课后习题及答案_第4章快速傅里叶变换--习题答案
数字信号处理答案(第三版)清华大学
数字信号处理教程课后习题答案目录第一章离散时间信号与系统第二章Z变换第三章离散傅立叶变换第四章快速傅立叶变换第五章数字滤波器的基本结构第六章无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法第七章有限长单位冲激响应（FIR）数字滤波器的设计方法第八章数字信号处理中有限字长效应第一章 离散时间信号与系统1 .直接计算下面两个序列的卷积和)n (h *)n (x )n (y =请用公式表示。
分析：①注意卷积和公式中求和式中是哑变量m （ n 看作参量）， 结果)(n y 中变量是 n ,; )()()()()(∑∑∞-∞=∞-∞=-=-=m m m n x m h m n h m x n y ②分为四步 （1）翻褶（ -m ），（2）移位（ n ）,（3）相乘，; )( )( 4n y n n y n 值的，如此可求得所有值的）相加，求得一个（③ 围的不同的不同时间段上求和范一定要注意某些题中在 n00 , 01()0 , ,()0,n n n a n N h n n n n x n n n β-⎧≤≤-=⎨⎩⎧≤⎪=⎨<⎪⎩其他如此题所示，因而要分段求解。
)(5.0)(,)1(2 )()4()(5.0)(,)2( )()3()()(,)( )()2()()(,)( )()1(3435n u n h n u n x n R n h n n x n R n h n R n x n R n h n n x n n n =--==-=====δδ2 .已知线性移不变系统的输入为)n (x ,系统的单位抽样响应 为)n (h ,试求系统的输出)n (y ,并画图。
分析：①如果是因果序列)(n y 可表示成)(n y ={)0(y ，)1(y ，)2(y ……}，例如小题（2）为)(n y ={1，2，3，3，2，1} ;②)()(*)( , )()(*)(m n x n x m n n x n x n -=-=δδ ;③卷积和求解时，n 的分段处理。
物理光学第4章习题答案
• 因此，这个衍射屏具有类似透镜的性质。
• (2)对于因子exp(iar2 )：a= - k/2f1，
• 得f1 = - k/2a= -π/aλ< 0，发散；
• 对于因子 exp(-iar2)： a= k/2f2，
• 得f2 = k/2a=π/aλ> 0，汇聚；
• 对于因子1/2，1/2=1/2*e0， • 可得 f3 = ∞。
•
=∫±L (A/2i)*( ei2πu0x – e -i2πu0x )
•
*exp(-i2πux)dx
•
=∫±L (A/2i)*[ ei2π(u0-u)x – e -i2π(u0+u)x ] dx
•
=(A/4 π) *[(1/u-u0) *ei2π(u0-u)x - (1/u+u0)
*ei2π(u0+u)x ] |±L
S
D
2
sin
cos
2
而
cos l'v
D
故
S
D
2
c
os1
l ' v
v
2
2
D D D
光瞳的面积为：
SD
2
D 2
2
因此得到沿v轴的光学传递函数为：
可见沿v轴的截止频率为：
vm a x
D
l'
（2）再来计算沿u轴的光学传递函数。 在ξ轴上分开λl’u的两个光瞳的重叠面积，如下图所示：
最后得到强度分布
I (x) (x) 2
=cos2
2
u0
x
1 2
(1
cos
4
u0 x)
可见，像面上的强度分布仍是一正弦式分布，但空间频率为物分布的2倍。
第四章 离散傅立叶变换(DFT)
x ( n )W N
kn
n0
X ( k ) DSK [ x ( n )] N 点
x ( n )W N
k=0, 1, …, N-1
n0
