第4章快速傅里叶变换(FFT)
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快速傅里叶变换
N X 2 ( k ) X 2 (k ) 2
第4章 快速傅里叶变换（FFT）
(N k ) 2 又由于WN
k WN WN
N 2
k WN
,所以
N N N k N 2 X (k ) X 1 (k ) WN X 2 (k ) 2 2 2
k X 1 (k ) WN X 2 (k ),
X 1 (k ) x1 (r )W x(2r )W
r 0 rk 4 r 0
3
3
rk 4
k 0,1,2,3
第4章 快速傅里叶变换（FFT）
(2) n为奇数时,分别记作:
x2 (0) x (1), x2 (1) x (3), x2 ( 2) x (5), x2 (3) x (7);
k N
1 1
k WN
-1
N X ( k ) X 1 (k ) WNk X 2 (k ) (后一半) 2
5.计算工作量分析
按奇、偶分组后的计算量：
第4章 快速傅里叶变换（FFT）
由上图可知，N点DFT的复乘为N2 ;复加N(N-1); 与分解后相比可知,计算工作点差不多减少 一半。
第4章 快速傅里叶变换（FFT）
一个X(k)的值的工作量,如X(1)
0 1 X (1) x(0)WN x(1)WN x(2)WN2 x( N 1)WNN 1
nk 通常x(n)和 W 都是复数,所以计算一个 N X(k)的值需要N次复数乘法运算,和N 1 次 复数加法运算.那么,所有的X(k)就要N2次复 数乘法运算,N(N-1)次复数加法运算.当N很 大时,运算量将是惊人的,如N=1024,则要完 成1048576 次(一百多万次)运算.这样,难 以做到实时处理.
快速傅里叶变换 FFT
因为
，所以：
上式中X1(k)和X2(k)分别为x2(r)和x2(r)的N/2点DFT， 即
由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，且 X(k)又可表示为：
，以
即将一个N点的DFT分解成为两个N/2点的DFT。 上述运算可用右下图来表示，称为蝶形运算符号。
从右图可知，要完成一 个蝶形运算需要进行一 次复数相乘和两次复数 相加运算。
对于象雷达、通信、声纳等需要实时处理的信号， 因为其运算量更大，所以无法满足信号处理的实时 性要求。迫切需要有新的算法。
二、DFT运算的特点
实际上，DFT运算中包含有大量的重复运算。在WN
矩阵中，虽然其中有N2个元素，但由于WN的周期
性，其中只有N个独立的值，即
，且
这N个值也有一些对称关系。总之，WN因子具有如 下所述周期性及对称性：
N 1
X (k) x(n)WNkn n0
x(n)
1 N
N 1
X (k)WNkn
k 0
k 0,1,2, , N 1 n 0,1,2, , N 1
计算X(k)的运算量：需要N2次复数乘法，N(N－1)
次复数加法。在N较大时计算量很大。
例如：N＝1024时, 需要1,048,576次复数乘法, 即 4,194,304次实数乘法
1.对称性
2.周期性 由上述特性还可得出：
利用上述对称特性，可使DFT运算中有些项可以合 并，这样，可使乘法次数减少大约一半；利用WN 矩阵的对称性及周期性，可以将长序列的DFT分解 为短序列的DFT，N越小，运算量能够减少。 例如，对于四点的DFT，直接计算需要16次复数乘 法，根据上述特性可以有以下形5年，J. W. Cooley和J. W. Tukey巧妙应用DFT中 W因子的周期性及对称性提出了最早的FFT，这是 基于时间抽取的FFT。具有里程碑式的贡献(运算量 缩短两个数量级)
《快速傅里叶变换》课件
FFT算法的出现极大地推动了数字信号 处理技术的发展和应用。
FFT的历史背景
01
1960年代，Cooley和Tukey提 出了基于“分治”思想的FFT 算法，为快速傅里叶变换的实 用化奠定了基础。
02
随后，出现了多种FFT算法的 变种和优化，如Radix-2、 Radix-4等。
03
随着计算机技术的发展，FFT 算法在硬件实现上也得到了广 泛应用，如FPGA、GPU等。
《快速傅里叶变换》ppt课件
contents
目录
• FFT简介 • FFT基本原理 • FFT实现 • FFT的应用 • FFT的优化与改进 • FFT的挑战与未来发展
01 FFT简介
FFT的定义
快速傅里叶变换（FFT）：一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换的 算法。它将复杂度为$O(N^2)$的DFT计算降低到$O(Nlog N)$，大大提高了计 算效率。
详细描述
混合基数FFT算法结合了基数-2和基数-4算法的特点，利用两者在计算过程中的 互补性，减少了计算量，提高了计算效率。同时，该算法在处理大规模数据时 ，能够保持较高的精度。
