线性递归数列
K阶常系数线性齐次递归数列通项公式的矩阵求法
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九江学 院学报 （ 自然科学 版）
２ ０ １ ３年第 ２期
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为避免直接计算方阵 Ａ的 Ａ ¨ ， 下面讨论 Ａ能对角化 ， 由于 Ａ的特征多项式为
对于形如 ａ ＝ Ｘ １ ａ 一 １ ＋ ｘ ２ ａ 一 ２ ＋… ＋ ｘ ｋ ａ 一 ｋ（ ｎ＝ ｋ ，ｋ ＋ １ ，…）数列 ，其 中 Ｘ ｋ ≠０为常数 ，且 ａ ０ ，ａ ｌ
常见递归数列通项公式的求解策略
常见递归数列通项公式的求解策略数列是中学数学中重要的知识之一，而递归数列又是近年来高考和全国联赛的重要题型之一。
数列的递归式分线性递归式和非线性递归式两种，本文仅就高中生的接受程度和能力谈谈几种递归数列通项公式的求解方法和策略。
一、周期数列如果数列满足：存在正整数M、T，使得对一切大于M的自然数n，都有成立，则数列为周期数列。
例1、已知数列满足a1 =2，an+1 =1－，求an 。
解:an+1 =1－an+2 =1－=－, 从而an+3 = 1－=1＋an－1=an ,即数列是以3为周期的周期数列。
又a1 =2，a2=1－=, a3 =－12 , n=3k＋1所以an= ,n=3k＋2 ( kN )－1 , n=3k＋3二、线性递归数列1、一阶线性递归数列：由两个连续项的关系式an= f (an-1 )（n,n）及一个初始项a1所确定的数列，且递推式中，各an都是一次的，叫一阶线性递归数列，即数列满足an＋1 =f (n) an＋g(n)，其中f (n)和g(n)可以是常数，也可以是关于n 的函数。
（一）当f (n) =p 时，g(n) =q（p、q为常数）时，数列是常系数一阶线性递归数列。
（1）当p =1时，是以q为公差的等差数列。
（2）当q=0，p0时，是以p为公比的等比数列。
（3）当p1且q0时，an＋1 =p an＋q可化为an＋1－=p(an－),此时｛an－｝是以p为公比，a1－为首项的等比数列，从而可求an。
例2、已知：=且，求数列的通项公式。
解：=－=即数列是以为公比，为首项的等比数列。
（二）当f(n)，g(n)至少有一个是关于n的非常数函数时，数列｛an｝是非常系数的一阶线性递归数列。
（1）当f(n) =1时，化成an＋1=an＋g(n),可用求和相消法求an。
例3、（2003年全国文科高考题）已知数列｛an｝满足a1=1,an=3n--1＋an －1 (n2) , (1)求a2 ,a3 ; (2) 证明：an= .(1)解：a1 =1, a2=3＋1=4 , a3=32＋4=13 .(2)证明：an=3n--1＋an－1 (n2) ,an－an－1=3n—1 ,an－1－an－2=3n—2 ,an－2－an－3=3n—3……,a4－a3=33 ,a3－a2=32 ,a2－a1=31将以上等式两边分别相加，并整理得:an－a1=3n—1＋3n—2＋3n—3＋…＋33＋32＋31 ,即an=3n—1＋3n—2＋3n—3＋…＋33＋32＋31＋1= .（2）当g(n)=0时,化为a n＋1=f(n) an ，可用求积相消法求an 。
递归数列
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线 性递 归数列
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浅析特征根法求通项
2013-04治学之法数列通项公式直接表述了数列的本质。
数列通项公式具备两大功能：（1）可以通过数列通项公式求出数列中任意一项；（2）可以通过数列通项公式判断一个数是否为数列的项以及是第几项等问题。
因此，求数列通项公式是高中数学中较为常见的题型之一，它既考查等价转换与化归的数学思想，又能反映学生对数列的理解深度，具有一定的技巧性，经常渗透在高考和数学竞赛中。
下面，本人结合自身的数学教学实践，就利用特征根法求某类数列通项的方法做些归纳延伸，以期能给大家一些启示。
