导数与函数的单调性极值最值文科一轮复习课件
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要点梳理
知识回顾 理清教材
3．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上必有最 大值与最小值． (2)若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a) 为函数的最 小值， f(b) 为函数的最大值；若函数 f(x)在[a，b]上单 调递减，则 f(a) 为函数的最大值， f(b) 为函数的最 小值．
x
【例 1】 －ax－1.
已知函数 f(x)＝e
思维启迪
解析
思维升华
(1)求 f(x)的单调增区间； (2)是否存在 a，使 f(x)在 ( － 2,3) 上为减函数，若存 在，求出 a 的取值范围， 若不存在，请说明理由．
函数的单调性和函数中的 参数有关，要注意对参数 的讨论．
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函数 f(x)的极大值是 f(a)＝ 1 2 －2a ＋aln a， 1 极小值是 f(1)＝－2.
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题型二 利用导数求函数的极值
思维启迪 解析 思维升华
【例 2】 设 a>0，函数 f(x)＝ ② 当 a ＝ 1 时 ， f′(x) ＝ 1 2 x －(a＋1)x＋a(1＋ln x)． x－12 2 (1)求曲线 y＝f(x)在(2，f(2)) 处与直线 y＝－x＋1 垂直的 切线方程； (2)求函数 f(x)的极值．
(1)求 f(x)的单调增区间； (2)是否存在 a，使 f(x)在 ( － 2,3) 上为减函数，若存 在，求出 a 的取值范围， 若不存在，请说明理由．
间是[ln a，＋∞)．
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题型一 利用导数研究函数的单调性
x
【例 1】 －ax－1.
已知函数 f(x)＝e
范围可以转化为不等式恒成立 问题； (3)f(x) 为增函数的充要条件是
(1)求 f(x)的单调增区间； (2)是否存在 a，使 f(x)在 ( － 2,3) 上为减函数，若存 在，求出 a 的取值范围， 若不存在，请说明理由．
对 任 意 的 x∈(a ， b) 都 有 f′(x)≥0 且在(a， b)内的任一非 空子区间上 f′(x)≠0.应注意此 时式子中的等号不能省略，否 则漏解．
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1 3 跟踪训练 1 (1) 设函数 f(x) ＝ x － (1 ＋ a)x2 ＋ 4ax ＋ 3 (2,2a) ． 24a，其中常数 a>1，则 f(x)的单调减区间为________
综上，当a>1时， f(x)在区间(－∞，2)和(2a，＋∞)上是增函数， 在区间(2,2a)上是减函数．
x >0，
所以函数 f(x)在定义域(0， ＋∞)内单调递增， 此时 f(x)没有极值点，故无 极值． ③当 a>1 时，若 x∈(0,1)，
f′(x)>0， 函数 f(x)单调递增；
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题型二 利用导数求函数的极值
思维启迪 解析 思维升华
【例 2】 设 a>0，函数 f(x)＝ 若 x∈(1，a)，f′(x)<0，函 1 2 x －(a＋1)x＋a(1＋ln x)． 数 f(x)单调递减； 2 (1)求曲线 y＝f(x)在(2，f(2)) 切线方程； (2)求函数 f(x)的极值．
f′(x)<0，即 f(x)在(－ 2,3) 上为减函数，∴a≥e3.
故存在实数 a≥e3，使 f(x) 在(－2,3)上为减函数．
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题型一 利用导数研究函数的单调性
x
【例 1】 －ax－1.
已知函数 f(x)＝e
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(1) 利用导数的符号来判断函 数的单调性； (2) 已知函数的单调 性求函数
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(2)已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调递增函数，
(0,3] ． 则a的取值范围是________
解析
∵f′(x)＝3x2－a，f(x)在[1，＋∞)上是单调递增函数，
∴f′(x)≥0，∴a≤3x2，∴a≤3. 又a>0，可知0<a≤3.
