推荐-数学建模-最小二乘法 精品
最小二乘法 和数学建模的具体方法
➢ 建立因变量与自变量之间的回归模型（经验公式） ➢ 对回归模型的可信度进行检验 ➢ 判断每个自变量对因变量的影响是否显著 ➢ 判断回归模型是否适合这组数据 ➢ 利用回归模型对进行预报或控制
➢ [b, bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha) （线性回归） ➢ rstool（x，y，’model’, alpha）（多元二项式回归） ➢ [beta,r,J]=nlinfit（x，y，’model’, beta0）（非线性回
与模糊数学相关的问题（二）
➢ 模糊聚类分析—根据研究对象本身的属性构 造模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶属度 来确定其分类关系
➢ 模糊层次分析法—两两比较指标的确定
➢ 模糊综合评判—综合评判就是对受到多个因 素制约的事物或对象作出一个总的评价，如 产品质量评定、科技成果鉴定、某种作物种 植适应性的评价等，都属于综合评判问题。 由于从多方面对事物进行评价难免带有模糊 性和主观性，采用模糊数学的方法进行综合 评判将使结果尽量客观从而取得更好的实际 效果
➢ 系统聚类分析—将n个样本或者n个指标 看成n类，一类包括一个样本或者指标，
然后将性质最接近的两类合并成为一个新 类，依此类推。最终可以按照需要来决定 分多少类，每类有多少样本（指标）
统计方法（系统聚类分析步骤）
系统聚类方法步骤：
1. 计算n个样本两两之间的距离 2. 构成n个类，每类只包含一个样品
➢ 距离判别法—首先根据已知分类的数据，分别计算 各类的重心，计算新个体到每类的距离，确定最短 的距离（欧氏距离、马氏距离）
➢ Fisher判别法—利用已知类别个体的指标构造判别 式（同类差别较小、不同类差别较大），按照判别 式的值判断新个体的类别
建模方法-最小二乘法
解得 从而得到
A= −4.48072, b = −1.0567
a = e = 11.3253×10
A
−3 −1.0567t
−3
y = 11.3253×10 e
= F (t)
(2)
请回答: 请回答: 怎样比较这两个数学模型的好坏呢？ 怎样比较这两个数学模型的好坏呢？ 只要分别计算这两个数学模型的误差， 答 ： 只要分别计算这两个数学模型的误差 ， 从中挑选误差较小的模型即可。 从中挑选误差较小的模型即可。
δ = ∑δi2 = ∑[S∗( xi ) − yi ]2
2 2 i=0 i=0
m
m
[ = min ∑ S( xi ) − yi ]2
S( x)∈ ϕ i=0
m
3. 广义定义 通常把最小二乘法 δ 都考虑为加权平方和
2 2
即
δ = ∑ω(xi )[S∗( xi ) − yi ]2
2 2 i=0
m
ω( x) ≥ 0
i i
(2)使残差的绝对值之和为最小 使残差的绝对值之和为最小
∑e
i
i
= min
(3)使残差的平方和为最小 使残差的平方和为最小
∑e
i
2 i
= min
最小二乘法
2. 一般定义 已知： 一组数据（ 已知： 一组数据（xi，yi）(i=0,1,…,m)， ， 求： 在函数类 ϕ = span{ϕ0 ,ϕ1,...,ϕn }中找一 ∗ 使误差平方和最小， 个函数 y = S (x) ，使误差平方和最小， 即
y = 1.2408
(i = 1,...,16) 。 xi , yi ) 可由原始 (
计算出来。 数据 (ti , yi ) 计算出来。
数学建模课件--最小二乘法拟合
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------1 / 11数学建模课件--最小二乘法拟合4. 最小二乘法线性拟合 我们知道， 用作图法求出直线的斜率a 和截据b ， 可以确定这条直线所对应的经验公式， 但用作图法拟合直线时， 由于作图连线有较大的随意性， 尤其在测量数据比较分散时， 对同一组测量数据， 不同的人去处理， 所得结果有差异， 因此是一种粗略的数据处理方法， 求出的 a 和 b 误差较大。
用最小二乘法拟合直线处理数据时, 任何人去处理同一组数据，只要处理过程没有错误， 得到的斜率 a 和截据 b 是唯一的。
最小二乘法就是将一组符合 Y=a+bX 关系的测量数据， 用计算的方法求出最佳的 a 和 b 。
显然， 关键是如何求出最佳的 a 和b 。