式中的周期序列 ~ N 是有限长序列x(n)的周期延拓 x 序列，其定义为
~ (n ) xN
m
x ( n mN )
(4.2.3)
X(N-k)=X*(k) k
0 ,1, 2 , N 2 1
共需要N2/2次复数乘法，比直接按定义计算少一半。 对一般的复序列，DFT也有共轭对称性。
4.3.5 循环卷积定理 1) 两个有限长序列的循环卷积
设序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M。h(n)与x(n)的L点
循环卷积定义为
1 e
8k
1 e
j
k
2
k
j
2
k
e
j
(e
k j
e e
j
2
k
)
k
16
16
k
j
16
e
j
(e
k
)
7 16
sin( sin(
2
k)
e
k=0, 1, 2, …, 15
k)
16
x(n)的幅频特性函数曲线、 8点DFT、 16点DFT和 32点DFT的模分别如图4.2.1(a)、 (b)、 (c)和(d)所示。
通常又定义周期序列的主值序列为
x N ( n ) ~N ( n ) R N ( n ) x
比较以上四种变换的计算式可得到：
(仅供参考)信号与系统第四章习题答案
t→∞
t→∞
a −σ < 0
即收敛域为σ > a,σ 0 = a 。
[ ] ∫ ∫ ( ) ( ) （4） F s = L e − a t ε t = 0 e at e − st dt + ∞ e − at e − st dt
−∞
0
∫ ∫ = 0 e (a−s )t dt + ∞ e −(a +s )t dt = 1 + 1
T
T 2 T
= 2 tε (t) − 4 t − T ε t − T + 2 (t − T )ε (t − T )
T
T 2 2 T
因 ε (t ) ↔ 1 ， tε (t ) ↔ 1 ，根据拉普拉斯变换时延特性，有
s
s2
( ) X s
=
2 Ts 2
−
4 Ts 2
− sT
e2
+
2 Ts 2
t→∞
t→∞ 2
t→∞ 2
由此可得其收敛域为：σ > 3 同理，对于对于图 4.2（b）来说，其收敛域为：σ > 5
209
对于图 4.2（c）来说，其收敛域为：α > 1 （3）（4）情况下，收敛域均为： − ∞ < α < ∞
4.4 针对图 4.3 所示的每一个信号的有理拉氏变换的零极点图，确定： （1）拉氏变换式； （2）零极点图可能的收敛域，并指出相应信号的特征。
cos 2
ϕ
−
sin ϕ 2j
∞ eω0tj e−st dt
0
+
cosϕ 2
+
sin ϕ 2j
∞ e−ω0tje −st dt
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和共轭反对称分量， 即
F(k)=X(k)+jY(k)=Fep(k)+Fop(k) 计算一次 N 点 IFFT 得到
f(n)=IFFT［F(k)］=Re［f(n)］+j Im［f(n)］ 由 DFT 的共轭对称性可知
Re［f(n)］=IDFT［Fep(k)］=IDFT［X(k)］=x(n) j Im［f(n)］=IDFT［Fop(k)］=IDFT［jY(k)］=jy(n)
X (k + N ) = X1(k) −W2kN X 2 (k)
k = 0,1,L, N −1
由上式可解出
X1(k)
=
1 2
[
X
(k)
+
X
(k
+
N )]
X
2
(k)
=
1 2
[X
(k)
+
X
(k
+
N
)]W2−Nk
k = 0,1, 2,L, N −1
由以上分析可得出运算过程如下：
（1）由 X(k)计算出 X1(k)和 X2(k):
Xk=conj(Xk)；
%对 Xk 取复共轭
xn=conj(fft(Xk， N))/N； %按照所给算法公式计算 IFFT
分别对单位脉冲序列、 长度为 8 的矩形序列和三角序列进行 FFT， 并调