(1)通过 f′(2)的值确定 a；
(2)解 f′(x)＝0，然后要讨 论两个零点的大小确定函 数的极值．
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题型二 利用导数求函数的极值
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【例 2】 设 a>0，函数 f(x)＝ (1)由已知，得 x>0，f′(x) 1 2 a x －(a＋1)x＋a(1＋ln x)． ＝x－(a＋1)＋x， 2 (1)求曲线 y＝f(x)在(2，f(2)) y＝f(x)在(2，f(2))处切线的 处与直线 y＝－x＋1 垂直的 斜率为 1， 切线方程； (2)求函数 f(x)的极值．
的一个是最大值，最小的一个是最小值．
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夯基释疑
夯实基础 突破疑难
题号
1 2 3 4 5
答案
(1)× (2) × (3) √ (4) × (5) √ (6) √
解析
A C B
[－3，＋∞)
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题型一 利用导数研究函数的单调性
所以 f′(2)＝1，即 2－(a＋ a 1)＋2＝1， 所以 a＝0，此时 f(2)＝2－2 ＝0，
故所求的切线方程为 y＝x－2.
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题型二 利用导数求函数的极值
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【例 2】 设 a>0，函数 f(x)＝ a (2)f′(x)＝x－(a＋1)＋x 1 2 x －(a＋1)x＋a(1＋ln x)． 2 x2－a＋1x＋a ＝ x (1)求曲线 y＝f(x)在(2，f(2)) 处与直线 y＝－x＋1 垂直的 切线方程； (2)求函数 f(x)的极值．
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题型二 利用导数求函数的极值
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【例 2】 设 a>0，函数 f(x)＝ 1 2 x －(a＋1)x＋a(1＋ln x)． 2 (1)求曲线 y＝f(x)在(2，f(2)) 处与直线 y＝－x＋1 垂直的 切线方程； (2)求函数 f(x)的极值．
函数 f(x)单调递增． 处与直线 y＝－x＋1 垂直的 此时 x＝1 是 f(x)的极大值
若 x∈(a，＋∞)，f′(x)>0，
点， x＝a 是 f(x)的极小值点， 函数 f(x)的极大值是 f(1) 1 ＝－2， 1 2 极小值是 f(a)＝－2a ＋aln a.
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题型一 利用导数研究函数的单调性
x
【例 1】 －ax－1.
已知函数 f(x)＝e
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解析
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(1)求 f(x)的单调增区间； (2)是否存在 a，使 f(x)在 ( － 2,3) 上为减函数，若存 在，求出 a 的取值范围， 若不存在，请说明理由．
x
【例 1】 －ax－1.
已知函数 f(x)＝e
思维启迪
解析
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(1)求 f(x)的单调增区间； (2)是否存在 a， 使 f(x)在(－ 2,3)上为减函数，若存在， 求出 a 的取值范围，若不 存在，请说明理由．
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题型一 利用导数研究函数的单调性
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题型二 利用导数求函数的极值
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【例 2】 设 a>0，函数 f(x)＝ 综上，当 0<a<1 时，f(x)的 1 2 x －(a＋1)x＋a(1＋ln x)． 极大值是－1a2＋aln a， 2 2 (1)求曲线 y＝f(x)在(2，f(2)) 处与直线 y＝－x＋1 垂直的 切线方程； (2)求函数 f(x)的极值．
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要点梳理
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2．函数的极值 (1)判断 f(x0)是极值的方法 一般地，当函数 f(x)在点 x0 处连续时， f′(x)>0 ① 如 果 在 x0 附 近 的 左 侧 侧 f′(x)<0 ，那么 f(x0)是极大值； f′(x)<0 ② 如 果 在 x0 附 近 的 左 侧 侧 f′(x)>0 ，那么 f(x0)是极小值． ，右 ，右
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题型一 利用导数研究函数的单调性
x
【例 1】 －ax－1.
已知函数 f(x)＝e
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解析
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f′(x)＝ex－a， (1) 若 a≤0 ，则 f′(x) ＝ ex －a≥0， 即 f(x)在 R 上单调递增， 若 a>0， ex－a≥0， ∴ex≥a，
x≥ln a. 因此当 a≤0 时， f(x)的单调 增区间为 R， 当 a>0 时，f(x)的单调增区
高考数学专题复习《函数的单调性与最大值》PPT课件
解 当a>0时,f(x)在(-1,1)上单调递减,当a<0时,f(x)在(-1,1)上单调递增.证明
如下:
(方法1 定义法)任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,
因为
-1+1
1
f(x)=a(
)=a(1+ ),则
-1
-1
1
1
( 2 - 1 )
f(x1)-f(x2)=a(1+ )-a(1+ )=
(-1)-
(方法2 导数法) f'(x)=
2
(-1)
=
-
(-1)2
,所以当a>0时,f'(x)<0,当a<0
时,f'(x)>0,即当a>0时,f(x)在(-1,1)上单调递减,当a<0时,f(x)在(-1,1)上单调
递增.
