dsp第4章快速傅里叶变换(FFT)
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快速傅里叶变换FFT
第4章 迅速傅里叶变换(FFT)
本章主要内容
▪ 引言 ▪ 基2FFT算法 ▪ 进一步降低运算量旳措施
4.1 引言
▪ DFT是信号分析与处理中旳一种主要变换。但直接计算DFT旳 计算量与变换区间长度N旳平方成正比，当N较大时，计算量 太大，直接用DFT算法进行谱分析和信号旳实时处理是不切 实际旳。
▪ 1965年发觉了DFT旳一种迅速算法，使DFT旳运算效率提升1－2 个数量级，为数字信号处理技术应用于多种信号旳实时处理 发明了条件，推动了数字处理技术旳发展。
r 0
x2 ( r )WN2 kr
X (k) x(n)WNkn x(n)WNkn
n
n
X(k) x(n)WNkn x(n)WNkn
n
n
X (k )
x(n)WNkn
x(n)WNkn
N / 21
N / 21
N / 21
N / 21
n
n
x(2r)WN2kr
x(2r 1)WNk(2r1) x(2r)WN2kr x(2r1)WNk(2r1)
4.2 基2FFT算法
2.旋转因子旳变化规律
N点DIT―FFT运算流图中，每个蝶形都要乘以旋转因子WpN，p 称为旋转因子旳指数。N＝8 ＝23 时各级旳旋转因子
第一级：L=1， 有1个旋转因子：WNp =WN/4J =W2LJ J=0 第二级：L=2，有2个旋转因子：WNp =WN/2J =W2LJ J=0,1 第三级：L=3，有4个旋转因子：WNp =WNJ =W2LJ J=0,1,2,3 对于N＝2M 旳一般情况，第L级共有2L-1个不同旳旋转因子：
▪ 1984年，提出了分裂基迅速算法，使运算效率进一步提升；
4.2 基2FFT算法
本章主要内容
▪ 引言 ▪ 基2FFT算法 ▪ 进一步降低运算量旳措施
4.1 引言
▪ DFT是信号分析与处理中旳一种主要变换。但直接计算DFT旳 计算量与变换区间长度N旳平方成正比，当N较大时，计算量 太大，直接用DFT算法进行谱分析和信号旳实时处理是不切 实际旳。
▪ 1965年发觉了DFT旳一种迅速算法，使DFT旳运算效率提升1－2 个数量级，为数字信号处理技术应用于多种信号旳实时处理 发明了条件，推动了数字处理技术旳发展。
r 0
x2 ( r )WN2 kr
X (k) x(n)WNkn x(n)WNkn
n
n
X(k) x(n)WNkn x(n)WNkn
n
n
X (k )
x(n)WNkn
x(n)WNkn
N / 21
N / 21
N / 21
N / 21
n
n
x(2r)WN2kr
x(2r 1)WNk(2r1) x(2r)WN2kr x(2r1)WNk(2r1)
4.2 基2FFT算法
2.旋转因子旳变化规律
N点DIT―FFT运算流图中，每个蝶形都要乘以旋转因子WpN，p 称为旋转因子旳指数。N＝8 ＝23 时各级旳旋转因子
第一级：L=1， 有1个旋转因子：WNp =WN/4J =W2LJ J=0 第二级：L=2，有2个旋转因子：WNp =WN/2J =W2LJ J=0,1 第三级：L=3，有4个旋转因子：WNp =WNJ =W2LJ J=0,1,2,3 对于N＝2M 旳一般情况，第L级共有2L-1个不同旳旋转因子：
▪ 1984年，提出了分裂基迅速算法，使运算效率进一步提升；
