高考数学 递归数列

1) 4
2
2
变式题型1 已对(1)知一证数切明列正数{整列an数{}3的n+恒a前n}成n是项立等和。比为数Sn列，；且(2a)n求.lx12im(33annn Sn )
热点题型2：递归数列与转化的思想方法
数列{an}满足a11且8an116an12an50 (n1)。记bn
2n

1
,


1 2


1 2
2
b22 n 1

即an

2 bn

2


1
2n

1
2
热点题型3：递归数列与数学归纳法
已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a01，an1
(nN)

1 2
an (4

an ).
（1）证明an<an+1<2(nN) （2）求数列{an}的通项公式an

1 2 an
an 1
4
n为偶数 n为奇数
,
1
记 bn a2n1 4 ，n＝l，2，3，…·．
（I）求a2，a3；
（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
（III）求 lnim(b1 b2 b3 bn ) ．
1 1 11
1
因为bn+1＝a2n+1－
（I）求a2，a3； （II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论； （III）求 lnim(b1 b2 b3 bn ) ．
（I）a2＝a1+
1 4
= a+ 1
4
，a3=
1 2
a2=
1 2
a+ 1
8
热点题型1：递归数列与极限
设数列{an}的首项a1=a≠
1 ，且 4
an1
热点题型3：递归数列与数学归纳法
已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a01，an1
(nN)

1 2
an (4

an ).
（1）证明an<an+1<2(nN) （2）求数列{an}的通项公式an
用数学归纳法证明：
1°当n=1时，a0 1, a1
∴ 0 a0 a1 2
；

1 2

an
)

1 2
[(an

2)2

4],
2(an1 2) (an 2)2
令bn an 2,
则bn


1 2
b2 n1


1 2


1 2
b2 n2
2




1 2
1

2
2n1

b2n 0

又b0=－1
bn



1 2
递归数列
考试内容：
已知数列的递归关系求数列的通项公式
考试要求：
递归数列与极限、数学归纳法的综合运用，涉及的 思想方法主要是转化与归纳，考题一般为压轴题。
专题知识整合
已知数列的递推关系求数列的通项公式。 将已知递推关系式，用代数的一些变形技巧整理变 形，常常采用累加法、迭代法、累乘法、换元法或 转化为等差、等比数列等方法求通项，还可以根据 前n项的特点，观察－归纳－猜想出an的表达式，然 后用数学归纳法证明。

1 4
，n＝l，2，3，…·．
（I）求a2，a3； （II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论； （III）求 lnim(b1 b2 b3 bn ) ．
lnim(b1 b2
bn )

lim
n
b1
(1

1 2n
)
1 1
b1 1 1

2(a
2 6 3 bn1 bn
b1n0,即12 b, 代n1入 递2b推n 关43系, 8an1aSnn1a612nabn(nb11122bban2n15
0,
bn
)

n
4
4
42
bn1

3

2(bn

), 3
b1 3 3 0,
{bn

4}是首项为 3
2 3
,公比q

2的等比数列
bn

4 3

1 3

2n
,即bn

1 2n 3

4 3
(n
1).

1 (1 3
2n )

5
n
12 3
1 (2n 5n 1) 3
变式题型2
已知数列{an}满足a1=1,an=3n-1an-1(n2) (1)求a2，a3； n2 n
(2)求证：an= 3 2
也即当n=k+1时 ak ak1 2 成立，
所以对一切 n N , 有ak ak1 2
热点题型3：递归数列与数学归纳法
已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a01，an1
(nN)（2）求数列{an}的通项公式an

1 2
an (4

an ).
an1

1 2
an
(4
1
4
=
2 a2n－ 4 = 2 (a2n－1－4 )
= 2 bn, (n∈N*)
1
1
所以{bn}是首项为a－ 4 , 公比为 2 的等比数列
热点题型1：递归数列与极限
设数列{an}的首项a1=a≠
1 ，且 4
an1


1 2
an
an

1 4
n为偶数 n为奇数
,
记 bn

a2n1
a0 (4

a0 )

3 2
,
2°假设n=k时 ak1 ak 2 有成立， 令
f (x) 1 x(4 x) 2
f(x)在[0，2]上单调递增 f (ak1) f (ak ) f (2),
1
1
1
2 ak1(4 ak1) 2 ak (4 ak ) 2 2 (4 2),
(n1)。 (1)求b1、b2、b3、b4的值；

1 an
1 2
(2)求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn。
a1
1,故b1

1 1 1

2;
2
a2

7 8
,
故b2

7
1
1

8 3
82
a3

3 4
,
故b3

3
1
1

4; a4

13 20
ห้องสมุดไป่ตู้
,
故b4

20 . 3
42
2.新题型分类例析 热点题型1：递归数列与极限 热点题型2：递归数列与转化的思想方法 热点题型3：递归数列与数学归纳法
热点题型1：递归数列与极限
设数列{an}的首项a1=a≠
1 ，且 4
an1


1 2
an
an

1 4
n为偶数 n为奇数
,
记 bn

a2n1

1 4
，n＝l，2，3，…·．
热点题型2：递归数列与转化的思想方法
数列{an}满足a11且8an116an12an50 (n1)。记bn
(n1)。 (1)求b1、b2、b3、b4的值；

1 an
1 2
(2)求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn。
bn an
4 bn1bn
1
1 得an