解题心得1.判断函数单调性的四种方法:
(1)定义法;
(2)图像法;
3
∴f(-2)<f(- )<f(-1).故选
2
D.
f(x)在(-∞,-1]上是增函数,
3 1
4.(2020 全国 2,文 10)设函数 f(x)=x - 3 ,则 f(x)(
)
A.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增 B.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递减
C.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增 D.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减
3.若f(x)满足f(-x)=f(x),且在(-∞,-1]上是增函数,则(
3
A.f(-2)<f(-1)<f(2)
3
B.f(-1)<f(-2)<f(2)
3.3导数与函数的极值最值课件高三数学一轮复习2
提醒：(1)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．极 值点是函数在区间内部的点，不会是端点．
(2)对于可导函数f(x)，f ′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 例如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点． (3)极大值(或极小值)可能不止一个，可能没有，极大值不一定大于极小值．
提醒：(1)极值是一个局部性概念，反映的是函数在某个点附近的大小情况，并不意 味它在函数的整个定义域内最大或最小；最值是一个整体性的概念，函数的最值是比较 某个区间内的所有函数值得出的．
(2)若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则相应极值点为函数最值点． (3)若函数在闭区间[a，b]的最值点不是端点，则最值点必为极值点． (4)连续函数的极值个数不确定，而函数在某一闭区间上的最大和最小值是唯一的．
②若 a<0，要使函数 f(x)在 x＝a 处取得极大值，则需 f(x)在a＋32b，a上单调递增，在 (a，＋∞)上单调递减，此时需满足 a>a＋32b，得 b<a<0，∴a2<ab.
综上可知，a2<ab，故选 D.
3．(角度 2)已知函数 f(x)＝x3＋6lnx，f ′(x)为 f(x)的导函数．求函数 g(x)＝f(x)－f ′(x) ＋9的单调区间和极值．
3 值点，则实数 a 的取值范围是____－__∞__，__－__14_∪___14_，__＋__∞__ ___．
【解析】
(1) 因 为
f′(x)
＝
3x2
＋
6mx
＋
n
，
由
题
有
f′－1＝0， f－1＝0，
即
3－6m＋n＝0， －1＋3m－n＋m2＝0，
导数与函数的极值、最值课件-2025届高三数学一轮复习
处的切线方程为y= x+b(其中a,b∈R,e是自然对数的底数),则
3
27e
f(x)在区间[-3,3]上的最大值为
,最小值为 0
解析:由 f(x)=
得 f′(x)=
- -
( )
=
依题可得f′(1)= = ,所以a=3.
故 f(x)=
.
考点二
利用导数解决函数的最值问题
[例4] (2024·江苏苏州模拟)已知函数f(x)=xln x-a(x-1),求函
数f(x)在区间[1,e]上的最小值.
解:f(x)=xln x-a(x-1),则f′(x)=ln x+1-a,
①当ea-1≤1,即a≤1时,x∈[1,e],
则f′(x)≥0,f(x)在[1,e]上单调递增,
所以Δ=(-2a)2-4×3×2>0,
解得 a> 或 a<- .
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
利用导数解决函数的极值问题
角度一
根据函数图象判断函数极值
[例1] (多选题)(2024·重庆检测)函数y=f(x)的导函数y=f′(x)
的图象如图所示,则(
)
A.-3是函数y=f(x)的极值点
可知-3是函数y=f(x)的极值点,所以A正确;
因为函数y=f(x)在(-3,1)上单调递增,
可知-1不是函数y=f(x)的极小值点,-2也不是函数y=f(x)的极大值
点,所以B错误,C正确,D错误.故选AC.
由图象判断函数y=f(x)的极值,要抓住两点
(1)由y=f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标,可得函数y=f(x)的可
人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件 第2章 函数的概念与性质 第2节 函数的单调性与最值 (2)
B.