4.2 基2FFT算法
数字信号处理课件第4章快速傅里叶变换FF
雷达信号压缩
通过FFT对雷达信号进行频谱分析，实现雷 达数据的压缩，减小存储空间和传输带宽。
谢谢聆听
05 FFT的局限性与挑战
浮点运算的开销问题
浮点运算开销
快速傅里叶变换（FFT）算法在实 现过程中需要进行大量的浮点运 算，这可能导致计算成本较高， 尤其是在处理大规模数据时。
硬件资源需求
由于FFT的浮点运算密集特性，对 计算设备的硬件资源（如CPU、 GPU等）要求较高，需要具备高 性能的计算能力。
FFT的软件实现
C/C实现
01
使用C或C等通用编程语言实现FFT算法，具有较好的通用性和
可移植性。
优化编译器
02
利用现代编译器的优化功能，如向量化、内联等，可以提高软
件实现的计算速度。
并行计算框架
03
利用OpenMP、CUDA等并行计算框架，可以实现多核或多
GPU上的并行计算。
FFT的优化方法
算法改进
FFT的历史与发展
历史
FFT的诞生可以追溯到1960年代，其发展经历了多个阶段，包括库利-图基算法、威尔金森算法、桑德斯算法等 。
发展
随着计算机技术的不断进步，FFT算法在实现方式、精度、并行化等方面不断得到优化和改进，以满足不同应用 场景的需求。
02 FFT的基本算法
递归算法
递归算法是一种基于数学归纳法的算法，通过将问题分解为更小的子问题来解决 问题。在FFT中，递归算法将一个长度为N的DFT问题分解为两个长度为N/2的 DFT问题，直到最后分解为基本的DFT问题。
特别是在信号处理领域，FFT的应用非常广泛。
FFT与Z变换的关系
定义
Z变换是离散时间信号 到复平面上的扩展，而 FFT是频域的一种快速 计算方法。
通过FFT对雷达信号进行频谱分析，实现雷 达数据的压缩，减小存储空间和传输带宽。
谢谢聆听
05 FFT的局限性与挑战
浮点运算的开销问题
浮点运算开销
快速傅里叶变换（FFT）算法在实 现过程中需要进行大量的浮点运 算，这可能导致计算成本较高， 尤其是在处理大规模数据时。
硬件资源需求
由于FFT的浮点运算密集特性，对 计算设备的硬件资源（如CPU、 GPU等）要求较高，需要具备高 性能的计算能力。
FFT的软件实现
C/C实现
01
使用C或C等通用编程语言实现FFT算法，具有较好的通用性和
可移植性。
优化编译器
02
利用现代编译器的优化功能，如向量化、内联等，可以提高软
件实现的计算速度。
并行计算框架
03
利用OpenMP、CUDA等并行计算框架，可以实现多核或多
GPU上的并行计算。
FFT的优化方法
算法改进
FFT的历史与发展
历史
FFT的诞生可以追溯到1960年代，其发展经历了多个阶段，包括库利-图基算法、威尔金森算法、桑德斯算法等 。
发展
随着计算机技术的不断进步，FFT算法在实现方式、精度、并行化等方面不断得到优化和改进，以满足不同应用 场景的需求。
02 FFT的基本算法
递归算法
递归算法是一种基于数学归纳法的算法，通过将问题分解为更小的子问题来解决 问题。在FFT中，递归算法将一个长度为N的DFT问题分解为两个长度为N/2的 DFT问题，直到最后分解为基本的DFT问题。
特别是在信号处理领域，FFT的应用非常广泛。
FFT与Z变换的关系
定义
Z变换是离散时间信号 到复平面上的扩展，而 FFT是频域的一种快速 计算方法。
DSP第4章快速付里叶变换FFT.
