，则从任意指定的注門出发，依次 沿弘山「'"MI 搜索，所得序列kJz 满足：(1)(2) 或，其中曰是方程组(5.1.1)的解.［证明］(1)是性质3的直接推论，显然成立.(2)由于是两两A 共轭的,故血“，…申”11是线性无关的.所 以对于向量卜一咄可用…申』线性表出，即存在一组数Rof ■经J 使，得出F] P\由于于是，再由得出M-l木=心+乞爲P于是 ---------- 旦 ---- ，与得出 也旦一样地，我们可以陆续得出:对比区］和的表达式可知，I©二兀证明完毕性质4是性质3的直接推论.但它给出了一种求（5 . 1. 1）的算法，这种 算法称之为共轭方向法•结合性质2,我们可以得到如下的性质5.性质5设 陽卧…是丽上的一组线性无关的向量，则从任意指定的S2:计算显然:根据性质4可知，不论采用什么方法，只要能够构造 个两两A 共轭的向量作为搜索方向，从任一初始向量出发，依次沿两两A 共轭的方向进行搜索， 经門 步迭代后，便可得到正定方程组匡可的解.nM-l -T A久一1如一，得出 心二 U+ 计算 出发，按以下迭代产生的序列®二环+%肌.-------------------------------------------------- ?，得出应二咼+冏輕I;如此进行下去，直到第n 步:(521 )共轭梯度法算法步骤如下:［预置步］任意 如三兰I ,计算并令取：肚込J 指定算法终 止常数置肛=D |,讲入主步;［主步］(1)如果%终止算法，输出丈列；否则下行;上rL^Apj, r(3) 计算:(4) 置出弓丘可，转入(1)定理5 .2.1由共轭梯度法得到的向量组丄和二具有如下性质:［证明］用归纳法•当时，因为(2)计算:Po 二巾” h 二円二G+A J F U---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ?卩詁=耐广1 = M （% - %期0）=币6 —Cfp；山刊=5= 01 +几巩）孑禺=X占心-因此定理的结论成立.现在假设定理的结论对冋成立，我们来证明其对曰也成立.利用等式n】二G 一及归纳假设，有P訂如二於％- %云旳\二0 OWi三上1.又由于故定理的结论（1）对比+ 1|成立.利用归纳假定有如毗•・・・/』=零诚％ TvPtK而由（1）所证知，二与上述子空间正交，从而有定理的结论（2）对 __ 也成立.利用等式p如二厂屏1+久刃|和二疗.丐母）并利用归纳法假定和（2）所证之结论，就有=丄咕仮一加）+屁分如「心CU…上-1成立；而由円的定义得这样，定理的结论（3）对U也成立.由归纳法假定知进而再注意到（2）和（3）所证的结论表明，向量组hf 宀j和”"戸“1'"险1 都是线性无关的，因此定理的结论（4）对匸U同样成立.定理证毕定理521表明，向量「「引和|弘，W「珂|分别是Krylov子空间空如匕也的正交基和共轭正交基.由此可见，共轭梯度法最多明步便可得到方程组的解二.因此，理论上来讲，共轭梯度法是直接法.定理5.2.2 用共轭梯度法计算得到的近似解U满足义的Krylov子空间.证明注意到:”⑶斗疋也=広一忌）。
共轭梯度实验报告
共轭梯度实验报告共轭梯度实验报告引言：共轭梯度是一种常用的优化算法，广泛应用于数值计算和机器学习等领域。
本实验旨在探究共轭梯度算法的原理和应用，并通过实验验证其在解决线性方程组和最小二乘问题中的有效性和优越性。
一、共轭梯度算法的原理共轭梯度算法是一种迭代法，用于求解对称正定矩阵的线性方程组。
其基本思想是通过选择一组互相共轭的搜索方向，以最小化目标函数的二次型形式。
共轭梯度算法的核心步骤包括初始化、计算搜索方向、计算步长和更新解向量等。
二、共轭梯度算法在线性方程组求解中的应用共轭梯度算法在求解线性方程组方面具有独特的优势。