分段FFT算法
总结词
分段FFT算法将输入数据分成若干段，对每一段进行快速傅里叶变换，以降低计算复杂度和提高计算效率。
详细描述
02 FFT基本原理
离散傅里叶变换（DFT）
定义
应用
DFT是时间域信号到频域的变换，通 过计算信号中各个频率成分的幅度和 相位，可以分析信号的频谱特性。
DFT在信号处理、图像处理、频谱分 析等领域有广泛应用。
计算量
DFT的计算量随着信号长度N的增加 而呈平方关系增长，因此对于长信号 ，计算量巨大。
FFT的历史背景
01
1960年代，Cooley和Tukey提 出了基于“分治”思想的FFT 算法，为快速傅里叶变换的实 用化奠定了基础。
02
随后，出现了多种FFT算法的 变种和优化，如Radix-2、 Radix-4等。
03
随着计算机技术的发展，FFT 算法在硬件实现上也得到了广 泛应用，如FPGA、GPU等。
《快速傅里叶变换》ppt课件
contents
目录
• FFT简介 • FFT基本原理 • FFT实现 • FFT的应用 • FFT的优化与改进 • FFT的挑战与未来发展
01 FFT简介
FFT的定义
快速傅里叶变换（FFT）：一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换的 算法。它将复杂度为$O(N^2)$的DFT计算降低到$O(Nlog N)$，大大提高了计 算效率。
详细描述
混合基数FFT算法结合了基数-2和基数-4算法的特点，利用两者在计算过程中的 互补性，减少了计算量，提高了计算效率。同时，该算法在处理大规模数据时 ，能够保持较高的精度。
分段FFT算法
总结词
分段FFT算法将输入数据分成若干段，对每一段进行快速傅里叶变换，以降低计算复杂度和提高计算效率。
详细描述
02 FFT基本原理
离散傅里叶变换（DFT）
定义
应用
DFT是时间域信号到频域的变换，通 过计算信号中各个频率成分的幅度和 相位，可以分析信号的频谱特性。
DFT在信号处理、图像处理、频谱分 析等领域有广泛应用。
计算量
DFT的计算量随着信号长度N的增加 而呈平方关系增长，因此对于长信号 ，计算量巨大。
数字信号处理课后答案+第4章(高西全丁美玉第三版)
6*． 按照下面的IDFT算法编写MATLAB语言 IFFT程 序， 其中的FFT部分不用写出清单， 可调用fft函数。 并分 别对单位脉冲序列、 矩形序列、 三角序列和正弦序列进行 FFT和IFFT变换， 验证所编程序。
解： 为了使用灵活方便， 将本题所给算法公式作为函 数编写ifft46.m如下： %函数ifft46.m %按照所给算法公式计算IFET function xn=ifft46(Xk， N) Xk=conj(Xk)； %对Xk取复共轭 xn=conj(fft(Xk， N))/N； %按照所给算法公式计算IFFT 分别对单位脉冲序列、 长度为8的矩形序列和三角序列 进行FFT， 并调用函数ifft46计算IFFT变换， 验证函数 ifft46的程序ex406.m如下：
快速卷积时， 需要计算一次N点FFT（考虑到H(k)= DFT［h(n)］已计算好存入内存）、 N次频域复数乘法和 一次N点IFFT。 所以， 计算1024点快速卷积的计算时间Tc 约为
Fs <
1024 = 15 625 次 /秒 65536 × 10−6
Fs 15625 = = 7.8125 kHz 2 2
1 x ( n) = IDFT[ X ( k )] = [DFT[ X * ( k )]]* N
%程序ex406.m %调用fft函数计算IDFT x1n=1； %输入单位脉冲序列x1n x2n=［1 1 1 1 1 1 1 1］； %输入矩形序列向量x2n x3n=［1 2 3 4 4 3 2 1］； %输入三角序列序列向量x3n N=8； X1k=fft(x1n， N)； X2k=fft(x2n， N)； X3k=fft(x3n， N)； %计算x1n的N点DFT %计算x2n的N点DFT %计算x3n的N点DFT
《快速傅里叶变换(FFT) 第四章》
方法： 分解N为较小值：把序列分解为几个较短的 序列，分别计算其DFT值； 利用旋转因子WNk的周期性、对称性、可 约性进行合并、归类处理，以减少DFT的运 算次数。 k ( kn WN m WNN m WN ( nlN ) WNk lN ) n WN 周期性： N m m N m N m m m m 对称性：Wm WNm [W WN N WNN [WNNN m ]] WN WN 2 WN WN 可约性：W mN N W knmW kn / m W kn m kmn ,m 2 2
x ( r ) W x ( r )W x ( r ) W x ( r )W e (r W x r) xxr) W( r ) W (WW (r )W W e W (2 ) x x x(2 r 1)
W e
