2019届辽宁省辽南协作体高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)
或其补角 为异面直线 与
，
即
，得解．
因为 故 在
，
或其补角 为异面直线 与 所成角，
中，设
，则
，
，
即
，
K12 高考数学模拟
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故选：C．
【点睛】
本题考查了异面直线角的作法及解三角形，属中档题．
4．下列判断错误的是
A．“
”是”
”的充分不必要条件
B．若
为真命题，则 p，q 均为假命题
C．命题“
解：数列 的前 n 项和为 ，且
．
当 时，
，
当 时，
故：
．
首项符合通项 ，
由于
，
所以：
，
则：
，
所以：数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列．
故：
．
【点睛】 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前 n 项和公式的应用，主要考查学生的运算 能力和转化能力，属于基础题型． 18．从某校高三年中随机抽取 100 名学生，对其眼视力情况进行统计 两眼视力不同，取较低者统计 ，得
的面积为
，若
【答案】
【解析】由已知利用三角形的面积公式，正弦定理可求
，又由
，根据三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式可求
，即可得解
．K12 高考数学模拟 Nhomakorabea，，
，可得 的值，结合范围
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【详解】
解：
的面积为
，
，
由正弦定理可得：
，
可得：
，
，可得：
，
， ，
．
故答案为： ． 【点睛】 本题主要考查了三角形的面积公式，正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式在 解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
【详解】
解：
，
的虚部为 ；z 对应的点的坐标为
，在第四象限；
z 的实部为 1；z 的共复数为 ．
故选：D．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2．若集合
，
，且
则实数 b 的范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据
即可得出 ，从而得出 ．
【详解】
解：
，
，
．
故选：D．
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本题考查函数的导数的应用，函数的切线方程的求法 考查转化思想以及计算能力．
三、解答题
17．已知数列 的前 n 项和为 ，且
．
求数列 的通项公式；
设
，求数列 的前 n 项和 ．
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】 首先求出数列的通项公式. 利用 的通项，进一步求出数列的通项公式，进一步求出数列 的和. 【详解】
【点睛】
考查描述法的定义，交集的定义及运算，子集的定义．属于基础题
3．已知正方体
，则异面直线 与 所成角为
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A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由异面直线角的作法得：连接 BD， ，因为
所成角，
由解三角形得：在
中，设
，则
，
【详解】
解：连接 BD， ，
，故
和
中抽取 4 名同学，4 人中有资格 仅考虑视力 考 B 专业的人数为随机变量 ，求 的分布列及数学
期望．
【答案】（1）
， ；（2）详见解析.
【解析】 由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出 a，b．
在
中，共有 15 人，其中 5 人不低于 ，在这 15 人中，抽取 3 人，在
中共有 5 人，抽
取 1 人，随机变量 的可能取值为 1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和 ．
5．已知
，
，则
的值为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由已知求得 【详解】
，再由倍角公式求解
的值．
解：由
，
，
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得
，
． 故选：C． 【点睛】 本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题．
6．将函数 结论正确的是
图象上的所有点向左平移
，
”的否定是“
，
“
D．若随机变量 服从正态分布
，
，则
【答案】A
【解析】A.利用充分条件和必要条件的定义进行判断.B.根据复合命题真假关系进行判断.C.根据全称命题
的否定是特称命题进行判断.D.根据正态分布的性质进行判断
【详解】
解： 当 时，若“
”，则”
”不成立，即充分性不成立，故 A 错误，
B.若 C.命题“
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到如图所示的频率分布直方图，已知从这 100 人中随机抽取 1 人，其视力在
的概率为 ．
求 a，b 的值； 若高校 A 专业的报考资格为：任何一眼裸眼视力不低于 ，高校 B 专业的报考资格为：任何一眼裸眼
视力不低于 ，已知在
中有 的学生裸眼视力不低于 ．现用分层抽样的方法从
12．斜率为 且过抛物线 C：
焦点的直线交抛物线 C 于 A、B 两点，若
，则实数 为
A．2 【答案】C
B．3
C．4
D．5
【解析】抛物线 C：
焦点
线方程联立解出坐标，再根据 【详解】
，设
，
，
直线方程为：
，利用向量坐标相等得出．
解：抛物线 C：
焦点
，设
，
，
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，与抛物
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2019 届辽宁省辽南协作体高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题
一、单选题
1．已知 i 是虚数单位，复数 A．z 的虚部为
，下列说法正确的是 B．z 对应的点在第一象限
C．z 的实部为
D．z 的共复数为
【答案】D
【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．
【详解】
解：函数
图象上的所有点向左平移
由于函数
， 是奇函数．
个单位长度，得到
所以：
解得： 由于 ，
， ，
所以：当 时，t 的最小值为 ， 且函数的最小正周期为 ． 故选：D． 【点睛】
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本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能 力和转化能力，属于基础题型． 7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 42，则判断框中的条件可以是
9．函数
的图象大致为
A．
B．
C．
D．
【答案】C 【解析】根据函数的奇偶性，排除选项 ，通过函数的导数，判断函数的单调性，可排除选项 ，从而可 得结果.
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【详解】
函数
是偶函数，排除选项 ；
当 时，函数
，可得
，
当
时，
，函数是减涵数，当
时，函数是增函数，排除项选项 ，故选 C.
19．已知椭圆 C：
的离心率为 ， ， 分别为椭圆 C 的左、右焦点，点
满足
．
求椭圆 C 的方程；
直线 1 经过椭圆 C 的右焦点与椭圆相交于 M，N 两点，设 O 为坐标原点，直线 OM，直线 l，直线 ON
的斜分别为 ，k， ，且 ，k， 成等比数列，求
的值．
【答案】（1）
；（2） ．
【解析】 依题意 椭圆方程
11．若两个非零向量 ， 满足
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，则向量 与 的夹角是
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据
【详解】 解：
即可得出
，从而得出
，
，根据向量夹角的范围即可求出 与 的夹角．
； ；
； ；
，且
；
，从而可求出
；
又
；
与 的夹角是： ． 故选：D． 【点睛】 考查向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，以及向量夹角的范围．
我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值：第一步，请 n 名学生，每个学生随机写下一个都小于 1 的
正实数对 ；第二步，统计两数能与 1 构成纯角三角形边的数对 的个数 m；第三步，估计 的值 若
，
，则估计 的值
A．
B．
C．
【答案】B
【解析】两个数能与 1 构成钝角三角形的数对 满足
D． ，且
，
，从而不
，由
设直线 l 的方程为
，
求解即可．
【详解】
解： 依题意
，
，即
，即
，根据离心率求出 a，即可求出 b，可得
，
，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，转化
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， ，
，
椭圆 C 的方程为
，
设直线 l 的方程为
，
，
，
由
，得
，
则
，
，
，k， 成等比数列，
，
则
，
即
，
解得
故
．
【点睛】
为真命题，则 为假命题，则 p，q 都是假命题，故 B 正确，
，
”的否定是“
，
精品解析：【校级联考】辽宁省辽南协作体2019届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题(原卷版)
辽宁省辽南协作体2019届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i是虚数单位，复数，下列说法正确的是A. z的虚部为B. z对应的点在第一象限C. z的实部为D. z的共轭复数为2.若集合，，且则实数b的范围是A. B. C. D.3.已知正方体，则异面直线与所成角为A.B.C.D.4.下列判断错误的是A. “”是””的充分不必要条件B. 若为真命题，则p，q均为假命题C. 命题“，”的否定是“，“D. 若随机变量服从正态分布，，则5.已知，，则的值为A. B. C. D.6.将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，到的函数是奇函数则下列结论正确的是A. t的最小值是，的对称中心为是，B. t的最小值为，的对称轴为，C. t的最小值为，的单调增区间为，D. t的最小值为，的周期为7.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为42，则判断框中的条件可以是A. ？B. ？C. ？D. ？8.设，是双曲线C：的两个焦点，P是C上一点，若，且的最小内角的正弦值为，则C的离心率为A. 2B. 3C.D.9.函数的图象大致为A. B. C. D.10.关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：第一步，请n名学生，每个学生随机写下一个都小于1的正实数对；第二步，统计两数能与1构成钝角三角形边的数对的个数m；第三步，估计的值若，，则估计的值A. B. C. D.11.若两个非零向量，满足，则向量与的夹角是A. B. C. D.12.斜率为且过抛物线C：焦点的直线交抛物线C于A、B两点，若，则实数为A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知展开式中含项的系数为，则正实数________.14.已知正方体的棱长为1，则该正方体外接球的体积为．15.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的面积为，若，，则______．16.若直线是曲线的切线，则a的值是______．三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17.已知数列的前n项和为，且．求数列的通项公式；设，求数列的前n项和．18.从某校高三年中随机抽取100名学生，对其眼视力情况进行统计两眼视力不同，取较低者统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知从这100人中随机抽取1人，其视力在的概率为．求a，b的值；若高校A专业的报考资格为：任何一眼裸眼视力不低于，高校B专业的报考资格为：任何一眼裸眼视力不低于，已知在中有的学生裸眼视力不低于．现用分层抽样的方法从和中抽取4名同学，4人中有资格仅考虑视力考B专业的人数为随机变量，求的分布列及数学期望．19.已知椭圆C：的离心率为，，分别为椭圆C的左、右焦点，点满足．求椭圆C的方程；直线l经过椭圆C的右焦点与椭圆相交于M，N两点，设O为坐标原点，直线OM，直线l，直线ON的斜分别为，k，，且，k，成等比数列，求的值．20.已知在四棱中，底面ABCD是矩形，且，，平面ABCD，F是线段BC的中点．求证：；若直线PB与平面ABCD所成的角为，求二面角的余弦值；画出平面PAB与平面PDF的交线不写画法21.已知函数．若1是函数的一个极值点，求实数a的值；讨论函数的单调性；在的条件下证明：．22.在平面直角坐标系中，直线l过原点且倾斜角为；曲线的参数方程为参数；曲线的参数方程为为参数．求直线l的极坐标方程，曲线和曲线的普通方程；若直线l与曲线和曲线在第一象限的交点分别为M、N，求M、N之间的距离．23.设函数．求不等式的解集；若关于x的不等式解集非空，求实数t的取值范围．。