相比于传统的直接求解方法，共轭梯度算法不需要存储整个矩阵，仅需存储向量和少量中间变量，节省了内存空间。
同时，共轭梯度算法具有较快的收敛速度，能够在有限的迭代次数内得到较精确的解。
三、共轭梯度算法在最小二乘问题中的应用最小二乘问题是一类常见的优化问题，广泛应用于数据拟合和参数估计等领域。
共轭梯度算法在最小二乘问题中的应用主要体现在正规方程法和QR分解法的改进上。
通过共轭梯度算法，可以有效地求解最小二乘问题，得到更准确的拟合结果。
四、实验设计与结果分析本实验选择了一组线性方程组和最小二乘问题进行测试，分别使用共轭梯度算法和传统直接求解方法进行比较。
实验结果表明，共轭梯度算法在求解线性方程组和最小二乘问题时，具有更快的收敛速度和更高的精度。
尤其在大规模问题上，共轭梯度算法的优势更加明显。
结论：共轭梯度算法是一种有效的优化算法，适用于求解对称正定矩阵的线性方程组和最小二乘问题。
通过选择互相共轭的搜索方向，共轭梯度算法能够在有限的迭代次数内得到较精确的解。
在实际应用中，共轭梯度算法具有较快的收敛速度和较高的精度，是一种值得推广和应用的算法。
总结：通过本次实验，我们深入了解了共轭梯度算法的原理和应用，并通过实验验证了其在线性方程组和最小二乘问题中的有效性和优越性。
共轭梯度算法作为一种常用的优化算法，在数值计算和机器学习等领域具有广泛的应用前景。
梯度下降法、牛顿迭代法、共轭梯度法
梯度下降法、牛顿迭代法、共轭梯度法（参见：神经网络->PGM-ANN-2009-C09性能优化）优化的目的是求出目标函数的最大值点或者最小值点，这里讨论的是迭代的方法梯度下降法首先，给定一个初始猜测值 ，然后按照等式k k k k ΡαΧ+=X +1 （1）或kk k k k P =X -X =∆X +α)(1 （2）逐步修改猜测。
这里向量 kP 代表一个搜索方向，一个大于零的纯量kα 为学习速度，它确定了学习步长。
当用 k k k k ΡαΧ+=X +1 进行最优点迭代时，函数应该在每次迭代时都减小，即)()(1k k F F X <X +考虑（3）的)(X F 在k X 的一阶泰勒级数展开：kTk k k k k g F F F ∆X +X ≈∆X +X =X +)()()(1（4）其中，Tk g 为在旧猜测值k X 处的梯度kF g k X =X X ∇≡)( （5） 要使)()(1k k F F X <X +只需要（4）中右端第二项小于0，即<P =∆X k T kk k T k g g α （6）选择较小的正数k α。
这就隐含0<k Tk P g 。
满足0<k Tk P g 的任意向量成为一个下降方向。
如果沿着此方向取足够小步长，函数一定递减。
并且，最速下降的情况发生在k T k P g 最小的时候，容易知道，当k k -g P =时k Tk P g 最小，此时，方向向量与梯度方向相反。
在（1）式中，令k k -g P =，则有k k k k g αΧ-=X +1 （7）对于式（7）中学习速率k α的选取通常有两种方法：一种是选择固定的学习速率k α，另一种方法是使基于学习速率k α的性能指数或目标函数)(1k +X F 在每次迭代中最小化，即沿着梯度反方向实现最小化：k k k k g X X α-=+1。
注意：1、对于较小的学习速度最速下降轨迹的路径总是与轮廓线正交，这是因为梯度与轮廓线总是正交的。
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16梯度法和共轭梯度法基本原理和特点？
梯度法又称最速下降法，基本原理是在迭代点附近采用使目标函数值下降最快的负梯度方向作为搜索方向，
求目标函数的极小值，特
点；迭代计算简单，只需求一阶偏导数，所占的存储单
元少，对初始点的要求不
