第4章快速傅里叶变换FFT
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快速傅里叶变换FFT
第4章 迅速傅里叶变换(FFT)
本章主要内容
▪ 引言 ▪ 基2FFT算法 ▪ 进一步降低运算量旳措施
4.1 引言
▪ DFT是信号分析与处理中旳一种主要变换。但直接计算DFT旳 计算量与变换区间长度N旳平方成正比，当N较大时，计算量 太大，直接用DFT算法进行谱分析和信号旳实时处理是不切 实际旳。
▪ 1965年发觉了DFT旳一种迅速算法，使DFT旳运算效率提升1－2 个数量级，为数字信号处理技术应用于多种信号旳实时处理 发明了条件，推动了数字处理技术旳发展。
r 0
x2 ( r )WN2 kr
X (k) x(n)WNkn x(n)WNkn
n
n
X(k) x(n)WNkn x(n)WNkn
n
n
X (k )
x(n)WNkn
x(n)WNkn
N / 21
N / 21
N / 21
N / 21
n
n
x(2r)WN2kr
x(2r 1)WNk(2r1) x(2r)WN2kr x(2r1)WNk(2r1)
4.2 基2FFT算法
2.旋转因子旳变化规律
N点DIT―FFT运算流图中，每个蝶形都要乘以旋转因子WpN，p 称为旋转因子旳指数。N＝8 ＝23 时各级旳旋转因子
第一级：L=1， 有1个旋转因子：WNp =WN/4J =W2LJ J=0 第二级：L=2，有2个旋转因子：WNp =WN/2J =W2LJ J=0,1 第三级：L=3，有4个旋转因子：WNp =WNJ =W2LJ J=0,1,2,3 对于N＝2M 旳一般情况，第L级共有2L-1个不同旳旋转因子：
▪ 1984年，提出了分裂基迅速算法，使运算效率进一步提升；
4.2 基2FFT算法
本章主要内容
▪ 引言 ▪ 基2FFT算法 ▪ 进一步降低运算量旳措施
4.1 引言
▪ DFT是信号分析与处理中旳一种主要变换。但直接计算DFT旳 计算量与变换区间长度N旳平方成正比，当N较大时，计算量 太大，直接用DFT算法进行谱分析和信号旳实时处理是不切 实际旳。
▪ 1965年发觉了DFT旳一种迅速算法，使DFT旳运算效率提升1－2 个数量级，为数字信号处理技术应用于多种信号旳实时处理 发明了条件，推动了数字处理技术旳发展。
r 0
x2 ( r )WN2 kr
X (k) x(n)WNkn x(n)WNkn
n
n
X(k) x(n)WNkn x(n)WNkn
n
n
X (k )
x(n)WNkn
x(n)WNkn
N / 21
N / 21
N / 21
N / 21
n
n
x(2r)WN2kr
x(2r 1)WNk(2r1) x(2r)WN2kr x(2r1)WNk(2r1)
4.2 基2FFT算法
2.旋转因子旳变化规律
N点DIT―FFT运算流图中，每个蝶形都要乘以旋转因子WpN，p 称为旋转因子旳指数。N＝8 ＝23 时各级旳旋转因子
第一级：L=1， 有1个旋转因子：WNp =WN/4J =W2LJ J=0 第二级：L=2，有2个旋转因子：WNp =WN/2J =W2LJ J=0,1 第三级：L=3，有4个旋转因子：WNp =WNJ =W2LJ J=0,1,2,3 对于N＝2M 旳一般情况，第L级共有2L-1个不同旳旋转因子：
▪ 1984年，提出了分裂基迅速算法，使运算效率进一步提升；
4.2 基2FFT算法
快速傅里叶变换 FFT
因为
，所以：
上式中X1(k)和X2(k)分别为x2(r)和x2(r)的N/2点DFT， 即
由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，且 X(k)又可表示为：
，以
即将一个N点的DFT分解成为两个N/2点的DFT。 上述运算可用右下图来表示，称为蝶形运算符号。
从右图可知，要完成一 个蝶形运算需要进行一 次复数相乘和两次复数 相加运算。
对于象雷达、通信、声纳等需要实时处理的信号， 因为其运算量更大，所以无法满足信号处理的实时 性要求。迫切需要有新的算法。
二、DFT运算的特点
实际上，DFT运算中包含有大量的重复运算。在WN
矩阵中，虽然其中有N2个元素，但由于WN的周期
性，其中只有N个独立的值，即
，且
这N个值也有一些对称关系。总之，WN因子具有如 下所述周期性及对称性：
N 1
X (k) x(n)WNkn n0
x(n)
1 N
N 1
X (k)WNkn
k 0
k 0,1,2, , N 1 n 0,1,2, , N 1
计算X(k)的运算量：需要N2次复数乘法，N(N－1)
次复数加法。在N较大时计算量很大。
例如：N＝1024时, 需要1,048,576次复数乘法, 即 4,194,304次实数乘法
1.对称性
2.周期性 由上述特性还可得出：
利用上述对称特性，可使DFT运算中有些项可以合 并，这样，可使乘法次数减少大约一半；利用WN 矩阵的对称性及周期性，可以将长序列的DFT分解 为短序列的DFT，N越小，运算量能够减少。 例如，对于四点的DFT，直接计算需要16次复数乘 法，根据上述特性可以有以下形5年，J. W. Cooley和J. W. Tukey巧妙应用DFT中 W因子的周期性及对称性提出了最早的FFT，这是 基于时间抽取的FFT。具有里程碑式的贡献(运算量 缩短两个数量级)
