连续时间傅里叶变换
第二章 连续时间傅里叶变换(1)
jn0t
A T
n 0 jn0t Sa( 2 )e n =-
第二章
连续时间傅里叶变换
数字信号处理
周期信号的对称性与傅立叶系数
当周期信号具有某种对称性时，在傅立叶级数展开过程中， 傅立叶系数的计算大为简化。 （1）偶对称
f (t ) f (t )
f t
n 1
同频率合并
a0 c0 d0
f (t ) d0
dn sin(n1t n )
n 1
初相位
an cn cos n dn sin n
bn cn sin n dn cos nn
c，d
2 2 2 2 cn dn an bn a bn n arctg n n arctg bn an
A
bn 0 T 22 a0 f (t )dt T 0 T T 42 an f (t ) cos(tn0 )dt , n 1, 2, 3, T 0
0
T 2
T
t
第二章
连续时间傅里叶变换
数字信号处理
（2）奇对称
f ( t ) f ( t )
t2 * j
则称该函数集为归一化正交函数集。
第二章
连续时间傅里叶变换
数字信号处理
三角函数集
{1, cos 0t, cos 20t, , cos n0t, , sin 0t, sin 20t, , sin n0t, } 2 在区间 (t 0 , t 0 T ) 内是一完备正交函数集。 T 0 正交性:（m 和 n 都是整数）
数字信号处理
变换域分析
e的jnt求和的傅里叶变换
e的jnt求和的傅里叶变换
傅里叶变换是将一个信号从时间域转换到频率域的数学工具。
它可以将一个连续的时间域信号或离散的时间域序列转换为连续的频率域信号或离散的频率域序列。
对于一个连续时间域信号e(t)，它的傅里叶变换可以表示为：F(ω) = ∫e(t)e^(-jωt)dt
其中，F(ω)是e(t)在频率域的表示，ω是角频率。
如果我们将e(t)表示为离散的时间域序列e[n]，那么它的傅里叶变换可以表示为：
F(k) = Σe[n]e^(-j2πkn/N)
其中，F(k)是e[n]在频率域的表示，N是序列长度，k是频率序列。
所以，如果你想求和e的傅里叶变换，你需要先确定e是一个连续时间域信号还是离散时间域序列，然后使用对应的傅里叶变换公式进行计算。
连续时间傅里叶变换
连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换（Continuous-Time Fourier Transform，CTFT）是傅里叶变换（Fourier Transform，FT）的一种，它适用于连续信号。
它能够将连续时间信号表示为一系列相同时间周期内信号幅度和相位不同的空间频率组份，即信号可以按其频率分解为更加精细的空间组份，这也是傅里叶级数的基础。
CTFT可以将任意连续时间信号表示成一组正弦信号的和，即可以将一种信号表示为正弦信号组成的线性组合，这样就可以将信号的复杂性减简，并用数学方法对它进行分析。
从理论上讲，CTFT可以将任意的空间信号表示为一组正弦信号的和，这也是CTFT的核心特性之一，也是CTFT的优势所在。
CTFT的公式可以用以下方式表示：X(ω)=∫-∞σ(t)e-^{jωt} dt其中ω为频率，s(t)为连续时间信号，X(ω)表示其傅里叶变换。
具体而言，CTFT既能够反映信号的时间变化，也能够反映其频域变化，可以将信号从时域变换到频域，允许我们从不同的角度看待信号，从而更好地理解信号。
如果将CTFT与频域分析进行比较，CTFT能够更精确地捕捉信号特征，可以更精确地确定频率、幅度和相位，因此它在信号处理、声学分析和时域分析等方面具有重要作用。
CTFT能够有效应用于维纳滤波器（Wiener Filters）、短时傅里叶变换（Short Time Fourier Transform，STFT）和抗谐波滤波（Notch Filters）等方面，通过CTFT的应用，可以利用频域的信号表示技术来提高信号分析的精度和效率。
总的来说，CTFT是一种非常实用的时域分析工具，它能够密切捕捉信号的复杂性，在信号处理，时域分析和声学分析等方面都有着广泛的应用，为更好地获取信号中的有价值信息提供了重要的视角。
