一元二次方程的应用(1)面积问题解析
初中八年级数学下册【一元二次方程的应用(1)】
变式：如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为 12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进 出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的 长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？
解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m，
则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m. 住房墙 由题意得 x(25-2x+1)=80
540m2,求这种种方案下的道路的宽为多少？ xx
解：设道路的宽为 x 米 20
可列方程为
20-x x
32-2x
(32-2x)(20-x)=540
32
在宽为20m, 长为32m的矩
xx
形地面上修筑同样宽的道路,余下的 20
x
部分种上草坪,要使草坪的面积为
x
540m2,求这种种方案下的道路的宽
为多少？
例3：如图：要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米
的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊
圈，求羊圈的边长AB和BC的长个是多少米？
解：设AB长是x m.
(100-4x)x=400
25米
x2-25x+100=0
A
D
x1=5，x2=20
B
C
x=20,100-4x=20<25
x=5,100-4x=80>25 x=5(舍去) 答：羊圈的边长AB和BC的长个是20m,20m.
方法点拨
主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题的面 积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则 图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的 面积公式列出方程;
典例精析
例2：如图，在一块宽为20m, 长为32m的矩形地面上
构造一元二次方程解决图形面积问题
构造一元二次方程解决图形面积问题天津 张琪列一元二方程解决面积问题是一元二次方程的实际应用中一个重点，也是中考的一个热点. 解题的关键是结合图形列出一元二次方程，从而解决问题.【课本原题】如图1，在一块长92 m 、宽60 m 的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为855的6个矩形小块，水渠应挖多宽？（北师大九年级上册教材P57复习题第15题）思路分析：设水渠的宽度为x m ，借助平移将水平的水渠移到矩形的上面，竖直的两条水渠平移到矩形的右边（如图2），可得空白部分为一个矩形，面积为6个原矩形小块的面积和，据此列方程求解.解答展示：设水渠的宽度为x m.根据题意，得（92-2x ）（60-x ）=885×6.解得x 1=105（不合题意，舍去），x 2=1.答：水渠的宽度为1 m.方法领悟：有些图形中涉及的基本图形比较分散，我们可以通过适当地平移将图形进行转化，可以方便我们求解． 变式1（2017•凉州区）如图3，某小区计划在一块长为32 m ，宽为20 m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m 2．若设道路的宽为x m ，则下面所列方程正确的是（ ）A ．（32-2x ）（20-x ）=570B ．32x+2×20x=32×20-570C ．（32-x ）（20-x ）=32×20-570D ．32x+2×20x-2x 2=570 解析：仿照上面的课本原题，通过平移后可知草坪的长为（32-2x ），宽为（20-x ），进而可知答案为A..变式2 如图4，某旅游景点要在长、宽分别为20米、12米的矩形水池的正中央建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的41，若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的61，求道路的宽． 解析：如图5，利用平移把不规则的图形转化为规则图形.设道路的宽为x 米，则AE =CH =x 米，EF =（20-4x ）米，HG =（12-4x ）米.根据题意，得x （12-4x ）+x （20-4x ）+16x2=16×20×12. 整理，得x 2+4x -5=0.解得x 1=l ，x 2=-5（舍去）．答：道路的宽为1米． 图5 FG H M E 图4。
一元二次方程应用题专题训练
一元二次方程应用题专题训练一、面积问题1. 题目- 一个矩形的长比宽多2cm，面积是100cm²，求这个矩形的长和宽。
- 解析：设矩形的宽为x cm，因为长比宽多2cm，所以长为(x + 2)cm。
根据矩形面积公式：面积=长×宽，可得到方程x(x + 2)=100。
展开方程得到x²+2x - 100 = 0。
对于一元二次方程ax²+bx + c = 0（这里a = 1，b = 2，c=-100），根据求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}，先计算判别式Δ=b^2-4ac = 2^2-4×1×(- 100)=4 + 400=404。
则x=(-2±√(404))/(2)=(-2±2√(101))/(2)=-1±√(101)。
因为矩形的宽不能为负数，所以取x=-1+√(101)≈ - 1+10 = 9（这里√(101)≈10），长为x + 2=9+2 = 11cm。
2. 题目- 有一块正方形铁皮，从四个角各剪掉一个边长为2分米的正方形后，所剩部分正好围成一个无盖的正方体盒子，这个盒子的容积是27立方分米，求原来正方形铁皮的边长。
- 解析：设原来正方形铁皮的边长为x分米。
那么围成无盖正方体盒子底面的边长为(x - 2×2)=(x - 4)分米，盒子的高为2分米。
