第3章 连续信号的频谱——傅里叶变换
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第三章傅里叶变换的性质.ppt
0
f (t)奇函数：X ()
f (t)sin tdt 2
f (t)sin tdt
0
X () 0
R() 0
可见，R()=R(- )为偶函数； X()= -X(- )为奇函数； 若 f (t)是实偶函数，F(j )=R() 必为实偶函数。 若 f (t)是实奇函数，F(j )=jX() 必为虚奇函数。
1 T
(t
T
)
F( j)
T
根据时域微分特性：
( j)2 F ( j) 1 e jT 2 1 e jT ,
0 2
T
TT
T
F(
j )
2
2T
(1
cosT )
4
2T
sin
2 (T
2
)
TSa2 (T
2
)
第三章第1讲
12
频域微分和积分特性
公式：
( jt)n f (t) F (n) ( j) f (0) (t) 1 f (t) F (1) ( j)
表明信号过延程时都了是t0在秒频并谱不搬会移改的变基其础频上谱完的成幅的度。，但是 使其相位变化了 - t0
频移特性： f (t)e j0 t F[ j( 0 )]
表明信号 f (t)乘以 e j0 t，等效于其频谱 F(j)沿频率右移 0
因为： cos 0 t
1 2
(e
j0 t
e
j0 t
)
sin
0t
1 2j
(e
j0 t
信号与系统 第3章-3
解 若直接按定义求图示信号的频谱，会遇到形如te-jωt的繁 复积分求解问题。而利用时域积分性质，则很容易求解。 将f(t)求导，得到图 3.5-5(b)所示的波形f1(t)，将f1(t)再求导， 得到图 3.5-5(c)所示的f2(t)， 显然有
第3章 连续信号与系统的频域分析
f 2 (t ) = f (t ) = f " (t )
ω ）为各频率点
上单位频带中的信号能量，所以信号在整个频率范围的全部
W = ∫ G (ω )dω
0
∞
式中
G (ω ) =
1
π
F ( jω )
2
第3章 连续信号与系统的频域分析 表 3.2 傅里叶变换的性质
第3章 连续信号与系统的频域分析
3.6 周期信号的傅里叶变换
设f(t)为周期信号，其周期为T，依据周期信号的傅里叶级数分 析， 可将其表示为指数形式的傅里叶级数。即
f ( −t ) ↔ F ( − jω )
也称为时间倒置定理 倒置定理。 倒置定理
第3章 连续信号与系统的频域分析
若已知f(t) ↔ F(jω )，求f(at - b)的傅立叶变换。
此题可用不同的方法来求解。 解 此题可用不同的方法来求解。
第3章 连续信号与系统的频域分析
(2) 先利用尺度变换性质，有 先利用尺度变换性质，
第3章 连续信号与系统的频域分析 2. 时移性 时移性 若f(t) ←→ F(jω)， 且t0为实常数(可正可负)，则有
f ( t − t0 ) ↔ F ( jω ) e
此性质可证明如下
− jω t 0
F [ f (t − t 0 )] = ∫− ∞ f (t − t 0 )e 令τ = t − t 0
第三章离散傅里叶变换及其快速计算方法(DFT、FFT)
X (e jw )
（2）Z 变换 -- 提供任意序列的 z 域表示。
n
x( n)e jnw
X (z)
n
x ( n) z n
这两种变换有两个共同特征：
（1）变换适合于无限长序列 （2）它们是连续变量 ω 或 z 的函数
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3
3.1 问题的提出：可计算性
X (z)
而对于
n
x ( n) z n
n
x ( n) z n
找不到衰减因子使它绝对可和（收敛）。为此，定义新函 数，其 Z 变换：
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15
DFS 定义：正变换
X ( z)
n
x ( n) z n ~ ( n ) z n x
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6
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （3）
2. 周期连续时间信号：傅里叶级数 FS
~ (t ) x X (n 0 )
t T
时域周期频域离散
0
2 T
x(t)
~
n -
X(n 0 )e jn0t
时域连续函数造成频域是非周期的谱。 频域的离散对应时域是周期函数。
X (e jT )
T T
X (e jT )e jnT d
取样定理
n
x(nT )e jnT
1 X ( 0 ) T n
时域的离散化造成频域的周期延拓 时域的非周期对应于频域的连续
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8
信号与系统3.7.8傅里叶变换的基本性质
2.若f(t)是虚函数 令f(t)＝jg(t)，则：
R()＝ g(t)sin (t)dt －
X ()＝ g(t) cos (t)dt －
在这种情况下，R()为奇函数，X()为偶函数，即满足： R()＝－R(－) X()＝X(－)