《快速傅里叶变换》课件
FFT算法的出现极大地推动了数字信号 处理技术的发展和应用。
FFT的历史背景
01
1960年代，Cooley和Tukey提 出了基于“分治”思想的FFT 算法，为快速傅里叶变换的实 用化奠定了基础。
02
随后，出现了多种FFT算法的 变种和优化，如Radix-2、 Radix-4等。
03
随着计算机技术的发展，FFT 算法在硬件实现上也得到了广 泛应用，如FPGA、GPU等。
《快速傅里叶变换》ppt课件
contents
目录
• FFT简介 • FFT基本原理 • FFT实现 • FFT的应用 • FFT的优化与改进 • FFT的挑战与未来发展
01 FFT简介
FFT的定义
快速傅里叶变换（FFT）：一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换的 算法。它将复杂度为$O(N^2)$的DFT计算降低到$O(Nlog N)$，大大提高了计 算效率。
详细描述
混合基数FFT算法结合了基数-2和基数-4算法的特点，利用两者在计算过程中的 互补性，减少了计算量，提高了计算效率。同时，该算法在处理大规模数据时 ，能够保持较高的精度。
分段FFT算法
总结词
分段FFT算法将输入数据分成若干段，对每一段进行快速傅里叶变换，以降低计算复杂度和提高计算效率。
详细描述
02 FFT基本原理
离散傅里叶变换（DFT）
定义
应用
DFT是时间域信号到频域的变换，通 过计算信号中各个频率成分的幅度和 相位，可以分析信号的频谱特性。
DFT在信号处理、图像处理、频谱分 析等领域有广泛应用。
计算量
DFT的计算量随着信号长度N的增加 而呈平方关系增长，因此对于长信号 ，计算量巨大。
FFT的历史背景
01
1960年代，Cooley和Tukey提 出了基于“分治”思想的FFT 算法，为快速傅里叶变换的实 用化奠定了基础。
02
随后，出现了多种FFT算法的 变种和优化，如Radix-2、 Radix-4等。
03
随着计算机技术的发展，FFT 算法在硬件实现上也得到了广 泛应用，如FPGA、GPU等。
《快速傅里叶变换》ppt课件
contents
目录
• FFT简介 • FFT基本原理 • FFT实现 • FFT的应用 • FFT的优化与改进 • FFT的挑战与未来发展
01 FFT简介
FFT的定义
快速傅里叶变换（FFT）：一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换的 算法。它将复杂度为$O(N^2)$的DFT计算降低到$O(Nlog N)$，大大提高了计 算效率。
详细描述
混合基数FFT算法结合了基数-2和基数-4算法的特点，利用两者在计算过程中的 互补性，减少了计算量，提高了计算效率。同时，该算法在处理大规模数据时 ，能够保持较高的精度。
分段FFT算法
总结词
分段FFT算法将输入数据分成若干段，对每一段进行快速傅里叶变换，以降低计算复杂度和提高计算效率。
详细描述
02 FFT基本原理
离散傅里叶变换（DFT）
定义
应用
DFT是时间域信号到频域的变换，通 过计算信号中各个频率成分的幅度和 相位，可以分析信号的频谱特性。
DFT在信号处理、图像处理、频谱分 析等领域有广泛应用。
计算量
DFT的计算量随着信号长度N的增加 而呈平方关系增长，因此对于长信号 ，计算量巨大。
数字信号处理DSP第4章
G[3] 1
k 0,1, , N 1
2
13
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
将系数统一为 WNk 2 WN2k ,则可得
x[0]
N 4点
x[4]
DFT
G[0]
X [0]
G[1]
X [1]
x[2]
N 4点
WN0
x[6]
DFT
WN2
G[2]
1 G[3]
1
X [2] X [3]
x[1]
N 4点
X m1[i] WNr X m1[ j] , X m1[i] WNr X m1[ j]
m 1, 2 ,
每一个蝶形需要一次复数乘法和两次复数加法。
17
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
N点的DIT-FFT计算量为
复数乘法：
1
N 2
log2
N
N 2
复数加法：
2
N 2
log2
N
N
例： 如果每次复数乘法需要100us，每次复数加法需要20us，来 计算N=1024点DFT，则需要
12
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
同理
( N 4)1
( N 4)1
G[k] DFT[g[r]]
g[2l]WN2lk2
g[2l 1]WN(22l1)k
l 0
l 0
( N 4)1
( N 4)1
g[2l]WNlk 4 WNk 2
g[2l 1]WNlk 4 ,
l 0
l 0
k 0,1,
(3) WN0 WN4 WN8 WN12 WN16 WN20 WN24 WN28
