信号与系统7-1连续信号的傅里叶变换分析课件
《信号与系统教案》课件
《信号与系统教案》课件第一章：信号与系统概述1.1 信号的概念与分类定义：信号是自变量为时间（或空间）的函数，用以描述物理现象、信息传输等。
分类：模拟信号、数字信号、离散信号、连续信号等。
1.2 系统的概念与分类定义：系统是由信号输入与输出之间关系构成的一个实体。
分类：线性系统、非线性系统、时不变系统、时变系统等。
1.3 信号与系统的处理方法信号处理：滤波、采样、量化、编码等。
系统处理：稳定性分析、频率响应分析、时域分析等。
第二章：连续信号及其运算2.1 连续信号的基本运算叠加原理、时移原理、微分、积分等。
2.2 连续信号的傅里叶级数傅里叶级数的概念与性质。
连续信号的傅里叶级数展开。
2.3 连续信号的傅里叶变换傅里叶变换的概念与性质。
连续信号的傅里叶变换公式。
第三章：离散信号及其运算3.1 离散信号的基本运算叠加原理、时移原理、差分、求和等。
3.2 离散信号的傅里叶变换离散信号的傅里叶变换的概念与性质。
离散信号的傅里叶变换公式。
3.3 离散信号的Z变换Z变换的概念与性质。
离散信号的Z变换公式。
第四章：数字信号处理概述4.1 数字信号处理的基本概念数字信号处理的定义、特点与应用。
4.2 数字信号处理的基本算法滤波器设计、快速傅里叶变换（FFT）等。
4.3 数字信号处理硬件实现数字信号处理器（DSP）、Field-Programmable Gate Array（FPGA）等。
第五章：线性时不变系统的时域分析5.1 线性时不变系统的定义与性质线性时不变系统的数学描述。
线性时不变系统的特点。
5.2 系统的零状态响应与零输入响应零状态响应的定义与求解。
零输入响应的定义与求解。
5.3 系统的稳定性分析系统稳定性的定义与判定方法。
常见系统的稳定性分析。
第六章：频率响应分析6.1 频率响应的概念系统频率响应的定义。
频率响应的性质和特点。
6.2 频率响应的求取直接法、间接法求取频率响应。
频率响应的幅频特性和相频特性。
第三章连续信号的频谱——傅里叶变换
第三章连续信号的频谱——傅里叶变换电气工程学院第三章连续信号的频谱——傅里叶变换LTI系统分析的一个基本任务，是求解系统对任意激励信号的响应，基本方法是将信号分解为多个基本信号元。
频域分析是将正弦函数作为基本信号元，任意信号可以由不同频率的正弦函数表示。
无论采取何种方式对信号进行分解、逼近或变换，最终的目的是要寻求一种方法既能方便地求解系统的响应，又能使获得的结果具有明显的物理意义，并用于解释或设计实际系统。
如果已知LTI系统对正弦信号的响应，利用LTI系统的叠加、比例与时不变性就可以得到任意信号的响应。
电气工程学院第三章连续信号的频谱——傅里叶变换3.1 用完备正交函数集表示信号3.2 周期信号的傅里叶级数3.3 周期矩形脉冲的频谱分析3.4 非周期信号的频谱——傅里叶变换3.5 傅里叶变换的性质3.6 周期信号的傅里叶变换3.7 能量谱和功率谱帕塞瓦尔定理习题电气工程学院3.1.1 正交矢量平面空间两个矢量正交的条件是21=⋅A A 1122A C A C A =+112233A C A C A C A =++1222n nA C A C A C A =++L 推广：3.1 用完备正交函数集表示信号3.1.2 正交函数与正交函数集正交矢量分解的概念，可推广应用于信号分析，信号常以时间函数来表示，故信号的分解，也就是时间函数的分解。
仿照矢量正交概念，也可定义函数的正交。
1、实函数的正交设)(1t x 和)(2t x 是定义在12(,)t t 区间上的两个实变函数12(,)t t 区间上有)()(2121=∫dt t x t x t t 则称)(1t x 和)(2t x 在12(,)t t 内正交。
（信号），若在电气工程学院2、正交函数集设是定义在12(,)t t 区间上的n 个实变函数12(,)t t 区间上有则称在12(,)t t 内构成正交函数集。
（信号），若在)(,),(),(21t x t x t x n L ⎪⎩⎪⎨⎧=∫i r t t i k dt t x t x 0)()(21ri r i =≠{})(,),(),(21t x t x t x n L ⎪⎩⎪⎨⎧=∫10)()(21dt t x t x r t t i r i ri =≠在12(,)t t 内构成归一化正交函数集。
