常见信号的傅里叶变换
常用信号的傅里叶变换
ω1 Sa (ω 1t ) 2 cos ω c t f 5 ( t ) = f ( t ) 2 cos ω c t = π
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若再有 6 (ω ) = (ω ωc )t1
f 6 (t ) = f 5 (t t1 )
则
若又有 7
=
2ω1
π
Sa [ω1 (t t1 )] cos[ ω c (t t1 )]
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8. 周期信号
An jnΩt 2π fT (t ) = ∑ e , Ω = T n=∞ 2
+∞
+∞ +∞
An FT ( jω) = ∑ 2πδ(ω nΩ) = π ∑ An δ(ω nΩ) 则 n=∞ 2 n=∞
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9. 周期性冲激序列
f (t ) = =
π 4ω = {δ(ω+ ωc ) + δ(ω ωc )}+ 2 2 2 j(ω ωc )
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4. 尺度变换(比例)性质:
1 ω f ( at ) F( j ) |a | a , a ≠ 0
< Bτ = 常数 >
例:
f ( at t 0 ) ?
j
ω
a
t0
=
dF ( j ω ) j ω dF ( j ω ) j e = e dω dω
j (ω +
π
2
)
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8. 卷积定理 (1) 时域卷积定理: f1 (t ) * f 2 (t ) F1 ( jω) F2 ( jω)
典型信号的傅里叶变换
f
t 非 周周 期期
统一的分析方法：傅里叶变换
由欧拉公式
cos0t
1 2
e j0t
e j0t
sin0t
1 2j
e j0t
e j0t
已知
1 2π
由频移性质
1 ej 0 t 2 0
1 ej0 t 2 0
cos0t
同理
1 2
2π
0
2π
0
π
0
π
0
sin0t jπ 0 jπ 0
dt
t
2
E
ejt d t E
e
j
t
e
jt
dt
E
e
j
t
e
jt
dt
2
4
4
ESa
E
2
Sa
π
E
2
Sa
π
F
E sin
1
2
π
E Sa
1 2
π
F
E
E
2
O π 2π 3π
其频谱比矩形脉冲更集中。
4π
•冲激函数 •冲激偶 •单位阶跃函数
F( ) t ej t d t 1
f t
1
O
t
F
1
O
t看作
1 的矩形脉冲，
0时, B
冲激函数积分是有限值，可以用公式求。而u(t)不
满足绝对可积条件，不能用定义求。
(t) 1 ( ) 1
2π
f t
1
O
t
F
1
O
F
1
O
1 f t
常见的傅里叶变换
常见的傅里叶变换
傅里叶变换（FourierTransformation）是在数学术语中指任何将时域信号转换成频域信号（包括反向转换）的一种算法。
它可以将任何时域函数转换为复杂的频率函数，并使用它来衡量信号的性质。
这种变换的另一种表达形式是“Fourier分析”，它可以用于分析和解释复杂的信号，以及从中提取有关信号频率和振幅的信息。
傅里叶变换的主要用途是将复杂的时域信号转换为频域信号，以便快速获取信号的性质。
它也被广泛用于信号处理，数字信号处理，图像处理，科学可视化，生物信号处理，信号检测，滤波器设计等领域。
它可以提取有关信号的重要特征，包括频率，振幅，相位等，这些特征在信号分析，处理和重构方面非常重要。