一、常系数齐次线性递归数列一般地，我们称由初始值a 1，a 2，a 3，…a k 及递推关系a n+k =c 1a n+k -1+c 2a n+k -2+…+c k a n +f （n ）所确定的数列为k 阶常系数线性递归数列，其中c 1，c 2，…c k 为常数，且c k ≠0，当f （n ）时，称为常系数齐次线性递归数列（又称为k 阶循环数列）.我们把对应于常系数齐次线性递归数列a n+k =c 1a n+k -1+c 2a n+k -2+…+c k a n ①的方程x k =c 1x k -1+c 2x k -2+…+c k ②称为其特征方程，方程的根称为｛a n ｝的特征根.下面不加证明地引进两个定理：定理1若递推关系①对应的特征方程②有k 个不同的单根x 1，x 2…x k ，（包括虚根在内）那么a n =A 1x n 1+A 2x n 2+…A k x nk ，其中A 1，A 2，A k是待定系数，可由初始值确定.定理2若递推关系①对应的特征方程②有不同的特征根x 1，x 2…x s （s <k ），（包括虚根在内），其中x i （1≤i ≤s ）是②的t i 重根，那么t 1+t 2+…+t =R ，那么a n =A 1（n ）x n 1+A 2（n ）x n 2+A s （n ）x n s .其中A i （n）=B （i ）1+B （i ）2…+B （i ）t n ti -1，i =1，2…s ，这里B （i ）1，B （i ）2…B （i ）t （i =1，2…s ）的是待定系数，可由初始值确定.下面我们通过两个典型的例子来深入地理解线性递归数列.例：设数列｛a n ｝满足a 1=1，a 2=2，a n +2+a n +1+a n =0，n =1，2…求数列｛a n ｝的通项.解析：依题其特征方程为x 2+x +1=0，特征根为x 1=-12+3√2i ，x 2=-12-3√2i ，所以a n =A 1x n 1+A 2x n 2，由初始条件解得A 1=-9+3i √6，A 2=-9-3i √6因此a n =-9+3i √6，（-12+3√2i ）n +-9-3i √6（-12-3√2i ）n 评注：此类型问题解决的关键在于要熟记引入的定理1，注意特征根包括虚根，剩下的任务就是计算.例：设数列｛a n ｝满足a 1=a 2=1，a 3=2，3a n +3=4a n +2+a n +1-2a n ，n =1，2…求数列｛a n ｝的通项.解析：依题其特征方程为3x 3-4x 2-x +2=0，特征根为x 1=x 2=1，x 3=2，所以a n =（A 1+A 2n ）x n 1+A n3，有初始条件解得A 1=125A 2=35，A 3=2750因此a n =125［1+15n -272（-23）n］评注：这里的x =1是二重根，请注意，要利用定理2.二、常系数非齐次线性递归数列一般地，a n+k =c 1a n+k -1+c 2a n+k -2+…+c k a n +f （n ），其中c 1，c 2，…c k 为常数，且c k ≠0，当f （n ）≠0时，可以分成三类：第一类：f （n ）常数例：设数列｛a n ｝满足a 1=1，a 2=2，a n +2=5a n +1-6a n +2，求数列｛a n ｝的通项.解析：已知：a n +2=5a n +1-6a n +2…①把①式中的n 用n -1代替可得a n +1=5a n -6a n -1+2…②①和②整理可得：a n +2=6a n +1-11a n +6an -1就回归到常系数齐次线性递归数列，按部就班利用特征根法就可以解决问题.评注：此类型问题解决的关键在于应用化归转化的数学解题思想，化归成常系数齐次线性递归数列.第二类：f （n ）关于n 的多项式例：设数列｛a n ｝满足a 1=1，a 2=2，a n +2=5a n -1-6a n +n 2，求数列｛a n ｝的通项.解析：已知：a n +2=5a n -1-6a n +n 2……①把①式中的n 用n -1代替可得a n +1=5a n -6a n -1+（n -1）2…②①和②整理可得：a n +2=6a n+1-11a n +6a n -1+2n -1…③把③式中的n 用n -1代替可得：a n +1=6a n -11a n -1+6a n -2+2（n -1）-1…④③和④整理可得：a n +2=7a n +1-17a n +17a n -1-6a n -2+2就回归到常系数齐次非线性递归数列第一类，参照第一类方法即可解决问题.评注：若f （n ）关于n 的p 次多项式，我们只需重复上述p +1次替代就可化归至常系数齐次线性递归数列，利用特征根法即可解决问题.