用函数 ifft46 计算 IFFT 变换， 验证函数 ifft46 的程序 ex406.m 如下：
%程序 ex406.m
Tc = 2TF +1024 次复数乘计算时间 = 2 × 0.1536×10−3 +10×10−9 ×1024
= 0.317 44 ms 可实时处理的信号最高频率 fmax 为
第4章离散傅里叶变换
分离性质的主要优点是可借助一系列一维傅里叶变换分两步 求得F(u,v)。第1步，沿着f(x,y)的每一行取变换，将其结果 乘以1/N,取得二维函数F(x,v);第2步，沿着F(x,v)的每一列 取变换，再将结果乘以1/N,就得到了F(u,v)。这种方法是先 行后列。如果采用先列后行的顺序，其结果相同。
谱图像就是把|F(u,v)|作为亮度显示在屏幕上。但在 傅里叶变换中F(u,v)随u,v的衰减太快，其高频项只看到 一两个峰，其余皆不清楚。
由于人的视觉可分辨灰度有限，为了得到清晰的显示 效果，即为了显示这个频谱，可用下式处理，设显示信号 为D(u,v),
D(u,v) log(1 | F(u,v) | )
2
2
1 j 2
2023/12/30
12
4.1.2 离散傅里叶变换
2.二维离散傅里叶变换
一幅静止的数字图像可看做是二维数据阵列。因此， 数字图像处理主要是二维数据处理。
如果一幅二维离散图像f(x,y)的大小为M*N，则二 维傅里叶变换可用下面二式表示。
M 1 N1
j 2 ( ux vy )
1
1 j 2
j 1 j 1 1 j
2
2
j
1
j
2
W 0
W1
W2
W3
W4
W5
W6
W
7
1
j
1
j
1 j 1
j
W 0
W
W
0
W 0
W2 W3 W4
W4 W6 W0
W6 W1 W4
W0 W4 W0
W2 W7 W4
W4 W2 W0
W6
W W
5 4
1
信号和线性系统分析(吴大正第四版)第四章习题答案解析
第四章习题4.6求下列周期信号的基波角频率Ω和周期T解 ⑴角频率为Ω = IOO rad∕s,周期丁=盲=p÷ξ ⑵角频率为I fi=号■rad∕s,周期= 4 s(3) 角频率为Ω = 2 rad 倉，周期T = ~ = Tr S (4) 角频率为Q =兀rad∕ s,周期T=^ = 2 sΩ(5) 角频率为 Ω — rad∕s*周期 T=-^ = 8 s4 12⑹角频率为C =話rad∕s,周期T = -jy = 60 s4.7用直接计算傅里叶系数的方法， 求图4-15所示周期函数 的傅里叶系数（三角形式或指数形式）(1) e j100t(2) cos[,t - 3)](3) cos(2t) sin(4t) ⑷ cos(2 兀 t) +cos(3πt) +cos(5 兀 t)(5)π π cos( t) sin( t)2 4(6)JEJITEcos( t) cos( t) cos( t)2 35-2 -1 O 12 3 r(IJ)图4-15f>~ 十解 ⑴周期T = 4,1Ω = Y =亍r 则有H ,4⅛ - 1 ≤ r ≤ 4⅛+ 1/⑺=II∣07 4⅛ + 1 < r < 4⅛ + 3由此可得-Tu rt = ~∖ ' τ fit) cost nΩt)dt= -∣^∣ /(f)cos(^ψ^)df J- J —⅛ 乙-.：—2 I（2｝周期丁=2・0 =年=兀，则有由此可得1 + e -jrhr2π( I - √ )所含有的频率分量)dr =2 J -[2『亍=Wl f(t)sm(ττΩt)dt =1 J -T2——SInnπ （才），= om 小山（竽）出ISin(Jrt) 9fm=! 