在数学中，傅里叶变换可以用来进行积分及其反向变换，以及用于传输函数系统的稳定性分析。
此外，它也可以用于语音处理，设计滤波器，图像处理等方面。
常见的傅里叶变换有：
1. 傅里叶变换（Fourier Transform）：这是最基本的傅里叶变换，它用于将时域函数转换为频域函数。
2. 快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform）：它是基于傅里叶变换的优化算法，可以将复杂信号的傅里叶变换运算时间减少到计算机可承受的最低水平。
3. 非负傅里叶变换（Non-negative Fourier Transform）：它是一种特殊的傅里叶变换，它只用非负数来表示傅里叶变换的系数，这
样可以更加精确地表示一个原始信号的复杂结构。
4. 小波变换（Wavelet Transform）：它是一种相对傅里叶变换而言的更加复杂的算法，它可以更精确地描述复杂信号，更有效地提取信号特征。
常见傅里叶变换
常见傅里叶变换傅里叶变换是一种常见的数学方法，用来把一个信号从时域（time domain）变换到频域（frequency domain），即从时间变换成周期，为信号分析和处理提供理论。
从量子物理学到电路设计，从数字图像处理到数字信号处理，傅里叶变换都发挥着重要作用。
一般来说，傅里叶变换可分为离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）和连续傅里叶变换（Continuous Fourier Transform，CFT）。
离散傅里叶变换是对某类数字信号进行频率谱分析的方法，用于表达在某一时刻及其之前的信号。
例如，它可以用来分析歌曲中的某些音调，或者某个难以分析的电路中的某些信号。
另一方面，连续傅里叶变换是一种从时域变换到频域的数学技术，它可以计算信号的振幅和相位，以及其他用于检测特定频率信号的信息。
它广泛应用于音频处理，天文观测，射电望远镜等领域。
傅里叶变换也可以用来表示函数和操作，比如傅里叶级数、小波变换等。
傅里叶变换可以帮助人们实现更高精度的信号处理，提高信号处理效率。
它有助于确定信号构成，也可以探索不同信号之间的关系。
举个例子，当电台收到许多不同频率的电视信号时，傅里叶变换可帮助把这些信号的相位分开，避免它们混合在一起。
此外，傅里叶变换也有助于把复杂的数据简化为简单的数学形式，比如利用傅里叶级数来解决非线性方程。
除离散傅里叶变换和连续傅里叶变换外，还有一类受欢迎的傅里叶变换，它在信号处理领域也有广泛的应用。
它包括快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）、中心矩形法（Central Momentum Method）、矩形变换（Rectangular Transform）、拉普拉斯变换（Laplace Transform）等。
快速傅里叶变换几乎在所有的数字信号处理系统中都有应用，它可以以更少的时间来完成傅里叶变换，从而使信号处理变得更有效率。
常用傅里叶变换表
常用傅里叶变换表在数学和工程领域中，傅里叶变换是一种极其重要的工具，它能够将复杂的时域信号转换为频域表示，从而帮助我们更好地理解和分析各种信号的特性。
而常用傅里叶变换表则为我们提供了一系列常见函数的傅里叶变换结果，方便我们在实际应用中快速查找和使用。
首先，让我们来了解一下什么是傅里叶变换。
简单来说，傅里叶变换是一种数学变换，它将一个函数从时域（以时间为变量）转换到频域（以频率为变量）。
通过这种转换，我们可以将一个信号分解为不同频率的正弦和余弦波的组合，从而揭示出信号中所包含的频率成分。
在常用傅里叶变换表中，有一些基本的函数及其对应的傅里叶变换值得我们熟悉。
单位冲激函数（也称为狄拉克δ函数）是一个非常特殊的函数。