第三类：f （n ）关于n 的指数函数形式例：设数列｛a n ｝满足a 1=1，a 2=2，a n +2=5a n +1-6a n +2n ，求数列｛a n ｝的通项.解析：已知：a n +2=5a n +1-6a n +2n …①把①式两边同时除以2n +2，整理得：a n +22n +2=52a n +12n +1-32a n 2n +14…②令b n =a n 2n 可得：b n +2=52，b n +1-32b n +14就回归到常系数齐次非线性递归数列第一类，参照第一类方法即可解决问题.评注：若f （n ）关于n 的指数函数形式，我们只需等式两边同时除以适当的指数幂，就可划归为第一类题型，最终转化为常系数齐次线性递归数列，利用特征根法即可解决问题.当然，本文只是对适合特征根法求通项的数列做点归纳及延伸.数列通项的求解方法灵活多变，望读者能多加思考和总结，对数列通项的各种类型的解决方法有自己独特的见解.（作者单位福建省泉州南安一中）摘要：数列通项公式不仅在高考中占有一席之地.而且在中学数学竞赛中也是常客。
线性递归数列的通项公式与求和公式
线性递归数列的通项公式与求和公式
通常我们得到的递推数列是这样的形式：
目标是求的通项公式。
首先，上面的递推数列通常可以写成下面这种形式：
---------------------（式1）
也叫二阶差分式（或者叫递推式）。
为了求出一阶差分式，我们可以将原式写成如下形式：
其中，因此上式就是以为元素的等比数列，公比为。
通过移项同时可得:
与上面的式子完全等价。
两式子相减则有：
因此通项公式就求出来了：
现在需要解出x1,x2：
利用二次方程根与系数的关系，可知恰为方程的两
根，注意这里的系数abc就是上面二阶差分式（式1）的系数，不用计算，可以直接拿来用。
该二次方程就是原差分方程的特征方程。
求方程的根解除x1，x2后带入通项公式即可得到f(n)的表达式。
实际做题的计算步骤（更简单）：
1.移项写出二阶差分式，得到系数abc，也就获得了二次方程的系数abc。
2.解出二次方程的两个根x1，x2。
3.带入f(n)的通项公式即可。
例子：
斐波那契数列，它满足,
首先写出移项到左边的二阶差分式的标准形式：
，获得系数abc分别为1，-1，-1，那么差分式的特征方程就为，解得
带入通用的通项公式即可得到f(n)的通项公式：
完。
另外需要注意：该通项公式仅适用于线性的递推数列！。
求数列通项的几种方法
数列通项的几种求法一、一阶线性（及非线性）齐次（及非齐次）差分方程㈠ 求数列通项，首要的是通过观察已知数列各项之间的联系，找出数列前后项之间的递推关系或者各项与所在项数之间的关系. 1．通过中学课本中对等差数列，等比数列的学习，我们找到了一种发掘递推关系的基础方法.例： ①2，4，8，14，22，32，… 观察可得： 12(-1)n n a a --=n②2，2，3，6，15，45，…12n n a na -= ③1，5，14，30，55，91，… 21n n a a n --= ④1，1，2，2，3，3，4，4，… 1n n a a -+=n ⑤1，2，1，2，1，2，1，2，… 1.2n n a a -=其中④⑤是通过对①②③方法应用总结所得到的.2．通过对上述五例的观察发现，我们自己所能发现的也只是些满足1(,)()n n f a a g n -=的形式的递推关系，既是满足方程1(,)()n n f a a g n -=的形式，也就意味着我们可以扩大递推关系的寻找方法.例：⑥1，12，123，1234，… 110n n a a n --=⑦1，4，14，58，292，… 12n n a na --=通过前面的启发，我们还可以构造1()n n a ra s p -+=，11()n n n a ra s p qa --+=+…形式的递推关系（,,,,p q r s 是常数）.小结 寻找递推关系的常用方法：ⅰ：1n n a ka -- ⅱ：1/n n a a - ⅲ：n a k - (k 是常数）㈡前面对如何寻找递推公式（关系）已经有了初步的认识，下面主要就前面提到几类递推公式（关系）来求通项（一阶差分方程）. 1.主要形式：①1()n n a a f n --=②1/()n n a a g n -= ③1(n n a a F -+=n) ④1.