或 WN4i i 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (dm 1)
k 0,1, , N 1
2
13
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
将系数统一为 WNk 2 WN2k ,则可得
x[0]
N 4点
x[4]
DFT
G[0]
X [0]
G[1]
X [1]
x[2]
N 4点
WN0
x[6]
DFT
WN2
G[2]
1 G[3]
1
X [2] X [3]
x[1]
N 4点
X m1[i] WNr X m1[ j] , X m1[i] WNr X m1[ j]
m 1, 2 ,
每一个蝶形需要一次复数乘法和两次复数加法。
17
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
N点的DIT-FFT计算量为
复数乘法：
1
N 2
log2
N
N 2
复数加法：
2
N 2
log2
N
N
例： 如果每次复数乘法需要100us，每次复数加法需要20us，来 计算N=1024点DFT，则需要
12
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
同理
( N 4)1
( N 4)1
G[k] DFT[g[r]]
g[2l]WN2lk2
g[2l 1]WN(22l1)k
l 0
l 0
( N 4)1
( N 4)1
g[2l]WNlk 4 WNk 2
g[2l 1]WNlk 4 ,
l 0
l 0
k 0,1,
(3) WN0 WN4 WN8 WN12 WN16 WN20 WN24 WN28
或 WN4i i 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (dm 1)
信号与系统(第四章)-离散傅里叶变换与快速傅里叶变换
解：变量n用k替代
反转，并取主值区间序列
周期延拓
反转后
向右平移1位 向右平移3位
向右平移2位
于是，由
y
(n)
3
x(k
)h((n
k
))
4
G4
(n)
，得
k 0
y(0) 1114 13 02 8
y(1) 1 2 1114 03 7
y(2) 1312 11 04 6
y(3) 14 1312 01 9
➢ 线卷积与圆周卷积
• 线卷积的移位是平移，圆周卷积的移位是周期位 移。
• 线卷积不要求两序列长度一致。若 x(n)与h(n)的长度分别为M和N，则 y(n)=x(n)*h(n)的长度为M+N-1。 圆周卷积要求两序列长度一致，否则短序列须补 零，使两序列等长后，才可进行圆周卷积。
DFT ax1(n) bx2(n) aDFT x1(n) bDFT x2(n)
（4.9）
当序列x1(n)和x2(n)长度不一致时，则可通过将较 短序列补零，使两序列长度一致，此时，式(4.9)成立。
2、圆周位移特性 圆周时移：圆周时移指长度为N的序列x(n)，以N 为周期做周期延拓生成xp(n)，位移m位后，得序 列xp(n-m)，在此基础上取其主值区间上序列。
于是
x(n)
x(t)
t nTs
k
X e jk1nTs k
X e X e
j
2 T1
knTs
k
j 2 nk N
k
（4.3）
k
k
式（4.3）两边同乘
e
j 2 N
nm
，再取合式
N 1
，得
n0
反转，并取主值区间序列
周期延拓
反转后
向右平移1位 向右平移3位
向右平移2位
于是，由
y
(n)
3
x(k
)h((n
k
))
4
G4
(n)
，得
k 0
y(0) 1114 13 02 8
y(1) 1 2 1114 03 7
y(2) 1312 11 04 6
y(3) 14 1312 01 9
➢ 线卷积与圆周卷积
• 线卷积的移位是平移，圆周卷积的移位是周期位 移。
• 线卷积不要求两序列长度一致。若 x(n)与h(n)的长度分别为M和N，则 y(n)=x(n)*h(n)的长度为M+N-1。 圆周卷积要求两序列长度一致，否则短序列须补 零，使两序列等长后，才可进行圆周卷积。
DFT ax1(n) bx2(n) aDFT x1(n) bDFT x2(n)
（4.9）
当序列x1(n)和x2(n)长度不一致时，则可通过将较 短序列补零，使两序列长度一致，此时，式(4.9)成立。
2、圆周位移特性 圆周时移：圆周时移指长度为N的序列x(n)，以N 为周期做周期延拓生成xp(n)，位移m位后，得序 列xp(n-m)，在此基础上取其主值区间上序列。
于是
x(n)
x(t)
t nTs
k
X e jk1nTs k
X e X e
j
2 T1
knTs
k
j 2 nk N
k
（4.3）
k
k
式（4.3）两边同乘
e
j 2 N
nm
，再取合式
N 1
，得
n0
精品课件-数字信号处理(第四版)(高西全)-第4章
点DFT和(4.2.10)式或(4.2.11)式所示的N/4个蝶形运算，
如图4.2.3所示。依次类推，经过M次分解，最后将N点DFT
分解成N个1点DFT和M级蝶形运算，而1点DFT就是时域序列
本身。一个完整的8点DIT－FFT运算流图如图4.2.4所示。
图中用到关系式
。W图N中k / m输入W序Nmk列不是顺序排