0,2⅛ ≤ r ≤ 2⅛ + 12⅛ + 1 < r < 2⅛ + 2F ri ]ft1 Γl=TJV Cf)^dr =⅛J r ∣/(r)e-7iβ,dr — -7- Sin(^f)e -dr -I ZJV4.10利用奇偶性判断图4-18示各周期信号的傅里叶系数中扣 =O* ± 1 * + 2・・图 4-18解 (1)由旳⑺的波形可矩Λ<r) =√√-n =-∕l (f ⊂f)亠 IU Jr = f(t)cos( riΩt )df 则有丿 丁人 ,jj = 0.1,2,-[仇=0"[J =盘？=应丄=*" =QE=仇=仏=*八=0 则∕√r)的傅里叶级数中含有的频率分量为奇次余弦波亠 (2)由f 2(t)的波形可知则有— ■ ??f(t)s}n(tιΩt )d r ⅛ =A rz fl , J Tni JJO则f 2(t)的傅里叶级数中含有的频率分量为正弦波*(3)由 f 3(t)的波形可⅛l∕3<f) = f 3(~r)则有Γ⅛ = 0, n/(z)cos( fiΩt >d;(4)% 4召=亍即ΛG)的傅里叶级数中含有的频率分量为偶次余弦波* 由/<(0的波形可知，人⑺为奇谐函数■即fdι) =一 fZ 土 £)b 2 = h A = b 6 =・*・=0则有 U即人")的傅里叶级数中只含有奇次谐波•包括正弦波和余弦披"4-11 求u(t)的三角形式傅里叶系数。
(完整版)通信原理第七版课后答案解析樊昌信
第一章习题习题1.1 在英文字母中E 出现的概率最大，等于0.105，试求其信息量。
解：E 的信息量：()()b 25.3105.0log E log E 1log 222E =-=-==P P I习题1.2 某信息源由A ，B ，C ，D 四个符号组成，设每个符号独立出现，其出现的概率分别为1/4，1/4，3/16，5/16。
试求该信息源中每个符号的信息量。
解：b A P A P I A 241log )(log )(1log 222=-=-==b I B 415.2163log 2=-= b I C 415.2163log 2=-= b I D 678.1165log 2=-= 习题1.3 某信息源由A ，B ，C ，D 四个符号组成，这些符号分别用二进制码组00，01，10，11表示。
若每个二进制码元用宽度为5ms 的脉冲传输，试分别求出在下列条件下的平均信息速率。
（1） 这四个符号等概率出现； （2）这四个符号出现概率如习题1.2所示。
解：（1）一个字母对应两个二进制脉冲，属于四进制符号，故一个字母的持续时间为2×5ms。
传送字母的符号速率为Bd 100105213B =⨯⨯=-R 等概时的平均信息速率为b 2004log log 2B 2B b ===R M R R（2）平均信息量为符号比特977.1516log 165316log 1634log 414log 412222=+++=H 则平均信息速率为 b 7.197977.1100B b =⨯==H R R习题1.4 试问上题中的码元速率是多少？解：311200 Bd 5*10B B R T -===错误!未找到引用源。
习题1.5 设一个信息源由64个不同的符号组成，其中16个符号的出现概率均为1/32，其余48个符号出现的概率为1/96，若此信息源每秒发出1000个独立的符号，试求该信息源的平均信息速率。
解：该信息源的熵为96log 961*4832log 321*16)(log )()(log )()(22264121+=-=-=∑∑==i i i i M i i x P x P x P x P X H=5.79比特/符号因此，该信息源的平均信息速率 1000*5.795790 b/s b R mH ===错误!未找到引用源。
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1 x (n) = [ f ( n) + f ∗ ( n)] 2
y ( n) = 1 [ f (n) − f ∗ (n)] 2j
4.