连续时间傅里叶变换
第二章 连续时间傅里叶变换1 周期信号的频谱分析——傅里叶级数FS(1) 狄义赫利条件：在同一个周期1T 内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝对可积∞<⎰dt t f T 1)(。
(2) 傅里叶级数：正交函数线性组合。
正交函数集可以是三角函数集}:sin ,cos ,1{11N n t n t n ∈ωω或复指数函数集}:{1Z n e t jn ∈ω，函数周期为T 1，角频率为11122T f π=π=ω。
(3) 任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。
(4) 三角形式的FS ：(i) 展开式：∑∞=ω+ω+=1110)sin ()(n n n t n b t con a a t f(ii) 系数计算公式：(a) 直流分量：⎰=1)(110Tdt t f T a (b) n 次谐波余弦分量：N n tdt n t f T a Tn ∈ω=⎰,cos )(2111(c) n 次谐波的正弦分量：N n tdt n t f T b Tn ∈ω=⎰1,sin )(211(iii) 系数n a 和n b 统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数。
(iv) 称11/1T f =为信号的基波、基频；1nf 为信号的n 次谐波。
(v) 合并同频率的正余弦项得：n ψ和n θ分别对应合并后n 次谐波的余弦项和正弦项的初相位。
(vi) 傅里叶系数之间的关系： (5) 复指数形式的FS ：(i) 展开式：∑∞-∞=ω=n t jn n e F t f 1)((ii)系数计算：Z n dt e t f T F Tt jn n ∈=⎰ω-,)(1111(iii) 系数之间的关系：(iv) n F 关于n 是共扼对称的，即它们关于原点互为共轭。
(v) 正负n (n 非零)处的n F 的幅度和等于n c 或n d 的幅度。
(6) 奇偶信号的FS ：(i) 偶信号的FS ： ⎰ω=111cos )(2Tn tdt n t f T a ；0sin )(2111=ω=⎰Tn tdt n t f T b ； n n n a d c ==n n n n n F a jb a F -==-=22 (n F 实，偶对称)；0=ψn ；2π=θn (ii) 偶的周期信号的FS 系数只有直流项和余弦项。
第四章-连续时间傅里叶变换
谱线间隔
0
2π T
k
nT 2T1
2,4,6时，ak 0
k
(b) T=8 T1 -4 0
谱线间隔
0
2π T
k
nT 2T1
4,8,12时，ak 0
k 4
T 2T1 T 2T1
T 不变T1 时
1/ 2
20 0 0 40
1/ 4
80 0 0 40
1/8
0 0
80
T
2T1
2T1 1 k0 T0 2
2T1 1 k0 T0 4
2020/8/9
4.0 引言
在工程应用中常见的信号是非周期信号:
➢对非周期信号应该如何进行分解？ ➢非周期信号的频谱如何表示？ 在时域，若一个周期信号的周期趋于无穷大，则周期信号将演 变成一个非周期信号。 考查连续时间傅立叶级数在周期趋于无穷大时的变化，就能得 到对非周期信号的频域表示方法。
2
4.1 非周期信号的表示— 连续时间傅立叶变换
第4章 连续时间傅立叶变换
The Continuous time Fourier Transform
本章的主要内容: 1. 连续时间非周期信号的傅立叶变换 2. 傅立叶级数与傅立叶变换之间的关系 3. 傅立叶变换的性质 4. 采样定理
说明：内容1-3对应于教材第4章的4.1-4.6节； 内容4对应与教材第7章7.1-7.3节部分内容
T / 2 x(t )e jk0t dt
T / 2
当 T
0
2
T
d,
k0 ,
若令
lim
T
Tak
X(
j)
则有
X ( j) x(t)e jtdt
