信号与系统傅里叶变换对照表
常用信号的傅立叶变换表之欧阳歌谷创编
欧阳歌谷创编 2021年2月1
欧阳歌谷创编 2021年2月1
常用信号的傅立叶变换表
欧阳歌谷
（2021.02.01）
名称
时间信号 频谱函数
单边指数脉冲
矩形脉冲
三角脉冲
单个余弦脉冲
抽样脉冲
冲激函数
阶跃函数
斜变函数
符号函数
直流
冲激序列
欧阳歌谷创编 2021年2月1
欧阳歌谷创编 2021年2月1
余弦函数
正弦函数
调幅余弦函数
信号与系统基本变换关系
F1 F2
f1 t f2 t
F1 s F2 s
f1 n f 2 n
k
F1 z F2 z
频域卷积 初值定理 终值定理
f1 t f 2 t
1 F1 F2 2
序列 求和
f n
数字信号基本变换（傅立叶、拉氏、z 变换）
林家通
傅立叶 级数 f t
拉氏变换
Z 变换
n
Fe
n
jn1t
Fn
正变换
1 T
T 2 T 2
f t e j1t
令复频率 s j 双边 F s
双边 F z f n z n
1 2
F ( ) e jt d
F
f t
原函数
2 j
1
j
j
F s e st ds
象函数 1
f n
f n , n 0
1 2 j
F z z
c
n 1
dz
收敛域
z 0
原函数
F z
t
1 常用变换
时域 f (t)
z 域（单边）
1 f1 (t) 2 f 2 (t)
1F1 ( ) 2 F2 ( )
1 f1 (t) 2 f 2 (t)
1F1 (s) 2 F2 (s)
1 f1 (t) 2 f 2 (t)
1F1 (s) 2 F2 (s)
频移特性
林家通
2013-11-18
2
sin n
常用信号的傅里叶变换
常用信号的傅里叶变换
傅里叶变换是一种常用的信号分析工具，通过将信号分解成一系列正弦和余弦函数的叠加，可以帮助我们更好地理解信号的频率特性。
以下是一些常见信号的傅里叶变换：
1. 正弦信号：由单一频率的正弦波组成，傅里叶变换为两个脉冲，分别在正弦频率和负正弦频率处。
2. 方波信号：由多个正弦波组成，傅里叶变换为一系列频率为
奇数倍基频的正弦波。
3. 三角波信号：同样由多个正弦波组成，但相比于方波信号，
频率成倍数递增。
傅里叶变换为一系列频率为奇数倍基频的正弦波，且振幅递减。
4. 噪声信号：由多个随机频率的波形组成，傅里叶变换为连续
分布的频率成分。
通过傅里叶变换，我们可以将信号在频域上展开，进而进行滤波、频率分析等操作，为信号处理和通信系统的设计提供了有力的工具。
- 1 -。
信号与系统的公式汇总分类34
信号与系统公式性质一览表1连续傅里叶变换⎰⎰∞∞-∞∞--==ωωπωωωd e j F t f dtet f j F t j tj )(21)()()(2连续拉普拉斯变换(单边) ⎰⎰∞+∞-∞-==-j j st stds e s F jt f dte tf s F σσπ)(21)()()(03离散Z 变换(单边) ⎰∑≥==-∞=-Lk k kk dz z z F j k f z k f z F 0,)(21)()()(10π4离散傅里叶变换⎰∑==∞-∞=-πθθθθθπ2)(21)()()(d e eF k f e k f e F k j j k kj j 线性 )()()()(2121ωωj bF j aF t bf t af +↔+线性 )()()()(2121s bF s aF t bf t af +↔+线性 )()()()(2121z bF z aF k bf k af +↔+线性 )()()()(2121θθj j e bF e aF k bf k af +↔+时移)()(00ωωj F e t t f t j ±↔± 时移)()(00s F e t t f st ±↔± 时移)()(z F z m k f m ±↔±（双边）时移)()(θθj m j e F e m k f ±↔±频移 ))(()(00ωωω j F t f e t j ↔±频移 )()(00s s F t f e t s ↔±频移 )()(00z e F k f e j k j ωω ↔±（尺度变换）频移 )()()(00θθθ j jk e F k f e ↔±尺度 变换 )(||1)(aj F e a b at f a bj ωω↔+尺度 变换 )(||1)(asF e a b at f s a b↔+尺度 变换 )()(azF k f a k ↔尺度 变换 )(0)/()()(θjn n e F n k f k f ↔⎩⎨⎧=反转 )()(ωj F t f -↔- 反转 )()(s F t f -↔- 反转 )()(1-↔-z F k f （仅限双边） 反转 )()(θj e F k f -↔-时域 卷积 )()()(*)(2121ωωj F j F t f t f ↔时域 卷积)()()(*)(2121s F s F t f t f ↔时域 卷积)()()(*)(2121z F z F t f t f ↔时域 卷积 )()()(*)(2121θθj j e F e F k f k f ↔频域 卷积 )(*)(21)()(2121ωωπj F j F t f t f ↔时域 微分)0()0()()()0()()(2---'--↔''-↔'y sy s F s t f f s sF t f时域 差分)1()0()()2()0()()1()2()1()()2()1()()1(22121zf f z z F z k f zf z zF k f f f zz F z k f f z F z k f --↔+-↔+-+-+↔--+↔----频域卷积 