第四章-连续时间傅里叶变换
4种傅里叶变换
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4种傅里叶变换
DFT的变换 的变换
x(nT)=x(n)
Tp = 1 F
Tp = NT
x(e jkΩ0T ) x(k)
0 T 2T 1 2
Ωs = 2 π T 1 fs = T
NT
N
Ω0 =
2 π =2 F π Tp
t n
Ωs = N 0 Ω
( )
--Ω
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4种傅里叶变换
4.离散傅里叶变换 离散傅里叶变换(DFT) 离散傅里叶变换
周期性离散时间信号从上可以推断： 周期性离散时间信号从上可以推断： 从上可以推断 周期性时间信号可以产生频谱是离散的 离散时间信号可以产生频谱是周期性的。 离散时间信号可以产生频谱是周期性的。 得出其频谱为周期性离散的 得出其频谱为周期性离散的。 周期性离散
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4种傅里叶变换
四种傅里叶变换形式的归纳
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Ω
正: X(e jω ) =
1 反 : x(n) = 2π
n=−∞
x(n)e − jnω ∑
∞
∫π
−
π
X(e jπ )e jnω dω
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4种傅里叶变换
对称性
时域信号 离散的 非周期的 频域信号 周期的 连续的
时域：非周期、离散（取样间隔为T 时域：非周期、离散（取样间隔为T） 频域：连续、周期（ 频域：连续、周期（周期为 Ω = 2π ） s
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傅里叶变换公式总结
傅里叶变换公式总结
傅里叶变换是一种在信号处理和频谱分析中广泛应用的数学工具，用于将一个时域信号转换为频域表示。
傅里叶变换公式描述了信号在时域和频域之间的转换关系。
以下是傅里叶变换的基本公式总结：
时域信号表示：
一个连续时间域的信号函数 f(t) 可以通过傅里叶变换转换为
连续频域的信号函数 F(ω)。
傅里叶变换的时域表示公式为：F(ω) = ∫[f(t) * e^(-jωt)] dt
其中，F(ω) 表示频域信号的复数函数，ω是频率变量，e 是自然对数的底，j 是虚数单位。
频域信号表示：
一个连续频域的信号函数 F(ω) 可以通过傅里叶逆变换转换回连续时间域的信号函数 f(t)。
傅里叶逆变换的频域表示公式为：f(t) = (1/2π) ∫[F(ω) * e^(jωt)] dω
其中，f(t) 表示时域信号的复数函数，t 是时间变量，e 是自然对数的底，j 是虚数单位。
这两个公式是傅里叶变换中的核心公式，它们描述了信号在时域和频域之间的双向转换关系。
通过傅里叶变换，我们可以将
信号从时域的波形表示转换为频域的频谱表示，以便对信号的频率特性和谱分布进行分析和处理。
需要注意的是，上述公式是连续傅里叶变换的表示形式，适用于连续时间和频率的信号。
对于离散时间和频率的信号，我们可以使用离散傅里叶变换（DFT）和离散傅里叶逆变换（IDFT）来进行相应的转换。
时间序列傅里叶变换
时间序列傅里叶变换时间序列傅里叶变换是一种重要的信号分析方法。
它可以将一个时间序列信号分解为多个正弦波的加权和，从而更好地理解信号的周期性和波动规律。
本文将从概念、公式、应用、优缺点等方面介绍时间序列傅里叶变换。
一、概念时间序列傅里叶变换是一种将时域信号转化为频域信号的表达方法。
任何理解复杂的信号都可以看作是简单正弦波的叠加。
这些正弦波组成了信号的频谱。
傅里叶变换可以将一个时间序列分解为多个正弦波的加权和，得到信号的频域信息。
二、公式傅里叶变换的数学描述为：$$F(w)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-jwt}dt$$其中$w$表示频率，$f(t)$是原始信号。
公式的本质是将时域信号$f(t)$从时间域转换到了频域。
傅里叶变换的逆变换为：$$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(w)e^{jwt}dw$$三、应用时间序列傅里叶变换被广泛地应用于信号分析、图像处理、通信工程等领域。
其中，信号分析是最为重要的应用之一。