辽宁省辽南协作体高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)
辽宁省辽南协作体2019届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i是虚数单位，复数z=1−i|i|，下列说法正确的是()A. z的虚部为−iB. z对应的点在第一象限C. z的实部为−1D. z的共复数为1+i【答案】D【解析】解：∵z=1−i|i|=1−i，∴z的虚部为−1；z对应的点的坐标为(1,−1)，在第四象限；z的实部为1；z的共复数为1+i．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.若集合A={x|1≤x<2}，B={x|x>b}，且A∩B=A.则实数b的范围是()A. b≥2B. 1<b≤2C. b≤2D. b<1【答案】D【解析】解：∵A∩B=A，∴A⊆B，∴b<1．故选：D．根据A∩B=A即可得出A⊆B，从而得出b<1．考查描述法的定义，交集的定义及运算，子集的定义．3.已知正方体ABCD−A1B1C1D1，则异面直线A1D与B1D1所成角为()A. π6B. π4C. π3D. π2【答案】C第2页，共14页【解析】解：连接BD ，BA 1， 因为B 1D 1//DB ，故∠A 1DB(或其补角)为异面直线A 1D 与B 1D 1所成角，在△A 1DB 中，设AD =1，则A 1D =√2，DB =√2，A 1B =√2即∠A 1DB =π3，故选：C ．由异面直线角的作法得：连接BD ，BA 1，因为B 1D 1//DB ，故∠A 1DB(或其补角)为异面直线A 1D 与B 1D 1所成角，由解三角形得：在△A 1DB 中，设AD =1，则A 1D =√2，DB =√2，A 1B =√2即∠A 1DB =π3，得解．本题考查了异面直线角的作法及解三角形，属中档题．4. 下列判断错误的是( )A. “|a|<|b|”是”|am|<|bm|”的充分不必要条件B. 若￢(p ∨q)为真命题，则p ，q 均为假命题C. 命题“∀x ∈R ，ax +b ≤0”的否定是“∃x ∈R ，ax +b >0“D. 若随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，P(ξ≤3)=0.72，则P(ξ≤−1)═0.28 【答案】A【解析】解：A.当m =0时，若“|a|<|b|”，则”|am|<|bm|”不成立，即充分性不成立，故A 错误，B.若￢(p ∨q)为真命题，则p ∨q 为假命题，则p ，q 都是假命题，故B 正确，C.命题“∀x ∈R ，ax +b ≤0”的否定是“∃x ∈R ，ax +b >0“正确，故C 正确，D.若随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，P(ξ≤3)=0.72=P(ξ>−1)， 则P(ξ≤−1)═1−P(ξ>−1)=1−0.72=0.28，故D 正确， 故错误的是A ， 故选：A ．A.利用充分条件和必要条件的定义进行判断B.根据复合命题真假关系进行判断C.根据全称命题的否定是特称命题进行判断D.根据正态分布的性质进行判断本题主要考查命题的真假判断，涉及充分条件和必要条件的判断，复合命题真假关系，含有量词的命题的否定以及正态分布，综合性较强，难度不大．5. 已知cosα=35，α∈(−π2,0)，则sin2α1−cos2α的值为( )A. −43B. 43C. −34D. 34【答案】C【解析】解：由cosα=35，α∈(−π2,0)， 得sinα=−√1−cos 2α=−45， ∴sin2α1−cos2α=2sinαcosα2sin 2α=cosαsinα=35−45=−34．故选：C ．由已知求得sinα，再由倍角公式求解sin2α1−cos2α的值．本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题．6. 将函数f(x)=sin(2x −π6)图象上的所有点向左平移t(t >0)个单位长度，到的函数g(x)是奇函数.则下列结论正确的是( )A. t 的最小值是π6，g(x)的对称中心为是(kπ2+π12,0)，k ∈Z B. t 的最小值为π6，g(x)的对称轴为x =kπ2+π3，k ∈ZC. t 的最小值为π12，g(x)的单调增区间为(kπ−π4,kπ+π4)，k ∈Z D. t 的最小值为π12，g(x)的周期为π【答案】D【解析】解：函数f(x)=sin(2x −π6)图象上的所有点向左平移t(t >0)个单位长度，得到 g(x)=sin(2x +2t −π6)，由于函数g(x)是奇函数． 所以：2t −π6=kπ(k ∈Z)， 解得：t =kπ2+π12，由于t >0，所以：当k =0时，t 的最小值为π12，且函数的最小正周期为π． 故选：D ．首先利用三角函数关系式的恒等变变换，把函数的图象进行平移变换，利用奇函数的性质，求出t 的最小值，进一步求出函数的最小正周期．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为42，则判断框中的条件可以是( )第4页，共14页A. n ≤6？B. n >6？C. n ≤5？D. n >5？【答案】D【解析】解：第一次，s =2，a =4，不满足条件.n =2， 第二次，s =2+4=6，a =6，不满足条件.n =3， 第三次，s =6+6=12，a =8，不满足条件.n =4， 第四次，s =12+8=20，a =10，不满足条件.n =5， 第五次，s =20+10=30，a =12，不满足条件.n =6， 第六次，s =30+12=42，a =14，满足条件． 输出S =42，即n =6满足条件.，n =5不满足条件． 则条件应该为n >5？， 故选：D ．根据程序框图进行模拟运算即可得到结论．本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件利用模拟运算法是解决本题的关键．8. 设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(s >0,b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|+|PF 2|=4a ，且△PF 1F 2的最小内角的正弦值为13，则C 的离心率为( )A. 2B. 3C. √2D. √3【答案】C【解析】解：因为F 1、F 2是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上一点，且满足|PF 1|+|PF 2|=4a ，不妨设P 是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF 1|−|PF 2|=2a ， 所以|F 1F 2|=2c ，|PF 1|=3a ，|PF 2|=a ， △PF 1F 2的最小内角的正弦值为13，其余弦值为2√23， 由余弦定理，可得|PF 2|2=|F 1F 2|2+|PF 1|2−2|F 1F 2||PF 1|cos∠PF 1F 2， 即a 2=4c 2+9a 2−2×2c ×3a ×2√23，c 2−2√2ca +2a 2=0， 即c =√2a ， 所以e =ca =√2． 故选：C ．利用双曲线的定义求出|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|，然后利用最小内角的正弦值为13，其余弦值为2√23，结合余弦定理，求出双曲线的离心率． 本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力，属于中档题．9. 函数f(x)=e |x|−2|x|−1的图象大致为( )A.B.C.D.【答案】C【解析】解：函数f(x)=e |x|−2|x|−1是偶函数，排除选项B ， 当x >0时，函数f(x)=e x −2x −1，可得f′(x)=e x −2，当x ∈(0,ln2)时，f′(x)<0，函数是减函数，当x >ln2时，函数是增函数， 排除选项A ，D ， 故选：C ．判断函数的奇偶性，排除选项，通过函数的导数，判断函数的单调性，然后判断函数的图象即可．本题考查函数的导数的应用，函数的图象的判断，是中档题．10. 关于圆周率，数学发展史上出现过许多银有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：第一步，请n 名学生，每个学生随机写下一个都小于1的正实数对(x,y)；第二步，统计两数能与1构成纯角三角形边的数对(x,y)的个数m ；第三步，估计π的值.若n =100，m =31，则估计π的值( )A.10031B. 8125C. 7825D. 3125【答案】B【解析】解：由题意，100对都小于1的正实数对(x,y)满足{0<y <10<x<1，其表示图形的面积为1．第6页，共14页两个数能与1构成钝角三角形的数对(x,y)满足x 2+y 2−1<0，且{0<y <10<x<1，x +y >1， 则不等式组表示图形的面积为π4−12． 则：π4−12≈31100.解得π=8125． 故选：B ．两个数能与1构成钝角三角形的数对(x,y)满足x 2+y 2−1<0，且{0<y <10<x<1，x +y >1，从而不等式组表示图形的面积为π4−12.由此能估计π的值．本题考查几何概型，古典概型等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．11. 若两个非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ |=|b ⃗ |，则向量b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的夹角是( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6【答案】D【解析】解：∵|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ |=|b ⃗ |； ∴(a ⃗ +b ⃗ )2=a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +a ⃗ 2=a ⃗ 2；∴a ⃗ ⋅b ⃗ =−12a ⃗ 2；∴(a ⃗ −b ⃗ )2=a ⃗ 2+a ⃗ 2+a ⃗ 2=3a ⃗ 2；∴|a ⃗ −b ⃗ |=√3|a ⃗ |，且b ⃗⋅(a ⃗ −b ⃗ )=−12a ⃗ 2−a ⃗ 2=−32a ⃗ 2； ∴cos <b ⃗ ,a ⃗ −b⃗ >=b ⃗ ⋅(a ⃗ −b ⃗ )|b ⃗ ||a ⃗ −b⃗ |=−32a ⃗ 2√3a⃗ 2=−√32； 又0≤<b ⃗ ,a ⃗ −b ⃗ >≤π； ∴b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的夹角是：5π6． 故选：D ．根据|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ |=|b ⃗ |即可得出a ⃗ ⋅b ⃗ =−12a ⃗ 2，从而得出|a ⃗ −b ⃗ |=√3|a ⃗ |，b ⃗ ⋅(a ⃗ −b ⃗ )=−32a ⃗ 2，从而可求出cos <b ⃗ ,a ⃗ −b ⃗ >=−√32，根据向量夹角的范围即可求出b ⃗ 与a ⃗ −b⃗ 的夹角．考查向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，以及向量夹角的范围．12. 斜率为43且过抛物线C ：y 2=4x 焦点的直线交抛物线C 于A 、B 两点，若AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗ (λ>1)，则实数λ为( )A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】C【解析】解：抛物线C ：y 2=4x 焦点F(1,0)，设A(x 1,y 1)，y 1>0，B(x 2,y 2). 直线方程为：y =43(x −1)，联立{y =43(x −1)y 2=4x，化为：y 2−3y −4=0，解得y 1=4，y 2=−1．∵AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>1)，∴4=−λ×(−1)，解得λ=4． 故选：C ．抛物线C ：y 2=4x 焦点F(1,0)，设A(x 1,y 1)，y 1>0，B(x 2,y 2).直线方程为：y =43(x −1)，与抛物线方程联立解出坐标，再根据AF⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>1)，利用向量坐标相等得出． 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、向量相等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知(x −1)(ax +1)6展开式中x 2的系数为0，则正实数a 的值是______． 【答案】25【解析】解：(x −1)(ax +1)6中，(ax +1)6中x 2的系数为：C 64a 2，x 项的系数为：C 65a ，(x −1)(ax +1)6展开式中含x 2项的系数为0，可得：−C 64a 2+C 65a =0，则15a =6，所以a =25， 故答案为：25．求出(ax +1)6展开式中含x 2项的系数以及x 项的系数，然后利用已知条件，列出方程求得a 的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．14. 正方体的棱长为1，则该正方体外接球的半径为______． 【答案】√32【解析】解：正方体的棱长为1，则该正方体外接球的半径：12×√12+12+12=√32．故答案为：√32．利用已知条件，直接求出正方体的外接球的半径即可．本题考查正方体的棱长与外接球的半径的关系，是基本知识的考查．15. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且△ABC 的面积为b 23sinB，若6cosA ⋅cosC =1，b =3，则∠ABC =______． 