而 F() 仍是偶函数，()是奇函数。
第3章 傅里叶变换
此外，无论f(t)为实函数或复函数，都具有以下性质
所以
[F(t)]=2 f(－)
若f(t)是偶函数，式(3 50)变成
[F(t)]=2 f()
(3 50) (3 51)
第3章 傅里叶变换
第3章 傅里叶变换
（二） 线性（叠加性）
若 [fi (t)]＝Fi () （i＝1，2，...，n），则
n
n
[ aifi (t)]＝ aiFi ()
i＝1
f(at)e dt
令x=at
当a 0
[f(at)]＝ 1
f(x)e
j x a
dx=
1
F(
)
a
aa
第3章 傅里叶变换
当a 0
[f(at)]＝ 1
－
f(x)e
j
x a
dx
a ＋
＝－ 1
f(x)e
j
x
a dx＝－ 1
F(
)
a
aa
综合上述两种情况，便可得到尺度变换特性表达式为
[f(at)]＝ 1 F( )
－
－
在这种情况下，显然
R
X
()＝ －
()＝－
f(t) cos (t)dt
f(t) sin (t)dt
－
(3－54)
第3章 傅里叶变换
R()＝ g(t)sin (t)dt －
X ()＝ g(t) cos (t)dt －
在这种情况下，R()为奇函数，X()为偶函数，即满足： R()＝－R(－) X()＝X(－)
而 F() 仍是偶函数，()是奇函数。
第3章 傅里叶变换
此外，无论f(t)为实函数或复函数，都具有以下性质
所以
[F(t)]=2 f(－)
若f(t)是偶函数，式(3 50)变成
[F(t)]=2 f()
(3 50) (3 51)
第3章 傅里叶变换
第3章 傅里叶变换
（二） 线性（叠加性）
若 [fi (t)]＝Fi () （i＝1，2，...，n），则
n
n
[ aifi (t)]＝ aiFi ()
i＝1
f(at)e dt
令x=at
当a 0
[f(at)]＝ 1
f(x)e
j x a
dx=
1
F(
)
a
aa
第3章 傅里叶变换
当a 0
[f(at)]＝ 1
－
f(x)e
j
x a
dx
a ＋
＝－ 1
f(x)e
j
x
a dx＝－ 1
F(
)
a
aa
综合上述两种情况，便可得到尺度变换特性表达式为
[f(at)]＝ 1 F( )
－
－
在这种情况下，显然
R
X
()＝ －
()＝－
f(t) cos (t)dt
f(t) sin (t)dt
－
(3－54)
第3章 傅里叶变换
通信常见函数的傅里叶变换
式中，n
arctan
bn an
cn
an2bn2
Opposite Hypotenuse
为n次谐波初始相位。 为n次谐波振幅。
！ 并非任意周期信号都能进行傅里叶级数展开！
f ( t ) 可展开为傅里叶级数的条件：
（1）f ( t 绝) 对可积，即： t2 f (t) dt t1
（2）f ( t 在) 区间内有有限个间断点；
第3章 傅里叶变换
重点：
1.傅里叶级数定义及适用条件 2.常见周期信号的频谱,非周期性信号的频谱 3.傅里叶变换的定义及适用条件及性质 4.周期信号的傅里叶变换 5.抽样定理 6.功率频谱与能量频谱 7.系统频域分析法 8.希尔伯特变换
3.1 傅里叶变换的产生
傅里叶1768年生于法国,1807年提 出“任何周期信号都可用正弦函数 级数表示”, 1822年在“热的分析 理论”一书中再次提出。1829年 狄里赫利给出傅里叶变换收敛条件。 傅里叶变换得到大规模的应用，则 是到了上世纪60年代之后。
T0 2
T0 2
(t)ejn0tdt1 T0
T0
(t)
1 T0
ejn0t
n
a0
1 T0
又
anT20 T2 T020(t)cosn0tdtT20
bn 0
T 0 ( t )
的三角傅里叶级数为：T0(t)T10 T20
cosn0t
n1
例 求下图中三角波的三角傅里叶级数。
解 （1）将周期函数 f ( t ) 在 t [0,T0]内的函数记为
第一个过零点为n =4 。 F&n 在2π/有4值1（谱线）
f (t)
1
T
2
o
信号与系统(郑君里第二版)讲义第三章 傅里叶变换
t0
⎧0 ⎪T cos(mω1t )cos(nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪2 ⎩T1
m≠n m=n≠0 m=n=0
∫
∫
t0 +T1
t0
0 ⎧ ⎪T sin (mω1t )sin (nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪ ⎩2
m≠n m=n≠0
t0 +T1
t0
sin (mω1t )cos(nω1t )dt = 0 ，对于所有的 m 和 n
n =1
⎧ ⎪d 0 = a 0 ⎪ 2 2 ⎨d n = a n + bn ⎪ an ⎪θ n = arctan bn ⎩
n = 1,2,3,L n = 1,2,3,L
三、虚指数形式的傅里叶级数 任何周期信号 f (t ) 可以分解为
f (t ) =
n =−∞
∑ Fe
n
∞
jnω1t
傅里叶系数：
Fn = 1 t0 +T1 f ( t ) e − jnω1t dt ∫ t 0 T1