第三章信号与系统连续时间信号与系统的傅里叶分析
n = 2, 4, 6, n = 1, 3, 5,
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数
所以有
an 0
0
bn
4
n
n = 2, 4, 6, n = 1, 3, 5,
f
(t)
4
[sin 0t
1 sin 3
3
0t
1 5
sin
5
0
t
1 n
sin n
0t
]
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数
2 . 复指数形式的傅立叶级数
a
b
0
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数
三角函数集:
{1, cos0t, cos 20t, , cos n0t, , sin 0t, sin 20t, , sin n0t, }
在区间 (t0 ,
t0
T)
内是一完备正交函数集。
T
2 0
正交性:（m 和 n 都是整数）
0
t0 T cos
t0
m0t
cos
信号与系统
§ 3.2 周期信号的 傅立叶级数展开
信号与系统
周期信号
周期信号: 定义在区间 (, ) ，每隔一定时间 T ，按 相同规律重复变化的信号，如图所示 。它可表示为
f (t)=f ( t+mT )
其中 m 为正整数， T 称为信号的周期，周期的倒数称为频率。
f t
1
0 T/2 T
t
1
信号与系统
f (t) a0 a1 cos0t a2 cos 20t b1 sin 0t b2 sin 20t
a0 an cos n0t bn sin n0t
(完整版)傅里叶变换分析
第一章 信号与系统的基本概念1．信号、信息与消息的差别？信号：随时间变化的物理量；消息：待传送的一种以收发双方事先约定的方式组成的符号，如语言、文字、图像、数据等信息：所接收到的未知内容的消息，即传输的信号是带有信息的。
2．什么是奇异信号？函数本身有不连续点或其导数或积分有不连续点的这类函数统称为奇异信号或奇异函数。
例如：单边指数信号 （在t =0点时，不连续），单边正弦信号 （在t =0时的一阶导函数不连续）。
较为重要的两种奇异信号是单位冲激信号δ(t )和单位阶跃信号u(t )。
3．单位冲激信号的物理意义及其取样性质？冲激信号：它是一种奇异函数，可以由一些常规函数的广义极限而得到。
它表达的是一类幅度很强，但作用时间很短的物理现象。
其重要特性是筛选性，即：()()()(0)(0)t x t dt t x dt x δδ∞∞-∞-∞==⎰⎰ 4．什么是单位阶跃信号？单位阶跃信号也是一类奇异信号，定义为：10()00t u t t >⎧=⎨<⎩它可以表示单边信号，持续时间有限信号，在信号处理中起着重要的作用。
5．线性时不变系统的意义同时满足叠加性和均匀性以及时不变特性的系统，称为线性时不变系统。
即：如果一个系统，当输入信号分别为1()x t 和2()x t 时，输出信号分别是1()y t 和2()y t 。
当输入信号()x t 是1()x t 和2()x t 的线性叠加，即：12()()()x t ax t bx t =+，其中a 和b 是任意常数时，输出信号()y t 是1()y t 和2()y t 的线性叠加，即：12()()()y t ay t by t =+；且当输入信号()x t 出现延时，即输入信号是0()x t t -时， 输出信号也产生同样的延时，即输出信号是0()y t t -。
其中，如果当12()()()x t x t x t =+时，12()()()y t y t y t =+，则称系统具有叠加性；如果当1()()x t ax t =时，1()()y t ay t =则称系统具有均匀性。
信号课件第三章傅里叶变换
• 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或 指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级 数”。