该方法可以用来识别信号的周期性，分离信号中的噪音，甚至可以用于诊断某些疾病。
四、优缺点时间序列傅里叶变换有许多优点，例如：1. 能够提取信号的频域信息，更好地理解信号的周期性和波动规律。
2. 可以应用于各种类型的信号，包括周期性、非周期性、连续性和离散性等。
3. 可以用于处理非线性系统和时变系统。
然而，该方法也有一些缺点：1. 傅里叶变换假设信号是周期性的，这在很多情况下是不成立的。
2. 该方法需要处理无限长的时间序列信号，计算量较大。
3. 傅里叶变换对于信号的变化具有时不变性，这在某些情况下可能是不合适的。
总的来说，时间序列傅里叶变换是一种重要的信号分析方法，它可以提取信号的频域信息，更好地理解信号的周期性和波动规律。
但是需要注意的是，在具体应用时需要根据信号的特点来选择合适的信号分析方法。
常见信号的傅里叶变换
实验二
连续非周期信号的傅里叶变换（FT）及其性质一、实验目的
在理论学习的基础上，通过本实验熟悉常见信号的傅里叶变换及掌握连续时间傅里叶变换的性质。
二、相关知识
常见信号的傅里叶变换和连续时间傅里叶变换(CTFT)的性质
1、常见连续时间非周期信号及其傅里叶变换列表如下：
在本实验中可以可以对以上信号采取以下常见运算，运算结果表达式列表如下：
三、思考问题
1、X(w)和C k在量纲上分别有什么区别？
2、C k和X(w)是否分别代表周期信号和非周期信号各频率分量的振幅？
3、如果对X(w)在频域进行抽样，即令X(w)用X(KW0)代替，那么在时域对信号会产生什么影响？。
傅里叶变换公式】
傅里叶变换公式
傅里叶变换（Fourier Transform）是一种数学运算，用于将一个函数从时域（时间域）转换到频域。
傅里叶变换的基本公式如下：
离散傅里叶变换（DTFT）：X(k) = Σ[n=0, N-1] x(n) * e^(-j * 2π * k * n / N) 其中，X(k)表示频域中的复数值，k表示频域的离散频率，x(n)表示时域中的复数值，n表示时域的离散时间，N表示时域采样点数。
如果是连续信号，可以使用连续傅里叶变换（CTFT）：
X(ω) = ∫[−∞,+∞] x(t) * e^(-j * ω * t) dt 其中，X(ω)表示频域中的复数值，ω表示频域的连续角频率，x(t)表示时域中的复数值，t表示时域的连续时间。
傅里叶变换将信号从时域变换到频域，可以揭示信号中不同频率成分的强度和相位信息，对于频谱分析、滤波、信号处理等具有重要意义。
傅里叶变换的逆变换可以将信号从频域重新转换回时域，以便还原原始信号。
需要注意的是，上述公式是傅里叶变换的基本形式，而傅里叶变换还有一些特殊形式和性质，如快速傅里叶变换（FFT）等。
这些公式和性质在信号处理、图像处理、通信等领域中有着广泛的应用。
信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社第四章-2
a↓
t
w
e
a t
2a ( 0) 2 a 2
e
a t
2a ( 0) 2 a 2
a→0
a→0
a 0
lim e a|t| 1
利用A lim
0, 0 lim 2 lim 2 0 A ( ) 2 a 0 a a 0 a 2a
(t ) 1
0
(1) t
f(t)
1 0
F[1]
w
1 2 ( )
0
1 t 0
(2) w
另外还有： G ( t ) sa 2
0 sa 0 t G20 ( )
时域、频域的这种二元性，是正变换和逆变换公式中的相似性造成的。
d
1 j t F ( j ) d e 2
①：非周期信号可以分解成无穷多个 e jt 的连续和； ②：发生在一切频率上，是连续变化的； ③：各频率分量的系数 但F(jw)描述了各频率分量的相对比例关系，即描述了
1 F ( j )d 2
2
例3：单位冲激信号(t)的频谱:
(t)
(t ) 1
F[(t)]
(1) 0 t 0
1 w
分析： (t)的频谱包含了所有频率分量，且各个频率分量的相对大小相同。 称为白色谱。
例4：单位阶跃信号u(t)的频谱:
当 lim e
a 0 t
1 u( t ) u( t )，求u( t )的频谱。u( t ) ( ) j
1 a
1 u( t ) a j
t
2
4第四章 周期信号傅里叶级数
∞
和C n e
jnω 0 t
共轭
n =1
(
)
= C 0 + 2∑
令
a n jbn Cn = 2 由于C0是实的，所以b0=0，故
∞
n =1
Re( C n e j n ω 0 t )
C0 =
a0 2
由此可以推出：
三角形式傅立叶级数
连续时间周期信号三角形式傅立叶级数为：