f (t )
E 2
−
T1 2
0
T1 2
t
奇函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = an = 0
4 bn = T1
Fn = −
∫ f (t )sin (nω t )dt
1
T1 2 0
1 π jbn ， ϕ n = − 2 2
6
奇函数的 Fn 为虚数。在奇函数的傅里叶级数中不会含有余弦项，只可能含 有正弦项。 3、奇谐函数（半波对称函数） 若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转， 此时波形并不发生变 化，即满足 ⎛ T ⎞ f (t ) = − f ⎜ t ± 1 ⎟ 2⎠ ⎝ 这样的函数称为半波对称函数或称为奇谐函数。 奇谐函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = 0 an = bn = 0 （ n 为偶数） （ n 为奇数）
033第三章 傅里叶变换
T 0
f
2(t)d t
a02
1 2 n1
an2
bn2
a02
1 2
cn2
n1
Fn
n
2
这是帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现; 表明：
周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量 有效值的平方和；
也就是说，时域和频域的能量是守恒的。 Fn 2 ~ 绘成的线状图形，表示 各次谐波的平均功率 随频率分布的情况，称为功率谱系数。
第三章 傅里叶变换
3.1 引言
X
频域分析
第 2
页
频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信 号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之 间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤 波、调制和频分复用等重要概念。
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里 叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基 础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析 （频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函 数或复指数函数的组合。
第第 2222
页页
偶函数 奇函数 奇谐函数 偶谐函数
注：指交流分量
X
第第
1．偶函数
2233
页页
信号波形相对于纵轴是对称的
f (t) f (t)
f (t) E
bn 0
4
an T
T
2 0
f (t)cosn1t d t
0
F
n
F (n1 )
1 2
an
jbn
1 2
an
T
O
n 0
T
t
傅里叶级数中不含正弦项，只含直流项和余弦项。
n
Fn1
信号课件第三章傅里叶变换
• 从本章起，我们由时域分析进入频域分析，在频域分析中， 首先讨论周期信号的傅里叶级数，然后讨论非周期信号的 傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数的基础上发展而 产生的，这方面的问题统称为傅里叶分析。
• 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或 指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级 数”。
T1 T1 T1 2
f (t) sin n1tdt 0
2 T1
a0 T1
2
an T1
2 T1
T21
2 T1
2
f (t)dt
f (t) c
2f T1 0
osn1tdt
(t)dt
4 T1
T1 2
0
f (t) cosn1tdt
所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能 含有（直流）和余弦分量。
α>0
F (w) f (t)e jwt dt ete jwt dt 1
0
jw
f (t) 1
t
F(w) 1
2 w2
1/ F( j)
(
)
arctan(
)
( )
/2
/2
2、双边指数信号
f (t)
f (t) e t α>0
1
2/ F()
F (w) f (t)e jwt dt
dt
E
e jnw1t
/2
E
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2
T / 2
T
jnw1
T
/ 2
jnw1
Ts
t
2E T
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2 2 jnw1
• 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或 指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级 数”。