In Time FFT，简称DIT－FFT )； 频域抽取法FFT (Decimation In Frequency FFT，简称DIF－FFT)。本节介 绍DIT－FFT
设序列x(n)的长度为N，且满足N=2M，M为自然数。按n 的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列
x1(r) x(2r)， x2 (r) x(2r 1)，
x1
(2l
1)WNk
( /
2l 2
1)
l 0
l 0
N / 41
N / 41
x3 (l)WNkl/ 4 WNk / 2
x4
(l
)WNk
l /
4
l 0
l 0
X 3 (k ) WNk/ 2 X 4 (k )
k 0， 1， ， N 1 2
(4.2.9)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
式中
N / 41
r0
2
(4.2.6)
由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，
kN
WN 2
WNk
且
，因此X(k)又可表示为
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
X (k) X1(k) WNk X 2 (k)，
X
(k
N 2
)
X1(k)
WNk
X
[2017年整理]详解FFT（快速傅里叶变换FFT
![[2017年整理]详解FFT（快速傅里叶变换FFT](https://img.taocdn.com/s3/m/ecf1a510e97101f69e3143323968011ca300f79a.png)
knNW NN第四章 快速傅里叶变换有限长序列可以通过离散傅里叶变换(DFT)将其频域也离散化成有限长 序列.但其计算量太大,很难实时地处理问题,因此引出了快速傅里叶变换 (FFT). 1965 年，Cooley 和 Tukey 提出了计算离散傅里叶变换（DFT ）的快 速算法，将 DFT 的运算量减少了几个数量级。
从此，对快速傅里叶变换（FFT ） 算法的研究便不断深入，数字信号处理这门新兴学科也随 FFT 的出现和发 展而迅速发展。
根据对序列分解与选取方法的不同而产生了 FFT 的多种算 法，基本算法是基２DIT 和基２DIF 。
FFT 在离散傅里叶反变换、线性卷积 和线性相关等方面也有重要应用。
快速傅里叶变换（FFT ）是计算离散傅里叶变换（DFT ）的快速算法。
DFT 的定义式为N −1X (k ) = ∑ x (n )W NR N (k )n =0在所有复指数值 W kn 的值全部已算好的情况下，要计算一个 X (k ) 需要 N 次复数乘法和 N －1 次复数加法。
算出全部 N 点 X (k ) 共需 N 2次复数乘法和 N ( N − 1) 次复数加法。
即计算量是与 N 2 成正比的。
FFT 的基本思想：将大点数的 DFT 分解为若干个小点数 DFT 的组合， 从而减少运算量。
W N 因子具有以下两个特性，可使 DFT 运算量尽量分解为小点数的 DFT运算：（1） 周期性：( k + N ) nN= W kn= W ( n + N ) k（2） 对称性：W( k + N / 2 )= −WkN N利用这两个性质，可以使 DFT 运算中有些项合并，以减少乘法次数。
例子： 求当 N ＝4 时，X(2)的值4 N N N3∑44444X (2) = n =0x (n )W 2 n = x (0)W 0 + x (1)W 2 + x (2)W 4 + x (3)W 6= [ x (0) + x (2)]W 0 + [ x (1) + x (3)]W 2(周期性)4＝[ x (0) + x (2)]－[ x (1) + x (3)]W 04(对称性)通过合并，使乘法次数由 4 次减少到 1 次，运算量减少。
数字信号处理_程佩青_PPT第四章
第四章 快速傅里叶变换 （FFT）
主要内容
DIT-FFT算法 DIF-FFT算法 IFFT算法 Chirp-z算法 线性卷积的FFT算法
§4.0 引言
FFT: Fast Fourier Transform
1965年，Cooley&Turky 发表文章《机器计算傅 里叶级数的一种算法》，提出FFT算法，解决 DFT运算量太大，在实际使用中受限制的问题。 FFT的应用。频谱分析、滤波器实现、实时信 号处理等。 DSP芯片实现。TI公司的TMS 320c30，10MHz 时钟，基2-FFT1024点FFT时间15ms。
又WN
k
N 2
W
N /2 N
W W
k N
k N
k X (k ) X1 (k ) WN X 2 (k )，k 0,1,2,...N / 2 1 (2) X ( N k ) X ( N k ) W ( N / 2 k ) X ( N k ) 1 N 2 2 2 2 k X1 (k ) WN X 2 (k )，k 0,1,2,...N / 2 1
n为偶
n为奇
N / 2 1
rk k rk x ( r ) W W x ( r ) W 1 N /2 N 2 N /2 r 0 r 0 X1 ( k )
N / 2 1
