第四章连续时间傅里叶变换
连续时间傅里叶变换
连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换（Continuous-Time Fourier Transform，CTFT）是傅里叶变换（Fourier Transform，FT）的一种，它适用于连续信号。
它能够将连续时间信号表示为一系列相同时间周期内信号幅度和相位不同的空间频率组份，即信号可以按其频率分解为更加精细的空间组份，这也是傅里叶级数的基础。
CTFT可以将任意连续时间信号表示成一组正弦信号的和，即可以将一种信号表示为正弦信号组成的线性组合，这样就可以将信号的复杂性减简，并用数学方法对它进行分析。
从理论上讲，CTFT可以将任意的空间信号表示为一组正弦信号的和，这也是CTFT的核心特性之一，也是CTFT的优势所在。
CTFT的公式可以用以下方式表示：X(ω)=∫-∞σ(t)e-^{jωt} dt其中ω为频率，s(t)为连续时间信号，X(ω)表示其傅里叶变换。
具体而言，CTFT既能够反映信号的时间变化，也能够反映其频域变化，可以将信号从时域变换到频域，允许我们从不同的角度看待信号，从而更好地理解信号。
如果将CTFT与频域分析进行比较，CTFT能够更精确地捕捉信号特征，可以更精确地确定频率、幅度和相位，因此它在信号处理、声学分析和时域分析等方面具有重要作用。
CTFT能够有效应用于维纳滤波器（Wiener Filters）、短时傅里叶变换（Short Time Fourier Transform，STFT）和抗谐波滤波（Notch Filters）等方面，通过CTFT的应用，可以利用频域的信号表示技术来提高信号分析的精度和效率。
总的来说，CTFT是一种非常实用的时域分析工具，它能够密切捕捉信号的复杂性，在信号处理，时域分析和声学分析等方面都有着广泛的应用，为更好地获取信号中的有价值信息提供了重要的视角。
通信原理第四章word版
第四章.连续时间信号与系统频域分析一.周期信号的频谱分析1. 简谐振荡信号是线性时不变系统的本征信号：()()()()()j tj t j tj y t eh t eh d ee h d ωωτωωτττττ∞∞---∞-∞=*==⋅⎰⎰简谐振荡信号傅里叶变换：()()j H j e h d ωτωττ∞--∞=⎰点 测 法： ()()j t y t e H j ωω=⋅ 2.傅里叶级数和傅里叶变换3.荻里赫勒（Dirichlet ）条件（只要满足这个条件信号就可以用傅里叶级数展开）○1()f t 绝对可积，即00()t T t f t dt +<∞⎰○2()f t 的极大值和极小值的数目应有限 ○3()f t 如有间断点，间断点的数目应有限4.周期信号的傅里叶级数5.波形对称性与谐波特性的关系6.周期矩形脉冲信号7.线性时不变系统对周期信号的响应一般周期信号：()jn tnn F ef t ∞Ω=-∞=∑系统的输出 ：()()jn tnn F H jn t e y t ∞Ω=-∞Ω=∑ 二.非周期信号的傅里叶变换（备注）二.非周期信号的傅里叶变换1.连续傅里叶变换性质2.常用傅里叶变换对四.无失真传输1.输入信号()f t 与输出信号()f y t 的关系 时域： ()()f d y t kf t t =-频域：()()dj t f Y ke F ωωω-=2.无失真传输系统函数()H ω ()()()d f j t Y H ke F ωωωω-==无失真传输满足的两个条件：○1幅频特性：()H k ω= （k 为非零常数） 在整个频率范围内为非零常数 ○2相频特性：ϕ()d t ωω=- （ 0d t > ）在整个频率范围内是过坐标原点的一条斜率为负的直线3. 信号的滤波：通过系统后 ○1产生“预定”失真○2改变一个信号所含频率分量大小 ○3全部滤除某些频率分量 4.理想低通滤波器不存在理由：单位冲击响应信号()t δ是在0t =时刻加入滤波器 的，而输出在0t <时刻就有了，违反了因果律5.连续时间系统实现的准则时 域 特 性 ： ()()()h t h t u t =（因果条件） 频 域 特 性 ： 2()H d ωω∞-∞<∞⎰佩利-维纳准则（必要条件）：22()1H d ωωω∞-∞<∞+⎰五.滤波。
连续时间傅里叶变换