D.
3
,+∞
2
3
,4
2
)
答案:(1)B (2)D
解析:(1)f(x)=|x2-3x+2|=
2 -3 + 2, ≤ 1 或 ≥ 2,
-( 2 -3 + 2),1 < < 2.
如图所示,函数的单调递增区间是
3
1, 2
和[2,+∞).
(2)要使 f(x)=ln(4+3x-x2)有意义,需 4+3x-x2>0,解得 x∈(-1,4).
断)这两个函数的单调性,最后根据复合函数“同增异减”的规则进
行判断
对点训练2(1)(2021广西贵港模拟)下列关于函数f(x)=|x-1|-1的结论,正确的
是(
)
A.f(x)在(0,+∞)上单调递增
B.f(x)在(0,+∞)上单调递减
C.f(x)在(-∞,0]上单调递增
D.f(x)在(-∞,0]上单调递减
1,为有理数,
例如:函数 f(x)=
它的定义域为 R,但不具有单调性.
0,为无理数,
2.函数的最值
前提
条件
结论
设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
①对于任意x∈I,都有 f(x)≤M ; ③对于任意x∈I,都有 f(x)≥M ;
②存在x0∈I,使得 f(x0)=M
④存在x0∈I,使得 f(x0)=M
故函数f(x)的最大值为2.
突破技巧求函数最值的五种常用方法及其思路
单调性法
图象法
基本不等
式法
导数法
换元法
先确定函数的单调性,再由单调性求最值
导数与函数的单调性-2021届高三数学一轮高考总复习课件
2.函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法： 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， ①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0) 是极大值； ②如果在x0附近的左侧___f_′__(x_)_＜__0__，右侧__f_′__(_x_)＞__0__， 那么f(x0)是极小值.
(2)求可导函数极值的步骤： ①求 f′(x)； ②求方程 f′(x)＝0 的根； ③检查 f′(x)在方程 f′(x)＝0 的根的左、右值的符号.如果 左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那 么 f(x)在这个根处取得__极__小__值____；如果左右两侧符号一样，那 么这个根不是极值点.
图 2-16-2
A
B
C
D
解析：原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值 点的横坐标大于 0.故选 D.
答案：D
(2)函数f(x)＝(3－x2)ex的单调递增区间是( ) A.(－∞，0) B.(0，＋∞) C.(－∞，3)和(1，＋∞) D.(－3,1) 解析：f′(x)＝－2xex＋(3－x2)ex＝(3－2x－x2)ex，∴f′(x)>0， 即x2＋2x－3<0.解得－3<x<1.∴f(x)的单调递增区间为(－3,1).故 选 D. 答案：D
小值的可能值为端点值，故只需保证gg－ 1＝113＝＋13－ a≥a≥ 0，0，
解
得－13≤a≤13.故选 C.
答案：C
思想与方法 ⊙运用分类讨论思想讨论函数的单调性 例题：(2016 年新课标Ⅰ)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)若 f(x)有两个零点，求实数 a 的取值范围. 解：(1) f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a). ①设a≥0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0； 当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0. ∴f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.
2024届新高考一轮总复习人教版 第二章 第2节 函数的单调性与最值 课件(35张)
【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”). (1)对于函数 y＝f(x)，若 f(4)<f(5)，则 f(x)为增函数．( ) (2)函数 y＝f(x)在[4，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[4，＋∞).( ) (3)函数 y＝3x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( ) (4)对于函数 f(x)，x∈D，若对任意 x1, x2∈D，且 x1≠x2 有(x1－x2)[f (x1)－f(x2)]>0，则 函数 f(x)在区间 D 上是增函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
【考点集训】
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为减函数的是( )
A．y＝－sin x
B．y＝x2－2x＋3
C．y＝ln (x＋1)
x
D．y＝2 022－2
解析：y＝－sin x 和 y＝x2－2x＋3 在(0，＋∞)上不具备单调性；y＝ln (x＋1)在(0，
＋∞)上单增．故选 D．
答案：D
2．函数 y＝log1(－x2＋x＋6)的单调递增区间为( )
－1<12，解得 1≤x<32，故选 D． 答案：D
4．(必修第一册 P81 例 5 改编)函数 f(x)＝2x－5 1在区间[2，4]上的最大值为________， 最小值为________.