ψπθψπψd e F eF k f k f j j )()(21)()()(22121-⎰↔时域 微分 )()()()()()(ωωωωj F j j F j t ft f nn ↔'时域 差分 )()1()1()(θθj j e F e k f k f -↔--频域 微分 nn n d j F d d j dF jt f jt t tf ωωωω)()()()()(↔-S 域 微分 nn n ds s F d s F t f t t tf )()()()()('-↔-Z 域 微分 dzz dF zk kf )()(-↔频域 微分 θθd e dF jk kf j )()(↔时域 积分 )()0()(0)(,)(ωδπωωF j j F f dx x f t+↔=-∞⎰∞-时域 积分 sf s s F dx x f t)0()()()1(--∞-+↔⎰部分 求和 1)()(*)(-↔=∑-∞=z zi f k k f ki ε 时域 累加∑∑∞-∞=∞-∞=-+-↔k j j j k k e F e e F k f )2()(1)()(0πθδπθθ频域 积分 0)(,)()()()0(=-∞↔-+⎰∞-F d j F jt t f t f ωττπS 域 积分 ⎰∞↔s d F tt f ηη)()(Z 域 积分 ηηηd F z mk k f z m m⎰∞+↔+1)()()(lim )0(z F f z →∞=,)]0()([lim )1(zf z zF f z -=→∞对称 )(2)(ωπ-↔f jt F初值)(),(lim )0(s F s sF f s →∞+=为真分式初值)(lim )(z F z M f M z ∞→=（右边信号）,)()([lim )1(1M zf z F z M f M z -=++∞→帕斯 瓦尔⎰⎰∞∞-∞∞-==ωωπd j F dt t f E 22|)(|21|)(|终值0),(lim )(0==∞→s s sF f s 在收敛域内终值)()1(lim )(1z F z f z -=∞→（右边信号）帕斯 瓦尔⎰∑∞-∞==πθθπ222|)(|21|)(|d e F k f j k常用连续傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z 变换对一览表连续傅里叶变换对⎰∞∞--=dt et f j F tj ωω)()(拉普拉斯变换对（单边）⎰∞--=0)()(dt e t f s F stZ 变换对（单边） ∑∞=-=0)()(k k z k f z F函数 )(t f傅里叶变换)(ωj F 函数)(t f象函数)(s F函数0),(≥k k f象函数函数0),(≥k k f象函数1)(t δ )(21ωπδ)(t δ1)(k δ10),(≥-m m k δmz - )()()(t t n δδ'nj j )(ωω )(t δ's11-z z 0),(≥-m m k εm z z z-⋅-1)(t ε )(1ωπδω+j )(t ε s 1)(k ε1-z z )(2k k ε32)1(-+z z z )(t t ε21)(ωωδπ-'j )()(t t t t nεε12!1+n s n s )(k k ε2)1(-z z )()1(k a k kε+22)(a z z - 0,)()(>--αεεααt te t e t t2)(11ωαωαj j ++)()(t te t e t t εεαα--2)(11αα++s s)(k a k ε a z z - )(1k ka k ε-2)(a z z - )sin()cos(00t t ωω)]()([)]()([0000ωωδωωδπωωδωωδπ--+-++j)()cos(t t εβ22β+s s)(k e k εα αe z z - )(k ka k ε 2)(a z az - t1)sgn(ωπj -)()sin(t t εβ22ββ+s )(k ekj εββj e z z - )(2k a k kε322)(a z z a az -+||t22ω-)()cosh(t t εβ22β-s s )(2)(k a a a kk ε-- 22a z z - )(2)(k aa a kk ε-+ 222a z z - t j e 0ω± )(20ωωπδ)()sinh(t t εβ22ββ-s )(2)1(k k k ε- 3)1(-z z)(2)1(k kk ε+ 32)1(-z z )()cos(t t e t εβα-22)(βαωαω+++j j )()cos(t t e t εβα-22)(βαα+++s s )(k ba b a kk ε-- ))((b z a z z--)(11k ba b a k k ε--++ ))((2b z a z z -- )()sin(t t e t εβα-22)(βαωβ++j)()sin(t t e t εβα-22)(βαβ++s)()cos(k k εβ1cos 2)cos (2+--ββz z z z )()sin(k k εβ1cos 2sin 2+-ββz z z0),(||>-αεαt e t222ωαα+)()(10t b t b ε+210s s b b + )()cos(k k εθβ+1cos 2)cos(cos 22+---βθβθz z z z )()sin(k k εθβ+1cos 2)sin(sin 22+--+βθβθz z z zn t t )()(2)(2)(ωδπωδπn n j j ')()(10t e b b b t