第二章 连续时间傅里叶变换1 周期信号的频谱分析——傅里叶级数FS(1) 狄义赫利条件：在同一个周期1T 内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝对可积∞<⎰dt t f T 1)(。
(2) 傅里叶级数：正交函数线性组合。
正交函数集可以是三角函数集}:sin ,cos ,1{11N n t n t n ∈ωω或复指数函数集}:{1Z n e t jn ∈ω，函数周期为T 1，角频率为11122T f π=π=ω。
(3) 任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。
(4) 三角形式的FS ：(i) 展开式：∑∞=ω+ω+=1110)sin ()(n n n t n b t con a a t f(ii) 系数计算公式：(a) 直流分量：⎰=1)(110Tdt t f T a (b) n 次谐波余弦分量：N n tdt n t f T a Tn ∈ω=⎰,cos )(2111(c) n 次谐波的正弦分量：N n tdt n t f T b Tn ∈ω=⎰1,sin )(211(iii) 系数n a 和n b 统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数。
(iv) 称11/1T f =为信号的基波、基频；1nf 为信号的n 次谐波。
(v) 合并同频率的正余弦项得：n ψ和n θ分别对应合并后n 次谐波的余弦项和正弦项的初相位。
(vi) 傅里叶系数之间的关系： (5) 复指数形式的FS ：(i) 展开式：∑∞-∞=ω=n t jn n e F t f 1)((ii)系数计算：Z n dt e t f T F Tt jn n ∈=⎰ω-,)(1111(iii) 系数之间的关系：(iv) n F 关于n 是共扼对称的，即它们关于原点互为共轭。
(v) 正负n (n 非零)处的n F 的幅度和等于n c 或n d 的幅度。
(6) 奇偶信号的FS ：(i) 偶信号的FS ： ⎰ω=111cos )(2Tn tdt n t f T a ；0sin )(2111=ω=⎰Tn tdt n t f T b ； n n n a d c ==n n n n n F a jb a F -==-=22 (n F 实，偶对称)；0=ψn ；2π=θn (ii) 偶的周期信号的FS 系数只有直流项和余弦项。
第四章-连续时间傅里叶变换
谱线间隔
0
2π T
k
nT 2T1
2,4,6时，ak 0
k
(b) T=8 T1 -4 0
谱线间隔
0
2π T
k
nT 2T1
4,8,12时，ak 0
k 4
T 2T1 T 2T1
T 不变T1 时
1/ 2
20 0 0 40
1/ 4
80 0 0 40
1/8
0 0
80
T
2T1
2T1 1 k0 T0 2
2T1 1 k0 T0 4
2020/8/9
4.0 引言
在工程应用中常见的信号是非周期信号:
➢对非周期信号应该如何进行分解？ ➢非周期信号的频谱如何表示？ 在时域，若一个周期信号的周期趋于无穷大，则周期信号将演 变成一个非周期信号。 考查连续时间傅立叶级数在周期趋于无穷大时的变化，就能得 到对非周期信号的频域表示方法。
2
4.1 非周期信号的表示— 连续时间傅立叶变换
第4章 连续时间傅立叶变换
The Continuous time Fourier Transform
本章的主要内容: 1. 连续时间非周期信号的傅立叶变换 2. 傅立叶级数与傅立叶变换之间的关系 3. 傅立叶变换的性质 4. 采样定理
说明：内容1-3对应于教材第4章的4.1-4.6节； 内容4对应与教材第7章7.1-7.3节部分内容
T / 2 x(t )e jk0t dt
T / 2
当 T
0
2
T
d,
k0 ,
若令
lim
T
Tak
X(
j)
则有
X ( j) x(t)e jtdt
连续时间系统的频域分析-资料
傅里叶变换形式的系统函数
et ht rt
设
E H R
若e(t) E(), 或E(j)
第
7
页
二维傅里叶变换的模
模相同，相位为零
模为1，相位相同
第
8
页
相位相同，模为（g）图的
（g）图
4.2 LTI系统频率响应的模和相位表示
The Magnitude-Phase Representation of the Frequency Response of LTI Systems
• LTI系统对输入信号所起的作用包括两个方面: 1.