高，在接近极小点位置时收敛速度很慢，共轭的特点为
在梯度法靠近极值点收敛速度放慢时，它可以构造共轭方向使其收敛速度加快，
迭代计算比较简单，效果
好，在每一步迭代过程中都要构造共轭的、方向，比较繁琐。
17迭代终止准则有哪三种？
1）当设计变量在相邻两点之间的移动距离充分小时，可用相邻两点的矢量差的模作为终止的判据，
2）当相邻两点目标函数值之差达到充分小时，可
用两次迭代的目标函数之
差作为终止判据。
3）当迭代点逼近极值点时，目标函数在该点的梯度已达到充分小时，可用梯度的模作为
终止判据。
18
.无约束设计法，1）powell法，它是在下降迭代过运算中只需计算和比较目标函数值的大小，不需计算偏导数的方法，是较好的一种直接搜索
算法。
2）梯度法，又称最速下降法，它是采用使目标
函数值下降最快的负梯度方向作为搜索方向来求目标函数的极小值。
3）共轭梯度法，又称FR法，是利用目标函数的梯度确定共轭方向，使得计算简便而效
果好，只需利用相邻两点的梯度就可以构造一个共轭方向，这种方式产生共轭方
向并进行迭代的算法称为
共轭梯度法。
4）变尺度法，又称DFP法，为了得到既有快速收敛的性质，又能避免计算二阶导数矩阵及逆矩阵，减少计算工作量。
迭代公式X=X+aS,
19有约束设计法？
1）复合形法，在可行域中选取k个设计点作为
初始复合形的顶点，然后比较复合形个各项
目标函数值的大小，其中目标函数值最大的点为坏点，以坏点之外其余各点的中心为映
射中心，寻坏点的映射点，以映射点替换坏点，并与原复合
型除坏点之外其余各点构成就k 顶点的新的复合型，这样反复迭代直到达到精度找到最优点，
2）简约梯度法，用来解决线性约束非线性规划问题。
3）罚函数法，是把一个有约束的问
题转化为一系列无约束的问
题求解，逐渐逼近最优值。
.
可靠性工程包括的三个方面？
1可靠性设计，包括设计方面的分析，对比评价，必要时也包
括可靠性实验，生产制造中的质量控制设计
及使用维修规程的设计。
2可靠性分析，主要是失效分析，也包括故障分析
3可靠性数学，
这是数理统计方法在开展
可靠性工作中发展起来的
数学分支。
常用的可靠
度分配方法有那三种？原
则是什么？
1等同分配法，
它是按照系统中各单元的可靠度相等的分配原则进行分配（
2加权分配法，把
各子系统在整体系统中的
重要度以及各子系统的复
杂度作为权重来分配可靠
度（
3最优分配法，全面考虑各种因素的影响，来用优化方法分配可靠度。
25简述故障树分析的步骤？故
障树也叫也叫失效树分析，是分析的有力工具，
1在充分熟悉系统的基础上，建立故障树（
2进行定性分析，识别系统的薄弱环节（
3进行定量分析，对系统的可靠性作出评价，
26与传统设计方法相比，可靠性设计有哪些特点？（
1传统的设计是将安全系数作为衡安
全与否的指标，但安全系数的大小并没有同可靠度直接挂钩，这就有很大的盲目性（
2把设计变量视为确定性的单值变量并过
确定性的函数进行计算，而可靠性设计是把设计变量视为随机变量进行运算（
3可靠性设计中由于应力和强度
都是随机变量，所以判断零件是否可靠安全，就以强度
大于应力的概率大小来表示（
4传统的设计是以零件的安全或失效作为研究内容，可靠性设计是传统设计的延伸与发展。
27选择优化方法需考虑的因素有哪些？（
1数学模型的类型，如有约束或无约束，是连续的还是离散的，线性还是非线性的等（2数学模型的规模，即约束条件的多少（3模型中的函数的性质，如一阶，二阶等（4优化算法是否有现成的计算机程序，5了解算法的基本结构，解题的可靠性，计算稳定性等（6程序的界面性，即使用的简易及输入输出解释的清楚
程度等
疏矩阵。
29可靠性和可靠度区别与联系？可靠性是指产品在规定的时
间内，在规定的条件下完成规定功能的能力，可靠度是
指在……功能的概率，显
然，可靠度是对产品可靠性的概率的度量。