2 rk rk （这一步利用： WN WN /2
） r , k 0,1,...N / 2 1
N为2的整数幂的FFT算法称基-2FFT算法。
将序列x(n)按n的奇偶分成两组：
x1 (r ) x(2r ) ，r 0， 1， 2， ...N/ 2 1 x2 (r ) x(2r 1)
主要内容
DIT-FFT算法 DIF-FFT算法 IFFT算法 Chirp-z算法 线性卷积的FFT算法
§4.0 引言
FFT: Fast Fourier Transform
1965年，Cooley&Turky 发表文章《机器计算傅 里叶级数的一种算法》，提出FFT算法，解决 DFT运算量太大，在实际使用中受限制的问题。 FFT的应用。频谱分析、滤波器实现、实时信 号处理等。 DSP芯片实现。TI公司的TMS 320c30，10MHz 时钟，基2-FFT1024点FFT时间15ms。
又WN
k
N 2
W
N /2 N
W W
k N
k N
k X (k ) X1 (k ) WN X 2 (k )，k 0,1,2,...N / 2 1 (2) X ( N k ) X ( N k ) W ( N / 2 k ) X ( N k ) 1 N 2 2 2 2 k X1 (k ) WN X 2 (k )，k 0,1,2,...N / 2 1
n为偶
n为奇
N / 2 1
rk k rk x ( r ) W W x ( r ) W 1 N /2 N 2 N /2 r 0 r 0 X1 ( k )
N / 2 1
2 rk rk （这一步利用： WN WN /2
） r , k 0,1,...N / 2 1
N为2的整数幂的FFT算法称基-2FFT算法。
将序列x(n)按n的奇偶分成两组：
x1 (r ) x(2r ) ，r 0， 1， 2， ...N/ 2 1 x2 (r ) x(2r 1)
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N N / 2 1 N N2 /2
运算量减少 了近一半
1 N/2
N2 /2 N /2 N2 /2
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理
N=2M, N/2仍然是偶数，故可以对N/2点DFT再作进一步分解 将x1(r)按奇偶分解成两个N/4点的子序列x3(l)和x4(l)，即
4.2.4 DIT-FFT 的运算规律及编程思想
4、编程思想及程序框图 先从输入端(第1级)开 始，逐级进行，共进行M 级运算。在进行第L级运 算时，依次求出B个不同 的旋转因子，每求出一个 旋转因子，就计算完它对 应的所有2M－L个蝶形。 这样，我们可用三重循 环程序实现DIT-FFT运算
图4.2.6 DIT-FFT运算和程序框图
k 0， 1， ， N 1 2
X (k
N k ) X 1 ( k ) WN X 2 (k )， 2
将N点DFT分解为两个N/2点DFT上式运算可用蝶形运算符号表示A B C A＋B Nhomakorabea A－BC
X1(k) X2(k)
WNk
X1(k)+ WNkX2(k)
X1(k)WNkX2(k)
k X 1 (k ) X 3 (k ) WN / 2 X 4 (k )
X 5 (k ) X 6 (k )
N /4 1
l 0 l 0
kl x5 (l )WN /4 DFT[ x5 (l )]N
4
N /4 1
kl x6 (l )WN /4 DFT[ x6 (l )]N
2、旋转因子的变化规律 N点DIT-FFT运算流图中，每级都有N/2个蝶形。每个蝶形都 要乘以因子 WNp ，称其为旋转因子，p为旋转因子的指数 但各级的旋转因子和循环方式都有所不同，L表示从左到 右的运算级数(L=1，2，…，M) 旋转因子 WNp 与运算级数的关系： L级共有2L－1个不同的旋转因子
4.2 基2FFT算法
4.2.1 直接计算DFT的特点及减少运算量的基本途径
有限长序列x(n)的N点DFT X (k ) x(n)WNkn
n 0 N 1
k 0， 1， ， N 1
计算量
a jb c jd ac bd j ad cb
4.2.1 直接计算DFT的特点及减少运算量的基本途径
改善途径
利用旋转因子的周期性、对称性、可约性
mlN WN e j 2π ( mlN ) N
周期性
e
j
2π m N
m WN
对称性
WN
2 j e N
W
m N
W
N m N
[W
N m * N
] W
m N
WN
m
N 2
m WN
2
X (k )
N /21
r 0
x1 (r )W
kr N /2
W
k N
N /21
r 0
x2 (r )WNkr/2
X 1 (k ) WNk X 2 (k )
k N
k 0,1,2,
WN
k N 2
, N -1
k WN
由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期
X (k ) X 1 (k ) W X 2 (k )，
WNN /2 1
4.2.1 直接计算DFT的特点及减少运算量的基本途径 FFT算法思想
不断地把长序列的DFT分解成几个短序列的DFT，并利用旋 转因子的周期性和对称性来减少DFT的运算次数。