2 j 2 kr 2 kr N N /2
N 2
2 这样将N点DFT分解为两个N/2点的DFT
N X (k ) X 1 (k ) W X 2k(k ) k 0,1, 1 N X (k ) X 1 (k ) WN X 2 (k ) k 0,1, N 1 2 k X (kN X 1 (k ) WN X 2 (k ) k 0,1, 2 1 ) N2 k X (k N X 1 (k ) WN X 2 (k ) k 0,1, 1 N ) k X (k 2 N X 1 (k ) WN X 2 (k ) k 0,1, N 1 ) 2 k 2 X (k ) X (k ) W X (k ) k 0,1, 2 1
4.1 离散傅里叶变换的高效计算思路 DFT是信号分析与处理中的一种重要变换。但直接 计算DFT的计算量与变换区间长度N的平方成正比， 当N较大时，计算量太大，直接用DFT算法进行谱分 析和信号的实时处理是不切实际的。
信号与系统(第四章)-离散傅里叶变换与快速傅里叶变换
解：变量n用k替代
反转，并取主值区间序列
周期延拓
反转后
向右平移1位 向右平移3位
向右平移2位
于是，由
y
(n)
3
x(k
)h((n
k
))
4
G4
(n)
，得
k 0
y(0) 1114 13 02 8
y(1) 1 2 1114 03 7
y(2) 1312 11 04 6
y(3) 14 1312 01 9
➢ 线卷积与圆周卷积
• 线卷积的移位是平移，圆周卷积的移位是周期位 移。
• 线卷积不要求两序列长度一致。若 x(n)与h(n)的长度分别为M和N，则 y(n)=x(n)*h(n)的长度为M+N-1。 圆周卷积要求两序列长度一致，否则短序列须补 零，使两序列等长后，才可进行圆周卷积。
DFT ax1(n) bx2(n) aDFT x1(n) bDFT x2(n)
（4.9）
当序列x1(n)和x2(n)长度不一致时，则可通过将较 短序列补零，使两序列长度一致，此时，式(4.9)成立。
2、圆周位移特性 圆周时移：圆周时移指长度为N的序列x(n)，以N 为周期做周期延拓生成xp(n)，位移m位后，得序 列xp(n-m)，在此基础上取其主值区间上序列。
于是
x(n)
x(t)
t nTs
k
X e jk1nTs k
X e X e
j
2 T1
knTs
k
j 2 nk N
k
（4.3）
k
k
式（4.3）两边同乘
e
j 2 N
nm
，再取合式
N 1
，得
n0
反转，并取主值区间序列
周期延拓
反转后
向右平移1位 向右平移3位
向右平移2位
于是，由
y
(n)
3
x(k
)h((n
k
))
4
G4
(n)
，得
k 0
y(0) 1114 13 02 8
y(1) 1 2 1114 03 7
y(2) 1312 11 04 6
y(3) 14 1312 01 9
➢ 线卷积与圆周卷积
• 线卷积的移位是平移，圆周卷积的移位是周期位 移。
• 线卷积不要求两序列长度一致。若 x(n)与h(n)的长度分别为M和N，则 y(n)=x(n)*h(n)的长度为M+N-1。 圆周卷积要求两序列长度一致，否则短序列须补 零，使两序列等长后，才可进行圆周卷积。
DFT ax1(n) bx2(n) aDFT x1(n) bDFT x2(n)
（4.9）
当序列x1(n)和x2(n)长度不一致时，则可通过将较 短序列补零，使两序列长度一致，此时，式(4.9)成立。
2、圆周位移特性 圆周时移：圆周时移指长度为N的序列x(n)，以N 为周期做周期延拓生成xp(n)，位移m位后，得序 列xp(n-m)，在此基础上取其主值区间上序列。
于是
x(n)
x(t)
t nTs
k
X e jk1nTs k
X e X e
j
2 T1
knTs
k
j 2 nk N
k
（4.3）
k
k
式（4.3）两边同乘
e
j 2 N
nm
，再取合式
N 1
，得
n0
[2017年整理]详解FFT（快速傅里叶变换FFT
![[2017年整理]详解FFT（快速傅里叶变换FFT](https://img.taocdn.com/s3/m/ecf1a510e97101f69e3143323968011ca300f79a.png)
knNW NN第四章 快速傅里叶变换有限长序列可以通过离散傅里叶变换(DFT)将其频域也离散化成有限长 序列.但其计算量太大,很难实时地处理问题,因此引出了快速傅里叶变换 (FFT). 1965 年，Cooley 和 Tukey 提出了计算离散傅里叶变换（DFT ）的快 速算法，将 DFT 的运算量减少了几个数量级。
从此，对快速傅里叶变换（FFT ） 算法的研究便不断深入，数字信号处理这门新兴学科也随 FFT 的出现和发 展而迅速发展。
根据对序列分解与选取方法的不同而产生了 FFT 的多种算 法，基本算法是基２DIT 和基２DIF 。
FFT 在离散傅里叶反变换、线性卷积 和线性相关等方面也有重要应用。