解析：因为 f(x)在[1，5]上是减函数，所以最大值为 f(2)＝2×52－1＝53，最小值为 f(4)
第二章 函 数
[课标解读] 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值， 理解它们的作用和实际意义．
备考第 1 步——梳理教材基础，落实必备知识
1．函数单调性的定义
义域为 I，区间 D⊆I，如果∀x1，x2∈D，当 x1＜x2 时
高考数学一轮复习导数在函数中的应用-教学课件
聚焦中考——语文 第五讲
表达方式与记叙的顺序
• （2013·荆门）阅读下文，完成习题。 • ①那天下午6点多，该上公交车的人早已上了车，唯独有个小女孩，在车
门边来回徘徊。眼看着司机就要开车了，我在想，这小女孩肯定是没钱 上车。 ②“小姑娘，上车吧，我帮你交车票钱。”当看到我为她刷完卡后，她 随即上了车，说了声“谢谢阿姨”，一时脸蛋儿全红了。近距离一看， 才发现，小女孩左侧脸上有颗小痣。几天前的一幕不由浮现眼前—— ③送走远方的朋友，我从火车站迎着风雨赶到就近的公交车站台，已是 下午5点多。这时正是下班高峰期，来了几辆公交车，我总也挤不上去。 雨还在急速地下着，人还在不断地涌来。当又一辆10路公交驶来后，我 和许多人一起先往前门挤，但挤不上去。等司机发话后，才从后门好不 容易挤上车。车内人头攒动，人满为患。这人贴人的，身体若要移动一 下都难。正感叹着，我突然感觉好像有一件事还没做。是什么事呢？哦， 对了，没买车票。本想挤到前面去交车钱，可大伙儿都好像没事人一样 在原地一动不动，根本挤不过去。见此情形，司机也没说什么，这样， 我也就心安理得地和大家一样坐了一次免费的公交车。
本题在当年的高考中，出错最多的就是将第(1)题 的 a＝4 用到第(2)题中，从而避免讨论，当然这是错误的．
【互动探究】 1．(2011 届广东台州中学联考)设 f′(x)是函数 f(x)的导函数，
将 y＝f(x)和 y＝f′(x)的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确 的是( D )
考点2 导数与函数的极值和最大(小）值
高考数学一轮复习导数在函数中的应用-教学课件
第2讲 导数在函数中的应用
考纲要求
考纲研读
1.了解函数单调性和导数的关系；能利用 1.用导数可求函数的单 导数研究函数的单调性，会求函数的单调 调区间或以单调区间为 区间(对多项式函数一般不超过三次)． 载体求参数的范围．
高考数学导数与函数的单调性复习课件
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第四章 导数及其应用
17
2．已知函数 f(x)＝ln x＋a(1－x)，讨论 f(x)的单调性．
解：函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a.
若 a≤0，则 f′(x)>0 恒成立，
所以 f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
若 a>0，则当 x∈0，1a时，f′(x)>0；当 x∈1a，＋∞时，
()
A．在区间(－2，1)上 f(x)是增函数
√B．在区间(2，3)上 f(x)是减函数 √C．在区间(4，5)上 f(x)是增函数
D．在区间(3，5)上 f(x)是增函数
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第四章 导数及其应用
9
解析：在(4，5)上 f′(x)>0 恒成立，所以 f(x)是增函数．在(2，3)上 f′(x)<0 恒成 立，所以 f(x)是减函数．
7
2．函数 f(x)＝cos x－x 在(0，π)上的单调性是( )
A．先增后减
B．先减后增
C．增函数
√D．减函数
解析：因为 f′(x)＝－sin x－1<0.
所以 f(x)在(0，π)上是减函数，故选 D.