T1 T1 T1 2
f (t) sin n1tdt 0
2 T1
a0 T1
2
an T1
2 T1
T21
2 T1
2
f (t)dt
f (t) c
2f T1 0
osn1tdt
(t)dt
4 T1
T1 2
0
f (t) cosn1tdt
所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能 含有（直流）和余弦分量。
α>0
F (w) f (t)e jwt dt ete jwt dt 1
0
jw
f (t) 1
t
F(w) 1
2 w2
1/ F( j)
(
)
arctan(
)
( )
/2
/2
2、双边指数信号
f (t)
f (t) e t α>0
1
2/ F()
F (w) f (t)e jwt dt
dt
E
e jnw1t
/2
E
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2
T / 2
T
jnw1
T
/ 2
jnw1
Ts
t
2E T
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2 2 jnw1
连续时间信号与系统的傅里叶分析
连续时间信号与系统的傅里叶分析连续时间信号与系统的傅里叶分析是一种非常重要的数学工具和技术，广泛应用于信号处理、通信系统、控制系统等领域。
通过傅里叶分析，我们可以将一个复杂的时域信号分解成一系列简单的正弦函数（或复指数函数）的叠加，从而更好地理解和处理信号。
在傅里叶分析中，我们首先需要了解傅里叶级数和傅里叶变换两个概念。
傅里叶级数是将一个周期信号分解成一系列正弦和余弦函数的叠加。
对于一个连续时间周期为T的周期信号x(t)，其傅里叶级数表示为：x(t) = a0/2 + ∑ {an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t)}其中，n为整数，ω0为角频率（ω0 = 2π/T），an和bn为信号的系数。
傅里叶级数展示了信号在频域上的频谱特性，即信号在不同频率上的成分。
通过傅里叶级数，我们可以得到信号的基频和各个谐波分量的振幅和相位信息。
而对于非周期信号，我们则需要使用傅里叶变换来分析。
傅里叶变换可以将一个非周期信号分解成一系列连续的正弦和余弦函数的叠加。
对于一个连续时间信号x(t)，其傅里叶变换表示为：X(ω) = ∫ x(t)*e^(-jωt) dt其中，X(ω)为信号在频域上的频谱表示，ω为角频率，e为自然对数的底。
通过傅里叶变换，我们可以将信号从时域转换到频域，从而得到信号在不同频率上的成分。
同时，我们还可以通过逆傅里叶变换将信号从频域再转换回时域。
傅里叶分析的重要性在于它能够提供信号在时域和频域之间的转换关系，从而可以更好地理解信号的特性和行为。
通过傅里叶分析，我们可以确定信号的频谱特性、频率成分等信息，从而在信号处理、通信系统设计等方面进行相应的优化和调整。
除了傅里叶级数和傅里叶变换，还有诸如快速傅里叶变换（FFT）、傅里叶变换对（FT pair）、功率谱密度（PSD）等相关概念和技术。
这些工具和技术在实际应用中非常有用，例如在音频处理、图像处理、雷达信号处理等方面经常被使用。
总之，连续时间信号与系统的傅里叶分析为我们提供了一个强大的数学工具，能够将信号从时域转换到频域，揭示信号的频谱特性和频率成分，为信号处理和系统设计提供了有力支持。
信 与系统连续时间信 与系统的傅里叶分析
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数
根据正交函数展开理论，容易得到傅立叶系数公式如下
a0
1 T
t0 T
f
t0
(t)dt
a
n
2 T
t0 T
f
t0
(t) cos n0tdt
bn
2 T
t0 T
f
t0
(t) sin n0tdt
n 1,2, n 1,2,
式中积分可以取任意一个周期，一般情况下，取
F nA T Sa(n 21 )A T Sa(nT )
An
与
T
之比值有关，取
T
1 5
An
与 Fn
包络线均为 Sa( n1 )
2
n 1 为离散频率
当 ,2,....n.. 时
2
即 2,4,....2.n.
