第四章 连续时间傅里叶变换
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04四章 连续时间信号与系统的S域分析
相应的傅里叶逆变换为
• Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为 Fb(s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。
二、双边拉氏变换的收敛域
能使
收敛的S值的范围。
若f(t)绝对可积，则 F(jω)=F(s)|σ=0 或F(jω)= F(s)|s= jω
S平面与零点、极点
N (s) F ( s) D( s )
例5.1－5求复指数函数（式中s0为复常数）f(t)=es0t(t)的 象函数
• 解： L[e (t )] 0 e e dt 0 e
s0 t s0t st
( s s0 ) t
dt
1 , Re[ s] Re[ s0 ] s s0 1 t , Re[ s ] 若s0为实数，令s0＝，则有 e (t ) s
三、 S域平移（Shifting in the s-Domain）: 若 x(t ) X (s), ROC: R 则
x(t )e X ( s s0 ), ROC : R Re[s0 ]
s0t
表明 X (s s0 ) 的ROC是将 X ( s)的ROC平移了 一个Re[ s0 ] 。
1 s2 X 1 ( s) 1 , s 1 s 1
1 X 2 ( s) , s 1
ROC: 1
ROC: 1
而 x1 (t ) x2 (t ) t 1 ROC为整个S平面 • 当R1 与R2 无交集时，表明 X ( s) 不存在。
二、 时移性质（Time Shifting）:
ROC : 包括 R1 R2
x1 (t ) x2 (t ) X1 (s) X 2 ( s)
连续时间傅里叶变换
连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换（Continuous-Time Fourier Transform，CTFT）是傅里叶变换（Fourier Transform，FT）的一种，它适用于连续信号。
它能够将连续时间信号表示为一系列相同时间周期内信号幅度和相位不同的空间频率组份，即信号可以按其频率分解为更加精细的空间组份，这也是傅里叶级数的基础。
CTFT可以将任意连续时间信号表示成一组正弦信号的和，即可以将一种信号表示为正弦信号组成的线性组合，这样就可以将信号的复杂性减简，并用数学方法对它进行分析。
从理论上讲，CTFT可以将任意的空间信号表示为一组正弦信号的和，这也是CTFT的核心特性之一，也是CTFT的优势所在。
CTFT的公式可以用以下方式表示：X(ω)=∫-∞σ(t)e-^{jωt} dt其中ω为频率，s(t)为连续时间信号，X(ω)表示其傅里叶变换。
具体而言，CTFT既能够反映信号的时间变化，也能够反映其频域变化，可以将信号从时域变换到频域，允许我们从不同的角度看待信号，从而更好地理解信号。
如果将CTFT与频域分析进行比较，CTFT能够更精确地捕捉信号特征，可以更精确地确定频率、幅度和相位，因此它在信号处理、声学分析和时域分析等方面具有重要作用。
CTFT能够有效应用于维纳滤波器（Wiener Filters）、短时傅里叶变换（Short Time Fourier Transform，STFT）和抗谐波滤波（Notch Filters）等方面，通过CTFT的应用，可以利用频域的信号表示技术来提高信号分析的精度和效率。
总的来说，CTFT是一种非常实用的时域分析工具，它能够密切捕捉信号的复杂性，在信号处理，时域分析和声学分析等方面都有着广泛的应用，为更好地获取信号中的有价值信息提供了重要的视角。
第四章-连续时间傅里叶变换
谱线间隔
0
2π T
k
nT 2T1
2,4,6时，ak 0
k
(b) T=8 T1 -4 0
谱线间隔
0
2π T
k
nT 2T1
4,8,12时，ak 0
k 4
T 2T1 T 2T1
T 不变T1 时
1/ 2
20 0 0 40
1/ 4
80 0 0 40
1/8
0 0
80
T
2T1
2T1 1 k0 T0 2
2T1 1 k0 T0 4
2020/8/9
4.0 引言
在工程应用中常见的信号是非周期信号:
➢对非周期信号应该如何进行分解？ ➢非周期信号的频谱如何表示？ 在时域，若一个周期信号的周期趋于无穷大，则周期信号将演 变成一个非周期信号。 考查连续时间傅立叶级数在周期趋于无穷大时的变化，就能得 到对非周期信号的频域表示方法。
2
4.1 非周期信号的表示— 连续时间傅立叶变换
第4章 连续时间傅立叶变换
The Continuous time Fourier Transform