根据正方体容积公式V=a^3（这里a为正方体棱长），可得方程(x - 4)^2×2 = 27，即(x - 4)^2=(27)/(2)，展开得到x^2-8x + 16=(27)/(2)，整理为2x^2-16x+32 - 27 = 0，即2x^2-16x + 5 = 0。
这里a = 2，b=-16，c = 5，判别式Δ=b^2-4ac=(-16)^2-4×2×5=256 - 40 = 216，x=(16±√(216))/(4)=(16±6√(6))/(4) = 4±(3√(6))/(2)，因为边长不能为负，所以x =4+(3√(6))/(2)分米。
一元二次方程应用题(几何图形面积问题)
解题思路
假设长方形的长为l，宽为w， 通过列方程建立方程组，然后 求解得出面积。
解答与解析
通过解方程组，得出长方形的 长、宽和面积的具体数值，详 细解析计算过程和答案。
实例3 ：三角形面积问题
问题提出
已知直角三角形的斜边长度为c， 某一直角边的长度为a，求三角形 的面积。
解题思路
根据已知条件，利用勾股定理和三 角形面积公式建立方程，然后求解 得出面积。
一元二次方程应用题(几 何图形面积问题)
本演示将介绍一元二次方程的应用，特别是在解决几何图形面积问题时的应 用。通过精彩的实例和深入的讲解，帮助你全面理解和掌握这一知识点。
一元二次方程介绍
简要介绍一元二次方程的概念、形式和解法方法，以及元二次方程解决几何图形的面积问题，通过代入、求解方程， 计算各种图形的面积。
解答与解析
通过解方程和应用三角形面积公式， 得出三角形的面积的具体数值，详 细解析计算过程和答案。
总结与实践建议
总结一元二次方程在解决几何图形面积问题中的应用要点，并提供一些建议和实践步骤，以帮助你更好地掌握这一 知识。
实例1：正方形面积问题
1
问题提出
给定正方形的对角线长度为d，求正方形的面积。
2
解题思路
假设正方形的边长为x，利用勾股定理建立方程，然后求解得出面积。
3
解答与解析
通过解方程，得出正方形的边长和面积的具体数值，详细解析计算过程和答案。
实例2 ：长方形面积问题
问题提出
已知长方形的周长为P，求长方 形的面积。
12.解一元二次方程的实际应用——面积问题
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。 谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试
x
35－2x 当x=7.5时，35-2x=20＞18，因此不合题意，舍去；
当x=10时，35-2x=15. 答：鸡场的长、宽分别为15米、10米.
例2 某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地四周修
筑等宽的道路,中间的矩形部分作草坪, 若草坪的面积为540米2，求图中道路 的宽是多少? x x 32－2x 20－2x x x 解：设草坪四周道路的宽为x米， 则草坪的长为(32－2x)米，宽为(20－2x)米.
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分
英语141分 理综291分 报考高校： 北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任 孙烨：杨蕙心是一个目标高远 的学生，而且具有很好的学习品质。学 习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同 学两三个小时才能完成的作业，她一个 小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力 很强，这一点在平常的考试中可以体现。 每当杨蕙心在某科考试中出现了问题， 她能很快找到问题的原因，并马上拿出
一元二次方程应用题面积问题
一元二次方程应用题面积问题1. 引言：面积问题的迷人世界大家好！今天咱们聊聊一元二次方程中的面积问题。
别急着皱眉头，这个话题其实特别贴近咱们的生活，学会了，能让你在解答一些日常问题时得心应手。
比如说，买草坪、规划花园、甚至是设计墙面装饰，这些都能用到哦！2. 面积问题的基础：概念简述2.1 什么是面积问题？说白了，面积问题就是要求你计算一个区域的大小。
在几何中，咱们经常需要找出矩形、三角形或者其他形状的面积。
那一元二次方程为什么会出现在这个问题里呢？好问题！因为有些面积计算需要用到二次方程来解决。
2.2 为什么用一元二次方程？一元二次方程，看起来有点复杂，但其实就是形如 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 的方程。
它能帮我们解决一些涉及面积的实际问题，比如说，计算一个长方形的面积，特别是当这个长方形的边长变化时，就需要用到这样的方程了。
3. 实际例子：如何应用一元二次方程解决面积问题。
3.1 示例一：草坪面积假设你想在家里的花园里铺草坪，花园的长度是 ( x ) 米，宽度比长度少 5 米。
那么，花园的宽度就是 ( x 5 ) 米。
你知道草坪的面积是 84 平方米。
我们可以用一元二次方程来找出长度和宽度。
首先，面积 ( A ) = 长度 ( times ) 宽度。
根据题意，有：[ A = x times (x 5) = 84 ]。
简化一下，得到方程：[ x^2 5x = 84 ]接着，把 84 移到方程的另一边：[ x^2 5x 84 = 0 ]现在咱们可以用因式分解法或者求根公式来解这个方程。
因式分解的话，我们可以得到：[ (x 9)(x + 4) = 0 ]。
从中可以得到 ( x = 9 ) 或 ( x = 4 )。
因为长度不能是负数，所以我们取 ( x = 9 ) 米。
这样，花园的宽度就是 ( 9 5 = 4 ) 米。
3.2 示例二：墙面装饰再来一个例子，假如你要装饰一面墙，墙的高度比宽度多 2 米，装饰的总面积是60 平方米。
一元二次方程应用题(面积问题)1
，
(2)
。 注意：这两个面积的重叠部分是 x2米2
2 20x 米 纵向的路面面积为
所以正确的方程是： 32×20 - 32x + 20x - x2 = 540
化简得，x - 52x +100 = 0, x1 = 2,x2 = 50
2
其中的 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.