【答案】π3【解析】解：∵△ABC 的面积为b 23sinB =12acsinB ，b 2=32acsin 2B ， ∴由正弦定理可得：sin 2B =32sinAsinCsin 2B ， ∴可得：sinAsinC =23，∵6cosA ⋅cosC =1，可得：cosAcosC =16，∴cos∠ABC =cos[π−(A +C)]=−cos(A +C)=sinAsinC −cosAcosC =23−16=12，第8页，共14页∵∠ABC ∈(0,π)， ∴∠ABC =π3．故答案为：π3．由已知利用三角形的面积公式，正弦定理可求sinAsinC =23，又由6cosA ⋅cosC =1，可得cosAcosC =16，根据三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式可求cos∠ABC 的值，结合范围∠ABC ∈(0,π)，即可得解∠ABC =π3．本题主要考查了三角形的面积公式，正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16. 若直线y =x +1是曲线f(x)=x +1x −alnx(a ∈R)的切线，则a 的值是______． 【答案】−1【解析】解：设切点的横坐标为x 0，f′(x)=1−1x2−ax=x 2−ax−1x 2=1⇒x 0=−1a⇒−a =1x 0，则有：f(x 0)=x 0+1x 0−alnx 0=x 0+1⇒lnx 0−x 0+1=0，令ℎ(x)=lnx −x +1⇒ℎ′(x)=1x −1=0⇒x =1，则ℎ(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减， 又因为ℎ(1)=0，所以x 0=1⇒a =−1； 故答案为：−1．设切点的横坐标为x 0，求出导函数，利用直线y =x +1与曲线y =f(x)相切，转化求解切点横坐标以及a 的值即可．本题考查函数的导数的应用，函数的切线方程的求法.考查转化思想以及计算能力．三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =n 2．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =(12)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【答案】解：数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =n 2． 当n =1时，a 1=S 1=1，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=n 2−(n −1)2=2n −1(首项符合通项)， 故：a n =2n −1． (2)由于a n =2n −1， 所以：b n =(12)a n =(12)2n−1， 则：b n+1b n=(12)2n+1(12)2n−1=14，所以：数列{b n }是以首项为12，公比为14的等比数列． 故：T n =12(1−14n )1−14=23(1−14n )．【解析】(1)首先求出数列的通项公式，(2)利用(1)的通项，进一步求出数列的通项公式，进一步求出数列的和本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前n 项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18. 从某校高三年中随机抽取100名学生，对其眼视力情况进行统计(两眼视力不同，取较低者统计)，得到如图所示的频率分布直方图，已知从这100人中随机抽取1人，其视力在[4.1,4.3)的概率为110．(1)求a ，b 的值；(2)若高校A 专业的报考资格为：任何一眼裸眼视力不低于4.9，高校B 专业的报考资格为：任何一眼裸眼视力不低于5.0，已知在[4.9,5.1)中有13的学生裸眼视力不低于5.0．现用分层抽样的方法从[4.9,5.1)和[5.1,5.3)中抽取4名同学，4人中有资格(仅考虑视力)考B 专业的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望．【答案】解：(1)由频率分布直方图的性质得： {b ×0.2=110(b +0.75+1.75+a +0.75+0.25)×0.2=1，解得b =0.5，a =1．(2)在[4.9,5.1)中，共有15人，其中5人不低于5.0，在这15人中，抽取3人， 在[5.1,5.3]中共有5人，抽取1人， 随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4， P(ξ=1)=C 103C 50C 153=2491， P(ξ=2)=C 102C 51C 153=4591， P(ξ=3)=C 104C 52C 153=2091，第10页，共14页P(ξ=4)=C 100C 53C 153=291，E(ξ)=1×2491+2×4591+3×2091+4×291=2．【解析】(1)由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出a ，b ．(2)在[4.9,5.1)中，共有15人，其中5人不低于5.0，在这15人中，抽取3人，在[5.1,5.3]中共有5人，抽取1人，随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E(ξ)．本题考查频率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，点P(2√63,√33)满足PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线1经过椭圆C 的右焦点与椭圆相交于M ，N 两点，设O 为坐标原点，直线OM ，直线l ，直线ON 的斜分别为k 1，k ，k 2，且k 1，k ，k 2成等比数列，求k 1⋅k 2的值．【答案】解：(1)依题意F 1(−c,0)，∴PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−c 2+3=0，即c =√3 ∵e =ca =√32， ∴a =2，∴b 2=a 2−c 2=1， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1，(2)设直线l 的方程为y =k(x −√3)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由{x 24+y 2=1y =k(x −√3)，得(1+4k 2)x 2+8√3k 2x +4(3k 2−1)=0， 则x 1+x 2=8√3k 21+4k2，x 1x 2=12k 2−41+4k 2，∵k 1，k ，k 2成等比数列， ∴k 1⋅k 2=k 2=y 1y 2x 1x 2=k 2(x 1−√3)(x 2−√3)x 1x 2，则√3(x 1+x 2)=3， 即8√3k 21+4k 2=√3，解得k 2=14 故k 1⋅k 2=14．【解析】(1)依题意F 1(−c,0)，由PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−c 2+3=0，即c =√3，根据离心率求出a ，即可求出b ，可得椭圆方程(2)设直线l 的方程为y =k(x −√3)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，转化求解即可．本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查了椭圆的简单性质，直线的斜率，等比数列的性质，属于中档题．20. 已知在四棱P −ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且AD =2，AB =1，PA ⊥平面ABCD ，F 是线段BC 的中点．(1)求证：PF ⊥FD ；(2)若直线PB 与平面ABCD 所成的角为45∘，求二面角A −PD −F 的余弦值；(3)画出平面PAB 与平面PDF 的交线l.(不写画法)【答案】(1)证明：∵PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设|PA|=ℎ，∴P(0,0，ℎ)，B(1,0，0)，D(0,2，0)，C(1,2，0)，F(1,1，0)，E(12,0，0)，∴PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,−ℎ)，FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)， ∴PF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FD⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则PF ⊥FD ； (2)解：∵PA ⊥底面ABCD ，∴PB 在底面ABCD 的投影为BA ，∴∠PBA 为PB 与平面ABCD 所成角，即∠PBA =45∘，∴△PBA 为等腰直角三角形，则|AP|=|AB|=1，即ℎ=1． ∴平面PFD 的法向量为n ⃗ =(1,1,2)，平面APD 为yOz 平面， ∴平面APD 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(0,1,0)，设二面角A −PD −F 的平面角为θ，可知θ为锐角， ∴cosθ=|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=√6=√66； (3)解：如图，延长DF ，AB 交于G ，连接PG ， 则PG 即为所求直线l ．【解析】(1)以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设|PA|=ℎ，分别求出P ，B ，D ，C ，F ，E 的坐标，然后证明PF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则PF ⊥FD ；(2)由PA ⊥底面ABCD ，可得PB 在底面ABCD 的投影为BA ，得到∠PBA 为PB 与平面ABCD 所成角，由此求得平面PFD 的法向量为n ⃗ =(1,1,2)，平面APD 为yOz 平面，可得平面APD 的法向量为m⃗⃗⃗ =(0,1,0)，由两法向量所成角的余弦值可得而面角A −PD −F 的余弦值；(3)延长DF ，AB 交于G ，连接PG ，则PG 即为所求直线l ． 本题考查空间中的直线与直线，直线与平面的位置关系，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．21.已知函数f(x)=lnx−ax+1x．(1)若1是函数f(x)的一个极值点，求实数a的值；(2)讨论函数f(x)的单调性；(3)在(1)的条件下证明：f(x)≤xe x−x+1x−1．【答案】解：(1)f′(x)=1x −a−1x2，(x>0)，f′(1)=1−a−1=0，故a=0，(2)f′(x)=−ax2+x−1x2，方程−ax2+x−1=0的判别式△=1−4a，①当a≥14时，△≤0，f′(x)≤0，f(x)在(0,+∞)递减，②当0<a<14时，方程−ax2+x−1=0的根为x=1±√1−4a2a，且x1=1−√1−4a2a >0，x2=1+√1−4a2a>0，故f(x)在(0,x1)递减，在(x1,x2)递增，在(x2,+∞)递减，③当a=0时，f′(x)=x−1x2，f(x)在(0,1)递减，在(1,+∞)递增，④当a<0时，方程−ax2+x−1=0的根为x=1±√1−4a2a，且x1=1−√1−4a2a >0，x2=1+√1−4a2a<0，故f(x)在(0,x1)递减，在(x1,+∞)递增；(3)在(1)的条件下f(x)≤xe x−x+1x−1，xe x−lnx−x−1≥0，g′(x)=(x+1)e x−1x−1，令ℎ(x)=(x+1)e x−1x−1，ℎ′(x)=(x+2)e x+1x2>0，(x>0)，故ℎ(x)在(0,+∞)递增，又ℎ(12)<0，ℎ(e)>0，故∃x0∈(12,e)，使得ℎ(x0)=0，即x0e x0=1，g(x)在(0,x0)递减，在(x0,+∞)递增，第12页，共14页故g(x)min =g(x 0)=x 0e x 0−ln 1e x 0−x 0−1=0， 故f(x))≤xe x −x +1x −1．【解析】(1)求出函数的导数，计算f′(1)=0，得到关于a 的方程，解出即可； (2)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；(3)求出函数的导数，令ℎ(x)=(x +1)e x −1x −1，根据函数的单调性证明即可． 本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22. 在平面直角坐标系中，直线l 过原点且倾斜角为π4；曲线C 1的参数方程{x =√33cosαy =sinα(α为参数)；曲线C 2的参数方程为{x =3+√13cosαy =2+√13sinα(α为参数)．(1)求直线1的极坐标方程，曲线C 1和曲线C 2的普通方程；(2)若直线1与曲线C 1和曲线C 2在第一象限的交点分别为M 、N ，求M 、N 之间的距离．【答案】解：(1)直线l 的极坐标方程为θ=π4，(ρ∈R)； 曲线C 1 的普通方程为x 213+y 2=1；曲线C 2的普通方程为(x −3)2+(y −2)2=13． (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2=11+2cos 2θ， 曲线C 2的极坐标方程为：ρ=6cosθ+4sinθ， ∴|OM|=6cos π4+4sin π4=5√2，|ON|=√1+2×(√22)=√22，可得|MN|=|ON|−|OM|=5√2−√22=9√22．【解析】(1)直线l 的极坐标方程为θ=π4，(ρ∈R)；利用sin 2α+cos 2α=1可得C 1和C 2的普通方程；(2)将C 1，C 2化成极坐标方程后将θ=π4代入可求得|OM|，|ON|，再相加． 本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23. 设函数f =|x +1|−|2x −4|．(1)求不等式f(x)>2的解集；(2)若关于x 的不等式f(x)>t 2+2t 解集非空，求实数t 的取值范围． 【答案】解：(1)|x +1|−|2x −4|>2， 等价为{x −5>2x<−1或{−1≤x ≤23x−3>2或{−x +5>2x>2， 可得x ∈⌀或53<x ≤2或2<x <3，即为53<x<3，则原不等式的解集为(53,3)；(2)关于x的不等式f(x)>t2+2t解集非空，可得t2+2t<f(x)max，由f(x)=|x+1|−|x−2|−|x−2|≤|x+1−x+2|−0=3，当且仅当x=2时取得最大值2，可得t2+2t<3，解得−3<t<1．【解析】(1)运用分类讨论解不等式即可得到所求解集；(2)由题意可得t2+2t<f(x)max，由绝对值不等式的性质可得f(x)的最大值，解不等式可得所求范围．本题考查不等式的解法和不等式有解的运用，考查运算能力，属于基础题．第14页，共14页。