第四章快速付里叶变换(FFT) Fast Fourier Transforming第一节引言、快速付里叶变换FFT •有限反序列通过离散傅里叶变换(DFT)将其频域离散化成有限K序列•但其计算量太大(与N 的平方成正比)，很难实时地处理问题，因此引出了快速傅里叶变换(FFT)・•FFT并不是一种新的变换形式，它只是DFT的一种快速算法•并且根据对序列分解与选取方法的不同而产生了FFT的多种算法.•FFT在离散傅里叶反变换、线性卷积和线性相关等方面也有重耍应用・。
二、FFT产生故事当时加文(Garwin)在自已的研究中极需要一个计算付里叶变换的快速方法。
他注意到图基(J.W.Turkey)iE 在写有关付里叶变换的文章，因此详细询问了图基关于计算付里叶变换的技术知识。
图基概括地対加文介绍了一种方法，它实质上就是后来的著名的库利(Cooley J.W)图基算法。
在加文的迫切要求下，库利很快设计出一个计算机程序o 1965年库利-图基在v计算数学〉、Mathematic of Computation 杂志上发表了著乞的“机器计算付里级数的一种算法”文章，提出一种快速计算DFT的方法和计算机程序-揭开了FFT发展史上的第一页，促使FFT算法产牛原因还有1967年至1968年间FFT的数字硬件制成，电子数字计算机的条件，使DFT的运算大简化了。
、本章主要内容•1 •立接计算DFT算法存在的问题及改进途径。
•2•多种DFT算法（时间抽取算法DIT算法，频率抽取算法DIF算法，线性调频Z变换即CZT 法）• 3.FFT的应用直接计算DFT算法存在的问题及改进逐径\直接计算DFT计算量•问题提出：设有限长序列x(n),非零值长度为N,计算对x(n)进行一次DFT 运算，共需多大的运算工作量？1 •比较DFT与IDFT之间的运算量N—1x(n) DFT > X 伙)=工上=0,1,…N -1n=0N-\X伙)u)n > x(n) = Y X伙)A2 = 0,1,・・・ N -1 k=0其中x(n)为复数，W严之G"也为复数所以DFT与IDFT二者计算量相同。
数字信号处理DSP第4章
G[3] 1
k 0,1, , N 1
2
13
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
将系数统一为 WNk 2 WN2k ,则可得
x[0]
N 4点
x[4]
DFT
G[0]
X [0]
G[1]
X [1]
x[2]
N 4点
WN0
x[6]
DFT
WN2
G[2]
1 G[3]
1
X [2] X [3]
x[1]
N 4点
X m1[i] WNr X m1[ j] , X m1[i] WNr X m1[ j]
m 1, 2 ,
每一个蝶形需要一次复数乘法和两次复数加法。
17
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
N点的DIT-FFT计算量为
复数乘法：
1
N 2
log2
N
N 2
复数加法：
2
N 2
log2
N
N
例： 如果每次复数乘法需要100us，每次复数加法需要20us，来 计算N=1024点DFT，则需要
12
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
同理
( N 4)1
( N 4)1
G[k] DFT[g[r]]
g[2l]WN2lk2
g[2l 1]WN(22l1)k
l 0
l 0
( N 4)1
( N 4)1
g[2l]WNlk 4 WNk 2
g[2l 1]WNlk 4 ,
l 0
l 0
k 0,1,
(3) WN0 WN4 WN8 WN12 WN16 WN20 WN24 WN28
或 WN4i i 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (dm 1)
k 0,1, , N 1
2
13
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
将系数统一为 WNk 2 WN2k ,则可得
x[0]
N 4点
x[4]
DFT
G[0]
X [0]
G[1]
X [1]
x[2]
N 4点
WN0
x[6]
DFT
WN2
G[2]
1 G[3]
1
X [2] X [3]
x[1]
N 4点
X m1[i] WNr X m1[ j] , X m1[i] WNr X m1[ j]
m 1, 2 ,
每一个蝶形需要一次复数乘法和两次复数加法。
17
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
N点的DIT-FFT计算量为
复数乘法：
1
N 2
log2
N
N 2
复数加法：
2
N 2
log2
N
N
例： 如果每次复数乘法需要100us，每次复数加法需要20us，来 计算N=1024点DFT，则需要
12
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