答：所求道路的宽为2米。
一元二次方程的应用 之面积问题
回忆一下：
列方程解应用题有哪些步骤？
审清题意设未知， 找出等量列方程，
解出方程要检验， 检验无误写答案。
一、面积问题
一面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多 x+2 2m，苗圃的长和宽各是多少？
解：设矩形的宽为xm，则长为(x＋2) m, 根据题意得： x x (x＋2) ＝120. 即 x2 ＋ 2x－120 ＝0.
120m2
Hale Waihona Puke 探究1、某校为了美化校园,准备在一块长32米, 宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部 分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位 学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方 案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?使 图(1),(2)的草坪面积为540米2.
(1)
(2)
解:(1)如图，设道路的宽为 x米，则
练习2：如图长方形鸡场，一边靠墙（墙的长度为 18m），另外三边用篱笆围成。篱笆总长为35m （1）当所围的面积为150m2，则长方形鸡场的长和宽分 别是多少？ （2）能够围成160m2的鸡场吗？
1.一块耕地大小尺寸如图所示,要在这块耕地 上沿东西和南北方向分别挖二条和四条水渠, 如果水渠的宽相等,而且要保证余下的可耕地 面积为9600平方米,那么水渠应挖多宽? 2.在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶 一条宽度相等的金色纸边，制成一幅矩形挂 图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 1800cm2，求金色纸边的宽。
一元二次方程应用题(几何图形面积问题)
(32 2x)(20 2x) 570 化简得，x2 36x 35 0
(x 35)(x 1) 0 x1 35, x2 1
其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去.
答:道路的宽为1米.
例3. (2003年,舟山)如图，有长为24米的篱笆，一面 利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔 有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x米， 面积为S米2， （1）求S与x的函数关系式;（2）如果要围成面积为 45米2的花圃，AB的长是多少米？
例1. 镜框有多宽?
一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的 长为8m，宽为5m．如果镜框中央长方形图案的面积为 18m2 ，则花边多宽? 解：设镜框的宽为xm ，则镜框中央长方形图案的长 为（8－2x）m, 宽为（5－2x） m,得
8
x
x
x
（8－2x）
5
１８m2
x
例1. 镜框有多宽?
一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的
例2：在一块长80米，宽60米的运动场 外围修筑了一条宽度相等的跑道，这 条跑道的面积是1500平方米，求这条 跑道的宽度。
列一元二次方程解应题
补充练习： 1、（98年北京市崇文区中考题）如图，有一面 积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙 （墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边 （门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡 场的长和宽各多少米？
例1 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm, 点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点 B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC 边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出 发，几秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2？
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和宽分别为18cm和12cm的长方形照片周围
镶上一圈等宽的彩纸.经上的
彩纸条的宽.
（精确到0.1)？
41 6.33
练习2：
学校生物小组有一块长35米,宽20米的矩形试验 田，为了管理方便，现要在中间开辟两纵一横 三条等宽的小道,要使种植面积为600米2，求小 道的宽.(精确到0.1)
20m
24m2
问题引入：
问题3(2):用20m长的篱笆，利用一面墙怎 样围成一个面积为50m2的长方形场地？
A
D
B
C
问题引入：
问题3(3):用20m长的篱笆，利用一面墙(墙 长10米)怎样围成一个面积为32m2,且中间用 篱笆隔开的长方形养鸡场？
A
D
B
C
练习1：
学生会准备举办一次摄影展览，在每张长
4825 69.46
20
35
练习3：
学校准备在图书馆后面的场地边建一个面 积为50平方米的长方形自行车车棚.一边利 用图书馆的后墙，并利用已有总长为25米 的铁围栏.请你设计，如何搭建较合适？
20
32
问题2:如图,有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm， 在它的四角各切去一个同样的正方形，然后 将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方 盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
x
3600cm2
50cm
100cm
问题引入：
问题3(1):用20m长的篱笆，怎样围成一个 面积为24m2的长方形场地？
23.3实际问题与一元二次方程(一)
世界古代数学家
高斯
阿基米德
欧几里德
二实验中学西校九年级数学组
复习回顾：
1.解一元二次方程有哪些方法？ 直接开平方法、配方法、公式法、因 式分解法．
2.列一元一次方程解应用题的步骤？ ①审题，②设出未知数. ③找等量关系 ④列方程⑤解方程， ⑥检验 ⑦答.
问题解决：
绿苑小区规划设计时，准备在每两幢楼房 之间，安排面积为900平方米的一块长方形 绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长 和宽各为多少？( 37 6.08 精确到0.1)
x
900m2
x+10
问题引入：
问题1：学校生物小组有一块长32米,宽20米的 矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于 两边的方向纵横各开辟一条等宽的小道.要使 种植面积为540米2，小道的宽应是多少？