连续时间信号与系统的频域分析报告
连续时间信号与系统的频域分析报告1. 引言连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中的重要分支，通过将信号和系统转换到频域，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
本报告将对连续时间信号与系统的频域分析进行详细介绍，并通过实例进行说明。
2. 连续时间信号的频域表示连续时间信号可以通过傅里叶变换将其转换到频域。
傅里叶变换将信号分解成一系列不同频率的正弦和余弦波的和。
具体来说，对于连续时间信号x(t)，其傅里叶变换表示为X(ω)，其中ω表示频率。
3. 连续时间系统的频域表示连续时间系统可以通过频域中的频率响应来描述。
频率响应是系统对不同频率输入信号的响应情况。
通过系统函数H(ω)可以计算系统的频率响应。
系统函数是频域中系统输出与输入之比的函数，也可以通过傅里叶变换来表示。
4. 连续时间信号的频域分析频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性。
通过频域分析，我们可以获取信号的频率成分、频谱特性以及信号与系统之间的关系。
常用的频域分析方法包括功率谱密度估计、谱线估计等。
5. 连续时间系统的频域分析频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计。
通过分析系统的频响特性，我们可以了解系统在不同频率下的增益和相位变化情况，进而可以对系统进行优化和设计。
6. 实例分析以音频信号的频域分析为例，我们可以通过对音频信号进行傅里叶变换，将其转换到频域。
通过频域分析，我们可以获取音频信号的频谱图，从而了解音频信号的频率成分和频率能量分布情况。
进一步，我们可以对音频信号进行系统设计和处理，比如对音乐进行均衡、滤波等操作。
7. 结论连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中重要的内容，通过对信号和系统进行频域分析，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计，对于音频信号的处理和优化具有重要意义。
总结：通过本报告，我们了解了连续时间信号与系统的频域分析的基本原理和方法。
频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性和系统的频响特性，对系统设计和信号处理具有重要意义。
MATLAb连续时间傅里叶变换
Ts
o TS
t
x(n)
o1
n
MATLAB在信号与系统课程中的应用
s
2
om s
X ej 1
Ts
om 2
离散时间信号 的傅里叶变换 DTFT就是抽样 信号的傅立叶 变换。
Ts
EE of BUPT
比较
利用时域卷积定理
Xs
t
xn
Ts
2 fs
f fs
MATLAB在信号与系统课程中的应用
1 O 1 2 3
n EE of BUPT
8.3 理想抽样信号的傅里叶变换（利用卷积定理）
连续信号 xt
抽样信号
xs t
xt X
(m m )
抽样脉冲
pt T t
间隔必须不大于 1 2 fm
，即T
1 2 fm
m
2πfm
;
(3)可以使用一个理想低通滤波器从xs t 中恢复出x t 。理想低通滤波器的
增益为T，截止频率为
1 Ts
X s Ts
m
c
s
。
m
s
om s
m C s m
MATLAB在信号与系统课程中的应用
如 果 给 出 一 个 频 率 范 围 ， 即 可 以 选 取 一 些 间 隔 上 的 点 求 出
其 取 值 。 问 题 ： T s 如 何 选 取 ？ 频 谱 特 点 ？
MATLAB在信号与系统课程中的应用
EE of BUPT
《信号与系统》第四章
图 两个矢量正交
矢量的分解
c2V2
V
V2
2
o
1
V1
c1V1
图 平面矢量的分解
c3V3
V3
V
o V1
V2
c2V2
c1V1
V c1V1 c2V2 c3V3
图 三维空间矢量的分解
推广到n维空间