FFT： 并不是一种新的变换形式，只是 DFT 的一种快速算法并且根 据序列的分解和选取方法的不同而产生了FFT的多种算法。 FFT应用： 在离散傅里叶反变换、线性卷积、线性相关等方面
N / 4 1
kl k x ( l ) W W 3 N /4 N /2 k N /2
X 3 (k ) W
X 3 (k )
N / 4 1 l 0
X 4 (k )
4
N k 0， 1， ， 1 2
X 4 (k )
N / 4 1
x (l )W
3
kl N /4
DFT[ x3 (l )]N
4.2.4 DIT-FFT 的运算规律及编程思想 显而易见，只要将顺序数(n2n1n0)的二进制位倒置，则得 对应的二进制倒序值(n0n1n2)
X (k N k ) X 1 ( k ) WN X 2 (k )， 2
N k 0， 1， ， 1 2
k 0， 1， ， N 1 2
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理
X (k ) X 1 (k ) W X 2 (k )，
k N
N k 0， 1， ， 1 2
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
引言 基2FFT算法
主 要 内 容
进一步减少运算量的措施 其他快速算法简介
4.1 引言
问题
直接计算DFT的计算量与变换区间长度N的平方成正比，当N 较大时，计算量太大，直接用DFT算法进行谱分析和信号的实 时处理是不切实际的。 解决方法 自从1965年库利(T. W. Cooley)和图基(J. W. Tuky)在《计算数 学杂志上发表了著名的《机器计算傅里叶级数的一种算法》 论文，就形成现在的快速傅里叶变换（FFT）。 结果 FFT使DFT的运算效率提高了1 ~ 2个数量级，为数字信号处 理技术应用于各种信号的实时处理创造了条件，大大推动了 数字信号处理技术的发展。
4.2.4 DIT-FFT 的运算规律及编程思想 5、序列的倒序 DIT-FFT算法的输入序列的排序看起来似乎很乱，但仔 细分析就会发现这种倒序是很有规律的 由于N=2M，因此顺序数可用M位二进制数(nM－1nM－2…n1n0) 表示。M次偶奇时域抽选过程
图4.2.7 形成例序的树状图（N=23）
(W Nnk )* W N nk W N( N n ) k W Nn ( N k )
可约性
特殊点
k N / 2 W k WN N
Nk nk WN WN
mnk W Nnk WmN
nN nk WN WN
/m W Nnk W Nnk /m
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理 FFT算法分类
按抽取方式 时域抽取法FFT(Decimation In Time FFT，简称DIT－FFT ) 频域抽取法FFT (Decimation In Frequency FFT，简称DIF－FFT) 按基数分
基2-FFT算法、基4-FFT算法、混合基FFT算法、分裂基FFT算法
基2FFT算法
长度N满足N=2M（M为整数），若不满足将序列补零延长， 使其满足长度要求
本节主要介绍 1、FFT的基本思想
2、时域与频域抽取的基－2FFT算法
3、FFT程序实现
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理
1、基2 DIT－FFT算法基本原理 设序列x(n)的长度为N，且满足N=2M，M为自然数。 按n的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列
图：蝶形运算符号 完成一个蝶形运算需要一次复数乘和两次复数加法运算
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理
基2 DIT－FFT算法基本原理
图4.2.2 8点DFT一次时域抽取分解运算流图
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理
分解后运算量： 复数乘法 一个N/2点DFT (N/2)2 两个N/2点DFT N2/2 一个蝶形 N/2个蝶形 总计 复数加法 N/2 (N/2 –1) N (N/2 –1) 2 N
x1 (r ) x(2r )
x2 (r ) x(2r 1)
n 偶数
r 0 ,1,..., N / 2 1
则
X (k )
r 0
kn x(n)WN
n 奇数
kn x(n)WN
N /2 1
x(2r )W
1
2 kr N
k (2 r 1) x(2r 1)WN r 0
x 4(l ) x 1(2l 1)
x 3(l ) x 1(2l )
X 1 (k )
N / 4 1 l 0
l 0, 1,
N 1 4
x1 (2l )W
l 0
2 kl N /2
N / 4 1 l 0
k ( 2 l 1) x ( 2 l 1 ) W 1 N /2 N / 4 1 l 0 kl x ( l ) W 4 N /4
直接计算DFT的计算量
4.2.3 DIT-FFT 算法与直接计算DFT运算量的比较