本章的主要内容: 1. 连续时间非周期信号的傅立叶变换 2. 傅立叶级数与傅立叶变换之间的关系 3. 傅立叶变换的性质 4. 采样定理
说明：内容1-3对应于教材第4章的4.1-4.6节； 内容4对应与教材第7章7.1-7.3节部分内容
T / 2 x(t )e jk0t dt
T / 2
当 T
0
2
T
d,
k0 ,
若令
lim
T
Tak
X(
j)
则有
X ( j) x(t)e jtdt
《信号与系统》第四章
图 两个矢量正交
矢量的分解
c2V2
V
V2
2
o
1
V1
c1V1
图 平面矢量的分解
c3V3
V3
V
o V1
V2
c2V2
c1V1
V c1V1 c2V2 c3V3
图 三维空间矢量的分解
推广到n维空间
1 正交函数的定义
在区间 (t1,t内2 )，函数集 {0 (t),1(t中),的,各N个(t)函} 数间，若满足下列 正交条件：
➢在波形任一周期内，其第二个半波波形与第一个半波波形相同；
x(t) x(t T0 / 2)
➢这时x(t)是一个周期减半为
的周期非正弦波，其基波频率
为
，即其只含有偶次谐T0波2；
20
4.4波形对称性与傅里叶系数
4 奇半波对称
➢在波形任一周期内，其第二个半周波形恰为第一个半周波形的
负值； x(t) x(t T0 / 2)
交函数集 {0 (t),1(t), ,N (t)} 是完备的,即再也找不到一个函数 (t)
能满足
t2
(t)
* m
(t
)dt
0
t1
m 0,1, , N
则在区间 (t1,t2 ) 内，任意函数x(t)可以精确地用N+1个正交函数地加权和
表示：
N
x(t) c00 (t) c11(t) cN N (t) cnn (t)
T0
3 傅里叶级数系数的确定
➢正弦—余弦形式傅里叶级数的系数
2Bk
2 T0
x(t) cos k0tdt
T0
2Dk
2 T0
x(t) sin k0tdt
连续时间系统傅里叶变换的性质
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
FT [ x (t ) cos 0t ]
FT [ x( t )] X ( )
X ( )
1 j 0t j 0 t x (t )[e e ] 2
频 移 特 性
1 2
0
1 2
X ( 0 )
X ( )
X ( 0 )
0
0
1 [ X ( 0 ) X ( 0 )] 2
1
2 X ( w ) F { xe ( )} F { xo ( )} j
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
3、时移特性
若 则
x( t ) X ( )
x(t t0 ) X ( )e
j t 0
例4 11 : 求移位冲激函数的频谱 函数
(t ) 1
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
例4 13 : 已知x(t)为三角形调幅信号，试 求其频谱
T 1 2
x1 ( t )
T1 2
T 1 2
x( t )
T1 2
x(t ) x1 (t ) cos0t
T1 2 T1 X 1 ( ) Sa ( ) 2 4
P147
T1 2 ( 0 )T1 2 ( 0 )T1 X ( ) [ Sa Sa ] 4 4 4
( j )
(t t0 ) e
(t t0 ) e
jt 0
jt 0
t 0
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
思考:下列信号的傅立叶变换
x( t )
1
t
2
X ( w) 2e
jw
sinc( w)
第四章 连续时间信号与系统的复频域表示与分析
北京理工大学珠海学院信息学院
信号与系统 2
第四章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
单边指数信号 e at ut
1 e ut , sa
at
Res a
说明
知道 e at u( t ) 的 L 变换可以推导出其他许多函数 的 L 变换。
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信号与系统
e
at
1 ( a j ) t costu( t ) (e e ( a j ) t )u( t ) 2 1 1 1 sa ( s a )2 2 j2 s a j s a j
北京理工大学珠海学院信息学院
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信号与系统
第四章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
一
1
常用信号的拉普拉斯变换