辽宁省辽南协作校2019-2020学年度下学期高三第一次模拟考试理科综合试卷带答案
姓名：考生考号：2019—2020学年度下学期高三第一次模拟考试试题理科综合能力测试时间：150分钟试卷满分：300分注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试卷上。
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效4．可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O-16 Mg-24 P-31 Fe-56一、选择题：本题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
要求的。
1．下列有关细胞内化合物的叙述，正确的是（）A．蔗糖和乳糖没有相同的水解产物B．甘油和磷脂的组成元素中都含有PC．腺嘌呤和脱氧核糖可形成A TP并用于某些生命活动D．细胞膜、细胞质基质中负责转运氨基酸的分子并不都是蛋白质2．下图表示细胞失水时水分子跨膜运输方式，据图分析水分子跨膜运输方式是（）A．自由扩散B．协助扩散C．被动运输D．主动运输3．如果一个指导蛋白质合成的基因的中部增加了1个核苷酸对，不可能的后果是（）A．无法转录出mRNAB．编码的蛋白质的氨基酸数量可能减少C．所控制合成的蛋白质可能增加多个氨基酸D．翻译的蛋白质中．增加部位以后的氨基酸序列发生变化4．对现代进化理论的理解．错误的是（）A．能遗传的变异是生物进化的基础B．环境改变使生物产生适应性变异C．突变与基因重组产生的变异是不定向的D．变异经过长期的自然选择和积累就可能产生出生物的新类型5．下列与感受器、效应器相关的叙述。
错误的是（）A．同一反射弧中感受器的兴奋与效应器的反应先后发生B．感受器的结构受到损伤会影响反射活动的完成C．效应器细胞膜上有能与神经递质特异性结合的受体D．感受器的兴奋活动包括腺体分泌和肌肉收缩6．下列属于生态系统结构描述的是（）A．在繁殖季节，雄孔雀就会通过“开屏”动作向雌性表达求偶信息B．在杂草→兔→蛇→鹰这条食物链中，蛇是次级消费者、第三营养级C．消费者的遗体、粪便中的能量被分解者利用，经其呼吸作用消耗D．有些蓝藻将大气的氮气转化成为无机氮的化台物被植物利用，最后重新回到大气中7．化学与人类社会的生活、生产、科技密切相关。
辽宁省2019届高三一模拟考试数学(理)试卷及答案
姓 名:_______________________考生考号:___________________________2019年下学期高三第一次模拟考试试题数学(理科）时间：120分钟 试卷满分:150分第I 卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第n 卷(非选择题}两部分，其中第Ⅱ卷第22题〜第23题为选考题，其它题为必考题.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题(本题共12个小题，每题5分，共60分,四个选项中只有一个正确）1.设 P={x|x ＜4},Q={x|x 2＜4}，则（） A.P ⊆Q B.QP C.P ⊆C R Q D.Q ⊆C R P2.复数i mi21-2+=A+Bi(m 、A 、B ∈R)，且A+B=0，则m 的值是（ ） A.32- B.32C.2D.23.设样本数据x 1,x 2,…,x 10的均值和方差分别为1和4,若y i =x i +a (O 为非零常数，i= 1,2,…,10)，则y1,y2,…，y10的均值和方差分别为（ ）A.1+a,4B.l+a ，4+aC.1,4D.l,4+a4.公差不为零的等差数列{an}的前n 项为Sn,若a 4是a 3与a 7的等比中项,S 8=32,则S 10等于()A.18B.24C.60D.905.设F 1和F 2为双曲线12222=-by a x (a ＞0，b ＞0)的两个焦点，若F 1，F 2，(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（） A.y=±33x B.y=±3x C.y=±721x D.y=±321x 6.设a=log 23,b=34,c=log 34，则a,b ，c 的大小关系为（） A.b<a<c B.c<a<b C.a<b<c D.c<b<a7.圆x 2+y 2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是（ ）A.18B.62C.52D.428.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A.38π B.3π C.310πD.6π9.(x +y +z)4的展开式共（ ）项 A.10 B.15 C.20 D.2110.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB =60°，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为（ ）A.(1+23)米 B.2米 C.(1+3)米 D.(2+3)米11.已知函数f(x)在R 上满足f(x)=2f(2-x)-x+8x-8，则曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线方程是（ ）A.y=-2x+3B.y=xC.y=3x-2D.y=2x-112.已知椭圆的左焦点为F 1有一小球A 从F 1处以速度v 开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到F 1时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为（ ） A.31 B.21-5 C.53 D.32第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
2019年辽宁省辽南协作体高考数学一模试卷(理科)-含详细解析
2019年辽宁省辽南协作体高考数学一模试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i是虚数单位，复数z=，下列说法正确的是（）A. z的虚部为B. z对应的点在第一象限C. z的实部为D. z的共复数为2.若集合A={x|1≤x＜2}，B={x|x＞b}，且A∩B=A．则实数b的范围是（）A. B. C. D.3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则异面直线A1D与B1D1所成角为（）A.B.C.D.4.下列判断错误的是（）A. “”是””的充分不必要条件B. 若￢为真命题，则p，q均为假命题C. 命题“，”的否定是“，“D. 若随机变量服从正态分布，，则5.已知cosα=，α（-，0），则的值为（）A. B. C. D.6.将函数f（x）=sin（2x-）图象上的所有点向左平移t（t＞0）个单位长度，到的函数g（x）是奇函数．则下列结论正确的是（）A. t的最小值是，的对称中心为是，B. t的最小值为，的对称轴为，C. t的最小值为，的单调增区间为，D. t的最小值为，的周期为7.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为42，则判断框中的条件可以是（）A. ？B. ？C. ？D. ？8.设F1，F2是双曲线C：（s＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=4a，且△PF1F2的最小内角的正弦值为，则C的离心率为（）A. 2B. 3C.D.9.函数f（x）=e|x|-2|x|-1的图象大致为（）A. B.C. D.10.关于圆周率，数学发展史上出现过许多银有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：第一步，请n 名学生，每个学生随机写下一个都小于1的正实数对（x，y）；第二步，统计两数能与1构成纯角三角形边的数对（x，y）的个数m；第三步，估计π的值．若n=100，m=31，则估计π的值（）A. B. C. D.11.若两个非零向量，满足||=||=||，则向量与的夹角是（）A. B. C. D.12.斜率为且过抛物线C：y2=4x焦点的直线交抛物线C于A、B两点，若＞，则实数λ为（）A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知（x-1）（ax+1）6展开式中x2的系数为0，则正实数a的值是______．14.正方体的棱长为1，则该正方体外接球的半径为______．15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为，若6cos A•cos C=1，b=3，则∠ABC=______．16.若直线y=x+1是曲线f（x）=x+（a R）的切线，则a的值是______．三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（），求数列{b n}的前n项和T n．18.从某校高三年中随机抽取100名学生，对其眼视力情况进行统计（两眼视力不同，取较低者统计），得到如图所示的频率分布直方图，已知从这100人中随机抽取1人，其视力在[4.1，4.3）的概率为．（1）求a，b的值；（2）若高校A专业的报考资格为：任何一眼裸眼视力不低于4.9，高校B专业的报考资格为：任何一眼裸眼视力不低于5.0，已知在[4.9，5.1）中有的学生裸眼视力不低于5.0．现用分层抽样的方法从[4.9，5.1）和[5.1，5.3）中抽取4名同学，4人中有资格（仅考虑视力）考B专业的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望．19.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，点P（，）满足=0．（1）求椭圆C的方程；（2）直线1经过椭圆C的右焦点与椭圆相交于M，N两点，设O为坐标原点，直线OM，直线l，直线ON的斜分别为k1，k，k2，且k1，k，k2成等比数列，求k1•k2的值．20.已知在四棱P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，F是线段BC的中点．（1）求证：PF⊥FD；（2）若直线PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A-PD-F的余弦值；（3）画出平面PAB与平面PDF的交线l．（不写画法）21.已知函数f（x）=ln x-ax+．（1）若1是函数f（x）的一个极值点，求实数a的值；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）在（1）的条件下证明：f（x）≤xe x-x+-1．22.在平面直角坐标系中，直线l过原点且倾斜角为；曲线C1的参数方程（α为参数）；曲线C2的参数方程为（α为参数）．（1）求直线1的极坐标方程，曲线C1和曲线C2的普通方程；（2）若直线1与曲线C1和曲线C2在第一象限的交点分别为M、N，求M、N之间的距离．23.设函数f=|x+1|-|2x-4|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）若关于x的不等式f（x）＞t2+2t解集非空，求实数t的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵z==1-i，∴z的虚部为-1；z对应的点的坐标为（1，-1），在第四象限；z的实部为1；z的共复数为1+i．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵A∩B=A，∴A⊆B，∴b＜1．故选：D．根据A∩B=A即可得出A⊆B，从而得出b＜1．考查描述法的定义，交集的定义及运算，子集的定义．3.【答案】C【解析】解：连接BD，BA1，因为B1D1∥DB，故∠A1DB（或其补角）为异面直线A1D与B1D1所成角，在△A1DB中，设AD=1，则A1D=，DB=，A1B=即∠A1DB=，故选：C．由异面直线角的作法得：连接BD，BA1，因为B1D1∥DB，故∠A1DB（或其补角）为异面直线A1D与B1D1所成角，由解三角形得：在△A1DB中，设AD=1，则A1D=，DB=，A1B=即∠A1DB=，得解．本题考查了异面直线角的作法及解三角形，属中档题．4.【答案】A【解析】解：A．当m=0时，若“|a|＜|b|”，则”|am|＜|bm|”不成立，即充分性不成立，故A 错误，B．若￢（p q）为真命题，则p q为假命题，则p，q都是假命题，故B正确，C．命题“x R，ax+b≤0”的否定是“x R，ax+b＞0“正确，故C正确，D．若随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤3）=0.72=P（ξ＞-1），则P（ξ≤-1）═1-P（ξ＞-1）=1-0.72=0.28，故D正确，故错误的是A，故选：A．A．利用充分条件和必要条件的定义进行判断B．根据复合命题真假关系进行判断C．根据全称命题的否定是特称命题进行判断D．根据正态分布的性质进行判断本题主要考查命题的真假判断，涉及充分条件和必要条件的判断，复合命题真假关系，含有量词的命题的否定以及正态分布，综合性较强，难度不大．5.【答案】C【解析】解：由cosα=，α（-，0），得sinα=，∴==．故选：C．由已知求得sinα，再由倍角公式求解的值．