同理
( N 4)1
( N 4)1
G[k] DFT[g[r]]
g[2l]WN2lk2
g[2l 1]WN(22l1)k
l 0
l 0
( N 4)1
( N 4)1
g[2l]WNlk 4 WNk 2
g[2l 1]WNlk 4 ,
l 0
l 0
k 0,1,
(3) WN0 WN4 WN8 WN12 WN16 WN20 WN24 WN28
或 WN4i i 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (dm 1)
数字信号处理第4章快速傅里叶变换FFT
X 6(k)
x6 (l)WNkl/ 4 DFT [x6(l)]
i0
x5 (l ) x6 (l )
x2 x2
(2l (2l
)
1)
,
l
0,1, N
/
4
1
(4.2.11)
课件
12
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
x(0 )
N/4点 X3(0 )
x(4 )
DFT X3(1 )
e N
j 2 m
e N
WNm
(4.2.2)
其对称性表现为
WNm WNN m 或者 [WNN m ] WNm
m N
WN 2
WNm
课件
4
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理 FFT 算 法 基 本 上 分 为 两 大 类 ： 时 域 抽 取 法
课件
21
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
x(0 )
N/4点
X(0 )
x(1 )
DFT
X(4 )
x(2 )
W
0 N
N/4点
X(2 )
x(3 )
W
2 N
DFT
X(6 )
x(4 )
W
0 N
N/4点
X(1 )
x(5 )
W
1 N
DFT
X(5 )
x(6 )
W
2 N
W
0 N
N/4点
X(3 )
x(7 )
W
3 N
W
X
(k
N 2
)
《快速傅里叶变换》PPT课件
然后计算圆周卷积
此时y(n)能代表线性卷积结果。
用FFT计算y(n)步骤如下： （1）求
，N点
（2）求
，N点
（3）计算
；
（4）求
，N点
工作量分析 FFT计算工作量
（4.105）
用线性相位滤波器来比较直接计算线性卷积和FFT法 计算线性卷积时比值
（4.106）
运算量分析：
（1）x(n)与h(n)点数差不多，设M＝L，
2
X1 k
x1
r
W rk N2
x
2r
W rk N2
r0
r0
（4.6）
N 1
N 1
2
2
X2 k
x2
r
W rk N2
x
2r
1
W rk N2
（4.7）
r 0
r0
应用系数的周期性
可得
N 1
X1
N 2
k
2 r 0
x1
r
W x r
N 2
k
N2
N 1 2
1
r0
比较可知，只要把DFT运算中的每一个系数
变成
，最后再乘常数1/N，则以上所有
按时间抽选或按频率抽选的FFT都可以拿来运算
IDFT。
不改FFT的程序计算IFFT方法： 对4.29式取共轭
因而
4.6 N为复合数的FFT算法 －－混合基算法
当N不满足
时，可有以下几种办法
（1）将x(n)补一些零值点的办法
y(n)也是有限长序列，其点数为L＋M－1。 2. 线性卷积运算量 乘法次数
线性相位滤波器满足条件
运算结构如图5.26,5.27所示 线性相位FIR滤波器的乘法运算量
此时y(n)能代表线性卷积结果。
用FFT计算y(n)步骤如下： （1）求
，N点
（2）求
，N点
（3）计算
；
（4）求
，N点
工作量分析 FFT计算工作量
（4.105）
用线性相位滤波器来比较直接计算线性卷积和FFT法 计算线性卷积时比值
（4.106）
运算量分析：
（1）x(n)与h(n)点数差不多，设M＝L，
2
X1 k
x1
r
W rk N2
x
2r
W rk N2
r0
r0
（4.6）
N 1
N 1
2
2
X2 k
x2
r
W rk N2
x
2r
1
W rk N2
（4.7）
r 0
r0
应用系数的周期性
可得
N 1
X1
N 2
k
2 r 0
x1
r
W x r
N 2
k
N2
N 1 2
1
r0
比较可知，只要把DFT运算中的每一个系数
变成
，最后再乘常数1/N，则以上所有
按时间抽选或按频率抽选的FFT都可以拿来运算
IDFT。
不改FFT的程序计算IFFT方法： 对4.29式取共轭
因而
4.6 N为复合数的FFT算法 －－混合基算法
当N不满足
时，可有以下几种办法
（1）将x(n)补一些零值点的办法
y(n)也是有限长序列，其点数为L＋M－1。 2. 线性卷积运算量 乘法次数
线性相位滤波器满足条件
运算结构如图5.26,5.27所示 线性相位FIR滤波器的乘法运算量
快速傅立叶变换(FFT)的实现(DSP实验报告)
快速傅立叶变换（FFT ）的实现一、实验目的在数字信号处理系统中，FFT 作为一个非常重要的工具经常使用，甚至成为DSP 运算能力的一个考核因素。