快速傅里叶变换（FFT ）是计算离散傅里叶变换（DFT ）的快速算法。
DFT 的定义式为N −1X (k ) = ∑ x (n )W NR N (k )n =0在所有复指数值 W kn 的值全部已算好的情况下，要计算一个 X (k ) 需要 N 次复数乘法和 N －1 次复数加法。
算出全部 N 点 X (k ) 共需 N 2次复数乘法和 N ( N − 1) 次复数加法。
即计算量是与 N 2 成正比的。
FFT 的基本思想：将大点数的 DFT 分解为若干个小点数 DFT 的组合， 从而减少运算量。
W N 因子具有以下两个特性，可使 DFT 运算量尽量分解为小点数的 DFT运算：（1） 周期性：( k + N ) nN= W kn= W ( n + N ) k（2） 对称性：W( k + N / 2 )= −WkN N利用这两个性质，可以使 DFT 运算中有些项合并，以减少乘法次数。
例子： 求当 N ＝4 时，X(2)的值4 N N N3∑44444X (2) = n =0x (n )W 2 n = x (0)W 0 + x (1)W 2 + x (2)W 4 + x (3)W 6= [ x (0) + x (2)]W 0 + [ x (1) + x (3)]W 2(周期性)4＝[ x (0) + x (2)]－[ x (1) + x (3)]W 04(对称性)通过合并，使乘法次数由 4 次减少到 1 次，运算量减少。
数字信号处理_程佩青_PPT第四章
第四章 快速傅里叶变换 （FFT）
主要内容
DIT-FFT算法 DIF-FFT算法 IFFT算法 Chirp-z算法 线性卷积的FFT算法
§4.0 引言
FFT: Fast Fourier Transform
1965年，Cooley&Turky 发表文章《机器计算傅 里叶级数的一种算法》，提出FFT算法，解决 DFT运算量太大，在实际使用中受限制的问题。 FFT的应用。频谱分析、滤波器实现、实时信 号处理等。 DSP芯片实现。TI公司的TMS 320c30，10MHz 时钟，基2-FFT1024点FFT时间15ms。
又WN
k
N 2
W
N /2 N
W W
k N
k N
k X (k ) X1 (k ) WN X 2 (k )，k 0,1,2,...N / 2 1 (2) X ( N k ) X ( N k ) W ( N / 2 k ) X ( N k ) 1 N 2 2 2 2 k X1 (k ) WN X 2 (k )，k 0,1,2,...N / 2 1
n为偶
n为奇
N / 2 1
rk k rk x ( r ) W W x ( r ) W 1 N /2 N 2 N /2 r 0 r 0 X1 ( k )
N / 2 1
2 rk rk （这一步利用： WN WN /2
） r , k 0,1,...N / 2 1
N为2的整数幂的FFT算法称基-2FFT算法。
将序列x(n)按n的奇偶分成两组：
x1 (r ) x(2r ) ，r 0， 1， 2， ...N/ 2 1 x2 (r ) x(2r 1)
主要内容
DIT-FFT算法 DIF-FFT算法 IFFT算法 Chirp-z算法 线性卷积的FFT算法
§4.0 引言
FFT: Fast Fourier Transform
1965年，Cooley&Turky 发表文章《机器计算傅 里叶级数的一种算法》，提出FFT算法，解决 DFT运算量太大，在实际使用中受限制的问题。 FFT的应用。频谱分析、滤波器实现、实时信 号处理等。 DSP芯片实现。TI公司的TMS 320c30，10MHz 时钟，基2-FFT1024点FFT时间15ms。
又WN
k
N 2
W
N /2 N
W W
k N
k N
k X (k ) X1 (k ) WN X 2 (k )，k 0,1,2,...N / 2 1 (2) X ( N k ) X ( N k ) W ( N / 2 k ) X ( N k ) 1 N 2 2 2 2 k X1 (k ) WN X 2 (k )，k 0,1,2,...N / 2 1
n为偶
n为奇
N / 2 1
rk k rk x ( r ) W W x ( r ) W 1 N /2 N 2 N /2 r 0 r 0 X1 ( k )
N / 2 1
2 rk rk （这一步利用： WN WN /2
） r , k 0,1,...N / 2 1
N为2的整数幂的FFT算法称基-2FFT算法。
将序列x(n)按n的奇偶分成两组：
x1 (r ) x(2r ) ，r 0， 1， 2， ...N/ 2 1 x2 (r ) x(2r 1)
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N /4 1
l 0
2 kl x3 (l )WN /2
N /4 1
l 0