本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题．6.【答案】D【解析】解：函数f（x）=sin（2x-）图象上的所有点向左平移t（t＞0）个单位长度，得到g（x）=sin（2x+2t-），由于函数g（x）是奇函数．所以：2t-（k Z），解得：t=，由于t＞0，所以：当k=0时，t的最小值为，且函数的最小正周期为π．故选：D．首先利用三角函数关系式的恒等变变换，把函数的图象进行平移变换，利用奇函数的性质，求出t的最小值，进一步求出函数的最小正周期．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7.【答案】D【解析】解：第一次，s=2，a=4，不满足条件．n=2，第二次，s=2+4=6，a=6，不满足条件．n=3，第三次，s=6+6=12，a=8，不满足条件．n=4，第四次，s=12+8=20，a=10，不满足条件．n=5，第五次，s=20+10=30，a=12，不满足条件．n=6，第六次，s=30+12=42，a=14，满足条件．输出S=42，即n=6满足条件．，n=5不满足条件．则条件应该为n＞5？，故选：D．根据程序框图进行模拟运算即可得到结论．本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件利用模拟运算法是解决本题的关键．8.【答案】C【解析】解：因为F1、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|+|PF2|=4a，不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=2a，所以|F1F2|=2c，|PF1|=3a，|PF2|=a，△PF1F2的最小内角的正弦值为，其余弦值为，由余弦定理，可得|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2-2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，即a2=4c2+9a2-2×2c×3a×，c2-2ca+2a2=0，即c=a，所以e==．故选：C．利用双曲线的定义求出|PF1|，|F1F2|，|PF2|，然后利用最小内角的正弦值为，其余弦值为，结合余弦定理，求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：函数f（x）=e|x|-2|x|-1是偶函数，排除选项B，当x＞0时，函数f（x）=e x-2x-1，可得f′（x）=e x-2，当x（0，ln2）时，f′（x）＜0，函数是减函数，当x＞ln2时，函数是增函数，排除选项A，D，故选：C．判断函数的奇偶性，排除选项，通过函数的导数，判断函数的单调性，然后判断函数的图象即可．本题考查函数的导数的应用，函数的图象的判断，是中档题．10.【答案】B【解析】解：由题意，100对都小于1的正实数对（x，y）满足，其表示图形的面积为1．两个数能与1构成钝角三角形的数对（x，y）满足x2+y2-1＜0，且，x+y＞1，则不等式组表示图形的面积为-．则：．解得．故选：B．两个数能与1构成钝角三角形的数对（x，y）满足x2+y2-1＜0，且，x+y＞1，从而不等式组表示图形的面积为-．由此能估计π的值．本题考查几何概型，古典概型等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．11.【答案】D【解析】解：∵；∴；∴；∴；∴，且；∴=；又；∴与的夹角是：．故选：D．根据即可得出，从而得出，，从而可求出，根据向量夹角的范围即可求出与的夹角．考查向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，以及向量夹角的范围．12.【答案】C【解析】解：抛物线C：y2=4x焦点F（1，0），设A（x1，y1），y1＞0，B（x2，y2）．直线方程为：y=（x-1），联立，化为：y2-3y-4=0，解得y1=4，y2=-1．∵，∴4=-λ×（-1），解得λ=4．故选：C．抛物线C：y2=4x焦点F（1，0），设A（x1，y1），y1＞0，B（x2，y2）．直线方程为：y=（x-1），与抛物线方程联立解出坐标，再根据，利用向量坐标相等得出．本题考查了抛物线的标准方程及其性质、向量相等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：（x-1）（ax+1）6中，（ax+1）6中x2的系数为：，x项的系数为：，（x-1）（ax+1）6展开式中含x2项的系数为0，可得：-+=0，则15a=6，所以a=，故答案为：．求出（ax+1）6展开式中含x2项的系数以及x项的系数，然后利用已知条件，列出方程求得a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．14.【答案】【解析】解：正方体的棱长为1，则该正方体外接球的半径：=．故答案为：．利用已知条件，直接求出正方体的外接球的半径即可．本题考查正方体的棱长与外接球的半径的关系，是基本知识的考查．15.【答案】【解析】解：∵△ABC的面积为=acsinB，b2=acsin2B，∴由正弦定理可得：sin2B=sinAsinCsin2B，∴可得：sinAsinC=，∵6cosA•cosC=1，可得：cosAcosC=，∴cos∠ABC=cos[π-（A+C）]=-cos（A+C）=sinAsinC-cosAcosC=-=，∵∠ABC（0，π），∴∠ABC=．故答案为：．由已知利用三角形的面积公式，正弦定理可求sinAsinC=，又由6cosA•cosC=1，可得cosAcosC=，根据三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式可求cos∠ABC的值，结合范围∠ABC（0，π），即可得解∠ABC=．本题主要考查了三角形的面积公式，正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.【答案】-1【解析】解：设切点的横坐标为x0，f′（x）=1--==1⇒x0=-⇒-a=，则有：f（x0）=x0+-alnx0=x0+1⇒lnx0-x0+1=0，令h（x）=lnx-x+1⇒h′（x）=-1=0⇒x=1，则h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，又因为h（1）=0，所以x0=1⇒a=-1；故答案为：-1．设切点的横坐标为x0，求出导函数，利用直线y=x+1与曲线y=f（x）相切，转化求解切点横坐标以及a的值即可．本题考查函数的导数的应用，函数的切线方程的求法．考查转化思想以及计算能力．17.【答案】解：数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2．当n=1时，a1=S1=1，当n≥2时，=2n-1（首项符合通项），故：a n=2n-1．（2）由于a n=2n-1，所以：b n=（）=，则：，所以：数列{b n}是以首项为，公比为的等比数列．故：．【解析】（1）首先求出数列的通项公式，（2）利用（1）的通项，进一步求出数列的通项公式，进一步求出数列的和本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】解：（1）由频率分布直方图的性质得：，解得b=0.5，a=1．（2）在[4.9，5.1）中，共有15人，其中5人不低于5.0，在这15人中，抽取3人，在[5.1，5.3]中共有5人，抽取1人，随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，E（ξ）==2．【解析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出a，b．（2）在[4.9，5.1）中，共有15人，其中5人不低于5.0，在这15人中，抽取3人，在[5.1，5.3]中共有5人，抽取1人，随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．本题考查频率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：（1）依题意F1（-c，0），∴=-c2+3=0，即c=∵e==，∴a=2，∴b2=a2-c2=1，∴椭圆C的方程为+y2=1，（2）设直线l的方程为y=k（x-），M（x1，y1），N（x2，y2），由，得（1+4k2）x2+8k2x+4（3k2-1）=0，则x1+x2=，x1x2=，∵k1，k，k2成等比数列，∴k1•k2=k2==，则（x1+x2）=3，即=，解得k2=故k1•k2=．【解析】（1）依题意F1（-c，0），由=-c2+3=0，即c=，根据离心率求出a，即可求出b，可得椭圆方程（2）设直线l的方程为y=k（x-），M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，转化求解即可．本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查了椭圆的简单性质，直线的斜率，等比数列的性质，属于中档题．20.【答案】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设|PA|=h，∴P（0，0，h），B（1，0，0），D（0，2，0），C（1，2，0），F（1，1，0），E（，0，0），∴，，，，，，∴，则PF⊥FD；（2）解：∵PA⊥底面ABCD，∴PB在底面ABCD的投影为BA，∴∠PBA为PB与平面ABCD所成角，即∠PBA=45°，∴△PBA为等腰直角三角形，则|AP|=|AB|=1，即h=1．∴平面PFD的法向量为，，，平面APD为yOz平面，∴平面APD的法向量为，，，设二面角A-PD-F的平面角为θ，可知θ为锐角，∴cosθ=|cos＜，＞|=；（3）解：如图，延长DF，AB交于G，连接PG，则PG即为所求直线l．【解析】（1）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设|PA|=h，分别求出P，B，D，C，F，E的坐标，然后证明，则PF⊥FD；（2）由PA⊥底面ABCD，可得PB在底面ABCD的投影为BA，得到∠PBA为PB与平面ABCD所成角，由此求得平面PFD的法向量为，平面APD为yOz平面，可得平面APD的法向量为，由两法向量所成角的余弦值可得而面角A-PD-F的余弦值；（3）延长DF，AB交于G，连接PG，则PG即为所求直线l．本题考查空间中的直线与直线，直线与平面的位置关系，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．21.【答案】解：（1）f′（x）=-a-，（x＞0），f′（1）=1-a-1=0，故a=0，（2）f′（x）=，方程-ax2+x-1=0的判别式△=1-4a，①当a≥时，△≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）递减，②当0＜a＜时，方程-ax2+x-1=0的根为x=，且x1=＞0，x2=＞0，故f（x）在（0，x1）递减，在（x1，x2）递增，在（x2，+∞）递减，③当a=0时，f′（x）=，f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，④当a＜0时，方程-ax2+x-1=0的根为x=，且x1=＞0，x2=＜0，故f（x）在（0，x1）递减，在（x1，+∞）递增；（3）在（1）的条件下f（x）≤xe x-x+-1，xe x-ln x-x-1≥0，g′（x）=（x+1）e x--1，令h（x）=（x+1）e x--1，h′（x）=（x+2）e x+＞0，（x＞0），故h（x）在（0，+∞）递增，又h（）＜0，h（e）＞0，故x0（，e），使得h（x0）=0，即x0=1，g（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，故g（x）min=g（x0）=x0-ln-x0-1=0，故f（x））≤xe x-x+-1．【解析】（1）求出函数的导数，计算f′（1）=0，得到关于a的方程，解出即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（3）求出函数的导数，令h（x）=（x+1）e x--1，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：（1）直线l的极坐标方程为θ=，（ρR）；曲线C1的普通方程为+y2=1；曲线C2的普通方程为（x-3）2+（y-2）2=13．（2）曲线C1的极坐标方程为ρ2=，曲线C2的极坐标方程为：ρ=6cosθ+4sinθ，∴|OM|=6cos+4sin=5，|ON|==，可得|MN|=|ON|-|OM|=5-=．【解析】（1）直线l的极坐标方程为θ=，（ρR）；利用sin2α+cos2α=1可得C1和C2的普通方程；（2）将C1，C2化成极坐标方程后将θ=代入可求得|OM|，|ON|，再相加．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）|x+1|-|2x-4|＞2，等价为或或，可得x ∅或＜x≤2或2＜x＜3，即为＜x＜3，则原不等式的解集为（，3）；（2）关于x的不等式f（x）＞t2+2t解集非空，可得t2+2t＜f（x）max，由f（x）=|x+1|-|x-2|-|x-2|≤|x+1-x+2|-0=3，当且仅当x=2时取得最大值2，可得t2+2t＜3，解得-3＜t＜1．【解析】（1）运用分类讨论解不等式即可得到所求解集；（2）由题意可得t2+2t＜f（x）max，由绝对值不等式的性质可得f（x）的最大值，解不等式可得所求范围．本题考查不等式的解法和不等式有解的运用，考查运算能力，属于基础题．。
辽南协作体2019届高三下学期第一次模拟考试数学理科试卷附答案解析
辽南协作体 2019 届高三下学期第一次模拟考试 数学（理）试题
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1.已知 i 是虚数单位，复数 z = A. z 的虚部为− i
1−i |i|
，下列说法正确的是(
)
B. z 对应的点在第一象限
3 1
)
A. 2 B. 3 C.
2
D.