T1 T1 T1 2
f (t) sin n1tdt 0
2 T1
a0 T1
2
an T1
2 T1
T21
2 T1
2
f (t)dt
f (t) c
2f T1 0
osn1tdt
(t)dt
4 T1
T1 2
0
f (t) cosn1tdt
所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能 含有（直流）和余弦分量。
α>0
F (w) f (t)e jwt dt ete jwt dt 1
0
jw
f (t) 1
t
F(w) 1
2 w2
1/ F( j)
(
)
arctan(
)
( )
/2
/2
2、双边指数信号
f (t)
f (t) e t α>0
1
2/ F()
F (w) f (t)e jwt dt
dt
E
e jnw1t
/2
E
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2
T / 2
T
jnw1
T
/ 2
jnw1
Ts
t
2E T
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2 2 jnw1
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• 直到19世纪末，制造出电容器。20世纪初，谐振电路、滤波
器、正弦振荡器等一系列问题的解决为正弦函数与傅里叶分 析的在通信系统中的应用开辟了广阔的前景。 • 从此，在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中，采用 频率域（频域）的分析方法比经典的时间域（时域）方法有 许多突出的优点。 • 当今，傅里叶分析方法已成为信号分析与系统设计不可缺少 的重要工具。 • 20世纪70年代，出现的各种二值正交函数（沃尔什函数）， 它对通信、数字信号处理等技术领域的研究提供了多种途径 和手段。使人们认识到傅里叶分析不是信息科学与技术领域 中唯一的变换域方法。
nw1 nw1
0
w
nw1
w1 0 w1
nw1
w
正、负频率相应项成对合并，才是实际频谱函数。
4.周期信号的功率特性
—时域和频域能量守恒定理
周期信号的平均功率P：在一个周期内求平方再求积分。
1 t0 T1 2 f (t )dt P f (t ) t T1 0 1 1 2 2 2 2 2 a0 ( an bn ) c0 cn 2 n 1 2 n 1
其傅里叶级数三角展开式中 仅含基波和奇次谐波
例子
例如：奇谐函数
f (t )
E 2
T1 2
f (t )
E 2
T 1 2
0
E 2
T1 2
t
0
E 2
T1 2
t
sin( w1t )
E 2
f (t )
E 2
T1 2 T 1 2 T1 2
f (t )
0
E 2
t
0
E 2
T1 2
t
cos( w1t )
sin( 2w1t )
四、傅里叶有限级数与最小方均误差
实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。 显然，有限项数是一种近似的方法，所选项数愈多，有 限项级数愈逼近原函数，其方均误差愈小。
有限项傅里叶级数： S N (t ) a0 an cos(n1t ) bn sin(n1t )
可见，直流分量的大小以及基波与各次谐波的 幅度、相位取决于周期信号的波形。
5、幅度谱、相位谱
单边频谱图：cn ~ n1 信号的幅度谱
cn c0
c1
n ~ n1 信号的相位谱
c2
c3
其中各频率分量幅度称为“谱线”； 连各谱线顶点的曲线称为
nw1
0
w1
n
3w1
w
包络线”。
周期信号的主要特点： 具有离散性、谐波性、收敛性
T1 f (t ) f (t ) 2
2 n 2 n
a0 0
n为偶，an bn 0
1 4 T n为奇，an 2 f (t ) cos(n1t )dt T1 0 1 4 T bn 2 f (t ) sin(n1t )dt T1 0
1 c0 a0 0, cn a ＋b , Fn cn 2 b n arctg n an
例如：周期锯齿波信号
f (t )
E 2
T1 2 T1 2
1 4 T bn 2 f (t ) sin(n1t )dt T1 0 1 c0 a0 0, cn bn , Fn F n bn 2j
n 90
其傅里叶级数三角展开式中 仅含正弦项，
0
E 2
t
其傅里叶级数指数展开式中 F ( n1 )为纯虚函数。
一周期内仅有限个间断点； 一周期内仅有限个极值； t0 T1 f (t ) dt 一周期内绝对可积， t 0
通常所遇到的周期性信号都能满足此条件，因此， 以后除非特殊需要，一般不再考虑这一条件。
4、基波、谐波
2 通常把频率为： f1 T1 称为基波。 w1 2 频率为：2 f1 2T1 2 称为二次谐波。 w1 2 称为三次谐波。 频率为： 3 f1 3T1 3 w1
0
E 2
2E
t
cos( w1t )
