傅里叶变换基础知识

傅里叶变换基础知识
1. 傅里叶级数展开
最简单有最常用的信号是谐波信号，一般周期信号利用傅里叶级数展开成多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号，即一般周期信号是由多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号线性叠加而成。

1.1 周期信号的傅里叶级数
在有限区间上，任何周期信号()x t 只要满足狄利克雷（dirichlet ）条件，都可以展开成傅里叶级数。

1.1.1 狄利克雷（dirichlet ）条件
狄利克雷（dirichlet ）条件为：
（1）信号()x t 在一个周期内只有有限个第一类间断点（当t 从左或右趋向于这个间断点时，函数有左极限值和右极限值）；
（2）信号()x t 在一周期内只有有限个极大值和极小值；
（3）信号在一个周期内是绝对可积分的，即00/2/2
()dt T T x t -⎰
应为有限值。

1.1.2 间断点
在非连续函数()y f x =中某点处0x 处有中断现象，那么，0x 就称为函数的不连续点。

（1）第一类间断点（有限型间断点）：
a. 可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义（0x 令分母为零时等情况）；
b. 跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等（0/y x x =在点0x =处等情况）。

（2）第二类间断点：除第一类间断点的间断点。

1.1.3 傅里叶级数三角函数表达式
傅里叶级数三角函数表达式为
式中：0a 为信号的常值分量；n a 为信号的余弦信号幅值；n b 为信号的正弦信号幅值。

0a 、n a 、n b 分别表示为：
式中：0T 为信号的周期；0ω为信号的基频，即角频率，002/T ωπ=，1,2,3...n =。

合并同频项也可表示为
式中：信号的幅值n A 和初相位n θ分别为
1.1.4 频谱的相关概念
（1）信号的频谱（三角频谱）：构成信号的各频率分量的集合，表征信号的幅值和相位随频率的变化关系，即信号的结构，是n A ω-（或n A f -）和n θω-（或n f θ-）的统称；
（2）信号的幅频谱：周期信号幅值n A 随ω（或f ）的变化关系，用n A ω-（或n A f -）表示；
（3）信号的相频谱：周期信号相位n θ随ω（或f ）的变化关系，用n θω-（或n f θ-）表示；
（4）信号的频谱分析：对信号进行数学变换，获得频谱的过程； （5）基频：0ω或0f ，各频率成分都是0ω或0f 的整数倍； （6）基波：0ω或0f 对应的信号；
（7）n 次谐波： 0(n 2,3,...)n ω=或0(n 2,3,...)nf =的倍频成分0c o s ()
n n A n t ωϕ+或0cos(2)n n A nf t πθ+；
1.1.5 周期信号的傅里叶级数的复指数函数展开
根据欧拉公式cos sin (j t
e t j t j ωωω±=±=，则1
cos ()
21sin j()
2
j t j t j t
j t t e e t e e ωωωωωω--=+=- 因此，傅里叶级数三角函数表达式()0001
()cos sin n n n x t a a n t b n t ωω∞
==++∑可改写成
令 则 或
这就是周期信号的傅里叶复指数形式的表达式。

将0000/20/20/20/202()cos 2()sin T n T T n T a x t n tdt T b x t n tdt
T ωω--⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
⎰⎰代入()12n n n C a jb =-，则000/2
/2
01()T jn t n T C x t e dt T ω--=
⎰
在一般情况下n C 是复数，可以写成n j n nR nI n C C jC C e ϕ=+= 式中
由n j n nR nI n C C jC C e ϕ=+=，()12n n n C a jb =-，()1
2
n n n C a jb -=+可表示为 则0() 0,1,2,jn t
n
n x t C e
n ω∞
=-∞
=
=±±⋅⋅⋅∑ 变为
由此可见，周期信号用复指数形式展开，相当于在复平面内用一系列旋转矢量()
00n j n t C e ωϕ±来
描述，但是，负频率的出现，仅仅是数学推导的结果，并无实际物理意义。