3
9.函数 f(x) = e|x| − 2|x| − 1 的图象大致为
2
辽南协作体 2019 届高三下学期第一次模拟考试数学理科试卷附答案解析
A.
B.
C.
D.
10.关于圆周率，数学发展史上出现过许多银有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们 也可以通过设计下面的实验来估计π的值：第一步，请 n 名学生，每个学生随机写下一个都小于 1 的正实数 m = 31， 对(x,y)； 第二步， 统计两数能与 1 构成纯角三角形边的数对(x,y)的个数 m； 第三步， 估计π的值.若 n = 100， 则估计π的值( A.
a x2 y2 b2 1
= 1(a > b > 0)的离心率为 ，F1 ，F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点，点 P(
2
3
2 6 3
,
3 3
)满足PF1 ⋅
PF2 = 0． (1)求椭圆 C 的方程； (2)直线 1 经过椭圆 C 的右焦点与椭圆相交于 M，N 两点，设 O 为坐标原点，直线 OM，直线 l，直线 ON 的斜 分别为k1 ，k，k2 ，且k1 ，k，k2 成等比数列，求k1 ⋅ k2 的值． 20.已知在四棱 P − ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，且 AD = 2，AB = 1，PA ⊥平面 ABCD，F 是线段 BC 的中 点．
2019届辽宁省辽南协作体高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题
2019届辽宁省辽南协作体高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知i是虚数单位，复数，下列说法正确的是A．z的虚部为B．z对应的点在第一象限C．z的实部为D．z的共复数为【答案】D【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．【详解】解：，的虚部为；z对应的点的坐标为，在第四象限；z的实部为1；z的共复数为．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．若集合，，且则实数b的范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】根据即可得出，从而得出．【详解】解：，，．故选：D．【点睛】考查描述法的定义，交集的定义及运算，子集的定义．属于基础题3．已知正方体，则异面直线与所成角为A．B．C．D．【答案】C【解析】由异面直线角的作法得：连接BD，，因为，故或其补角为异面直线与所成角，由解三角形得：在中，设，则，，即，得解．【详解】解：连接BD，，因为，故或其补角为异面直线与所成角，在中，设，则，，即，故选：C．【点睛】本题考查了异面直线角的作法及解三角形，属中档题．4．下列判断错误的是A．“”是””的充分不必要条件B．若为真命题，则p，q均为假命题C．命题“，”的否定是“，“D．若随机变量服从正态分布，，则【答案】A【解析】A.利用充分条件和必要条件的定义进行判断.B.根据复合命题真假关系进行判断.C.根据全称命题的否定是特称命题进行判断.D.根据正态分布的性质进行判断【详解】解：当时，若“”，则””不成立，即充分性不成立，故A 错误，B.若为真命题，则为假命题，则p，q都是假命题，故B正确，C.命题“，”的否定是“，“正确，故C正确，D.若随机变量服从正态分布，，则，故D正确，故错误的是A，故选：A．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及充分条件和必要条件的判断，复合命题真假关系，含有量词的命题的否定以及正态分布，综合性较强，难度不大．5．已知，，则的值为A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知求得，再由倍角公式求解的值．【详解】解：由，，得，．故选：C．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题．6．将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，到的函数是奇函数则下列结论正确的是A．t的最小值是，的对称中心为是，B．t的最小值为，的对称轴为，C．t的最小值为，的单调增区间为，D．t的最小值为，的周期为【答案】D【解析】首先利用三角函数关系式的恒等变变换，把函数的图象进行平移变换，利用奇函数的性质，求出t的最小值，进一步求出函数的最小正周期．【详解】解：函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到，由于函数是奇函数．所以：，解得：，由于，所以：当时，t的最小值为，且函数的最小正周期为．故选：D．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为42，则判断框中的条件可以是A．？B．？C．？D．？【答案】D【解析】根据程序框图进行模拟运算即可得到结论．【详解】解：第一次，，，不满足条件，第二次，，，不满足条件，第三次，，，不满足条件，第四次，，，不满足条件，第五次，，，不满足条件，第六次，，，满足条件．输出，即满足条件，不满足条件．则条件应该为？，故选：D．【点睛】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件利用模拟运算法是解决本题的关键．8．设，是双曲线C：的两个焦点，P是C上一点，若，且的最小内角的正弦值为，则C的离心率为A．2 B．3 C．D．【解析】利用双曲线的定义求出，，，然后利用最小内角的正弦值为，其余弦值为，结合余弦定理，求出双曲线的离心率．【详解】解：因为、是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足，不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知，所以，，，的最小内角的正弦值为，其余弦值为，由余弦定理，可得，即，，即，所以．故选：C．【点睛】本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力，属于中档题．9．函数的图象大致为A．B．C．D．【答案】C【解析】根据函数的奇偶性，排除选项，通过函数的导数，判断函数的单调性，可排除选项，从而可得结果.函数是偶函数，排除选项；当时，函数，可得，当时，，函数是减涵数，当时，函数是增函数，排除项选项，故选C.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象10．关于圆周率，数学发展史上出现过许多银有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：第一步，请n名学生，每个学生随机写下一个都小于1的正实数对；第二步，统计两数能与1构成纯角三角形边的数对的个数m；第三步，估计的值若，，则估计的值A．B．C．D．【答案】B【解析】两个数能与1构成钝角三角形的数对满足，且，，从而不等式组表示图形的面积为由此能估计的值．【详解】解：由题意，100对都小于1的正实数对满足，其表示图形的面积为1．两个数能与1构成钝角三角形的数对满足，且，，则不等式组表示图形的面积为．则：解得．故选：B．【点睛】本题考查几何概型，古典概型等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．11．若两个非零向量，满足，则向量与的夹角是A．B．C．D．【答案】D【解析】根据即可得出，从而得出，，从而可求出，根据向量夹角的范围即可求出与的夹角．【详解】解：；；；；，且；；又；与的夹角是：．故选：D．【点睛】考查向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，以及向量夹角的范围．12．斜率为且过抛物线C：焦点的直线交抛物线C于A、B两点，若，则实数为A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】抛物线C：焦点，设，，直线方程为：，与抛物线方程联立解出坐标，再根据，利用向量坐标相等得出．【详解】 解：抛物线C ：焦点，设，，直线方程为：，联立，化为：，解得，．，，解得．故选：C ． 【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、向量相等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题13．已知()()611x ax -+展开式中含2x 项的系数为0，则正实数a =________. 【答案】25【解析】()61ax + 展开式的通项公式()6662166rrr r r r T C ax C a x x ---+==⇒ 的系数为54266C a C a - 2261505a a a =-=⇒=. 14．已知正方体的棱长为1，则该正方体外接球的体积为 ． 【答案】π23 【解析】试题分析：正方体的外接球球心为正方体中心，球的直径为体对角线33343232R V R ππ∴=∴== 【考点】正方体外接球问题15．的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且的面积为，若，，则______．【答案】【解析】由已知利用三角形的面积公式，正弦定理可求，又由，可得，根据三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式可求的值，结合范围，即可得解．【详解】解：的面积为，，由正弦定理可得：，可得：，，可得：，，，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16．若直线是曲线的切线，则a的值是______．【答案】【解析】设切点的横坐标为，求出导函数，利用直线与曲线相切，转化求解切点横坐标以及a的值即可．【详解】解：设切点的横坐标为，，则有：，令，则在上单调递增，在上单调递减，又因为，所以；故答案为：．【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的切线方程的求法考查转化思想以及计算能力．三、解答题17．已知数列的前n项和为，且．求数列的通项公式；设，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）.【解析】首先求出数列的通项公式.利用的通项，进一步求出数列的通项公式，进一步求出数列的和.【详解】解：数列的前n项和为，且．当时，，当时，首项符合通项，故：．由于，所以：，则：，所以：数列是以首项为，公比为的等比数列．故：．【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18．从某校高三年中随机抽取100名学生，对其眼视力情况进行统计两眼视力不同，取较低者统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知从这100人中随机抽取1人，其视力在的概率为．求a，b的值；若高校A专业的报考资格为：任何一眼裸眼视力不低于，高校B专业的报考资格为：任何一眼裸眼视力不低于，已知在中有的学生裸眼视力不低于．现用分层抽样的方法从和中抽取4名同学，4人中有资格仅考虑视力考B专业的人数为随机变量，求的分布列及数学期望．【答案】（1），；（2）详见解析.【解析】由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出a，b．在中，共有15人，其中5人不低于，在这15人中，抽取3人，在中共有5人，抽取1人，随机变量的可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和．【详解】解：由频率分布直方图的性质得：，解得，．在中，共有15人，其中5人不低于，在这15人中，抽取3人，在中共有5人，抽取1人，随机变量的可能取值为1，2，3，4，，，，，的分布列为：1 2 3 4P．【点睛】本题考查频率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．已知椭圆C：的离心率为，，分别为椭圆C的左、右焦点，点满足．求椭圆C的方程；直线1经过椭圆C的右焦点与椭圆相交于M，N两点，设O为坐标原点，直线OM，直线l，直线ON的斜分别为，k，，且，k，成等比数列，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】依题意，由，即，根据离心率求出a，即可求出b，可得椭圆方程设直线l的方程为，，，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，转化求解即可．【详解】解：依题意，，即，，，椭圆C的方程为，设直线l的方程为，，，由，得，则，，，k，成等比数列，，则，即，解得故．【点睛】本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查了椭圆的简单性质，直线的斜率，等比数列的性质，属于中档题．20．已知在四棱中，底面ABCD是矩形，且，，平面ABCD，F是线段BC的中点．求证：；若直线PB与平面ABCD所成的角为，求二面角的余弦值；画出平面PAB与平面PDF的交线不写画法【答案】（1）详见解析；（2）；（3）详见解析.【解析】以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，分别求出P，B，D，C，F，E的坐标，然后证明，则；由底面ABCD，可得PB在底面ABCD的投影为BA，得到为PB与平面ABCD所成角，由此求得平面PFD的法向量为，平面APD为yOz平面，可得平面APD的法向量为，由两法向量所成角的余弦值可得而面角的余弦值；延长DF，AB交于G，连接PG，则PG即为所求直线l．【详解】证明：平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，0，，0，，2，，2，，1，，0，，，，，则；解：底面ABCD，在底面ABCD的投影为BA，为PB与平面ABCD所成角，即，为等腰直角三角形，则，即．平面PFD的法向量为，平面APD为yOz平面，平面APD的法向量为，设二面角的平面角为，可知为锐角，；解：如图，延长DF，AB交于G，连接PG，则PG即为所求直线l．【点睛】本题考查空间中的直线与直线，直线与平面的位置关系，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．21．已知函数．若1是函数的一个极值点，求实数a的值；讨论函数的单调性；在的条件下证明：．【答案】（1）0；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】求出函数的导数，计算，得到关于a的方程，解出即可；求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；求出函数的导数，令，根据函数的单调性证明即可．【详解】解：，，，故，，方程的判别式，当时，，，在递减，当时，方程的根为，且，，故在递减，在递增，在递减，当时，，在递减，在递增，当时，方程的根为，且，，故在递减，在递增；在的条件下，，，令，，，故在递增，又，，故，使得，即，在递减，在递增，故，故．【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22．在平面直角坐标系中，直线l过原点且倾斜角为；曲线的参数方程为参数；曲线的参数方程为为参数．求直线1的极坐标方程，曲线和曲线的普通方程；若直线1与曲线和曲线在第一象限的交点分别为M、N，求M、N之间的距离．【答案】（1）直线l的极坐标方程为，；曲线的普通方程为；曲线的普通方程为；（2）.【解析】直线l的极坐标方程为，；利用可得和的普通方程；将，化成极坐标方程后将代入可求得，，再相加．【详解】解：直线l的极坐标方程为，；曲线的普通方程为；曲线的普通方程为．曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为：，，，可得．【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查两点距离的求法，属中档题．23．设函数．求不等式的解集；若关于x的不等式解集非空，求实数t的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】运用分类讨论解不等式即可得到所求解集；由题意可得，由绝对值不等式的性质可得的最大值，解不等式可得所求范围．【详解】解：，等价为或或，可得或或，即为，则原不等式的解集为；关于x的不等式解集非空，可得，由，当且仅当时取得最大值2，可得，解得．【点睛】本题考查不等式的解法和不等式有解的运用，考查运算能力，属于基础题．。
2019届辽宁省大连市高三第一次模拟考试数学(理)试卷及解析
2019届辽宁省大连市高三第一次模拟考试
数学（理）试卷
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选项，仅有一个选项正确.）
1.已知集合，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题得B=(-1,2)，再求A∩B.