t 和 t
L t 1,
L t s,
推广 :
Res Res
L n t s n
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信号与系统
第四章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
例题
求下列信号的Laplace变换的收敛域
1ut ut 2ut 3sin0 tut 4tut , t n ut 5e 3t ut 6t t ut , e t ut
记作 f t L 1 F s
北京理工大学珠海学院信息学院
信号与系统
第四章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
f t F s
L
注意
信号 f(t) 必须是单边信号，即 t <0, f (t)=0。 积分下线的选取。 为了可以从 s域分析在0时刻包含冲激的信号，以 及由s域分析系统的零输入响应，所以采用 0- 定义。 习惯上把下线简写为0，其含义于 0- 相同。
信号与系统 2
第四章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
单边指数信号 e at ut
1 e ut , sa
at
Res a
说明
知道 e at u( t ) 的 L 变换可以推导出其他许多函数 的 L 变换。
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信号与系统
e
at
1 ( a j ) t costu( t ) (e e ( a j ) t )u( t ) 2 1 1 1 sa ( s a )2 2 j2 s a j s a j
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信号与系统
第四章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
一
1
常用信号的拉普拉斯变换
t 和 t
L t 1,
L t s,
推广 :
Res Res
L n t s n
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信号与系统
第四章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
例题
求下列信号的Laplace变换的收敛域
1ut ut 2ut 3sin0 tut 4tut , t n ut 5e 3t ut 6t t ut , e t ut
记作 f t L 1 F s
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信号与系统
第四章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
f t F s
L
注意
信号 f(t) 必须是单边信号，即 t <0, f (t)=0。 积分下线的选取。 为了可以从 s域分析在0时刻包含冲激的信号，以 及由s域分析系统的零输入响应，所以采用 0- 定义。 习惯上把下线简写为0，其含义于 0- 相同。
第三、四章连续时间信号与系统的频域分析内容总结
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
8 页
例15、试求信号f(t)=cos(4t+ )的频谱 。 3
解：
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
9 页
例16、一因果LTI系统的输入和输出，由下列微分方程表示：（采用傅里叶变
换计算）。 （1）求系统的单位冲激响应 h( t ) ；
d 2 y( t ) dy( t )
X
第
连续时间信号与系统的频域分析内容总结
2 页
第四章是傅里叶变换在LTI系统分析中的应用。 在第三章信号频域分解、分析基础上，研究不同激励信号 通过系统的响应、信号通过系统无失真条件、理想低通滤波器 模型以及物理可实现条件、希尔伯特变换、抽样定理等主要内 容。
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
3) (j
5)
1ห้องสมุดไป่ตู้
j
3
1
j 5
2
j
4
y z s(t ) e 3t (t ) e 5t (t ) 2e 4t (t )
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
10 页
例17、如图所示系统，其乘法器的两个输入端分别为：f (t) sin(2t) , s(t) cos(6t)
系统的频率响应为