求 稳 v2 (t)态 响 应
解：
V 1 ( j) j π ( 0 ) ( 奇函0 ) 数
V 2 (j) H (j)V 1 (j)
偶函数
H () j e j ( ) j π ( 0 ) ( 0 )
所 V 2 ( j ) H ( j 0 ) 以 j π ( 0 ) e j ( 0 ) ( 0 ) e j ( 0 )
这说明：一个信号所携带的全部信息分别包含在 其频谱的模和相位中。
因此，导致信号失真的原因有两种： 1.幅度失真：由于频谱的模改变而引起的失真。 2.相位失真：由于频谱的相位改变引起的失真。
在工程实际中，不同的应用场合，对幅度失真 和相位失真有不同的敏感程度，也会有不同的 技术指标要求。
原图像 傅里叶变换的相位
第四章 连续时间系统频域分析 齐开悦
《信号与系统》第四章
图 两个矢量正交
矢量的分解
c2V2
V
V2
2
o
1
V1
c1V1
图 平面矢量的分解
c3V3
V3
V
o V1
V2
c2V2
c1V1
V c1V1 c2V2 c3V3
图 三维空间矢量的分解
推广到n维空间
1 正交函数的定义
在区间 (t1,t内2 )，函数集 {0 (t),1(t中),的,各N个(t)函} 数间，若满足下列 正交条件：
➢在波形任一周期内，其第二个半波波形与第一个半波波形相同；
x(t) x(t T0 / 2)
➢这时x(t)是一个周期减半为
的周期非正弦波，其基波频率
为
，即其只含有偶次谐T0波2；
20
4.4波形对称性与傅里叶系数
4 奇半波对称
➢在波形任一周期内，其第二个半周波形恰为第一个半周波形的
负值； x(t) x(t T0 / 2)
交函数集 {0 (t),1(t), ,N (t)} 是完备的,即再也找不到一个函数 (t)
能满足
t2
(t)
* m
(t
)dt
0
t1
m 0,1, , N
则在区间 (t1,t2 ) 内，任意函数x(t)可以精确地用N+1个正交函数地加权和
表示：
N
x(t) c00 (t) c11(t) cN N (t) cnn (t)
T0
3 傅里叶级数系数的确定
➢正弦—余弦形式傅里叶级数的系数
2Bk
2 T0
x(t) cos k0tdt
T0
2Dk
2 T0
x(t) sin k0tdt
连续时间系统傅里叶变换的性质
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
FT [ x (t ) cos 0t ]
FT [ x( t )] X ( )
X ( )
1 j 0t j 0 t x (t )[e e ] 2
频 移 特 性
1 2
0
1 2
X ( 0 )
X ( )
X ( 0 )
0
0
1 [ X ( 0 ) X ( 0 )] 2
1
2 X ( w ) F { xe ( )} F { xo ( )} j
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
3、时移特性
若 则
x( t ) X ( )
x(t t0 ) X ( )e
j t 0
例4 11 : 求移位冲激函数的频谱 函数
(t ) 1
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
例4 13 : 已知x(t)为三角形调幅信号，试 求其频谱
T 1 2
x1 ( t )
T1 2
T 1 2
x( t )
T1 2
x(t ) x1 (t ) cos0t
T1 2 T1 X 1 ( ) Sa ( ) 2 4
P147
T1 2 ( 0 )T1 2 ( 0 )T1 X ( ) [ Sa Sa ] 4 4 4
( j )
(t t0 ) e
(t t0 ) e
jt 0
jt 0
t 0
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
思考:下列信号的傅立叶变换
x( t )
1
t
2
X ( w) 2e
jw
sinc( w)
第三、四章连续时间信号与系统的频域分析内容总结
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
8 页
例15、试求信号f(t)=cos(4t+ )的频谱 。 3
解：
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
9 页
例16、一因果LTI系统的输入和输出，由下列微分方程表示：（采用傅里叶变
换计算）。 （1）求系统的单位冲激响应 h( t ) ；
d 2 y( t ) dy( t )
X
第
连续时间信号与系统的频域分析内容总结
2 页
第四章是傅里叶变换在LTI系统分析中的应用。 在第三章信号频域分解、分析基础上，研究不同激励信号 通过系统的响应、信号通过系统无失真条件、理想低通滤波器 模型以及物理可实现条件、希尔伯特变换、抽样定理等主要内 容。