【详解】由题得B=(-1,2)，所以.
故选：D
2.若的实部与虚部相等，则实数a的值为（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
先化简已知得，所以，解之即得a的值.
【详解】由题得，
所以.
故选：A
3.下列各点中，可以作为函数图象的对称中心的是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
化简函数，利用对称性的特点进行验证即可.
【详解】，
当时，，故A适合题意，
故选：A
4.执行如图所示的程序框图，如果输入N=4，则输出p为（）
A. 6
B. 24
C. 120
D. 720 【答案】B
【解析】
【分析】
直接模拟程序框图运行.
【详解】由题得p=1,1＜4，k=2,p=2,2＜4,k=3,p=6,3＜4，k=4,p=24,4=4,p=24. 故选：B
5.已知等差数列的前项和为，且，，则（）
A. 0
B. 10
C. 15
D. 30
【答案】C
【解析】
【分析】
由题得再利用等差数列的前n项和求.。
辽宁省辽阳市2019届高三下学期一模考试数学试题(理)(解析版)
辽宁省辽阳市2019届高三下学期一模考试数学试题（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z 1，z 满足z 1＝﹣1﹣i ，z 1z ＝4，则复数z 在复平面内对应点的坐标为（ ） A. （2，﹣2） B. （﹣2，2）C. （2，2）D. （﹣2，﹣2）『答案』D『解析』由z 1＝﹣1﹣i ，z 1z ＝4，得z()()()1414422111i i z i i i -+====-+-----+，∴22z i =--．则复数z 在复平面内对应点的坐标为（﹣2，﹣2）． 故选：D ．2.设全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lg x }，B ＝{x |﹣7＜2+3x ＜5}，则∁U （A ∪B ）＝（ ） A. {x |0＜x ＜1} B . {x |x ≤0或x ≥1} C. {x |x ≤﹣3} D. {x |x ＞﹣3}『答案』C『解析』A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |﹣3＜x ＜1}； ∴A ∪B ＝{x |x ＞﹣3}； ∴∁U （A ∪B ）＝{x |x ≤﹣3}． 故选：C ．3.已知α∈（22ππ-，），tan α＝sin76°cos46°﹣cos76°sin46°，则sin α＝（ ）A.B.-C. D.『答案』A『解析』由tan α＝sin76°cos46°﹣cos76°sin46°＝sin （76°﹣46°）＝sin30°12=，且α∈（22ππ-，），∴α∈（0，2π），联立22121sincossin cosαααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得sinα=．故选：A．4.函数f（x）2x xe e-=+的图象大致为（）A. B.C. D. 『答案』C『解析』由题意，函数满足()()x-xf x f xe e-==-=-+，即()f x是奇函数，图象关于原点对称，排除B，又由当yFEAE=-22时，()f x0>恒成立，排除A，D，故选：C．5.如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB和A1D1的中点分别为E，F，AB＝6，AD＝8，AA1＝7，则异面直线EF与AA1所成角的正切值为（）A. 57 B.75C.D. 74『答案』A『解析』取A1B1中点G，连接EG，FG，EG⊥FG，因为EG∥AA1，所以异面直线EF与AA1所成角为∠FEG或其补角，在△EFG 中，FG ＝5，EG ＝7，所以tan ∠FEG 57=，故选：A ．6.已知直线l ：34150x y --=与圆C ：2222450(0)x y x y r r +--+-=>相交于A ，B 两点，若6AB =，则圆C 的标准方程为（ ）A. 22(1)(2)25x y -+-=B.22(1)(2)36x y -+-= C. 22(1)(2)16x y -+-= D.22(1)(2)49x y -+-= 『答案』A『解析』圆C ：2222450x y x y r+--+-=可化为()()22212x y r -+-=，设圆心()1,2到直线l 的距离为d ，则381545d --==，又6AB =，根据2223425r =+=，所以圆C 的标准方程为()()221225x y -+-=.故选：A7.某市体育局将从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加全省100米仰泳比赛，现将他们最近集训的10次成绩(单位：秒)的平均数与方差制成表格如下：根据表中的数据，应选哪位选手参加全省的比赛（ ） A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁『答案』D『解析』100米仰泳比赛的成绩是时间越短越好的，方差越小发挥水平越稳定，故丁是最佳人选.故选D8.已知(,1)12P π，5(,1)12Q π-分别是函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><图象上相邻的最高点和最低点，则ωϕ=（ ）A. 2πB.54±C. 43π- D. 34π『答案』D『解析』因为5221212T πππω⎛⎫⨯-==⎪⎝⎭，所以3ω=， 把,112P π⎛⎫ ⎪⎝⎭的坐标代入方程()sin 3y x ϕ=+，得()24k k Z πϕπ=+∈，因2πϕ<，所以4πϕ=，34πωϕ=.故选：D 9.ABC∆的内角,,A B C的对边分别为,,a b c，若22(sin sin )sin ()3sin sin B C B C B C +-+=，且2a =，则ABC ∆的面积的最大值是（ ）A. B.3C. D. 4『答案』B 『解析』()sin sin B C A+=，且()()22sin sin sin 3sin sin B C B C B C+-+=，222sin sin sin sin sin B C A B C ∴+-=，由正弦定理可得222a b c bc +-=，由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==，sin 2A =，又222,42a b c bc bc bc bc =∴=+-≥-=，即4bc ≤，11sin 422ABC S bc A ∆∴=⨯≤⨯=即ABC ∆，故选B.10.已知函数f （x ）为R 上的奇函数，当x ＜0时，()122x f x =-，则xf （x ）≥0的解集为（ ）A. 『﹣1，0）∪『1，+∞）B. （﹣∞，﹣1』∪『1，+∞）C. 『﹣1，0』∪『1，+∞）D. （﹣∞，﹣1』∪{0}∪『1，+∞）『答案』D『解析』0x <时，()122x f x =-，()10f ∴-=，且在(),0-∞上递增，又()f x 是定义在R 上的奇函数，()()()00,110f f f ∴==--=，且()f x 在()0,∞+上递增，()0xf x ≥等价于0x =或()()001x f x f >⎧⎨≥=⎩或()()001x f x f <⎧⎨≤=-⎩，解得0x =或1x ≥或1-≤x ， 即()0xf x ≥解集为(]{}[),101,+-∞-⋃⋃∞，故选D.11.已知球的半径为4，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为2．若球心到这两个平面的距离相等，则这两个圆的半径之和为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 10 『答案』B『解析』如下图所示，设两圆的圆心为O 1、O 2，球心为O ，公共弦为AB ，中点为E ，因为圆心到这两个平面的距离相等，则OO 1EO 2为正方形，两圆半径相等，设两圆半径为r，1OO =，OE =又|OE |2+|AE |2＝|OA |2，即32﹣2r 2+2＝16，则r 2＝9，r ＝3，所以，这两个圆的半径之和为6， 故选：B ．12.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当21PF ⋅取得最小值和最大值时，21F PF ∆的面积分别为1S ，2S ，则=12S S （ ）A. 4B. 8C.D. 『答案』A『解析』由2ce a ==，得2,c a b ==则，故线段MN所在直线的方程为)y x a =+，又点P 在线段MN 上，可设()P m ，其中[],0m a ∈-，由于()()12,0,,0F c F c -，即()()122,0,2,0F a F a -，得()()122,33,2,PF a m m a PF a m =----=-，所以221246PF PF m ma a ⋅=+-22313444m a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．由于[],0m a ∈-，可知当34m a =-时，12PF PF ⋅取得最小值，此时P y =，当0m =时，12PFPF ⋅取得最大值，此时P y ，则214S S ==．故选A.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.在正方形ABCD 中，E 为线段AD 的中点，若EC AD AB λμ=+，则λμ+=_______．『答案』23『解析』因为12EC ED DC AD AB =+=+，所以13122λμ+=+=. 故答案为：3214.已知实数x ，y 满足123321142y x y x y x ⎧≥-+⎪⎪≤--⎨⎪⎪≤+⎩，则目标函数43z x y =-的最小值为_____．『答案』﹣22『解析』画出约束条件123321142y x y x y x ⎧≥-+⎪⎪≤--⎨⎪⎪≤+⎩表示的平面区域如图所示，由图形知，当目标函数z ＝4x ﹣3y 过点A 时取得最小值，由1233142y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得A （﹣4，2），代入计算z ＝4×（﹣4）﹣3×2＝﹣22， 所以z ＝4x ﹣3y 的最小值为﹣22． 故答案为：﹣22．15.已知函数1()11f x x a x =++-+的图象是以点)1,1(--为中心的中心对称图形，2()x g x e ax bx =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与曲线()y g x =在点(0,(0))g 处的切线互相垂直，则a b +=__________．『答案』43-『解析』由()()022f f +-=-，得11121242a a a +---+-=-=-，解得1a =，所以()11f x x x =++.又()()21'11f x x =-++，所以()3'14f =.因为()2x g x e x bx =++，()'2x g x e x b =++，()'01g b=+，由()3114b +=-，得413b +=-，即43a b +=-. 故答案为：43-16.用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为__________．『答案』165『解析』5个格子用0与1两个数字随机填入共有5232=种不同方法，从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数包含的基本事件有：①全是1，有1种方法；②第一个格子是1，另外4个格子有一个0，有4种方法；③第一个格子是1，另外4个格子有2个0，有5种方法，所以共有14510++=种基本方法，那么概率1053216P ==.故答案为：516三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 17.