Sa( ) 0 2
Sa( ) 0 2
信号与系统
二、周期信号的频谱与功率谱
计算第一个振幅为零的谐波次数n
n1
2
)c
osn(1t)
n1
第二步：展成指数形式傅立叶级数
f(t)
F e nT 1 2 2Ajn1tdtA TSa(n21 )
1
f
(t)
S(t)
sint t
e f(t)A Sa(n1) jn1t
Tn
2
4 3 2
0
2 3 4 t
信号与系统
二、周期信号的频谱与功率谱
第三步：频谱分析
A na n 2 b n2 a n 2 T A S a (n 2 1) 2 T A S a (n T )
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数
信号与系统7精品PPT课件
12
例子:反因果序列
例7.1－2 求反因果序列f(k)=-akε(-k-1)的Z变换及其收敛域
（式中a
解 k≥0时f(k)=0,故其单边Z变换等于零。f(k)的双边Z变
换为
1
1
F (z) [ak (k 1)]zk (ak )zk (a1z)k
k
k
k
令m=-k,代入上式，得
F(z)是z的有理函数,与拉普拉斯变换类似，可以用它的零 点和极点来表征。本例中，F(z)具有一个零点z=0和一个极 点z=a,在图7.1－1(a)中分别用符号“○”和“×”表示。
求得因果序列与其双边Z变换的对应关系为:
a k (k) z , z | a |
za
(7.1－10)
11
因果序列f(k) 的收敛域
系统分析方法如下表
分析方法
连 时域法 续 系 频域法 统 S 域法
基本 信号
(t)
e jt
e st
响应计算
数学工具
y f (t ) h(t ) f (t ) 卷积积分
Y f ( j ) H ( j ) F ( j ) 傅氏变换
Yf (s) H(s) F(s)
拉氏变换
离 时域法 (k )
5
利用柯西公式推导Z逆变换
将式(7.1－3)两端乘以zn-1,n为任一整数，并在收敛域中进行积分，得
F (z)z n1dz z n1[ f (k)z k ]dz
C
C
f (k ) z nk1dz C
k
k
(7.1－6)
上面,积分路径C是复平面上环绕坐标原点沿逆时针方向的围线。
根据复变函数理论中的柯西公式，当n-k-1=-1,即k=n时，上式右
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t=linspace(-2,4,400); w=linspace(-15,15,400); f=sym('exp(-2*t)*Heaviside(t)') F=fourier(f); F=simple(F) f1=subs(f); Fv=subs(F); F1=abs(Fv); P1=angle(Fv)*180/pi; subplot(3,1,1),plot(t,f1,'linewidth',2); grid;ylabel('f(t)'); subplot(3,1,2),plot(w,F1,'linewidth',2); grid;ylabel('|F(j\omega)|'); subplot(3,1,3),plot(w,P1,'linewidth',2); grid;ylabel('\angleF(j\omega)(度)');xlabel('\omega (rad/sec)')
Fn
1 T0
T0
2 f (t) e jn0t dt
T0 2
F (
j)
lim
T0
FnT0
f (t) e jt dt
傅里叶变换
f (t) 1 F ( j)e jt d
2
傅里叶反变换
简记：F(j) =F [ f (t)] 称频谱函数；
f (t) = F -1[F(j)] 称为原函数。
或记为： f (t) F( j)
周期信号非周期信号 功率信号能量信号
傅里叶级数傅里叶变换 傅里叶级数是傅里叶变换的一个特例， 而傅里叶变换是傅里叶级数的推广。
2
拉普拉斯变换与傅里叶变换
拉普拉斯变换在系统分析方面是非常有价值的， 但是在信号分析方面已证明是不太实用。
信号分析通常用傅里叶变换。利用指数ejt代替est 来表示信号分量。
r(t) f (t )
衰减系数 0.8 ，延时时间 60s