(1) 求回归直线 设直线方程的表达式为：(2-6-1) 要根据测量数据求出最佳的 a 和 b 。
对满足线性关系的一组等精度测量数据（xi ， yi ），假定自变量xi 的误差可以忽略， 则在同一 xi 下， 测量点 yi 和直线上的点a+bxi 的偏差 di 如下：显然最好测量点都在直线上（即 d1=d2==dn=0）， 求出的 a 和 b 是最理想的， 但测量点不可能都在直线上， 这样只有考虑 d1、 d2、 、dn 为最小， 也就是考虑 d1+d2++dn 为最小， 但因 d1、 d2、 、 dn有正有负，加起来可能相互抵消，因此不可取；而| d1| + | d2| ++ | dn| 又不好解方程，因而不可行。
现在采取一种等效方法：当 d1对 a 和 b 为最小时， d1、 d2、、 dn也为最小。
取（d12+d22++dn22+d22++dn2）为最小值，求 a和 b 的方法叫最小二乘法。
matlab最小二乘法拟合直线
matlab最小二乘法拟合直线【导言】直线拟合是数据分析和数学建模中常用的方法之一，而最小二乘法则是在直线拟合中最常用的方法之一。
在本文中，将介绍使用Matlab进行最小二乘法拟合直线的步骤和原理，并就此主题进行深入的探讨。
【正文】一、最小二乘法简介最小二乘法是一种数学优化方法，它通过最小化误差的平方和来寻找函数与观测数据之间的最佳拟合。
在直线拟合中，最小二乘法的目标是找到一条直线，使得所有观测数据点到直线的距离之和最小。
1. 确定拟合的模型在直线拟合中，我们的模型可以表示为：Y = a*X + b，其中a和b为待求参数，X为自变量，Y为因变量。
2. 计算误差对于每一个观测数据点(x_i, y_i)，计算其到直线的垂直距离d_i，即误差。
误差可以表示为：d_i = y_i - (a*x_i + b)。
3. 求解最小二乘法问题最小二乘法的目标是最小化所有观测数据点到直线的距离之和，即最小化误差的平方和：min Σ(d_i^2) = min Σ(y_i - (a*x_i + b))^2。
通过求解该最小化问题，可以得到最佳拟合的直线斜率a和截距b的值。
二、Matlab实现最小二乘法拟合直线的步骤下面将介绍使用Matlab进行最小二乘法拟合直线的基本步骤。
1. 导入数据需要将实验数据导入Matlab。
可以使用matlab自带的readtable函数从文件中读取数据，也可以使用xlsread函数直接从Excel文件中读取数据。
2. 数据预处理在进行最小二乘法拟合直线之前，先对数据进行预处理。
一般情况下，可以对数据进行去除异常值、归一化等操作，以确保数据的准确性和可靠性。
3. 拟合直线使用Matlab的polyfit函数可以实现直线拟合。
polyfit函数可以拟合输入数据的曲线或平面，并返回拟合参数。
在拟合直线时，需要指定拟合的阶数，对于直线拟合，阶数为1。
4. 绘制拟合直线使用Matlab的plot函数可以将拟合的直线绘制出来，以便于观察拟合效果。
最小二乘近似并求解高斯正态方程
最小二乘近似并求解高斯正态方程。
标题：深度剖析：最小二乘近似与高斯正态方程的求解在实际问题中，我们经常会遇到数据与理论模型之间存在一定的偏差，而最小二乘近似方法和高斯正态方程则为我们提供了一种有效的解决方案。
本文将从最小二乘近似和高斯正态方程的基本概念入手，逐步深入，全面剖析这两个重要的数学工具，并通过案例分析来揭示它们在实际问题中的应用和意义。
一、最小二乘近似1.1 什么是最小二乘法？最小二乘法是一种数学优化技术，它的核心思想是通过最小化数据点与拟合模型之间的残差平方和来求解模型参数，从而使得理论模型更好地拟合实际数据。
在实际问题中，最小二乘法被广泛应用于曲线拟合、回归分析以及信号处理等领域。
1.2 最小二乘法的原理及应用最小二乘法的原理是基于误差最小化的思想，通过最小化残差平方和来求解模型参数，从而使得拟合模型与实际数据更加接近。
在回归分析中，最小二乘法可以用于拟合线性回归模型以及非线性回归模型，进而进行模型预测和参数估计。
1.3 最小二乘法的优势及局限性最小二乘法具有求解简单、计算稳定的优势，但在实际应用中也存在一些局限性，比如对异常值敏感、对模型形式的要求较多等。
在使用最小二乘法时需要谨慎处理数据，选择合适的模型形式，以及结合实际情况对结果进行合理解释。
二、高斯正态方程的求解2.1 高斯正态方程的概念及特点高斯正态方程是求解最小二乘问题的经典方法之一，它通过构建线性方程组并利用矩阵运算的方式来求解模型参数。
在实际问题中，高斯正态方程被广泛应用于大地测量、地理信息系统、无人机航测等领域。