εααα---)(01α++s s b s b)()cos(k k a k εβ22cos 2)cos (a az z a z z +--ββ)()sin(k k a k εβ22cos 2sin a az z az +-ββ)sgn(tωj 2)()]sin([13t t t εβββ-)(1222β+s s)()cosh(k k a k εβ22cosh 2)cosh (aaz z a z z +--ββ)()sinh(k k a k εβ22cosh 2sinh a az z az +-ββ)0(,0,0,>⎪⎩⎪⎨⎧><--αααt e t e tt 222ωαω+-j)()sin()]1[213t t t εβββ- 222)(1β+s0),(>k k ka kε⎪⎭⎫ ⎝⎛-a z z ln )(!k k a kε za e⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=2||,02||),cos()(τττπt t t t f22)2()2()2cos(2ωτπωτπτ-⋅)()sin(21t t t εββ222)(β+s s)(!)(ln k k a kε za1)!2(1kz1cosh∑∞-∞=Ωn tjn n e FT n F n n πωδπ2,)(2=ΩΩ-∑∞-∞=)()]cos()[sin(21t t t t εββββ+ 2222)(β+s s )(11k k ε+⎪⎭⎫ ⎝⎛-1ln z z z )(121k k ε+ 11ln21-+z z z ∑∞-∞=-=n T nT t t )()(δδTn n πωδωδ2)()(=ΩΩ-Ω=∑∞-∞=Ω )()cos(t t t εβ22222)(ββ+-s s)(])([1010t e b b e b b tt εαββαβαβα----+--))((01βα+++s s b s b⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=2||,02||,1)(τττt t t g⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛2sin 22ωτωωττSa teb t b b αα-+-])[(110201)(α++s b s b)(]))(())(())(([221022102210t e b b b eb b b e b b b t tt εγβγαγγβγβαββαγαβααγβα-----+-+--+-+--+-))()((0122γβα+++++s s s b s b s btWt Wt Sa Wππ)sin()(=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=2||,02||,1)(W W j F ωωω)()sin(t t Ae t εθβα+-,其中ββαθ)(10j b b Ae j --=2201)(βα+++s b s b)(])()2()([2210221022210t eb b b te b b b e b b b ttt εαβαβαβαβααβαββααβ-----+--⋅-+-+-+-)()(20122βα++++s s b s b s b⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><-=∆2||,02||,||21)(τττt t t t f ⎪⎭⎫⎝⎛422ωττSa )(])(21)2([22210212t e t b b b te b b e b t t t εαααααα---+-+-+3122)(α+++s b s b s b)()]sin([222210t t A e b b b t εθββγγγγ++++--其中)()(1220βγβββθj jb b b Ae j ++-=))((220122βγ++++s s b s b s b⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><+=2||,02||),2(1)(ττττt t t t f⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--212ωτωωτSa e j j ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-↔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<--<=4)(sin 4)(sin )(82||,02||2),||21(2||,1)(1112111ττωττωττωττττττττt t t t t f)()]sin()([222210t t Ae e b b b t t εθββγαγγαγ+++-+---其中)()()(2210βαγββαβαθj j b j b b Ae j +--+--=)]))[((220122βαγ+++++s s b s b s b双边拉普拉斯变换与双边Z 变换对一览表双边拉普拉斯变换对 ⎰∞∞--=dt e t f s F st)()(双边Z 变换对∑∞-∞=-=k kzk f z F )()(函数 象函数)(s F 和收敛域 函数 象函数)(z F 和收敛域 )(t δ 1，整个S 平面)(k δ1，整个Z 平面)()(t n δns ，有限S 平面)(k nδ∆0||,)1(>-z z z nn)(t ε0}Re{,1>s s)(k ε1||,1>-z z z)(t t ε0}Re{,12>s s )()1(k k ε+ 1||,)1(22>-z z z)()!1(1t n t n ε-- 0}Re{,1>s s n)()!1(!)