解:
本题的解题思路就是 DIT-FFT 思想。
（1）在时域分别抽取偶数和奇数点 x(n)，得到两个 N 点实序列 x1(n)和 x2(n)： x1(n)=x(2n) x2(n)=x(2n+1) n=0, 1, …, N－1 n=0, 1, …, N－1
xn=conj(fft(Xk， N))/N； %按照所给算法公式计算 IFFT
分别对单位脉冲序列、 长度为 8 的矩形序列和三角序列进行 FFT， 用函数 ifft46 计算 IFFT 变换， 验证函数 ifft46 的程序 ex406.m 如下： 并调
%程序 ex406.m
4
%调用 fft 函数计算 IDFT x1n=1； %输入单位脉冲序列 x1n
X (k ) = X 1 (k ) + W2kN X 2 (k )
k 2N
X (k + N ) = X 1 (k ) − W X 2 (k )
由上式可解出
k = 0,1, L , N − 1
1 X 1 (k ) = [ X (k ) + X (k + N )] 2 1 −k X 2 (k ) = [ X (k ) + X (k + N )]W2 N 2
Y(k)=X1(k)+jX2(k)=Yep(k)+Yop(k)
其中， Yep(k)=X1(k), Yop(k)=jX2(k)， 进行 N 点 IFFT， 得到
y(n)=IFFT［Y(k)］=Re［y(n)］+j Im［y(n)］
由 DFT 的共轭对称性知
n=0, 1, …, N－1
1 Re[ y (n)] = [ y (n) + y* (n)] = DFT[Yep (k )] = x1 (n) 2 1 jIm[ y (n)] = [ y (n) + y * (n)] = DFT[Yop (k )] = jx2 (n) 2
2
根据 DIT-FFT 的思想， 只要求得 x1(n)和 x2(n)的 N 点 DFT， 再经过简单 的一级蝶形运算就可得到 x(n)的 2N 点 DFT。 因为 x1(n)和 x2(n)均为实序列， 所 以根据 DFT 的共轭对称性， 可用一次 N 点 FFT 求得 X1(k)和 X2(k)。 具体方法 如下： 令
x2n=［1 1 1 1 1 1 1 1］ ； %输入矩形序列向量 x2n x3n=［1 2 3 4 4 3 2 1］ ； X1k=fft(x1n， N)； X2k=fft(x2n， N)； X3k=fft(x3n， N)； x1n=ifft46(X1k， N) x2n=ifft46(X2k， N) x3n=ifft46(X3k， N) %输入三角序列序列向量 x3n %计算 x1n 的 N 点 DFT %计算 x2n 的 N 点 DFT %计算 x3n 的 N 点 DFT %调用 ifft46 函数计算 X1k 的 IDFT %调用 ifft46 函数计算 X2k 的 IDFT %调用 ifft46 函数计算 X3k 的 IDFT N=8；
③ 由 x1(n)和 x2(n)合成 x(n):
n x1 2 x ( n) = x n −1 2 2
n = 偶数
，0≤n≤2N－1
n = 奇数
在编程序实现时， 只要将存放 x1(n)和 x2(n)的两个数组的元素分别依次放入 存放 x(n)的数组的偶数和奇数数组元素中即可。
2N 点 DFT［x（n） ］=X（k）可由 X1(k)和 X2(k)得到
X (k ) = X 1 (k ) + W2kN X 2 (k )
k X (k + N ) = X 1 (k ) − W2 N X 2 (k )
这样，
k = 0,1, L , N − 1
通过一次 N 点 IFFT 计算就完成了计算 2N 点 DFT。 当然还要进行由
Tc = 2TF + 1024 次复数乘计算时间 = 2 × 0.1536 × 10−3 + 10 × 10−9 × 1024 = 0.317 44 ms 可实时处理的信号最高频率 fmax 为 1 1 1024 1 f max ≤ Fs = · = ·3.1158 MHz=1.6129 MHz 2 2 Tc 2 由此可见， 用 DSP 专用单片机可大大提高信号处理速度。 所以， DSP
Fs < 1024 = 15 625 次/秒 65536 × 10 −6
计算 1024 <
可实时处理的信号最高频率为
Fs 15625 = = 7.8125 kHz 2 2
应当说明， 实际实现时， fmax 还要小一些。 这是由于实际中要求采样频 率高于奈奎斯特速率， 而且在采用重叠相加法时， 重叠部分要计算两次。 重 叠部分长度与 h(n)长度有关， 2. 解: 与第 1 题同理。 直接计算 1024 点 DFT 所需计算时间 TD 为 而且还有存取数据和指令周期等消耗的时间。