∞ a0 ∞ f (t ) = + ∑ an cos nω0t + ∑ bn sin nω0t 2 n =1 n =1
连续时间周期信号的 连续时间周期信号的频域分析
连续时间周期信号的傅立叶级数表示 连续时间傅里叶级数的基本性质 连续时间周期信号的频谱及其特点 连续时间周期信号的功率谱
傅里叶生平
1768年生于法国 1768年生于法国 1807年提出 任何？ 年提出“ 1807年提出“任何？ 周期信号都可用正弦 函数级数表示” 函数级数表示” 1829年狄里赫利第一 1829年狄里赫利第一 个给出收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表 年首次发表“ 1822年首次发表“热 的分析理论” 的分析理论”中
连续时间傅里叶级数对：
∞ ∞
综合公式 反变换） （反变换）
f (t ) =
C
n = ∞
∑C
n
e
jnω0t
=
n = ∞
∑C
n
e
2π jn T
t
n
1 = T
∫
T 2 T 2
f T (t )e
jn ω 0 t
dt
Cn
称为傅里叶系数或频谱系数
分析公式 正变换） （正变换）
信号分析第四章：拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
A ( 1 esT ) AesT sF ( s ) Ts
F( s )
A/T s2
( 1 e sT
)
A e sT s
f (t)
A T
0
f (0 ) 0
Tt A ( t T )
20
拉普拉斯变换的性质
例 10 f (t) t e(t2) (t 1)
方法一：因为 (t 1) 1 es
中：a >0
解：
F ( s ) 0 e( sa ) tdt 0 e( a ) te j tdt 1
sa
为保证收敛，有 a+<0，故收敛域为 <-a
j
收 敛 a 0 域
9
拉普拉斯变换的收敛区
例3
求双边信号 f (t)= -e – t (-t)+ e -2t (t)的拉普拉斯变 换及其收敛域。
s s0
令 s0 = 实数， 则
et( t ) s
1
令 s0 = j 虚数， 则 e j t ( t ) s
1 j
12
常用函数的拉普拉斯变换 三个基本函数的拉普拉斯变换
• 单位阶跃函数 (t)
已知 es0 t ( t ) 1
s s0
令上例中s0=0。则
(
t
)
1 s
• 单位冲激函数 (t)
s 1
t
e(
t1 )
(
t
1)
d ds
(
s
1 es 1
)
(
s
1 1 )2
es
s
1 es 1
F(
s
)
(
2 s s 1 )2
e s1
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谱线间隔
0
2π T
k
nT 2T1
2,4,6时，ak 0
k
(b) T=8 T1 -4 0
谱线间隔
0
2π T
k
nT 2T1
4,8,12时，ak 0
k 4
T 2T1 T 2T1
T 不变T1 时
1/ 2
20 0 0 40
1/ 4
80 0 0 40
1/8
0 0
80
T
2T1
2T1 1 k0 T0 2
2T1 1 k0 T0 4
2020/8/9
4.0 引言
在工程应用中常见的信号是非周期信号:
➢对非周期信号应该如何进行分解？ ➢非周期信号的频谱如何表示？ 在时域，若一个周期信号的周期趋于无穷大，则周期信号将演 变成一个非周期信号。 考查连续时间傅立叶级数在周期趋于无穷大时的变化，就能得 到对非周期信号的频域表示方法。
2
4.1 非周期信号的表示— 连续时间傅立叶变换
第4章 连续时间傅立叶变换
The Continuous time Fourier Transform
本章的主要内容: 1. 连续时间非周期信号的傅立叶变换 2. 傅立叶级数与傅立叶变换之间的关系 3. 傅立叶变换的性质 4. 采样定理
说明：内容1-3对应于教材第4章的4.1-4.6节； 内容4对应与教材第7章7.1-7.3节部分内容
T / 2 x(t )e jk0t dt
T / 2
当 T
0
2
T
d,
k0 ,
若令
lim
T
Tak
X(
j)
则有
X ( j) x(t)e jtdt
连续时间傅立叶变换
X ( j) 称为频谱密度函数，简称为频谱
与周期信号傅立叶级数对比有：
ak
1 T
X ( j)
k0
9
根据傅立叶级数表示：
x(t)
是有限值。若T1不变，则Tak不变。
6
称连续量
2
sin T1
为Tak的包络;
离散量Tak为
2
sin T1
在
k0处的样本点;
若T1不变,则包络
2
sin T1
也不变.