1.1.6 傅里叶级数的复指数与三角函数展开关系
由()1
2
n n n C a jb =
-，n j n nR nI n C C jC C e ϕ=+=可知：
综合n A
n C 即双边频谱的幅值n C 是单边频谱幅值n A 的一半。

由arctan
nI
n
C C ϕ=，/2nR n C a =，/2nI n C b =-可知：
2 傅里叶变换
出准周期函数之外的非周期信号称为一般周期信号，也就是瞬态信号。

瞬态信号具有瞬变性，例如锤子敲击力的变化、承载缆绳断裂的应力变化、热电偶插入加热的液体中温度的变化过程等信号均属于瞬态信号。

瞬态信号是非周期信号，可以看作一个周期的周期信号，即周期
T →∞。

因此，可以把瞬态信号看作周期趋于无穷大的周期信号。

2.1 傅里叶变换
设有一周期信号()x t ，则其在[]/2,/2T T -区间内的傅里叶级数的复指数形式的表达式为
0()jn t
n
n x t C e
ω∞
=-∞
=
∑，
式中
当0T →∞时，积分区间[][]/2,/2,T T -→-∞∞
；谱线间隔002/T d ωωπω∆==→， 0n ωω→离散率连续变量频，所以000/2
/2
1
()T jn t n T C x t e dt T ω--=
⎰
变为
该式积分后将是ω的函数，且一般为复数，用()X j ω或()X ω表示为
式中：()X j ω称为信号()x t 的傅里叶积分变换或简称傅里叶变换（Fouier Transform ，FT ），是把非周期信号看成周期趋于无穷大的周期信号来处理的，显然
即()X j ω为单位频宽上的谐波幅值，具有“密度”的含义，故把()X j ω称为瞬态信号的“频谱密度函数”，或简称“频谱函数”。

由()000lim lim
n
n T f C X j C T f
ω→∞
→=⋅=得 代入0()jn t
n
n x t C e
ω∞
=-∞
=
∑得
当0T →∞时，002/T d ωπω==， 0n ωω→离散率连续变量频，→∑求和积分。

则
()x t 称为()X j ω的傅里叶逆变换或反变换（Inverse Fourier Transform ，IFT ）。

()()j t X j x t e dt ωω∞
--∞
=⎰和()()12j t x t X j e d ωωωπ
∞
-∞
=
⎰
构成了傅立叶变换对
一般地，使用FT
IFT
⇔或⇔表示信号之间的傅立叶变换及其逆变换之间的关系。

由于2f ωπ=，
所以()()j t X j x t e dt ωω∞
--∞=⎰和()()12j t x t X j e d ωωωπ∞
-∞
=
⎰可变为 这就避免了在傅里叶变换中出现1/2π的常数因子，使公式形式简化。

由式()()2j ft X jf x t e dt π∞
--∞
=⎰可知，非周期信号能够用傅里叶函数来表示，。

而周期信号可
由傅里叶级数0()jn t n n x t C e ω∞
=-∞
=
∑来表示。

()()2j ft X jf x t e dt π∞
--∞
=⎰是一般复数形式，可表示为
式中：()Re X jf 为()X jf 的实部；()Im X jf 为()X jf 的虚部；()X jf 为信号()x t 的连续幅
频谱；()jf ϕ为信号()x t 的连续相频谱。

比较周期信号和非周期信号的频谱可知：首先，非周期信号幅值()X jf 随f
变化时连续的，
即为连续频谱，而周期信号的幅值n C 随f 变化时离散的，即为离散频谱。

其次，n C 的量纲和信号幅值的量纲一致，而()X jf 的量纲相当于/n
C f ，为单位频宽上的幅值，即为“频谱密度
函数”。

2.2 傅里叶变换的主要性质
一个信号可以进行时域描述和频域描述。

两种描述通过傅里叶变换来确立彼此一一对应的关系，因此，熟悉傅里叶变换的一些主要性质十分必要。

2.3 几种典型信号
（1）举行窗函数
（2）单位脉冲函数（δ函数） （3）正、余弦信号 （4）一般周期信号 （5）周期单位脉冲序列。