FFT 是一种高效实现离散付氏变换的算法。
离散付氏变换的目的是把信号由时域变换到频域，从而可以在频域分析处理信息，得到的结果再由付氏逆变换到时域。
本实验的目的在于学习FFT 算法，及其在TMS320C54X 上的实现，并通过编程掌握C54X 的存储器管理、辅助寄存器的使用、位倒序寻址方式等技巧，同时练习使用CCS 的探针和图形工具。
另外在BIOS 子目录下是一个使用DSP/BIOS 工具实现FFT 的程序。
通过该程序，你可以使用DSP/BIOS 提供的分析工具评估FFT 代码执行情况。
二、实验原理1）基 2 按时间抽取FFT 算法对于有限长离散数字信号{x[n]} ，0 ≤n ≤-1 N，其离散谱{x[k]} 可以由离散付氏变换（DFT）求得。
DFT 的定义为：X(k) x[n]e N k 0,1,...,N 1 n0可以方便的把它改写为如下形式：N1nkX(k) x[n]W n N k k 0,1,..., N 1n0不难看出，WN 是周期性的，且周期为N，即( n mN )(k lN ) nkm,l 0, 1, 2...W N W NWN 的周期性是DFT 的关键性质之一。
为了强调起见，常用表达式WN 取代W 以便明确其周期是N。
2) 实数FFT 运算对于离散傅立叶变换( DFT)的数字计算，FFT 是一种有效的方法。
一般假定输入序列是复数。
当实际输入是实数时，利用对称性质可以使计算DFT 非常有效。
一个优化的实数FFT 算法是一个组合以后的算法。
原始的2N 个点的实输入序列组合成一个N 点的复序列，之后对复序列进行N 点的FFT 运算，最后再由N 点的复数输出拆散成2N 点的复数序列，这2N点的复数序列与原始的2N点的实数输入序列的DFT 输出一致。
《快速傅里叶变换FF》课件
《快速傅里叶变换ff 》ppt课件
contents
目录
• FFT简介 • FFT的基本原理 • FFT的应用 • FFT的实现 • FFT的性能优化 • FFT的局限性
CHAPTER 01
FFT简介
FFT的定义
快速傅里叶变换（FFT）：一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换的 算法。它将复杂度为$O(N^2)$的DFT计算降低到$O(Nlog N)$，极大地提高了 计算效率。
通过选择适合特定数据集的基数，混 合基数FFT可以在不同的应用场景下 获得最佳性能。
混合基数FFT结合了基于2的幂次和基 于其他基数的算法，以获得更好的计 算效率和精度。
CHAPTER 06
FFT的局限性
浮点运算的开销
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的算法，用于计算离散傅里叶变换（DFT）和其逆变换。然而， 由于FFT涉及到大量的复数运算，因此其计算开销相对较大，尤其是对于大规模数据。
分段FFT
分段FFT是一种将大规模FFT分 解为多个小规模FFT的方法， 可以显著提高计算速度。
通过将输入数据分成多个段， 每个段可以独立进行FFT计算 ，从而并行处理多个段。
分段FFT适用于大规模数据集 ，可以有效地利用多核处理器 和分布式计算资源，提高计算 效率。
混合基数FFT
混合基数FFT是一种将不同基数算法 结合在一起的FFT方法，可以获得更 好的性能。
快速傅里叶变换（FFT）算法
定义
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算离散傅里叶变换（ DFT）和其逆变换的算法。它通过一系列数学运算将DFT的 计算量从N^2降低到了Nlog2N，大大提高了计算效率。
算法原理
FFT算法基于DFT的周期性和对称性，将一个N点的DFT分解 为多个较短序列的DFT，然后利用递归和分治的思想进行计 算，最终得到原始序列的频域表示。
contents
目录
• FFT简介 • FFT的基本原理 • FFT的应用 • FFT的实现 • FFT的性能优化 • FFT的局限性
CHAPTER 01
FFT简介
FFT的定义
快速傅里叶变换（FFT）：一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换的 算法。它将复杂度为$O(N^2)$的DFT计算降低到$O(Nlog N)$，极大地提高了 计算效率。
通过选择适合特定数据集的基数，混 合基数FFT可以在不同的应用场景下 获得最佳性能。
混合基数FFT结合了基于2的幂次和基 于其他基数的算法，以获得更好的计 算效率和精度。
CHAPTER 06
FFT的局限性
浮点运算的开销
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的算法，用于计算离散傅里叶变换（DFT）和其逆变换。然而， 由于FFT涉及到大量的复数运算，因此其计算开销相对较大，尤其是对于大规模数据。
分段FFT