DIT-FFT算法比直接计算DFT的运算次数大大减少。例如， N=210=1024时
N2 1 048576 204.8 N 5120 lbN 2
图4.2.5 DIT-FFT算法与直接计算DFT 所需复数乘法次数的比较曲线
N /2 1
N /2 1 r 0
x (r )W
2 kr N
W
k N
N /2 1
r 0
2 kr x2 (r )WN
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理
X (k )
N /21 r 0
x (r )W
1
N / 2 1
2 kr N
k WN
N /21 r 0
x (r )W
4
k X 2 (k ) X 5 (k ) WN / 2 X 6 (k ) N k X 2 k X 5 (k ) WN X ( k ) /2 6 4
k 0， 1， ，
N 1 4
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理
运算量减少 了近一半
1 N/2
N2 /2 N /2 N2 /2
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理
N=2M, N/2仍然是偶数，故可以对N/2点DFT再作进一步分解 将x1(r)按奇偶分解成两个N/4点的子序列x3(l)和x4(l)，即
4.2.4 DIT-FFT 的运算规律及编程思想
4、编程思想及程序框图 先从输入端(第1级)开 始，逐级进行，共进行M 级运算。在进行第L级运 算时，依次求出B个不同 的旋转因子，每求出一个 旋转因子，就计算完它对 应的所有2M－L个蝶形。 这样，我们可用三重循 环程序实现DIT-FFT运算
图4.2.6 DIT-FFT运算和程序框图
k 0， 1， ， N 1 2
X (k
N k ) X 1 ( k ) WN X 2 (k )， 2
将N点DFT分解为两个N/2点DFT上式运算可用蝶形运算符号表示A B C A＋B Nhomakorabea A－BC
X1(k) X2(k)
WNk
X1(k)+ WNkX2(k)
X1(k)WNkX2(k)
k X 1 (k ) X 3 (k ) WN / 2 X 4 (k )
X 5 (k ) X 6 (k )
N /4 1
l 0 l 0
kl x5 (l )WN /4 DFT[ x5 (l )]N
4
N /4 1
kl x6 (l )WN /4 DFT[ x6 (l )]N
2、旋转因子的变化规律 N点DIT-FFT运算流图中，每级都有N/2个蝶形。每个蝶形都 要乘以因子 WNp ，称其为旋转因子，p为旋转因子的指数 但各级的旋转因子和循环方式都有所不同，L表示从左到 右的运算级数(L=1，2，…，M) 旋转因子 WNp 与运算级数的关系： L级共有2L－1个不同的旋转因子
4.2 基2FFT算法
4.2.1 直接计算DFT的特点及减少运算量的基本途径
有限长序列x(n)的N点DFT X (k ) x(n)WNkn
n 0 N 1
k 0， 1， ， N 1
计算量
a jb c jd ac bd j ad cb
4.2.1 直接计算DFT的特点及减少运算量的基本途径
改善途径
利用旋转因子的周期性、对称性、可约性
mlN WN e j 2π ( mlN ) N
周期性
e
j
2π m N
m WN
对称性
WN
2 j e N
W
m N
W
N m N
[W
N m * N
] W
m N
WN
m
N 2
m WN
2
X (k )
N /21
r 0
x1 (r )W
kr N /2
W
k N
N /21
r 0
x2 (r )WNkr/2
X 1 (k ) WNk X 2 (k )
k N
k 0,1,2,
WN
k N 2
, N -1
k WN
由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期
X (k ) X 1 (k ) W X 2 (k )，
WNN /2 1
4.2.1 直接计算DFT的特点及减少运算量的基本途径 FFT算法思想
不断地把长序列的DFT分解成几个短序列的DFT，并利用旋 转因子的周期性和对称性来减少DFT的运算次数。
FFT： 并不是一种新的变换形式，只是 DFT 的一种快速算法并且根 据序列的分解和选取方法的不同而产生了FFT的多种算法。 FFT应用： 在离散傅里叶反变换、线性卷积、线性相关等方面
N / 4 1
kl k x ( l ) W W 3 N /4 N /2 k N /2
X 3 (k ) W
X 3 (k )
N / 4 1 l 0
X 4 (k )
4
N k 0， 1， ， 1 2
X 4 (k )
N / 4 1
x (l )W
3
kl N /4
DFT[ x3 (l )]N
4.2.4 DIT-FFT 的运算规律及编程思想 显而易见，只要将顺序数(n2n1n0)的二进制位倒置，则得 对应的二进制倒序值(n0n1n2)
X (k N k ) X 1 ( k ) WN X 2 (k )， 2
N k 0， 1， ， 1 2
k 0， 1， ， N 1 2
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理