(2 l 1) x4 (l )WNk /2 N /4 1
N /4 1
l 0
x3 (l )W
kl N /4
W
k N /2
l 0
kl x4 (l )WN /4
X 3 (k ) WNk /2 X 4 (k )
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
当 N 1 时，N(N－1)≈N2。由上述可见，N点
DFT的乘法和加法运算次数均为N2。当N较大时，运算 量相当可观。例如N=1024时，N2=1 048 576。这对于 实时信号处理来说，必将对处理设备的计算速度提出 难以实现的要求。所以，必须减少其运算量，才能使
k
N 2
k ，因此 WN
X (k ) X 1 (k ) WNk X 2 (k )
k 0,1,2,
, N -1
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
X (k ) X 1 (k ) WNk X 2 (k )，
N X (k ) X 1 (k ) WNk X 2 (k )， 2
(4.2.11)
其中：
X 5 (k ) X 6 (k )
N / 4 1
l 0 l 0
x5 (l )WNkl/ 4 DFT[ x5 (l )]N x6 (l )WNkl/ 4 DFT[ x6 (l )]N
4
N / 4 1
4
x5 (l ) x2 (2l ) ，l 0， 1， x6 (l ) x2 (2l 1)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.1 引言
4.2 基2FFT算法
4.3 进一步减少运算量的措施 4.4 其他快速算法简介
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.1 引
言
DFT是数字信号分析与处理中的一种重要变换。但
直接计算DFT，当N较大时，计算量太大，所以在快速
傅里叶变换FFT(Fast Fourier Transform)出现以前，直
数乘法和两次复数加法运算。由图4.2.2容易看出，经过 一次分解后，计算1个N点DFT共需要计算两个N/2点DFT 和N/2个蝶形运算。而计算一个N/2点DFT需要(N/2)2次复 数乘法和N/2(N/2－1)次复数加法。所以，按图4.2.2计算
N点DFT时，总共需要的复数乘法次数为
N2 N N N ( N 1) 2 2 2 2 2 N 1
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.2 基2FFT
4.2.1 直接计算DFT的特点及减少运算量的基本
有限长序列x(n)的N点DFT为
kn X (k ) x(n)WN n 0 N 1
k 0， 1， ， N 1
（4.2.1）
考虑x(n)为复数序列的一般情况，对某一个k值，直接按 (4.2.1)式计算X(k)的1个值需要N次复数乘法和 (N－1)次复数加法。因此，计算X(k)的所有N个值，共需N2次 复数乘法和N(N－1)次复数加法运算。
X 2 (k )
N / 2 1
r 0
kr x1 (r )WN / 2 DFT[ x1 (r )]N
2
(4.2.5)
N / 21
r 0
kr x2 (r )WN / 2 DFT[ x2 (r )]N
2
(4.2.6)
由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，且WN X(k)又可表示为
DFT
如前所述，N点DFT的复乘法次数等于N2。显然， 把N点DFT分解为几个较短的DFT，可使乘法次数大大
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
另外，旋转因子具有明显的周期性和对称性。其周期性表现为
mlN WN e j 2π ( mlN ) N
e
j
2π m N
m WN
其对称性表现为
N m * m m N m [ W ] W WN WN 或者 N N
k 0， 1， ，
N 1 2
(4.2.7)
(4.2.8)
N k 0， 1， ， 1 2
这样，就将N点DFT分解为两个N/2点DFT和(4.2.7)式以及
(4.2.8)式的运算。(4.2.7)和(4.2.8)式的运算可用图4.2.1所示
的流图符号表示，称为蝶形运算符号。采用这种图示法， 经过一次奇偶抽取分解后，N点DFT运算图可以用图4.2.2 表示。图中，N=23=8， X(0)~X(3)由(4.2.7)式给出，而 X(4)~ X(7)则由(4.2.8)式给出。
接用DFT算法进行谱分析和信号的实时处理是不切实际 的。直到1965年提出DFT的一种快速算法以后，情况才 发生了根本的变化。
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
自从1965年库利和图基在《计算数学》杂志上发