它在某一时刻有一个无限大的值，而在其他时刻的值都为零。
其傅里叶变换是常数 1。
这意味着单位冲激函数包含了所有频率的成分，且各个频率成分的幅度相同。
单位阶跃函数，它在 t ＜ 0 时取值为 0，在t ≥ 0 时取值为 1。
其傅里叶变换是 1 ／（jω) ＋πδ(ω) ，其中 j 是虚数单位，ω 是角频率，δ(ω) 是狄拉克δ函数。
正弦函数sin(ω₀t) 的傅里叶变换是jπδ(ω ω₀) δ(ω ＋ω₀) 。
这表明正弦函数只包含两个频率成分，即±ω₀。
余弦函数cos(ω₀t) 的傅里叶变换是πδ(ω ω₀) ＋δ(ω ＋ω₀) 。
指数函数 e^（jω₀t) 的傅里叶变换是2πδ(ω ω₀) 。
矩形脉冲函数，即在某个时间段内取值为 1，其他时间段为 0 的函数，其傅里叶变换是一个 sinc 函数。
这些常见函数的傅里叶变换在信号处理、通信、控制工程等领域有着广泛的应用。
例如，在通信系统中，我们需要对信号进行调制和解调。
调制过程可以看作是将原始信号与一个高频载波信号相乘，而解调过程则需要通过傅里叶变换将调制后的信号转换到频域，然后提取出原始信号的信息。
在图像处理中，傅里叶变换可以用于图像的滤波、增强和压缩等操作。
014第三章-5常用信号的傅里叶变换
jct
jc t
F ( j( c ))
相乘，等效于在
频域中将整个频谱向频率增加方向搬移c
F f (t )e
jct
f (t )e
jct jt
e
dt dt F j jc
f (t )e
j c t
例：已知 f (t ) F ( j ) 求 f (t ) cosc t 的频谱。 解：
四、尺度变换特性（时域频域成反比）
1 若：f (t ) F ( j ) 则 f (at) F ( j ) a a
扩展
压缩
压缩
扩展
2 A Sa( )
ASa (
2
)
A Sa ( ) 2 4
四、尺度变换特性（时域频域成反比）
1 若：f (t ) F ( j ) 则 f (at) F ( j ) a a
t
记 f1 (t ) e (t )
1 F f1 (t ) j
则 f (t ) e
|t|
t f1 (t ) f1 (t )
F ( j) F[ f1 (t )] F[ f1 (t )]
F1 ( j) F ( j)
* 1
F f at
f at e
若不符合绝对可积条件则不能直接计算， 但可通过其它变换对推出，并且一般含有 冲激函数。
常用信号的傅氏变换—8 8、周期性冲激序列δT(t)
间隔为T的均匀冲激序列， 以符号δT(t)表示
δT(t)是一个周期函数，可以展开成傅里叶级数：
1 jnt T (t ) (t nT ) An e 2 n n
8个典型信号的傅里叶变换
8个典型信号的傅里叶变换1. 常数信号（直流信号）这个常数信号啊，就像一个超级稳定的家伙，一直保持一个值不变。
它的傅里叶变换可有趣啦，就是一个冲激函数（狄拉克函数）在频率为0的地方。
你可以想象啊，常数信号就只有一个频率成分，那就是0频率，就像一个静止不动的状态在频率域里的表示呢。
2. 正弦信号。
正弦信号就像一个有规律的摇摆舞者。
它的傅里叶变换呢，是在正负它的角频率处有两个冲激函数。
比如说一个正弦函数Asin(ω_0t)，在频率ω = ω_0和ω=-ω_0的地方有两个冲激。
这就好像在说，正弦信号就只有一个频率在那欢快地跳动，这个频率就是它自己的角频率ω_0，一正一负就像在频率轴上对称地站着两个代表它的小尖刺。
3. 余弦信号。
余弦信号跟正弦信号是近亲呢。
Acos(ω_0t)的傅里叶变换也是在正负它的角频率处有两个冲激函数。
不过和正弦信号有点小区别，就像是两个风格相似但又有点不同的舞者。
余弦信号的傅里叶变换，那两个冲激函数就像是在频率轴上标记着它自己独特的角频率ω_0的两个小灯塔。