周期方波信号的傅里叶级数系数及其包络 T1不变，(a)T=4T1,(b)T=8T1,(c)T=16T1
连续时间非周期信号傅里叶变换对的数学推导：
一.从傅立叶级数到傅立叶变换
首先考察周期矩形脉冲的频谱图： x(t)
xt
1,
t T1
0, T1 t T 2
…
…
-T -T/2 -T1 T1 T/2 T
t
其傅里叶级数的系数（频谱）为
a0
1 T
T1 dt 2T1 ,
T1
T
2T1 ---占空比
T
ak 2asiknk(k02Ts0iTnk1)k0T0Ts1in kskin2Tkk10TT1 , k 0
160
k0
2T1 1 T0 8
T1不变 T 时
1/2
0 0 20 40 1/4
0 0 40
80
1/8
0 80 160
2T1 1
1 5
k0
T8
周期性矩形脉冲信号的频谱特征： 1. 离散性 2. 谐波性 3. 收敛性
1. 当T1不变，改变T 时，随着T 增大，占空比减小，谱线间 隔变小，幅度下降,但频谱包络的形状不变；
2
10
于是，我们得到了对非周期信号的频域描述方法
X ( j) x(t)e jtdt
x(t) 1 X ( j)e jtd
2
这一对关系被称为连续时间傅立叶变换对。
11
二.常用信号的傅立叶变换：
1. x(t) eatu(t), a 0
X ( j ) eate jtdt 1
0
其中，当 k 2T1 / T n , (n 1,2,),即k nT / 2T1,时, ak 0 3
ak
sin k 2T1
k
T
（50% 占空比）
若 T = 4T1 有： a0 1/ 2; a1 a1 1/ ; a2 a2 0
a3 a3 -1/ 3 ; a4 a4 0
a5 a5 1/ 5 ; a6 a6 0
a j
这个的傅立叶变换一定要记住！！
x(t )
1
t
0
X ( j ) 1 a2 2
arg
X
(
j)
arg
tan
a
X ( j)
1/ a
1
2a
a 0 a
arg X ( j)
/2
a /4
a
/ 4
/ 2
幅度谱是偶函数
相位谱是奇函数 12
傅立叶变换的收敛条件：
上例中 x(t) eatu(t) 的傅立叶变换存在的条件，即积
分 X ( j)
eate jt dt
0
收敛于
1
a j
的前提是
a>0
可见，并不是所有信号的傅立叶变换都存在。 一个信号x(t)存在傅立叶变换的前提是它满足狄里 赫利条件：
| x(t) | dt
13
2. x(t) ea t , a 0
X ( j) 0 eate jtdt eate jtdt
ak e jk0t
k
1 T0
k
X ( jk0 )e jk0t
1
2
k
X
(
jk0
)e
jk0t 0
当 T0 时，x(t) x(t),
0
2
T0
d,
k0 于是有：
x(t) 1 X ( j)e jtd
2
傅立叶反变换
此式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率 连续分布、振幅为 1 X ( j的)d复 指数信号之和。
2. 当 T → ∞ 时，周期性矩形脉冲信号将演变成为非周期的
单个矩形脉冲信号，并且
0
2
T
d,
k0
。离散
的频谱将演变为连续的频谱；
3.
ak
2 sin T1
T
也随T 增大而减小，并最终趋于0。但
k0
是若考查
Tak
2sin T1
的变化，等式右边与T无关。若
k0
T为有限值时，Tak是有限值，那么当 T → ∞ 时，Tak仍然
保持T不变，缩小T1： 若 T = 8T1 有: a0 1/4;
a1 a1 2 2 ; a2 a2 1 2 ;
a3 a3 2 6 ; a4 a4 0;
a5 a5 - 2 10 ; a6 a6 -1 6 ;
a7 a7 - 2 14 ; a8 a8 0;
(a) T=4 T1 -2 0 2
考察下图所示周期信号 ~x (t) 和对应的非周期信号x(t):
对周期信号有如下傅里叶级数:
~x (t)
ak e jk0t
ak
k
1 ~x (t )e jk0t dt TT
Tak
T / 2 x(t)e jk0t dt
T / 2
8
由
Tak
T / 2 x(t)e jk0t dt
T / 2
0
a
1
j
a
1
j
2a
a2 2
x(t)
1
t
0
对此例有 X ( j) X ( j)