8
15y( t ) 2 f ( t )
dt 2
dt
（2）若 f ( t ) e4t( t ) ，求该系统的零状态响应 yzs (t) 。
解： （1）
H ( j)
2
11
j2 8 j 15 j 3 j 5
h(t) e 3t(t) e 5t(t)
（2）
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
8 页
例15、试求信号f(t)=cos(4t+ )的频谱 。 3
解：
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
9 页
例16、一因果LTI系统的输入和输出，由下列微分方程表示：（采用傅里叶变
换计算）。 （1）求系统的单位冲激响应 h( t ) ；
d 2 y( t ) dy( t )
X
第
连续时间信号与系统的频域分析内容总结
2 页
第四章是傅里叶变换在LTI系统分析中的应用。 在第三章信号频域分解、分析基础上，研究不同激励信号 通过系统的响应、信号通过系统无失真条件、理想低通滤波器 模型以及物理可实现条件、希尔伯特变换、抽样定理等主要内 容。
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
3) (j
5)
1ห้องสมุดไป่ตู้
j
3
1
j 5
2
j
4
y z s(t ) e 3t (t ) e 5t (t ) 2e 4t (t )
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
10 页
例17、如图所示系统，其乘法器的两个输入端分别为：f (t) sin(2t) , s(t) cos(6t)
系统的频率响应为
8
15y( t ) 2 f ( t )
dt 2
dt
（2）若 f ( t ) e4t( t ) ，求该系统的零状态响应 yzs (t) 。
解： （1）
H ( j)
2
11
j2 8 j 15 j 3 j 5
h(t) e 3t(t) e 5t(t)
（2）
奥本海姆《信号与系统》配套题库【名校考研真题】(连续时间傅里叶变换)
研]
）。[西安电子科技大学 2010
A． f1 t t0 f2 t t0 f t B． f t t f t
C． f t t f t
D． f1 2t f2 2t f 2t
【答案】D
【解析】根据傅里叶变换性质和卷积定理， f1 2t f2 2t 的傅里叶变换为：
1 2
F1
f
(t)
2t
d dt
cos
2t
π 3
t
的傅里叶变换
F j
等于（
）。[西安电子科
技大学 2008 研]
A．1 j
B．1 j
C．-1
D． ej
【答案】C
【解析】由于
f
(t )
2t
d dt
cos
2t
π 3
t
t t ，根据常用傅里叶变换和时域微分
定理，可知 t j 。再根据频域微分性质，可得 t t 1。
求 cos0t 的傅里叶变换：
cos
0t
cos
0
t
0
FT
j
πe 0
0
0
所以：
1 2π
F
F
cos 0t
ej 0
0
2
F
0
ej 0
0
2
F
0
则其频带宽度为 0 W ，因为 0 W ，所以 0 W 0 。
6．设 f t f1 t f2 t ，则下列卷积等式丌成立的是（
tf (t) j dF ；再由时秱性质，可知 (1 t) f (1 t) j dF() ej 。
d
பைடு நூலகம்
d
10．已知信号 f (t) 的频带宽度为 ，则信号 y(t) f 2 (t) 的丌失真采样间隔（奈奎斯
）。[西安电子科技大学 2010
A． f1 t t0 f2 t t0 f t B． f t t f t
C． f t t f t
D． f1 2t f2 2t f 2t
【答案】D
【解析】根据傅里叶变换性质和卷积定理， f1 2t f2 2t 的傅里叶变换为：
1 2
F1
f
(t)
2t
d dt
cos
2t
π 3
t
的傅里叶变换
F j
等于（
）。[西安电子科
技大学 2008 研]
A．1 j
B．1 j
C．-1
D． ej
【答案】C
【解析】由于
f
(t )
2t
d dt
cos
2t
π 3
t
t t ，根据常用傅里叶变换和时域微分
定理，可知 t j 。再根据频域微分性质，可得 t t 1。
求 cos0t 的傅里叶变换：
cos
0t
cos
0
t
0
FT
j
πe 0
0
0
所以：
1 2π
F
F
cos 0t
ej 0
0
2
F
0
ej 0
0
2
F
0
则其频带宽度为 0 W ，因为 0 W ，所以 0 W 0 。
6．设 f t f1 t f2 t ，则下列卷积等式丌成立的是（
tf (t) j dF ；再由时秱性质，可知 (1 t) f (1 t) j dF() ej 。