从上面例子看出： （1）n愈大，则愈逼近原信号f(t)。 (2) 当信号f(t)是脉冲信号时，其高频分量主要影响脉冲的跳变沿； 低频分量影响脉冲的顶部。f(t)波形变化愈剧烈，所含的高频分量 愈丰富；f(t)变化愈缓慢，所含的低频分量愈丰富。 (3)当信号中任一频谱分量的幅度或相位发生相对变化时，输出波 形一般要发生失真。
T1 2
0
T1 2
t
其傅里叶级数表达式为：
是一偶函数
E 4E 1 1 f (t ) 2 cos(w1t ) cos(3w1t ) cos(5w1t ) 2 9 25
（2）奇函数信号
2)奇函数信号： a0 0，an 0
f (t ) －f (t )
Fn一般是复函数，所以称这种频谱为复数频谱。
双边频谱图：Fn ~ n1 复函数幅度谱，
Fn
c0 1 c 1 21 c2 2
nw1
n ~ n1 复函数相位谱
具有离散性、谐波性、收敛性 （负频率的结果仅是数学处理）
Fn
nw1
w1 0 w1
n
w
幅度谱与相位谱合并
c0 1 c 1 21 c2 2
五、吉布斯（Gibbs）现象
第二节 周期信号的傅里 叶级数分析
一、三角函数形式的傅里叶级数 1、一种三角函数形式的傅里叶级数
2 设f(t) 为任意周期信号（周期 T1 , 角频率1 ） T1
则其可展开为三角函数形式的傅里叶级数
f (t ) a0 an cos(n1t ) bn sin(n1t )
T1 T1 为了积分方便，通常取积分区间为： 0 ~ T1或 ~ 2 2
三角函数集是一组完备函数集。
2、另一种三角函数形式的傅里叶级数
f(t) 展开为常用形式
f (t ) c0 cn cos(n1t n ) 或
n 1
f (t ) d 0 d n sin(n1t n )
2
n
F
2
n
帕塞瓦尔定理
时域与频域的能量守恒： 任意周期信号f(t)的平均功率 P 等于其傅里叶级数展开式中 各谐波分量有效值的平方和
三、函数的对称性与傅里叶系数的关系
1.函数的对称性
要将信号f(t)展开为傅里叶级数，如果f(t)是实 函数，且它波形满足某种对称性，则在其傅里叶 级数中有些项为0，留下的各项系数的表示式也比 较简单。 波形对称性有两类： （1）对整周期对称。即偶函数和奇函数。 （2）对半周期对称。即奇谐函数、偶谐函数。
当n 0时，Fn Fn 1 1 j n a jb F F e (an jbn ) e 2 n n n n 2 1 2 1 2 其中 Fn a n bn cn 2 2 n n (三角函数形式）
jn
3.指数形式表示的信号频谱--复数频谱
2.傅里叶级数的系数求解
(1)偶函数信号
1 4 T 1)偶函数信号：an 2 f (t ) cos(n1t )dt T1 0
f (t )
f ( t ) bn 0
例如：周期三角波信号
an cn an , Fn F n 2 n 0
f (t )
E
其傅里叶级数三角展开式中 仅含直流项和余弦项， 其傅里叶级数指数展开式中 F ( n1 )为实函数。
是一奇函数
其傅里叶级数表达式为：
E 1 1 f (t ) sin(w1t ) sin(2w1t ) sin(3w1t ) 2 3
（3）奇谐函数信号（半波对称函数 ）
奇谐函数信号：若波形沿时间轴平移半个周期并相对于 该轴上下反转，此时波形并不发生变化，即满足：
t
只取基 波分量 一项
0
E 2
t
2E cos( w1t )
T1 4
f (t )
T1 4
取基波分量和 三次谐波分量
2E
f (t )
cos( w1t )
T1 4 T1 4
取基波、三次谐 波分量和五次谐 波分量
0
E 2
t
2E cos(5w1t ) 5
2E cos(3w1t ) 3
第三章
连续信号的频谱——傅里叶变换
本章的主要内容：
1、周期信号的傅里叶级数分析 2、典型周期信号的傅里叶级数 3、傅里叶变换 4、典型非周期信号的傅里叶变换 5、冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换 6、傅里叶变换的基本性质 7、卷积特性（卷积定理） 8、周期信号的傅里叶变换 9、抽样信号的傅里叶变换 10、抽样定理
第一节 引言
傅里叶分析发展史
• 从本章开始由时域分析转入频域分析。 • 傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产 • •
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生的。 傅里叶分析的研究与应用经历了一百余年。 1822 年法国数学家傅里叶（ J.Fourier,1768-1830 ）在研究 热传导理论时发表了“热的分析理论”著作，提出并证明了 将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理 论基础。 泊松（Poisson）、高斯（Gauss）等人把这一成果应用到电 学中去。 伴随电机制造、交流电的产生与传输等实际问题的需要，三 角函数、指数函数以及傅里叶分析等数学工具已得到广泛的 应用。
n 1 N
1 t0 T1 2 方均误差：En (t ) N (t )dt T1 t0
2 N
其中 N (t ) f (t ) S N (t ) (为逼近f(t)的误差函数）
例子