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
3) (j
5)
1ห้องสมุดไป่ตู้
j
3
1
j 5
2
j
4
y z s(t ) e 3t (t ) e 5t (t ) 2e 4t (t )
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
10 页
例17、如图所示系统，其乘法器的两个输入端分别为：f (t) sin(2t) , s(t) cos(6t)
系统的频率响应为
8
15y( t ) 2 f ( t )
dt 2
dt
（2）若 f ( t ) e4t( t ) ，求该系统的零状态响应 yzs (t) 。
解： （1）
H ( j)
2
11
j2 8 j 15 j 3 j 5
h(t) e 3t(t) e 5t(t)
（2）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 解：ak T
T
T
(t )e
j
2 kt T
1 dt T
1 T 2 (t )dt T
T 2
21
4.2
2 X ( j ) T
2 ( T k ) k
例4.周期性矩形脉冲的傅里叶变换。
周 期 信 号 的 傅 立 叶 变 换 4.2
解：由X ( j ) 2
~t x
k
ak e jk0t
1 T0
k
X jk0 e jk0t
1 2
k
X jk0 e jk0t 0
非 周 期 信 号 的 表 示
4.1 8
当 T0
~(t ) xt 此时 x 1 x(t ) X ( j )e jt d 于是 2
23
4.3 连续时间傅立叶变换的性质
讨论连续时间傅立叶变换的性质, 揭示信号时域、频域特
非 周 期 信 号 的 表 示 4.1 6
当T0
周期性矩形脉冲信号将演变成为 时， 非周期的单个矩形脉冲信号，即
~ (t ) xt x
考查 T0 ak 的变化: 它在 T0 时可以是有限的。 由 令
T0 ak
T0 2
T0 2
xt e
jk0t
dt
T0
得 Tlim T0 ak
—连续时间傅立叶变换
本节主要内容
非周期信号傅里叶变换公式推导
傅里叶变换的收敛条件
常见信号的傅里叶变换
3
一.从傅立叶级数到傅立叶变换
1, t T1 x t 周期矩形脉冲: 0, T1 t T0 / 2 2 sin k0T1 2 sin k0T1 T0 ak 频谱系数为： ak k0T0 k0
1 a j t 0~
1
11
4.1
则模： ( j ) X , 相位： X ( j ) tg a a2 2
1
X ( j )
X ( j )
x(t )
1
1/ a
2 2a
2
t
0
a
0
a
a
2
a
例2. x(t ) e
4.1
a t
0
实偶函数,如图
示信号的频谱。
则模：X ( j ) X ( j )
x(t )
1
X ( j ) 0
1 a
2 a
a
X ( j )
t
12
0
a
例3. x(t ) (t )，求其傅里叶变换。
解： ( j) (t )e jt dt 1 X
非 周 期 信 号 的 表 示
13
0
4.1
这表明 (t ) 中包括了所有的频率成分,所有 频率分量的幅度、相位都相同。因此单位冲激响 应
h(t )才能完全描述一个LTI系统特性， (t ) 才在
(t )
1
信号与系统分析中具有如此重要的意义。
X ( j )
t
0
例4.求矩形脉冲的傅里叶变换:
解：X ( j ) e
0
表明：1.而非周期信号的频谱是周期信号频谱的包络； 2.周期信号的频谱系数，是与它对应的非周期信号
频谱的等间隔样本，并与之成正比。
物理含义，因而称其为频谱密度函数。
ak X ( j ) lim T0 ak lim 具有频谱随频率分布的 T0 T0 , f0 0 f 0
根据周期信号的傅立叶系数表示：
1
W
x(t )
W
0
W
0
t
W
对偶情况如下图所示:
4.1 非 周 期 信 号 的 表 示
结论：信号在时域和频域之间有相反关系,即信号 在时域脉冲越窄,则其频谱主瓣越宽,反之亦然。
16
可以想象，如果
，
将趋向于一个冲激；反之时
域无限长时，频域可能是个冲激。 例6：求 x t 1 的傅立叶变换 X j 。 分析：1）不满足收敛条件，不能由傅立叶变换公式求； 2）该信号在时域持续无限长，根据上例，在频域 可能无限窄，即傅立叶变换可能是冲激信号； 3）用频域的一个冲激信号 ，求对应时域信号。 1 解：由傅氏反变换公式：x(t ) X ( j )e jt d， 的时域信号为: 2 4.1 非 周 期 信 号 的 表 示 17
x(t ) dt ，则 X ( j )
存在
表明:能量有限的信号其傅立叶变换一定存在。
2.