15延时时间检测源自发射波形接收波形 (衰减延时)
带有噪声 的回波 无噪声的 输出波形
有噪声的 输出波形
16
频移特性
f (t)e j0 t F[ j( 0 )]
t0 )
|
F1* ( F1* (
j) F2 ( j) F2 (
j) j)
|
e
j t 0
14
相位相关算法应用
用相位相关算法实现雷达测距系统的延时时间检 测。计算回波和带有噪声的回波两种情况下的延 时时间检测比较。
设发射波：
回波：
f (t) sin(0.5 t)[ (t) (t 20)]
11
7.2 傅里叶变换的性质
线性特性：a1 f1(t) a2 f2 (t) a1F1( j) a2F2 ( j) 时移特性：
f (t t0 ) e jt0 F ( j)
表明信号延时了t0 秒并不会改变其频谱的幅度，但是使其 相位变化了 - t0 ；如
G2 (t) 2Sa()
G2 (t 1) 2Sa() e j
)
2
2
G
(t)
Sa(
2
)
F( j)
2
0
G (t)
1
2
0
2
t
7
三个基本函数的傅里叶变换
单边指数函数
F ( j) et e jt dt 1
0
0
j
et (t)
1
F( j)
1
0
t
0
et (t) 1 j
8
计算机例题C7.1
已知信号f(t)=e-2t(t)，用Matlab计算其傅里叶变换，并画出 时间函数、幅度频谱和相位频谱。
推导 相f1 (位t) 相关F1算( j法)广泛f应2 (t用) 在f多1 (t种 信t0 )号的检测和
时延估计。如雷F达2 (测j距) 、F超1 (声j探)e测 j等t0 领域。 F1* ( j)F2 ( j) F1* ( j)F1 ( j)e jt0 | F1 ( j) |2 e jt0
(t
而ejt的实部和虚部都是正弦信号，这是傅里叶分 析的基本信号。即频域分析或频谱分析的基本信 号。
正弦信号是最常用的信号,实用性强,傅里叶变换更 能揭示时域与频域的关系。有物理涵义。
傅里叶变换是拉普拉斯变换在s=j下的一种特殊情 况。(一般来说)
3
7.1 傅里叶变换的定义
对非周期信号，其频谱就是信号的傅里叶变换
9
MATLAB画出的波形
结果
f= exp(-2*t)*Heaviside(t) F= 1/(2+i*w)
10
求傅里叶变换的思路
的三 傅个 里基 叶本 变信 换号
利用傅里叶 变换的性质
二 的十 傅多 里个 叶常 变用 换信
号
利用已知 信号推广
傅所 里有 叶信 变号 换的
求信号的傅里叶变换是一个难点, 也是三大变换中最难的一个变换!
第7章 连续信号的傅里叶变换分析
讨论傅里叶变换。理解傅里叶变换的性质及主要的应用。 绘制非周期信号的频谱。了解信号的有效带宽。 通过傅里叶变换性质说明信号时域与频域的内在联系。 说明无失真传输和理想低通滤波器的原理。 应用傅里叶变换分析系统。 了解调制与解调基本原理。
1
傅里叶级数与傅里叶变换
周期信号的周期T0趋于无穷时傅里叶级数的极限形式。
4
幅度频谱与相位频谱
傅里叶变换是时域信号的频域表示方式，通常称 之为“频谱”。
傅里叶变换可表示为
F ( j) | F ( j) | e j()
相位频谱
幅度频谱
幅度是频率的偶函数，相位（或相角）是频率的 奇函数。
| F( j) || F( j) | () ()
5
三个基本函数的傅里叶变换
冲激函数
12
例 7.2 门函数和时移的门函数的频谱图
门函数的频谱图
门函数时移的频谱图
13
相位相关算法
基本思想来源于傅里叶变换时移性质，即信号在 时关域可即子的以此平取式平 把移傅仅移 平参里与数对 移叶平t应 参反0移已变于数参经换数其隔被后t成频离0有可功域并关以隔的提，得离与相取到。频一移出在谱个，来时脱平域而 。离移，通 从了的对过 而关单相系相 对位位，冲位 延因相 时 时间激进函行数估(t算-t0。)，通过简单搜索就可以获得偏移值 t0
F ( j) (t) e jtdt 1 (t) 1
(t)
(1)
0
t
(t t0 ) e jt0
(t t0 ) e jt0
F( j) 1
0
(t t0)
(1)
0 t0 t
| F( j) |
1
0
()
0
t0
6
三个基本函数的傅里叶变换
门函数
F( j)
2
e
j
t
dt
Sa(