已知数列{a n }为等差数列，a 7﹣a 2＝10，且a 1，a 6，a 21依次成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n11n n a a +=，数列{b n }的前n 项和为S n ，若S n225=，求n 的值．解：（1）设数列{a n }为公差为d 的等差数列， a 7﹣a 2＝10，即5d ＝10，即d ＝2， a 1，a 6，a 21依次成等比数列，可得 a 62＝a 1a 21，即（a 1+10）2＝a 1（a 1+40）， 解得a 1＝5，则a n ＝5+2（n ﹣1）＝2n +3；（2）b n()()111123252n n a a n n +===++（112325n n -++）， 即有前n 项和为S n12=（11111157792325n n -+-++-++）12=（11525n -+）()525n n =+，由S n225=，可得5n ＝4n +10，解得n ＝10．18.2018年9月，台风“山竹”在我国多个省市登陆，造成直接经济损失达52亿元.某青年志愿者组织调查了某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的数据分成[0,2000]，(2000,4000]，(4000,6000]，(6000,8000]，(8000,10000]（单位：五组：元），得到如图所示的频率分布直方图.（1）试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这50户并且损失超过4000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶，设抽出损失超过8000元的农户数为X，求X的分布列和数学期望.解：（1）记每个农户的平均损失为元，则10000.330000.4⨯+⨯+⨯=；x=⨯+⨯+50000.1870000.0690000.063360（2）由频率分布直方图，可得损失超过1000元的农户共有（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50＝15（户），损失超过8000元的农户共有0.00003×2000×50＝3（户），随机抽取2户，则X的可能取值为0，1，2；计算P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，所以X的分布列为；数学期望为E （X ）＝0×+1×+2×＝．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，PB PC =，E 为线段BC 的中点，F 为线段PA 上的一点.（1）证明：平面PAE ⊥平面BCP .（2）若2PA AB PB ==，二面角A BD F --的余弦值为35，求PD 与平面BDF 所成角的正弦值.（1）证明：连接AC ，因为PB PC =，E 为线段BC 的中点， 所以PE BC ⊥.又AB BC =，60ABC ∠=︒，所以ABC ∆为等边三角形，BC AE ⊥. 因为AE PE E ⋂=，所以BC ⊥平面PAE ， 又BC ⊂平面BCP ，所以平面PAE ⊥平面BCP . （2）解：设AB PA a ==，则PB PC ==，因为222PA AB PB +=，所以PA AB ⊥，同理可证PA AC ⊥，所以PA ⊥平面ABCD .如图，设AC BD O ⋂=，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -.易知FOA ∠为二面角A BD F --的平面角，所以3cos 5FOA ∠=，从而4tan 3FOA ∠=.由432AF a =，得23AF a =. 又由20,,23a a F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,0,0B ⎫⎪⎪⎝⎭，知2,23a a BF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，20,,23a a OF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 设平面BDF 的法向量为(),,n x y z =，由n BF ⊥，nOF ⊥，得20232023a ax y z a a y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，不妨设3z =，得()0,4,3n =.又0,,2a P a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,0,0D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以,2a PD a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭. 设PD 与平面BDF 所成角为θ，则sin 105n PD n PDθ⋅===.所以PD 与平面BDF 所成角的正弦值为10.20.设D 是圆O ：x2+y 2＝16上的任意一点，m 是过点D 且与x 轴垂直的直线，E 是直线m 与x 轴的交点，点Q 在直线m 上，且满足2|EQ |=ED |．当点D 在圆O 上运动时，记点Q 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程．（2）已知点P （2，3），过F （2，0）的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，交直线x ＝8于点M ．判定直线P A ，PM ，PB 的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由． 解：（1）设Q （x ，y ），D （x 0，y 0），∵2|EQ |=ED |，Q 在直线m 上，∴x 0＝x ，|y 0|＝||．①∵点D 在圆x 2+y 2＝16上运动， ∴x 02+y 02＝16，将①式代入②式即得曲线C 的方程为x 243+y 2＝16，即221612x y +=1，（2）直线P A ，PM ，PB 的斜率成等差数列，证明如下： 由（1）知椭圆C ：3x 2+4y 2＝48， 直线l 的方程为y ＝k （x ﹣2），代入椭圆方程并整理，得（3+4k 2）x 2﹣16k 2x +16k 2﹣48＝0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线P A ，PM ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则有x 1+x 2221634k k =+，x 1x 222164834k k -=+， 可知M 的坐标为（8，6k ）．∴k 1+k 3()()121212122323332222k x k x y y x x x x ------=+=+----＝2k ﹣3•()121212442x x x x x x +-=+-+2k ﹣3•1236-=-2k ﹣1，2k 2＝2•6382k -=-2k ﹣1．∴k 1+k 3＝2k 2．故直线P A ，PM ，PB 斜率成等差数列． 21.已知函数()ln f x x x =.（1）若函数2()1()f x g x x x =-，求()g x 的极值；（2）证明：2()1x f x e x +<-.（参考数据：ln20.69≈ ln3 1.10≈ 324.48e ≈ 27.39e ≈）解：（1）()()21ln 1(0)f x x g x x x x x x =-=->，()22ln 'xg x x -=，当122=+y x ，()'0g x >，当()2,x e ∈+∞，()'0g x <，g x在()20,e 上递增，在()2,e +∞上递减，g x在2x e =取得极大值，极大值为21e ，无极大值.（2）要证f （x ）+1＜e x ﹣x 2． 即证e x ﹣x 2﹣x ln x ﹣1＞0，先证明ln x ≤x ﹣1，取h （x ）＝ln x ﹣x +1，则h ′（x ）＝，易知h （x ）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，故h （x ）≤h （1）＝0，即ln x ≤x ﹣1，当且仅当x ＝1时取“＝”， 故x ln x ≤x （x ﹣1），e x ﹣x 2﹣x ln x ≥e x ﹣2x 2+x ﹣1， 故只需证明当x ＞0时，e x ﹣2x 2+x ﹣1＞0恒成立， 令k （x ）＝e x ﹣2x 2+x ﹣1，（x ≥0），则k ′（x ）＝e x ﹣4x +1，令F （x ）＝k ′（x ），则F ′（x ）＝e x ﹣4，令F ′（x ）＝0，解得：x ＝2ln2，∵F ′（x ）递增，故x ∈（0，2ln2』时，F ′（x ）≤0，F （x ）递减，即k ′（x ）递减， x ∈（2ln2，+∞）时，F ′（x ）＞0，F （x ）递增，即k ′（x ）递增， 且k ′（2ln2）＝5﹣8ln2＜0，k ′（0）＝2＞0，k ′（2）＝e 2﹣8+1＞0，由零点存在定理，可知∃x 1∈（0，2ln2），∃x 2∈（2ln2，2），使得k ′（x 1）＝k ′（x 2）＝0， 故0＜x ＜x 1或x ＞x 2时，k ′（x ）＞0，k （x ）递增，当x 1＜x ＜x 2时，k ′（x ）＜0，k （x ）递减，故k （x ）的最小值是k （0）＝0或k （x 2），由k ′（x 2）＝0，得＝4x 2﹣1，k （x 2）＝﹣2+x 2﹣1＝﹣（x 2﹣2）（2x 2﹣1），∵x 2∈（2ln2，2），∴k （x 2）＞0，故x ＞0时，k （x ）＞0，原不等式成立．22.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：2x tcos y tsin θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数），C 2：244x m y m ⎧=⎨=⎩（m 为参数）．（1）将C 1，C 2的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）设曲线C 1与C 2的交点分别为A ，B ，O 为坐标原点，求△OAB 的面积的最小值．解：（1）由C1：2x tcosy tsinθθ=+⎧⎨=⎩（t为参数）消去t得C1：cosθy＝sinθ（x﹣2），得sinθx-cosθy-2sinθ=0,由C2：244x my m⎧=⎨=⎩（m为参数）消去m得C2：y2＝4x，（2）联立()224ycos x siny xθθ⎧=-⎨=⎩消去x得y2sinθ﹣4y cosθ﹣8sinθ＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y24cossinθθ=，y1y2＝﹣8，又C1与x轴的交点（2，0）∴S△OAB＝122=⨯⨯|y1﹣y2|==＝=所以sinθ＝1时，S OAB取得最小值．23.已知函数f（x）＝|ax﹣1|﹣|2x+a|的图象如图所示．（1）求a的值；（2）设g（x）＝f（x12+）+f（x﹣1），g（x）最大值为t，若正数m，n满足m+n＝t，证明：49256m n+≥．（1）解：由()01f=-，得11a-=-，即2a=±.由()13f-=，得123a a+--=，所以2a=.（2）证明：由（1）知()2122f x x x=--+，的所以()()1123232g x f x f x x x⎛⎫=++-=--+⎪⎝⎭36,2334,2236,2xx xx⎧≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪⎪->⎪⎩，显然()g x的最大值为6，即6t=.因为6(0,0) m n m n+=>>，所以()491491491366n mm nm n m n m n⎛⎫⎛⎫+=++=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为4912n mm n+≥=（当且仅当125m=，185n=时取等号），所以() 49125131266 m n+≥⨯+=.。