Dirichlet 条件
a. 绝对可积条件： 非 周 期 信 号 的 表 示 4.1 10
x(t ) dt
x(t )
b. 在任何有限区间内， x(t )只有有限个极值点，且 极值有限。
2 时， 0 d , k0 , T0 ~(t ) 1 X j e jt d x 2
傅里叶逆变换
上式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率连续 1 分布的、振幅为 X j d 的复指数信号之和。 2
非 周 期 信 号 的 表 示
0
xt e
jk0t
dt X ( j )
非周期信号的傅立叶变换
周期延拓后周期 信号的频谱系数
令
即
X j
x t e jt dt
非 周 期 信 号 的 表 示
4.1 7
1 1 ak X j X jk0 T0 T0 k
第四章
连续时间傅立叶变换
主要内容
傅立叶级数与傅立叶变换之间的关系 连续时间傅立叶变换 傅立叶变换的性质
系统的频率响应
1
§4.0
引 言
在工程应用中有相当广泛的信号是非周期
信号，本章要解决的问题有两个：
1. 对非周期信号应该如何进行分解？
2. 什么是非周期信号的频谱表示？
2
§ 4.1 非周期信号的表示
, a 0，求其傅里叶变换。
at jt
解：X ( j) e e
dt eat e jt dt
0
1 1 2a 非 at jt 周e e dt a j a j a 2 2 0 期
信 号 的 表 示
结论:实偶信号 的傅立叶变换是
W ，求其时域表达式。 W
jt
1 解：由x(t ) 2
X ( j )e d
非 周 期 信 号 的 表 示
15
4.1
1 W jt SinWt W W Wt x(t ) e d Sa(Wt ) Sinc( ) 2 W t
X ( j )
4.1 非 周 期 信 号 的 表 示 5
叶系数的采样间隔也越来越密集，因此，傅里
叶系数更加趋近于包络函数。 非周期信号傅里叶表示的基本思想： 把非周期信号当作一个周期信号在周期任意 大时的极限来看待，并且研究这个周期信号傅里 叶表示式的极限特性。
~ (t ) x :周期性矩形脉冲信号； xt :等于一个周期内的~ (t ) ，具有有限持续期。 x
2 0 对应的时域信号。
18
频移的冲激信号： X j 2 0 傅立叶反变换得：xt 1 2
2 0 e jt d e j0t
表明：周期性复指数信 F 周 j0t 期 e 2 0 号的频谱是一个冲激。 信 F jk0t 号 e 2 k0 的 F 傅 x(t ) ak e jk0t 2 ak ( k0 ) 立 k k 叶 变 即周期信号的傅立叶变换为： X ( j ) 2 ak ( k0 ) 换 k
20
4.2
2
X ( j ) [ ( 0 ) ( 0 )]
0
0
0
X ( j ) 2
例3. 求x(t )
周 期 信 号 的 傅 立 叶 变 换
n
(t nT )的傅立叶变换。
2 2
k
a ( k )
k 0
T1 0 T1
1
脉宽变宽时
t
0
T1
x(t )
0
X ( j )
4T1
2T11 2T
2T1
2T1
t
1 T0
将 X ( j ) 中的 代之以 k0 再乘以
ak
,即是相应周期信号的频谱。
2T1 2T Sink0T1 Sa(k0T1 ) 1 T0 T0 k0T1
1, 例5.理想低通滤波器 X ( j ) 0,
X j x t e jt dt 傅立叶变换对公式： 1 x(t ) X ( j )e jt d 2
4.1 9
二.傅立叶变换的收敛
和傅立叶级数的收敛条件一致，也有相应 的两组条件： 1.平方可积条件
2
若
T1 T1 jt
1, x (t ) 0,
t T1 t T1
。
2SinT1 2T1SinT1 T1 dt 2T1Sa(T1 ) 2T1Sinc( ) T1
X ( j )
非 周 期 信 号 的 表 示
14