分段FFT是一种将大规模FFT分 解为多个小规模FFT的方法， 可以显著提高计算速度。
通过将输入数据分成多个段， 每个段可以独立进行FFT计算 ，从而并行处理多个段。
分段FFT适用于大规模数据集 ，可以有效地利用多核处理器 和分布式计算资源，提高计算 效率。
混合基数FFT
混合基数FFT是一种将不同基数算法 结合在一起的FFT方法，可以获得更 好的性能。
快速傅里叶变换（FFT）算法
定义
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算离散傅里叶变换（ DFT）和其逆变换的算法。它通过一系列数学运算将DFT的 计算量从N^2降低到了Nlog2N，大大提高了计算效率。
算法原理
FFT算法基于DFT的周期性和对称性，将一个N点的DFT分解 为多个较短序列的DFT，然后利用递归和分治的思想进行计 算，最终得到原始序列的频域表示。
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2
X
4
(k
)
,
k
0,1, ,
N
/
4
1
(4.2.10)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
用同样的方法可计算出
X X
2 2
(k (k
) X5(k N / 4)
) WNk X5k
/2
X 6 (k Wk
N /2
) X
6
(k
)
,
k
0,1, N
/
4
1
其中
N / 41
X5(k)
x5(l)WNkl/ 4 DFT [x5(l)]
x2 (r)WNkr/ 2 DFT [x2 (r)]
r0
(4.2.6)
由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，且
kN
WN 2
WNk
，所以X(k)又可表示为
X (k) X1(k) WNk X 2(k)
k 0,1, N 1 2
X (k
N 2
)
X1(k)
WNk
X 2 (k )
k 0,1, N 1 2
A(7 )
x(7 )
W
0 N
A(0 )
A(1 )
A(2 )
W
0 N
A(3 )
W
2 N
A(4 )
A(5 )
A(6 )
W
0 N
A(7 )
W
2 N
A(0 )
A(1 )
A(2 )
A(3 )
A(4 )
W
0 N
A(5 )
W
1 N
A(6 )
W
2 N
A(7 )
W
3 N
图4.2.4 N点DIT―FFT运算流图(N=8)
WNm WNN m 或者 [WNN m ] WNm
m N
WN 2
WNm
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理 FFT 算 法 基 本 上 分 为 两 大 类 ： 时 域 抽 取 法
FFT(Decimation In Time FFT,简称DIT-FFT)和频域抽取 法FFT(Decimation In Frequency FFT,简称DIF―FFT)。 下面先介绍DIF―FFT算法。
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.2 基2FFT算法
4.2.1 直接计算DFT的特点及减少运算量的基本途径 长度为N的有限长序列x(n)的DFT为
N 1
X (k) x(n)WNkn, k 0,1,, N 1
n0
(4.2.1)
考虑x(n)为复数序列的一般情况，对某一个k值，
直接按(4.2.1)式计算X(k)值需要N次复数乘法、(N-1)次
XL(J ) XR(J ) j(J )
则
X R (J ) X R (J ) TR
X I (J ) X I(J ) TI
X R (J B) X R (J ) TR
X I (J B) X I(J ) TI
4. 编程思想及程序框图
图4.2.6 DIT―FFT运算和程序框图
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
观察图4.2.4不难发现，第L级共有2 L-1个不同的旋 转因子。N=23=8时的各级旋转因子表示如下：
L=1时，WpN=WJ N/4=WJ2L， J=0 L=2时， WpN =WJ N/2=WJ2L， J=0，1 L=3时， WpN =WJN=WJ2L， J=0，1，2，3 对N=2M的一般情况，第L级的旋转因子为
W
2 N
X2(3 )
W
3 N
X(6 ) X(7 )
图4.2.3 N点DFT的第二次时域抽取分解图(N=8)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
A(0 ) x(0 )
A(1 )
x(4 )
A(2 )
W
0 N
x(2 )
A(3 )
x(6 )
A(4 )
W
0 N
x(1 )
A(5 )
x(5 )
A(6 )
W
0 N
x(3 )
n
n
N / 21
N / 21
x(2r)WN2kr
x(2r 1)WNk (2r1)
r0