X (k ) X 1 (k ) W X 2 (k )，
k N
N k 0， 1， ， 1 2
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
引言 基2FFT算法
主 要 内 容
进一步减少运算量的措施 其他快速算法简介
4.1 引言
问题
直接计算DFT的计算量与变换区间长度N的平方成正比，当N 较大时，计算量太大，直接用DFT算法进行谱分析和信号的实 时处理是不切实际的。 解决方法 自从1965年库利(T. W. Cooley)和图基(J. W. Tuky)在《计算数 学杂志上发表了著名的《机器计算傅里叶级数的一种算法》 论文，就形成现在的快速傅里叶变换（FFT）。 结果 FFT使DFT的运算效率提高了1 ~ 2个数量级，为数字信号处 理技术应用于各种信号的实时处理创造了条件，大大推动了 数字信号处理技术的发展。
4.2.4 DIT-FFT 的运算规律及编程思想 5、序列的倒序 DIT-FFT算法的输入序列的排序看起来似乎很乱，但仔 细分析就会发现这种倒序是很有规律的 由于N=2M，因此顺序数可用M位二进制数(nM－1nM－2…n1n0) 表示。M次偶奇时域抽选过程
图4.2.7 形成例序的树状图（N=23）
(W Nnk )* W N nk W N( N n ) k W Nn ( N k )
可约性
特殊点
k N / 2 W k WN N
Nk nk WN WN
mnk W Nnk WmN
nN nk WN WN
/m W Nnk W Nnk /m
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理 FFT算法分类
按抽取方式 时域抽取法FFT(Decimation In Time FFT，简称DIT－FFT ) 频域抽取法FFT (Decimation In Frequency FFT，简称DIF－FFT) 按基数分
基2-FFT算法、基4-FFT算法、混合基FFT算法、分裂基FFT算法
基2FFT算法
长度N满足N=2M（M为整数），若不满足将序列补零延长， 使其满足长度要求
本节主要介绍 1、FFT的基本思想
2、时域与频域抽取的基－2FFT算法
3、FFT程序实现
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理
1、基2 DIT－FFT算法基本原理 设序列x(n)的长度为N，且满足N=2M，M为自然数。 按n的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列
图：蝶形运算符号 完成一个蝶形运算需要一次复数乘和两次复数加法运算
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理
基2 DIT－FFT算法基本原理
图4.2.2 8点DFT一次时域抽取分解运算流图
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理
分解后运算量： 复数乘法 一个N/2点DFT (N/2)2 两个N/2点DFT N2/2 一个蝶形 N/2个蝶形 总计 复数加法 N/2 (N/2 –1) N (N/2 –1) 2 N
x1 (r ) x(2r )
x2 (r ) x(2r 1)
n 偶数
r 0 ,1,..., N / 2 1
则
X (k )
r 0
kn x(n)WN
n 奇数
kn x(n)WN
N /2 1
x(2r )W
1
2 kr N
k (2 r 1) x(2r 1)WN r 0
x 4(l ) x 1(2l 1)
x 3(l ) x 1(2l )
X 1 (k )
N / 4 1 l 0
l 0, 1,
N 1 4
x1 (2l )W
l 0
2 kl N /2
N / 4 1 l 0
k ( 2 l 1) x ( 2 l 1 ) W 1 N /2 N / 4 1 l 0 kl x ( l ) W 4 N /4
直接计算DFT的计算量
4.2.3 DIT-FFT 算法与直接计算DFT运算量的比较
DIT-FFT算法比直接计算DFT的运算次数大大减少。例如， N=210=1024时
N2 1 048576 204.8 N 5120 lbN 2
图4.2.5 DIT-FFT算法与直接计算DFT 所需复数乘法次数的比较曲线
N /2 1
N /2 1 r 0
x (r )W
2 kr N
W
k N
N /2 1
r 0
2 kr x2 (r )WN
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理
X (k )
N /21 r 0
x (r )W
1
N / 2 1
2 kr N
k WN
N /21 r 0
x (r )W
4
k X 2 (k ) X 5 (k ) WN / 2 X 6 (k ) N k X 2 k X 5 (k ) WN X ( k ) /2 6 4
k 0， 1， ，
N 1 4
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理