1 正交函数的定义
在区间 (t1,t内2 )，函数集 {0 (t),1(t中),的,各N个(t)函} 数间，若满足下列 正交条件：
➢在波形任一周期内，其第二个半波波形与第一个半波波形相同；
x(t) x(t T0 / 2)
➢这时x(t)是一个周期减半为
的周期非正弦波，其基波频率
为
，即其只含有偶次谐T0波2；
20
4.4波形对称性与傅里叶系数
4 奇半波对称
➢在波形任一周期内，其第二个半周波形恰为第一个半周波形的
负值； x(t) x(t T0 / 2)
交函数集 {0 (t),1(t), ,N (t)} 是完备的,即再也找不到一个函数 (t)
能满足
t2
(t)
* m
(t
)dt
0
t1
m 0,1, , N
则在区间 (t1,t2 ) 内，任意函数x(t)可以精确地用N+1个正交函数地加权和
表示：
N
x(t) c00 (t) c11(t) cN N (t) cnn (t)
T0
3 傅里叶级数系数的确定
➢正弦—余弦形式傅里叶级数的系数
2Bk
2 T0
x(t) cos k0tdt
T0
2Dk
2 T0
x(t) sin k0tdt
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2奇偶信号的FS:(i) 偶信号的FS:2 a nf (t)cosn T] T 1Fn 弘1tdt ；bn 2 T1 f (t)sin n 1tdtcndnan(ii )jbn an 2 2偶的周期信号的 奇信号的FS:F n ( Fn 实, 偶对称)；nFS 系数只有直流项和余弦项。
2Tf(t)sinn 1tdt ； 5 dn T| 111FnF n jbn ( Fn 纯虚，奇对称)；aan 0；bnbn2jFn 第二章连续时间傅里叶变换1周期信号的频谱分析 一一傅里叶级数FS(1)狄义赫利条件：在同一个周期 T1内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝为T i ,角频率为 ,2 f ,—。
Ti(3)任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。
⑷三角形式的FS:(i) 展开式：f(t) a 0 (ancon it bn sin n ,t) n 1(ii) 系数计算公式：(a) 直流分量： aof (t)dtT 1 T 1(b) n 次谐波余弦分量： a n - f (t) cosn 1tdt, n NT1 T 1 2(c) n 次谐波的正弦分量： bn — f (t)sinn 1tdt, n NT1 T 1(iii) 系数an 和bn 统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数。
(iv) 称f1 1/T1为信号的基波、基频； nf1为信号的n 次谐波。
(V)合并同频率的正余弦项得：n 和n 分别对应合并后 门次谐波的余弦项和正弦项的初相位。
(vi) 傅里叶系数之间的关系：(5)复指数形式的FS:(i) 展开式：f (t) Fnejn 1tn(ii) 系数计算：Fn 丄 f(t)e jn 1tdt, n ZT] T 1(iii) 系数之间的关系：(iv) Fn 关于n 是共扼对称的，即它们关于原点互为共轭。
(v)正负n (n 非零)处的Fn 的幅度和等于Cn 或dn 的幅度。
对可积 丁 f(t)dt 。
(2)傅里叶级数：正交函数线性组合。
正交函数集可以是三角函数集{1,cosn *,sinn 1t ：nN}或复指数函数集{e jn 术:n Z},函数周期(i) 称Fn 为信号的傅里叶复数频谱，简称傅里叶级数谱或 FS 谱。
(ii) 称Fn 为信号的傅里叶复数幅度频谱，简称 FS 幅度谱。
(iii) 称n 为傅里叶复数相位频谱，简称 FS 相位谱。
(iv) 周期信号的FS 频谱仅在一些离散点角频率n"或频率nf 1)上有值。
(v) FS 也被称为傅里叶离散谱，离散间隔为i 2 /Ti 。