表了著名的《机器计算傅里叶级数的一种算法》论文 后，桑德—图基等快速算法相继出现，又经人们进行 改进，很快形成一套高效计算方法，这就是现在的快 速傅里叶变换（FFT）。 这种算法使DFT的运算效率提高了1 ~ 2个数量级， 为数字信号处理技术应用于各种信号的实时处理创造
第4章 快速傅里叶变换(FFT) 4.2.3 DIT-FFT算法与直接计算DFT运算量的比较
由DIT-FFT算法的分解过程及图4.2.4可见，当N=2M 时，其运算流图应有M级蝶形，每一级都由N/2个蝶形运算 构成。因此，每一级运算都需要N/2次复数乘和N次复数加 (每个蝶形需要两次复数加法)。所以，M级运算总共需要 的复数乘次数为
x3 (l ) x1 (2l ) x4 (l ) x1 (2l 1)
l 0， 1，
N ， 1 4
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
X1(k)又可表示为
X 1 (k )
N /4 1
l 0
x1 (2l )W
2 kl N /2
N /4 1
l 0
(2 l 1) x1 (2l 1)WNk /2
(4.2.10)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
用同样的方法可计算出
k X 2 (k ) X 5 (k ) WN / 2 X 6 (k ) N k X 2 k X 5 (k ) WN X ( k ) /2 6 4
N k 0， 1， ， 1 4
2
复数加法次数为
NN N N2 2 1 2 22 2 2
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
由此可见，仅仅经过一次分解，就使运算量减少近 一半。既然这样分解对减少DFT的运算量是有效的，且
N=2M, N/2仍然是偶数，故可以对N/2点DFT再作进一步
分解。 与第一次分解相同，将x1(r)按奇偶分解成两个N/4 点的子序列x3(l)和x4(l)，即
In Time FFT，简称DIT－FFT )； 频域抽取法FFT (Decimation In Frequency FFT，简称DIF－FFT)。本节 介绍DIT－FFT 设序列x(n)的长度为N，且满足N=2M，M为自然数。 按n的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列
x1 (r ) x(2r )， x2 (r ) x(2r 1)，
kN / 4 k m W W 同理，由X3(k)和X4(k)的周期性和WN 的对称性 N /2 N /2 /2
4
最后得到：
，k 0， 1， ， N / 4 1 k X 1 (k N / 4) X 3 (k ) WN / 2 X 4 (k ) X 1 (k ) X 3 (k ) WNk / 2 X 4 (k )
kr WN /2
k N N /21
因为 所以
r 0
x(2r )W x1 (r )W
j
2 kr N
N / 2 1
r 0 k N
N / 2 1
r 0
2 kr N
W
N / 2 1
r 0
2 kr WN e
2π 2 kr N
e
j
2π kr N 2
X (k )
N /21
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
偶数点的 N/2 DFT
序列DFT 的N/2个点
WNk
奇数点的 N/2 DFT
序列DFT 的后N/2个 点
图4.2.1 蝶形运算符号
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
图4.2.2 8点DFT一次时域抽取分解运算流图
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
由图4.2.1可见，要完成一个蝶形运算，需要一次复
r 0， 1 ， r 0， 1，
N ， 1 2 N ， 1 2
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
则x(n)的DFT为 X (k ) x(n)WNkn
n 偶数 N / 2 1
n 奇数
x(n)WNkn x(2r 1)WNk (2 r 1) x2 (r )WN2 kr
r 0
x1 (r )W
kr N /2
W
r 0
kr x2 (r )WN /2
k X 1 (k ) WN X 2 (k )
k 0,1, 2,
, N -1
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
其中Ｘ1(k)和X2(k)分别为x1(r)和x2(r)的N/2点DFT, 即
X 1 (k )
N N CM M log 2 N 2 2
复数加次数为
CA N M N log2 N