2.2 高斯正态方程的数学原理高斯正态方程通过构建误差方程并利用最小二乘法原理，将模型参数的求解转化为线性方程组的求解问题，进而利用矩阵运算和解方程的方法来求解模型参数。
高斯正态方程的数学原理较为复杂，需要较强的数学功底和逻辑思维能力。
2.3 高斯正态方程的应用案例通过一个实际的应用案例，我们可以更加直观地了解高斯正态方程在实际问题中的应用和意义。
数学建模 司守奎11第11章 偏最小二乘回归分析
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基础部数学教研室
数学 建模
MSE 是一个两行的矩阵，第一行的第 j 个元素对应 着自变量与它的前 j 1个提出成分之间回归方程的剩 余标准差，第二行的第 j 元素对应着因变量与它的前 j 1个提出成分之间回归方程的剩余标准差；stats 返 回 4 个值，其中返回值 stats.W 的每一列对应着特征向
定义 的误差平方和为
p
SS(h) SS j (h). j1
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基础部数学教研室
数学 建模
当 PRESS(h)达到最小值时，对应的 h 即为所求的 成分个数l 。通常，总有PRESS(h)大于SS(h)，而SS(h) 则小于SS(h 1)。因此，在提取成分时，总希望比值 PRESS(h) SS(h 1)越小越好；一般可设定限制值为 0.05，即当
s.t.
(1)T
(1)
(1)
2
1,
(1)T (1)
(1)
2
1.
（11.3）
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基础部数学教研室
数学 建模
利用Lagrange乘数法，问题化为求单位向量 (1)和
(1)，使1 (1)T AT B (1)达到最大。问题的求解只须通
过计算m m 矩阵 M AT BBT A的特征值和特征向
基础部数学教研室
数学 建模
其中 X 为 n×m 的自变量数据矩阵，每一行对应一 个观测，每一列对应一个变量；Y 为 n×p 的因变量数 据矩阵，每一行对应一个观测，每一列对应一个变量； ncomp 为成分的个数，ncomp 的默认值为 min(n-1,m)。
返回值 XL 为对应于ˆi 的 m×ncomp 的负荷量矩阵，它
数学建模-最小二乘拟合实验
《数学建模期末实验作业》院系：数学学院专业：信息与计算科学年级：2014级试题编号：37胡克定律的综合评价分析背景摘要:利用一个打蛋器和一个物理学公式，毁掉一面六英寸厚的承重墙，这么天方夜谭的事你能相信吗？但它却真的发生了！《越狱》这一电视剧相信很多人都耳熟，即使没看过里面的内容，但应该都曾经听过它的大名。
在《越狱》第一季第六集中，Michael要通过地下管道爬到医务室的下面，但是一条重要通道是被封死的，因此必须要把这个封死的墙破坏掉，由于是混凝土结构，因此破坏起来很难，Michael从纹身上拓下魔鬼的画像，投影在掩住管道入口的墙上，用“胡克定律”计算出最佳位置，再用小巧的打蛋器在承重墙上钻出了几个小洞，最后借助这几个小洞毁掉了这堵承重墙。
相信大多数人都觉的很梦幻很不科学，但事实就是这样的令人惊讶。
搜狐娱乐曾经报道过，有《越狱》粉丝不相信这一情节，在现实生活中进行实验，结果真的重现了“胡克定律”凿墙这一情节。
胡克定律的表达式为F=k・x或厶F=k・A x,其中k是常数，是物体的劲度（倔强）系数。
在国际单位制中，F的单位是牛，x的单位是米，它是形变量（弹性形变），k的单位是牛/米。
倔强系数在数值上等于弹簧伸长（或缩短）单位长度时的弹力。
弹性定律是胡克最重要的发现之一，也是力学最重要基本定律之一。
在现代，仍然是物理学的重要基本理论。
胡克的弹性定律指出：弹簧在发生弹性形变时，弹簧的弹力Ff和弹簧的伸长量（或压缩量）x成正比，即F= -k • x。
k 是物质的弹性系数，它由材料的性质所决定，负号表示弹簧所产生的弹力与其伸长（或压缩）的方向相反。
但当我们进行多次实验，便会发现随着F的逐步增大，便不再服从胡克定律。
为此我们应当运用插值与拟合的内容，探索更加准确的公式。
一、建模问题1•问题提出1.1 问题背景弹簧在压力F的作用下伸长x, —定范围内服从胡克定理：F与x成正比, 即F=kx。
现在得到下面一组F，x数据，并在（x，F）坐标下作图，可以看到当F大到一定数据值后，就不服从这个定律了。
递推最小二乘法原理