(vi) F S 谱、FS 幅度谱和相位谱图中表示相应频谱、频谱幅度和频谱相位的离散线段被称为谱线、幅度谱线和相位谱线，分别表示 FS 频谱的值、幅度和相位 (vii) 连接谱线顶点的虚曲线称为包络线， 反映了各谐波处FS 频谱、幅度谱和相位谱随分量的 变化情况。
(viii)称cn 为单边谱，表示了信号在谐波处的实际分量大小。
(ix)称Fn 为双边谱，其负频率项在实际中是不存在的。
正负频率的频谱幅度相加，才是实际 幅度。
(8)周期矩形脉冲序列的 FS 谱的特点： (i)谱线包络线为Sa 函数；(ii ) 谱线包络线过零点：(其中2 一 1 为谱线间隔)nk ，或 n 1T12k，kZ,k 0即当 n 1 2k /时，an cn F n 0。
(iii) 在频域，能量集中在第一个过零点之内。
(iv) 带宽 2 /或f 1/只与矩形脉冲的脉宽有关，而与脉高和周期均无关。
(定义0~2 /为周期矩形脉冲信号的频带宽度，简称带宽)(9) 周期信号的功率：P f(t) |F n |2n2(10) 帕斯瓦尔方程： 丄 f 2(t)dtF n T1 Tln2非周期信号的频谱分析一傅里叶变换(FT)(1)信号f (t )的傅里叶变换：是信号f(t)的频谱密度函数或 FT 频谱，简称为频谱(函数)。
⑵ 频谱密度函数F()的逆傅里叶变换为：f(t) 1F( )ej td ?F 1 F()2⑶ 称e j t 为FT 的变换核函数，e j t 为IFT 的变换核函数。
⑷FT 与IFT 具有唯一性。
如果两个函数的FT 或IFT 相等，则这两个函数必然相等。
⑸FT 具有可逆性。
如果 F f (t) F()，则必有F 1 F( ) f(t);反之亦然。
(i) 称F()为幅度频谱密度函数， 简称幅度谱，表示信号的幅度密度随频率变化的幅频特性;(ii)称()Arg F()为相位频谱密度函数，简称相位谱函数，表示信号的相位随频率变化 的相频特性。
(7) FT 频谱可分解为实部和虚部：F( ) F r ( ) jF i ()(8) FT 存在的充分条件：时域信号f (t)绝对可积，即f(t)dt注意：这不必要条件。
有一些并非绝对可积的信号也有 FT 。
(9) FT 及IFT 在赫兹域的定义：F(f) f (t)e j2 ft dt ； f (t) F(f )e j2 ft df(10)比较FS 和FT :(6)信号的傅里叶变换一般为复值函数，可写成F( ) F( )e j ()3典型非周期信号的FT 频谱 (1)单边指数信号：f(t) e at u(t)(a0)幅度谱：F()1a2 2相位谱：() Arg F()Arga jarctg —a八rg2 2单边指数信号及其幅度谱、相位谱如图 1所示。
图1 (a)单边指数信号(b)幅度谱(c)相位谱(2)偶双边指数信号：f(t) e at (a 0)°e(aj }tdt 0 e (a j }t dt1a j1 22a 2，为实偶函数。
a 2a j幅度谱：F( ) 22a2 a相位谱： ()0偶双边指数信号及其频谱如图 2所示。
图2 (a)偶双边指数信号(b)频谱⑶ 矩形脉冲信号：f(t) EG (t)(脉宽为、脉高为E )E Sin _- /22 E Sa —，为实函数。
幅度谱：F( ) E Sa 一2矩形脉冲信号及其频谱如图 3所示。
图3 (a)矩形脉冲信号(b)频谱矩形脉冲FT 的特点:(i) F T (ii) FT 为Sa 函数，原点处函数值等于矩形脉冲的面积；的过零点位置为2k / (k 0)；(iii) 频域的能量集中在第一个过零点区间2 / ,2 /之内(iv) 带宽为B 2 /或Bf 1/，只与脉宽 有关，与脉高E 无关。
信号等效脉宽：F(0)/f(0)信号等效带宽：Bf 丄图4 (a)信号的等效脉宽(b)等效带宽(4)符号函数：不满足绝对可积条件，但存在FT 。
幅度谱： F( ) 2相位谱：/2,0 ()/2,符号函数及其频谱如图 5所示。
图5⑻符号函数(b)频谱(5)冲激信号：均匀谱/白色谱：频谱在任何频率处的密度都是均匀的。
强度为E 的冲激函数的频谱是均匀谱，密度就是冲激的强度。