4. 单位冲激信号（狄拉克函数）这个单位冲激信号啊，就像一个超级突然的小爆炸，瞬间爆发然后就没了。
它的傅里叶变换可神奇了，是一个常数1。
你想啊，这个小爆炸包含了所有频率成分，就像一个超级大杂烩，在频率域里就变成了一个平坦的1，就好像所有频率都被它平等对待，一股脑儿地全在里面了。
5. 矩形脉冲信号。
矩形脉冲信号就像一个突然冒出来又突然消失的小方块。
它的傅里叶变换是Aτ Sa((ωτ)/(2))，这里的A是脉冲的幅度，τ是脉冲的宽度，Sa函数是(sin x)/(x)。
这个变换就像是把矩形脉冲信号这个小方块在时间域的信息，分散到了频率域里，就像把一个集中的小方块打散成了好多频率成分，那些频率成分按照Sa函数的规律分布着。
6. 三角脉冲信号。
三角脉冲信号就像一个小山峰。
它的傅里叶变换是Aτfrac{Sa^2((ωτ)/(2))}{ω^2}。
常用信号的傅里叶变换
常用信号的傅里叶变换傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学工具。
它是以法国数学家傅里叶的名字命名的，用于分析信号的频谱成分。
在信号处理和通信领域，傅里叶变换被广泛应用于信号的频谱分析、滤波、解调和压缩等方面。
1. 正弦信号的傅里叶变换正弦信号是最简单的周期信号之一，它可以表示为一个频率和幅度确定的正弦函数。
对于一个正弦信号，它的傅里叶变换是一个由两个峰值组成的频谱图。
其中一个峰值位于正弦信号的频率上，另一个峰值位于负频率上，其幅度与正弦信号的幅度相等。
2. 方波信号的傅里叶变换方波信号是一种以方波函数为基础的周期信号。
方波信号可以表示为一系列正弦信号的叠加，其傅里叶变换是一个由多个峰值组成的频谱图。
频谱图上的峰值对应于方波信号中各个频率的成分。
3. 矩形脉冲信号的傅里叶变换矩形脉冲信号是一种在有限时间内突然变化的信号。
它在时域上表现为一个宽度有限的矩形脉冲，其傅里叶变换是一个以脉冲宽度为主要参数的频谱图。
频谱图上的峰值表示了矩形脉冲信号中各个频率的成分。
4. 高斯信号的傅里叶变换高斯信号是一种以高斯函数为基础的连续非周期信号。
高斯信号在时域上呈钟形分布，其傅里叶变换是一个以高斯函数为形状的频谱图。
频谱图上的峰值表示了高斯信号中各个频率的成分。
5. 三角波信号的傅里叶变换三角波信号是一种以三角函数为基础的周期信号。
三角波信号可以表示为一系列正弦信号的叠加，其傅里叶变换是一个以基频为主要参数的频谱图。
频谱图上的峰值对应于三角波信号中各个频率的成分。
6. 音频信号的傅里叶变换音频信号是一种连续时间的信号，它可以通过傅里叶变换转换为频域信号进行分析。
音频信号的傅里叶变换可以得到音频信号的频谱图，从而可以对音频信号进行频谱分析、滤波和合成等操作。
7. 语音信号的傅里叶变换语音信号是一种声音信号，它可以通过傅里叶变换转换为频域信号进行分析。
语音信号的傅里叶变换可以得到语音信号的频谱图，从而可以对语音信号进行声音分析、语音识别和语音合成等操作。
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实验二
连续非周期信号的傅里叶变换（FT）及其性质一、实验目的
在理论学习的基础上，通过本实验熟悉常见信号的傅里叶变换及掌握连续时间傅里叶变换的性质。
二、相关知识
常见信号的傅里叶变换和连续时间傅里叶变换(CTFT)的性质
1、常见连续时间非周期信号及其傅里叶变换列表如下：
在本实验中可以可以对以上信号采取以下常见运算，运算结果表达式列表如下：
三、思考问题
1、X(w)和C k在量纲上分别有什么区别？
2、C k和X(w)是否分别代表周期信号和非周期信号各频率分量的振幅？
3、如果对X(w)在频域进行抽样，即令X(w)用X(KW0)代替，那么在时域对信号会产生什么影响？。