k = 0,1, 2, L , N − 1
由以上分析可得出运算过程如下： （1）由 X(k)计算出 X1(k)和 X2(k):
3
1 X 1 (k ) = [ X (k ) + X (k + N )] 2 1 X 2 (k ) = [ X (k ) + X (k + N )]W2−Nk 2 ② 由 X1(k)和 X2(k)构成 N 点频域序列 Y(k):
第 4 章 快速傅里叶变换（FFT） 习题答案 1. 解: 当 N=1024=210 时， 直接计算 DFT 的复数乘法运算次数为
N2=1024×1024=1 048 576 次 复数加法运算次数为 N（N－1）=1024×1023=1 047 552 次 直接计算所用计算时间 TD 为 TD=4×10 6×10242+1 047 552×10 6=5.241 856 s
F(k)=X(k)+jY(k)=Fep(k)+Fop(k) 计算一次 N 点 IFFT 得到 f(n)=IFFT［F(k)］=Re［f(n)］+j Im［f(n)］ 由 DFT 的共轭对称性可知 Re［f(n)］=IDFT［Fep(k)］=IDFT［X(k)］=x(n) j Im［f(n)］=IDFT［Fop(k)］=IDFT［jY(k)］=jy(n) 故
运行程序输出时域序列如下所示，
x1n = 1 x2n = 1 x3n = 1 0 1 2 0 1 3 0 1 4
正是原序列 x1n、 x2n 和 x3n。
0 1 4 0 1 3 0 1 2 0 1 1
5
Y(k)求 X1(k)、 X2(k)和 X(k)的运算(运算量相对很少)。
（2） 与（1）相同， 设
x1(n)=x(2n) x2(n)=x(2n+1) X1(k)=DFT［x1(n)］ X2(k)=DFT［x2(n)］
则应满足关系式
n=0, 1, …, N－1 n=0, 1, …, N－1 k=0, 1, …, N－1 k=0, 1, …, N－1
5.
解：
本题比较简单，
仿照教材中的 8 点基 2DIT-FFT 和 DIF-FFT 运算流
图很容易画出 16 点基 2DIT-FFT 和 DIF-FFT 运算流图。 但画图占篇幅较大，这 里省略本题解答， 请读者自己完成。
6. 解： 为了使用灵活方便， 将本题所给算法公式作为函数编写 ifft46.m 如下： %函数 ifft46.m %按照所给算法公式计算 IFET function xn=ifft46(Xk， N) Xk=conj(Xk)； %对 Xk 取复共轭
在数字信号处理领域得到广泛应用。机器周期小于 1 ns 的 DSP 产品已上市， 其 处理速度更高。 3. 解: 因为 x(n)和 y(n)均为实序列， 所以， X(k)和 Y(n)为共轭对称序列，
jY(k)为共轭反对称序列。 可令 X(k)和 jY(k)分别作为复序列 F(k)的共轭对称分量 和共轭反对称分量， 即
y(n)=x1(n)+jx2(n) Y(k)=DFT［y(n)］ k=0, 1, …, N－1
则 X (k ) = DFT[ x (n)] = Y (k ) = 1 [Y (k ) + Y * ( N − k )] 1 1 ep 2 1 jX 2 (k ) = DFT[ jx2 (n)] = Yep (k ) = [Y (k ) − Y * ( N − k )] 2
1
TD=10×10 9×10242+10×10 9×1 047 552=20.961 28 ms
－ －
用 FFT 计算 1024 点 DFT 所需计算时间 TF 为 N TF = 10 × 10 −9 × l bN + 10 × 10−9 × N l bN 2 1024 = 10−8 × × 10 + 10 −8 × 1024 × 10 2 = 0.1536 ms 快速卷积计算时间 Tc 约为
－ －
用 FFT 计算 1024 点 DFT 所需计算时间 TF 为 TF = 5 ×10 −6 × N lbN + NlbN × 10 −6 2 1024 = 5 × 10−6 × ×10 + 1024 × 10 × 10−6 2 = 30.72 ms
快速卷积时， 需要计算一次 N 点 FFT（考虑到 H(k)= DFT［h(n)］已计算好存 入内存） 、 N 次频域复数乘法和一次 N 点 IFFT。 所以， 积的计算时间 Tc 约为 Tc = 2TF + 1024次复数乘计算时间 = 71680 µs + 4 × 1024 µs 所以， = 65536 µs 每秒钟处理的采样点数（即采样速率）