相位谱:4k0,11 2(2k 1)2(2k 1) II4(k 1)()(对应 F( ) 0) ______ k Z(对应F( ) 0)(6)FT在0处有一个冲激，该冲激来自 u(t)中的直流分量。
单位阶跃信号及其幅度谱如图 6所示。
图6单位阶跃函数及其幅度谱4 FT 的性质实信号的FT :(实信号可分解为：实偶实部是偶函数，虚部是奇函数：实 偶共扼对称：F( ) F*() 幅度谱为偶函数，相位谱为奇函数： 虚信号的FT 具有奇共扼对称性：F (偶共轭对称或奇共轭对称的函数满足幅度对称： 实信号或虚信号的 FT 幅度谱偶对称，幅度谱函数是偶函数。
反褶和共轭性：F g( ) g( )e j td 表示按自变量 进行傅里叶变换，结果是 t 的函数。
IFT 可以通过 FT 来实现。
FT 的对偶特性：F[F(t)] 2 f()若f (t)为偶函数，则F F(t) 2 f ()； 若f(t)为奇函数，则F F(t) 2 f( ) o此性质表明：时域压缩对应频域扩展、时域扩展对应频域压缩。
⑹时移特性：F f (t to) F( )e j to F f(t)e j to时移不影响幅度谱，只在相位谱上叠加一个线性相位。
与尺度变换特性综合：(7)频移特性:与尺度变换特性综合：F 1 f - e j ot/aF a o , (a 0)a a频谱搬移：时域信号乘以一个复指数信号后, 频谱被搬移到复指数信号的频率位置处。
利用欧(1) 线性性：FanF fn(t)nanf n(t)n 线性性包括：齐次性 F af(t) aF f (t)； 奇偶虚实性：偶 奇 实偶 实奇叠加性 F fi(t) f2(t) F fi(t) F f2(t)。
偶 奇实偶(FT 可变为余弦变换) 虚奇(FT 可变为正弦变换) 实奇)实偶+j 实奇实偶EXP(实奇))F() F()。
对偶性：傅里叶正逆变换的变换核函数是共轭对称的:(5)尺度变换特性:F[f(at)]Fa ，(a 0)e j te j t； e j te j t拉公式，通过乘以正弦或余弦信号达到频谱搬移目的。
(8)微分特性：时域微分： F Af(t) dt j F()频域微分：dF()dF ( jt)f (t)如果连续运用微分特性，则(9)积分特性：时域积分：F t f( )d (j ) 1 F( ) F(O)()如果LL2 在0处有界(或F(0) 0)，则 F t f( )d (j ) 1F()1频域积分：F( )d f (0) (t) f (t)jt(10)卷积定理：时域卷积定理： F f1(t) f2(t) F f1(t) F f2(t)频域卷积定理：F f1(t) f2(t) —F f1(t) F f2(t)2(11)时域相关性定理： F RfM) F f1(t)F* f2(t)若f2(t)是实偶函数，则FR f1f2(t) F1( )F2()。
此时，相关性定理与卷积定理一致。
自相关的傅里叶变换： F Rf(t) F f(t)F* f(t) F f(t) 2。
即函数的自相关函数与其幅度谱的平方是一对傅里叶变换对)。
212 2(12)帕斯瓦尔定理：f(t) dt — F( ) d F(2 f) df5周期信号的FT(1)正余弦信号的FT:余弦信号和正弦信号的频谱如图7所示：图7余弦信号和正弦信号的FT(2)一般周期信号的FT:(i)设周期为T1的周期信号f(t)在第一个周期内的函数为fo(t)，则(ii)周期单位冲激序列的FT: F T1(t) 1 ( n 1) 1 1()n(a)FT 的对偶性(e jn 1t 2 ( n 1))(b)冲激串FS 为：T1(t) ne jn1tn(c)FT的线性性(iii)一般周期信号的FT：(iv)F n - F0(n 1) F0(n 1)2 T1(v)关系图：图8非周期信号FT与周期信号FS/FT比较6抽样信号的FT1(1)抽样信号的FT: Fs( ) — F( n s)T S n(2)理想抽样前后信号频谱的变化如图9所示：(3)结论1:按间隔Ts进行冲激串抽样后信号的傅里叶变换，是周期函数，是原函数傅里叶变换的Ts分之一按周期s 2 /Ts所进行的周期延拓。