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第四章 导数及其应用
8
3．(多选)如图是函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是
f′(x)<0，所以 f(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减．
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第四章 导数及其应用
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求函数的单调区间 (2021·东北三校第一次联考)已知函数 f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－12ax2－ x(a∈R)．设 f′(x)为函数 f(x)的导函数，求函数 f′(x)的单调区间．
第4章+第1讲+导数与函数的极值、最值2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)
(2)函数的极大值与极大值点 若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数 值 04 _都__大_，f′(b)＝0，而且在x＝b附近的左侧 05 ___f′_(x_)_＞__0____，右侧 06 __f_′_(x_)_＜__0____，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极 大值．
又因为x1，x2分别是f(x)的极大值点与极小值点，所以x1，x2是x2＋4x＋1＝0
的两个根，且x1>x2.解方程可得，x1＝－2＋ 3 ，x2＝－2－ 3 ，所以x2－x1
＝－2 3.
解析 答案
角度 已知函数的极值求参数的值或取值范围
ห้องสมุดไป่ตู้
例3 (1)(2021·河北九校联考)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有 极值0，则a－b＝________.
f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减，故A错误；当x<1时，f′(x)>0，f(x)在区
间(－∞，1)上单调递增，故B错误；当x＝1时，f(x)＝
3x ex
取得极大值
3 e
，无
极小值，故C正确，D错误．故选C．
解析
(2)(2021·凉山州模拟)若x0是函数f(x)＝ex－
ln x
x
－
1 x
的极值点，则x0满足
解析
角度
已知函数解析式求极值或极值点
例2 (1)(2021·西安模拟)已知f(x)＝3exx ，则f(x)(
)
A．在(－∞，＋∞)上单调递增
B．在(－∞，1)上单调递减
C．有极大值3e，无极小值
D．有极小值3e，无极大值
答案
解析 ∵f(x)＝3exx ，∴f′(x)＝3·ex－e2x3x·ex＝31e－x x，当x>1，f′(x)<0，
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第3章 §3.3 导数与函数的极值、最值
2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）第三章 一元函数的导数及其应用§3.3 导数与函数的极值、最值考试要求1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题.内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练第一部分1.函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值f′(x)<0f′(x)>0都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.(2)函数的极大值函数y ＝f (x )在点x ＝b 处的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点处的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧，右侧 ，则b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值.(3)极小值点、极大值点统称为，极小值和极大值统称为 .f ′(x )>0f ′(x )<0极值点极值2.函数的最大(小)值(1)函数f (x )在区间[a ，b ]上有最值的条件：如果在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大(小)值的步骤：①求函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内的 ；②将函数y ＝f (x )的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.连续不断极值端点处的函数值f (a )，f (b )常用结论对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有.( )(2)函数的极小值一定小于函数的极大值.( )(3)函数的极小值一定是函数的最小值.( )(4)函数的极大值一定不是函数的最小值.( )√××√1.如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为√A.1B.2C.3D.4由题意知，只有在x＝－1处，f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，故f(x)的极小值点只有1个.2.函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是_____________ _____________.f′(x)＝3x2－2ax＋2，由题意知f′(x)有变号零点，∴Δ＝(－2a)2－4×3×2>0，43.若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝____.f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2,3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增.又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m，所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.第二部分命题点1 根据函数图象判断极值例1 (多选)(2023·华南师大附中模拟)如图是y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是A.当x ＝－1时，f (x )取得极小值B. f (x )在[－2,1]上单调递增C.