d
பைடு நூலகம்
d
10．已知信号 f (t) 的频带宽度为 ，则信号 y(t) f 2 (t) 的丌失真采样间隔（奈奎斯
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3. x(t )
1 ak T
X ( j )
n
(t nT )
2 T 2 T
0
0
0
(t )e
j
2 kt T
1 dt T
2 T 2
T
1 (t )dt T
2 X ( j ) T
2 ( k) T k
23
jk 0 t h t e dt jk 0 n
jk 0
hn e
n
1
第四章
连续时间傅里叶变换
The continuous time Fourier Transform
本章的主要内容:
连续时间傅里叶变换;
傅里叶级数与傅里叶变换之间的关系;
傅里叶变换的性质;
系统的频率响应;
2
§4.0引言
在工程应用中有相当广泛的信号是非周
期信号，本章要解决的问题有两个：
1. 对非周期信号应该如何进行分解？
2. 什么是非周期信号的频谱表示？
3
在时域可以看到：
周期信号--------非周期信号 反过来： 非周期信号--------周期信号
周期延拓
20
方波变成到冲激,傅立叶变换的变化 动画
§4.2周期信号的傅里叶变换
Fourier Transform of Periodic Signals
到此为止,周期信号用傅里叶级数表示,非周期信号用 傅里叶变换表示。在涉及周期信号通过LTI系统时, 会给 分析带来不便.由于周期信号不满足Dirichlet 条件,因而 不能直接从定义出发,建立其傅里叶变换表示。
若 x (t ) X ( j )
dx(t ) j X ( j ) (可将微分运算转变为代数运算) 则 dt
1 (将 x(t ) 2
t
j t X ( j ) e d 两边对 t 微分即得该性质)
1 x( )d j X ( j ) X (0) ( ) （时域积分特性）
33
例 :求
u(t ) 的频谱:
1
u(t )
u(t ) ue (t ) uo (t )
t
0
ue (t )
1 u e (t ) 2
1/2
t
0
uo (t )
1 u0 (t ) Sgn (t ) 2
1/2 0 -1/2
t
34
35
4.时域微分与积分 differential & integral
5
6
~ x (t )
:周期性矩形脉冲信号
:等于一个周期内的
xt
~ x (t ) ，具有有限持续期
周期性矩形脉冲信号将演变成 为非周期的单个矩形脉冲信号.
~ x (t ) xt
考查 的. 的变化:它在 时可以是有限
jk0t
Tak xt e
dt
7
如果令
＝
则有
13
三 常用信号的傅里叶变换：
at x ( t ) e u(t ), a 0 1.单边指数信号：
X ( j ) e e
0
at j t
1 dt a j
X ( j ) tg
1
X ( j )
x(t )
1
1 a2 2
1/ a
a
X ( j )
讨论连续时间傅里叶变换的性质,旨在通过这些 性质揭示信号时域特性与频域特性之间的关系,同时 掌握和运用这些性质可以简化傅里叶变换对的求取。
28
29
30
31
d
32
X ( j ) X ( j )
表明 X ( j ) 是奇函数 表明 X ( j ) 是纯虚函数
X ( j ) X * ( j )
21
于是当周期信号表示为傅里叶级数时 就有 X ( j ) 2 ak ( k 0 ) k k 这表明,周期信号的傅里叶变换由一系列冲激组 成,每一个冲激分别位于信号各次谐波的频率处,其 强度正比于傅里叶级数系数 ak 。 例 1：
k
x(t )
ae
jk0t
x(t ) dt
12
b. 在任何有限区间内， x(t ) 只有有限个极值点，且 极值有限。
c. 在任何有限区间内，x(t ) 只有有限个第一类间断点。 这些条件只是傅里叶变换存在的充分条件， 这两组条件并不等价。 和周期信号的情况一样，当 x(t )的傅里叶变 换存在，其傅里叶变换在 x(t ) 的连续处收敛于信 号本身,在间断点处收敛于左右极限的平均值， 在间断点附近会产生Gibbs现像。
复习知识点：
x(t )
k
a e
k
jk0t
xn
1 ak x(t )e jk0t dt T T
h（ t） h [n]
其中： H jk0 H e
k N
a e
k
jk
2 n N
1 ak N
n N
xne
jk
2 n N
t
由时域积分特性从 (t ) 1 也可得到:
1 u (t ) ( ) j
36
37
5.时域和频域的尺度变换
Scaling 1 若 x (t ) X ( j ) 则 x(at ) X ( j ) a a 当 a 1 时 ,有
x (t ) X ( j )
0 1
17
5.