r0
N / 21
N / 21
x1(r) WNk
x2 (r)WN2kr
由于
r0
r0
W 2kr N
j 2 2kr
eN
j
2 N
kr
e 2
W 2kr N /2
所以
N / 21
N / 21
X (k)
x1(r)WNkr/ 2 WNk
WNp W2J L, J 0,1, 2, , 2L1 1 2L 2M 2LM N 2LM
WNP
WJ N g2LM
WNJ g2M L , J
0,1, 2, , 2L1 1
(4.2.12)
p J g2M L
(4.2.13)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
3. 蝶形运算规律 设序列x(n)经时域抽选(倒序)后，存入数组X中。 如果蝶形运算的两个输入数据相距B个点，应用原位计 算，则蝶形运算可表示成如下形式：
长的子序列x3(l)和x4(l)，即
x3 (l ) x4 (l )
x2 x1
(2l (2l
)
1)
,
l
0,1, ,
N 4
1
那么，X1(k)又可表示为
N / 41
N / 41
X1(k)
x1(2l
)WN2
kl /2
x1(2l
1)WNk
(2l 1) /2
i0
i0
N / 41
N / 41
x4(k)
x4 (l)WNkl/ 4 DFT [x4 (l)]
i0
同理，由X3(k)和X4(k)的周期性和Wm N/2的对称
性 Wk+N/4 N/2=-Wk N/2 最后得到：
X X
1 1
(k (k
) X3(k N / 4)
) WNk / 2 X 4 (k ) X 3(k ) WNk /
CM (2)
N 2
M
N 2
log2
N
复数加次数为
CA(2) N M N log2 N 例如，N=210=1024时
N2
1048576 204.8
(N / 2) log2 N 5120
第4章 快速傅里叶变换(FFT) 图4.2.5 FFT算法与直接计算DFT所需乘法次数的比较曲线
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
x3(l )WNkl/ 4 WNk / 2
x4 (l )WNkl/ 4
i0
i0
x3(k ) WNk /2 X 4 (k ), k 0,1, N / 2 1
(4.2.9)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
式中
N / 41
x3(k)
x3(l)WNkl/ 4 DFT [x3(l)]
i0
N / 41
设序列x(n)的长度为N，且满足
N 2M , M 为自然数
按n的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列
x1(r) x(2r),
r 0,1, N 1 2
x2(r) x(2r 1),
r 0,1, N 1 2
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
则x(n)的DFT为
X (k ) x(n)WNkn x(n)WNkn
4.2.4 DIT―FFT的运算规律及编程思想 1.原位计算 由图4.2.4可以看出，DIT―FFT的运算过程很有规
律。N=2M点的FFT共进行M级运算，每级由N/2个蝶 形运算组成。
2.旋转因子的变化规律 如上所述，N点DIT―FFT运算流图中，每级都有 N/2个蝶形。每个蝶形都要乘以因子WpN，称其为旋转 因子，p称为旋转因子的指数。
i0
N / 41
X 6(k)
x6 (l)WNkl/ 4 DFT [x6(l)]
i0
x5 (l ) x6 (l )
x2 (2l ) x2(2l
1)
,
l
0,1, N
/
4
1
(4.2.11)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
x(0 )
N/4点 X3(0 )
X1(0 )
X(0 )
x(4 )
DFT X3(1 )
X1(1 )
X(1 )
x(2 )
N/4点
X4(0 )
W
0 N
2
X1(2 )
X(2 )
x(6 )
DFT
X4(1 )
W
1 N
2
X1(3 )
X(3 )
x(1 )
N/点
X2(0 )
W
0 N
X(4 )
x(5 )
DFT
X2(1 )
W
1 N
X(5 )
x(3 )
N/4点
x(7 )
DFT
W
0 N
2
W
1 N
2
X2(2 )
001 1 101 5 011 3 111 7
图4.2.7 形成倒序的树状图(N=23)
第4章 快速傅里叶变换(FFT) 表4.2.1 顺序和倒序二进制数对照表
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
x(0 ) x(1 ) x(2 ) x(3 ) x(4 ) x(5 ) x(6 ) x(7 ) A(0 ) A(1 ) A(2 ) A(3 ) A(4 ) A(5 ) A(6 ) A(7 )