当x ＝2时，f (x )取得极大值D. f (x )在[－1,2]上不具备单调性√√由导函数f′(x)的图象可知，当－2<x<－1时，f′(x)<0，则f(x)单调递减；当x＝－1时，f′(x) ＝0；当－1<x<2时，f′(x)>0，则f(x)单调递增；当x＝2时，f′(x)＝0；当2<x<4时，f′(x)<0，则f(x)单调递减；当x＝4时，f′(x)＝0，所以当x＝－1时，f(x)取得极小值，故选项A正确；f(x)在[－2,1]上有减有增，故选项B错误；当x＝2时，f(x)取得极大值，故选项C正确；f(x)在[－1,2]上单调递增，故选项D错误.命题点2 求已知函数的极值例2 (2022·西南大学附中模拟)已知函数f(x)＝ln x＋2ax2＋2(a＋1)x(a≠0)，讨论函数f(x)的极值.因为f(x)＝ln x＋2ax2＋2(a＋1)x，若a>0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0恒成立，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值.当a>0时，f(x)无极值.命题点3 已知极值(点)求参数例3 (1)(2023·福州质检)已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则c的值为√A.2B.4C.6D.2或6由题意，f′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)·(3x－c)，则f′(2)＝(2－c)(6－c)＝0，所以c＝2或c＝6.若c＝2，则f′(x)＝(x－2)(3x－2)，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，函数f(x)在x＝2处有极小值，满足题意；若c＝6，则f′(x)＝(x－6)(3x－6)，当x∈(－∞，2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(2,6)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(6，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，函数f(x)在x＝2处有极大值，不符合题意.综上，c＝2.(2)(2023·威海模拟)若函数f(x)＝e x－ax2－2ax有两个极值点，则实数a的取值范围为√由f(x)＝e x－ax2－2ax，得f′(x)＝e x－2ax－2a.因为函数f(x)＝e x－ax2－2ax有两个极值点，所以f′(x)＝e x－2ax－2a有两个变号零点，当x>0时，g′(x)<0；当x<0时，g′(x)>0，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减.思维升华根据函数的极值(点)求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)验证：求解后验证根的合理性.跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则a＋b的值为A.－1或3B.1或－3√C.3D.－1因为f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b，因为函数f(x)在x＝1处取得极大值10，所以f′(1)＝3＋2a＋b＝0，①f(1)＝1＋a＋b－a2－7a＝10，②联立①②，解得a＝－2，b＝1或a＝－6，b＝9.当a＝－6，b＝9时，f′(x)＝3x2－12x＋9＝(x－1)(3x－9)，f(x)在(－∞，1)和(3，＋∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减，故f(x)在x＝1处取得极大值10，符合题意.综上可得，a＝－6，b＝9.则a＋b＝3.√∴φ(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，又当x→＋∞时，φ(x)→＋∞，命题点1 不含参函数的最值例4 (2022·全国乙卷)函数f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为√f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1，x∈[0,2π]，则f′(x)＝－sin x＋sin x＋(x ＋1)·cos x＝(x＋1)cos x，x∈[0,2π].又f(0)＝cos 0＋(0＋1)sin 0＋1＝2，f(2π)＝cos 2π＋(2π＋1)sin 2π＋1＝2，命题点2 含参函数的最值例5 已知函数f(x)＝－ln x(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性；①若a≤0，则f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减；②若a>0，则当x>a时，f′(x)<0；当0<x<a时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减.所以f(x)max＝f(a)＝－ln a；思维升华求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值.跟踪训练2 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值1为_____.函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的定义域为(0，＋∞).当x>1时，f′(x)>0，所以f(x)min＝f(1)＝2－1－2ln 1＝1；综上，f(x)min＝1.(2)已知函数h(x)＝x－a ln x＋ (a∈R)在区间[1，e]上的最小值小于零，求a的取值范围.①当a＋1≤0，即a≤－1时，h′(x)>0恒成立，即h(x)在(0，＋∞)上单调递增，则h(x)在[1，e]上单调递增，故h(x)min＝h(1)＝2＋a<0，解得a<－2；②当a＋1>0，即a>－1时，在(0，a＋1)上，h′(x)<0，在(a＋1，＋∞)上，h′(x)>0，所以h(x)在(0，a＋1)上单调递减，在(a＋1，＋∞)上单调递增，若a＋1≤1，求得h(x)min>1，不合题意；若1<a＋1<e，即0<a<e－1，则h(x)在(1，a＋1)上单调递减，在(a＋1，e)上单调递增，故h(x)min＝h(a＋1)＝2＋a[1－ln(a＋1)]>2，不合题意；若a＋1≥e，即a≥e－1，则h(x)在[1，e]上单调递减，第三部分1.(多选)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是A.f(x)在区间(－2,3)上有2个极值点B.f′(x)在x＝－1处取得极小值C.f(x)在区间(－2,3)上单调递减D.f(x)在x＝0处的切线斜率小于0√√√根据f′(x)的图象可得，在(－2,3)上，f′(x)≤0，∴f(x)在(－2,3)上单调递减，∴f(x)在区间(－2,3)上没有极值点，故A错误，C正确；由f′(x)的图象易知B正确；根据f′(x)的图象可得f′(0)<0，即f(x)在x＝0处的切线斜率小于0，故D正确.√。