X ( j )
W
j t
1 W 0 W
(具有此频率特性的系 统称为理想低通滤波器)
1 x (t ) 2
SinWt W W Wt W e d t Sa(Wt) Sinc( )
W
X ( j )
x(t )
W
1
W
t
0 0 W 和矩形脉冲情况相比,可以发现信号在时域和频 域间存在一种对偶关系（如下图所示）。 18
说明：在时域周期为T的周期冲激串的傅里叶变换在频域是
一个周期为
的周期冲击串。
24
25
周期信号的傅里叶变换存在条件：
1. 周期信号不满足绝对可积条件。 2. 引入冲激信号后，周期信号的傅里叶变换 是存在的。 3. 周期信号的频谱是离散的，其频谱密度， 即傅里叶变换是一系列冲激。
26
27
4.3 连续时间傅里叶变换的性质
上边两式称为傅里叶变换对
11
二、傅里叶变换的收敛
既然傅里叶变换的引出是从周期信号的傅里 叶级数表示讨论周期趋于无穷时的极限而来的，傅 里叶变换的收敛问题就应该和傅里叶级数的收敛相 一致。 也有相应的两组条件： 1 若
x(t ) dt 则 X ( j ) 存在
2
这表明所有能量有限的信号其傅里叶变换一定存在。 2 Dirichlet 条件 a. 绝对可积条件
与上例对偶的图如下:
19
同时可以看到,信号在时域和频域之间有一种 相反的关系,即信号在时域脉冲越窄,则其频谱主 瓣越宽,反之亦然。 由例五可以想到，如果 ， 将趋向
于一个冲激。
Tak X j 1 x(t ) 2
x t e jt dt
X ( j )e jt d
2 2a
X ( j )
2
t
0
a
0
a
a
2
a
14
,a 0 0 1 1 2a at j t at j t X ( j ) e e dt e e dt 2 2 0 a j a j a
2.双边指数信号： 我们看到:实偶信号的傅里叶变换是实偶函数,此时可以 用一幅图表示信号的频谱。 对此例, X ( j ) X ( j )
(t )
1
X ( j )
t
0
16
0
t T1 0, T 2SinT1 2T1SinT1 T1 j t X ( j ) e dt 2T1Sa(T1 ) 2T1Sinc( ) T T1 2T1 x(t ) X ( j )
1 1
4.矩形脉冲信号: x(t )
1 x(t ) Sin 0t [e j0t e j0t ] 2j
X ( j )
j
[ ( 0 ) ( 0 )]
0
X ( j )
0
j
j
0
22
2.
1 j0t x(t ) cos 0t [e e j0t ] 2 X ( j ) [ ( 0 ) ( 0 )]
39
x(at b) ?
1 jb a x(at b) X j e a a
40
41
42
Hale Waihona Puke 3频域微分特性44
45
46
7. 帕斯瓦尔定理
47
例题4.14
48
49
h（ t） h [n]
其中： H jk0 H e jk0
x(t ) e
a t
x(t ) e
a t
,a 0
x(t )
1
X ( j ) 0
1 a
2 a
a
X ( j )