()n n a a G n -=① 解 1()n n a a f n --=⇒12(1)n n a a f n ---=-⇒…⇒21(2)a a f -= 将上述等式左右两边分别各自相加，可得12()nn i a a f i =-=∑所以12()nn i a f i a ==+∑② 解 1/()n n a a g n -=⇒12/(1)n n a a g n --=-⇒…⇒21/(2)a a g =将上述等式左右两边分别各自相乘，可得12/()nn i a a g i ==∑所以12.()nn i a a g i ==∑③解1(n n a a F -+=n)，两边分别乘以(1)n-可得11(1)(1)(1)()n n n n n a a F n -----=-令(1)n n n b a =- 则111(1)n n n a b ----=于是 1(1)()nn n b b F n --=-所以12(1)()ni n i b F i b ==-+∑ 从而1122(1)(1)()(1)(1)()(1)nnnini n n n i i a F i a F i a +===----=---∑∑④ 解 1.()n n a a G n -=两边取对数得，1lg lg lg ()n n a a g n -+=令lg n n c a =则11lg n n a c --=于是1lg ()n n c c G n -+=所以12(1)lg ()(1)ni n n n i c G n c +==---∑则12(1)lg ()(1)lg 1010ni n n n i G n a c n a +=---∑==方法应用举例.例1）. 12(1)n n a a n --=-,12a =求n a . 解 代入①式，则222(1)2(1)22(1)22222nnn i i n n a i i n n ==-=-+=-+=⋅+=-+∑∑ 例 2）. 21n n a a n --=，11a =，求n a . 解 代入①式，则22121nnn i i a i a i ===+=∑∑事实上， 1。
6递归数列的通项(1)
2λ cos α , = b2 λ 2 = b1
an +1 = [c1 cos nα + c2 sin nα ]λ n
an = [c1 cos( n 1)α + c2 sin( n 1)α ]λ n 1
代入 an + 2 = b1an + b2 an +1 得
b2 an +1 + b1an = b2 [c1 cos nα + c2 sin nα ]λ n + b1[c1 cos( n 1)α + c2 sin( n 1)α ]λ = {c1[b2 λ cos nα + b1 cos( n 1)α ] + c2 [b2 λ sin nα + b1 sin( n 1)α ]}λ
∵ a n + 1 = 2 a n + 3 , ∴ a n + 2 = 2a n + 1 + 3
、 ，
a n + 2 a n + 1 = 2a n + 1 2a n a n + 1 = 3a n + 1 2a n
特征方程为 所以特征根为1和2。 再由
λ2 3λ + 2 = 0
初 等 数 学 专
a1 = 2 a n+1 = 2a n + 3 可得
a n = x + y 2 n 1
代入得
a2 = 7
题 研 究
于是设通项公式为 将 a1 = 2 a 2 = 7 所以通项公式为
x + y = 2 x + 2 y = 7 x = 3, y = 5
a n = 5 × 2 n 1 3
三、k阶循环数列的通项公式 对于阶数大于2的循环数列，我们有 定理3：设 λ1 , λ 2 , , λ t 是循环数列的特征根 它们的重数依次为 s1 , s2 , , st ( s1 + s2 + + st = k ) 那么循环数列的通项公式可以写成：
数列递推的技巧
数列递推的技巧
数列递推是指根据已知的数列前几项，通过某种规律或公式来确定数列的后续项。
下面列举一些常见的数列递推的技巧：
1. 线性递推法：对于满足线性递推关系的数列，可以使用线性递推法来求解。
线性递推关系一般可以表示为an = c1 * an-1 + c2 * an-2 + ... + ck * an-k，其中c1,c2,...,ck为常数。
常见的线性递推数列有斐波那契数列、等差数列等。
2. 指数递推法：对于满足指数递推关系的数列，可以使用指数递推法来求解。
指数递推关系一般可以表示为an = c * an-1^k，其中c和k为常数。
常见的指数递推数列有幂函数数列、几何数列等。
3. 差分递推法：对于满足差分递推关系的数列，可以使用差分递推法来求解。