递推最小二乘法原理递推最小二乘法（Recursive Least Squares, 简称RLS）是一种常用的自适应滤波算法，广泛应用于信号处理、通信系统、控制系统等领域。
它通过不断更新模型参数，逐步逼近最优解，具有较好的收敛性能和适应性。
本文将介绍递推最小二乘法的原理及其应用。
首先，我们来了解一下最小二乘法（Least Squares, 简称LS）的基本原理。
最小二乘法是一种数学优化方法，用于估计模型参数使得观测数据和模型预测之间的误差平方和最小。
对于线性回归模型，最小二乘法可以通过求解正规方程或者利用矩阵运算来得到最优参数。
但是，对于动态系统或者非线性系统，参数可能会随时间变化，这时候就需要使用递推最小二乘法来动态更新参数。
递推最小二乘法的核心思想是不断更新模型参数，使得最小化误差平方和。
它采用递推的方式，每次接收到新的数据就更新一次参数，从而实现动态适应。
递推最小二乘法可以通过递推公式来更新参数，其中包括增益矩阵、误差协方差矩阵等重要参数。
通过不断迭代更新，可以逐步逼近最优解。
在实际应用中，递推最小二乘法常用于自适应滤波器的设计。
自适应滤波器可以根据环境变化自动调整滤波器参数，从而更好地适应不断变化的信号特性。
递推最小二乘法作为自适应滤波器设计的核心算法之一，具有较好的性能和稳定性，被广泛应用于信号去噪、信道均衡、自适应控制等领域。
除了自适应滤波器，递推最小二乘法还可以用于系统辨识、参数估计等问题。
在系统辨识中，递推最小二乘法可以根据系统的输入输出数据，动态地估计系统的参数，从而实现对系统的建模和预测。
在参数估计中，递推最小二乘法可以根据观测数据不断更新参数，从而实现对参数的实时估计。
总之，递推最小二乘法作为一种自适应算法，具有较好的性能和适应性，被广泛应用于信号处理、通信系统、控制系统等领域。
通过动态更新参数，递推最小二乘法可以实现对动态系统的建模和预测，具有重要的理论和应用价值。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解递推最小二乘法的原理及其应用。
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最 小 二 乘 法
设（x 1, y 1 ), (x 2, y 2), …, (x n , y n )是直角平面坐标系下给出的一组数据，若x 1<x 2<…<x n ,
我们也可以把这组数据看作是一个离散的函数。
根据观察，如果这组数据图象“很象”一条直线（不是直线），我们的问题是确定一条直线y = bx +a ,使得它能"最好"的反映出这组数据的变化。
对个别观察值来说，它可能是正的，也可能是负的。
为了不使它们相加彼此抵消，故"最好"应该是
Mathematical Modeling 最 小 二 乘 法
设（x 1, y 1 ), (x 2, y 2), …, (x n , y n )是直角平面坐标系下给出的一组数据，若x 1<x 2<…<x n ,
我们也可以把这组数据看作是一个离散的函数。
根据观察，如果这组数据图象“很象”一条直线（不是直线），我们的问题是确定一条直线y = bx +a ,使得它能"最好"的反映出这组数据的变化。
对个别观察值来说，它可能是正的，也可能是负的。
为了不使它们相加彼此抵消，故"最好"应该是
Mathematical Modeling
.
a bx y )x ( - x n ]
y x - y x n ]x )x (n 1
2[-]y x n 1-y x 2[b ,, b Q )y (n 1- ]y x n 1-y x [ 2b - ]x )x (n 1[-b Q ,
(1) a .y ,Q , n
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要求它的最小值的二次函数看作可将式得代入将的算数平均数的观察值
与分别表示和其中才可能最小时当的二次函数即是看成参数将令最小+==+=+=-=-=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=++=+-+⋅⋅⋅++-++-=+-=+-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑============================x y x x b y b a b x
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