差分递推关系一般可以表示为an = an-1 + dn，其中dn为常数。
常见的差分递推数列有阶乘数列、等差数列等。
4. 递归递推法：对于满足递归递推关系的数列，可以使用递归递推法来求解。
递归递推关系一般可以表示为an = f(an-1, an-2, ...)，其中f为一个函数。
常见的递归递推数列有斐波那契数列、双核函数数列等。
5. 其他递推技巧：还有一些特殊的递推技巧，如矩阵快速幂递推法、莫比乌斯反演递推法等，可根据具体的问题和数列特点选择合适的方法进行递推求解。
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线性递归数列
【基础知识】
1、概念：①、递归式：一个数列}{n a 中的第n 项n a 与它前面若干项1-n a ，2-n a ，…，k n a -（n k <）的关系式称为递归式。
②、递归数列：由递归式和初始值确定的数列成为递归数列。
2、常用方法：累加法，迭代法，代换法，代入法等。
3、思想策略：构造新数列的思想。
4、常见类型：
类型Ⅰ：⎩⎨⎧=≠+=+为常数）a a a n p n q a n p a n n ()0)(()
()(11（一阶递归）
其特例为：（1）)0(1≠+=+p q pa a n n （2）)0()
(1≠+=+p n q pa a n n （3）)0()(1≠+=+p q
a n p a n n 解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。
类型Ⅱ：⎩⎨⎧==≠≠+=++为常数）
b a b a a a q p qa pa a n n n ,(,)0,0(2112（二阶递归）
解题方法：利用特征方程q px x +=2，求其根α、β，构造n n n B A a βα
+=，代入初始值求得B A ,。
类型Ⅲ：)(1n n a f a =+其中函数)(x f 为基本初等函数复合而成。
解题方法：一般情况下，通过构造新数列可转化为前两种类型。
【例题】
例1、已知数列}{n a 满足以下递归关系⎩⎨
⎧=+=+14311a a a n n ，求通项n a 。
例2、已知数列}{n a 满足⎩⎨
⎧=-+=+2)12(211a n a a n n ，求通项n a 。
例3、已知数列}{n a 满足⎩⎨
⎧=≥+=+1)2(211a n na a n n ，求通项n a 。
例4、已知数列}{n a 满足⎩⎨
⎧==-=++2,1232112a a a a a n n n ，求通项n a 。
例5、由自然数组成的数列}{n a ，满足11=a ，mn a a a n m n m ++=+，求n a 。
例6、已知数列}{n a 满足101=a ，44
11n n a n n a +=+（1≥n ），求n a 。
例7、已知)
2()(+=
x a x x f ，且21)(0=x f ，方程x x f =)(有唯一解，设)(1-=n n x f x （N n ∈），求n x 。
例8、已知数列}{n a 中，11=a ，)24141(1611n n n a a a +++=+，求n a 。
例9、设正数列}{n a 满足12+-≤n n n a a a ，证明2
1+≤n a n （2=n ，3，4，…）
【练习】
1、已知数列}{n a 满足以下递归关系，求n a 。
（1）11=a ，1251+=+n n a a （N n ∈）
（2）11=a ，121-+=+n a a n n （N n ∈） （3）21=a ，11
1++=+n n a n n a （N n ∈） （4）21=a ，n
a n n a n n 211+-=+（N n ∈） （5）11=a ，n n a n S 2=（n S 为前n 项和） （6）101=a ，4
110n n a a =+（N n n ∈≥,2） （7）⎩⎨⎧==+=++1
322112a a a a a n n n
2、已知数列}{n a 和}{n b 中，101-=a ，131-=b ，且n n n b a a 421+-=+，n n n b a b 751+-=+，求n a 和n b 。
3、已知00=x ，114521++=+n n n x x x （0=n ，1，2，3，4，…），证明N x n ∈（N n ∈）。
4、已知数列}{n a 满足：)31(arccos cos 3n a n n =，证明n a 是不能被3整除的整数。