!1(k n k n k ε--+1||,)1(>-z z z nn)(t --ε 0}Re{,1<s s)1(---k ε1||,1<-z z z)(t t --ε 0}Re{,12<s s )1()1(--+-k k ε 1||,)1(22<-z z z)()!1(1t n t n ----ε 0}Re{,1<s sn )1()!1(!)!1(----+-k n k n k ε 1||,)1(<-z z z nn)(t e at ε-}Re{}Re{,1a s as ->+ )(k a k ε ||||,a z az z>- )(t te atε- }Re{}Re{,)(12a s a s ->+)()1(k a n nε+||||,)(22a z a z z >-)()!1(1t e n t atn ε--- }Re{}Re{,)(1a s a s n->+ )()!1(!)!1(k a n k n k nε--+||||,)(a z a z z nn>-)(t e at ---ε }Re{}Re{,1a s as -<+ )1(---k a k ε||||,a z az z<- )()!1(1t e n t at n -----ε }Re{}Re{,)(1a s a s n-<+)1()!1(!)!1(----+-k a n k n k n ε ||||,)(a z a z z nn<- )()cos(t t εβ 0}Re{,22>+s s sβ)()cos(k k εβ 1cos 2cos 22+--ββz z z z)()sin(t t εβ 0}Re{,22>+s s ββ)()sin(k k εβ 1cos 2sin 2+-ββz z z)()cos(t t etεβα-}Re{}Re{,)(22a s s s ->+++βαα)()cos(k k a kεβ 1cos 2cos 22+--ββza z za z)()sin(t t e t εβα- }Re{}Re{,)(22a s s ->++βαβ)()sin(k k a k εβ1cos 2sin 2+-ββza z za0}Re{,||>-a et α}Re{}Re{}Re{,222a s a as a->>-- 1||,||<a a k |1|||||,)1)(()1(2a z a az a z z a <<---}Re{),sgn(||>-a t e t α}Re{}Re{}Re{,222a s a a s s->>-1||sgn,||<a a k|1|||||,)1)(()(2az a az a z z z a <<---卷积积分一览表⎰∞∞--=τττd t f f t f t f )()()(*)(121)(1t f)(2t f)(*)(21t f t f)(1t f)(2t f)(*)(21t f t f)(t f )(t δ')(t f ')(t f)(t δ)(t f )(t f)(t ελλd f t⎰∞-)()(t ε )(t ε)(t t ε)(t e t εα-)(t ε)()1(1t e t εαα--)(t ε)(t t ε)(212t t ε )(1t e t εα- )(2t e t εα-2112),()(121ααεαααα≠----t e e t t )(t e t εα-)(t e t εα-)(t te t εα-)(1t te t εα- )(2t e t εα-1221221212)()(1)(1)(21ααεαααααααα≠⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-----t e e t t t )(t t ε )(t e t εα-)(1122t e t t εαααα⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--)()cos(1t t e t εθβα+- )(2t e t εα-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---+--+--1222122212arctan )()()cos()()cos(21ααβϕεβααϕθβααϕθβααt e e t t t)(t te t εα-)(t e t εα-)(212t e t tεα-卷积和一览表∑∞-∞=-=i i k f i ft f t f )()()(*)(121)(1t f)(2t f)(*)(21t f t f)(1t f)(2t f)(*)(21t f t f)(k f)(k δ )(k f)(k f)(k ε ∑-∞=ki i f )()(k ε )(k ε )()1(k k ε+ )(k k ε)(k ε)()1(21k k k ε+)(k a k ε)(k ε0),(111≠--+a k aa k ε)(1k a k ε)(2k a kε21211211),(a a k a a a a k k ≠--++ε )(k a k ε)(k a kε)()1(k a k kε+)(k k ε)(k a kε)()1()1()(12k a a a k a k k εε--+- )(k k ε )(k k ε)()1()1(61k k k k ε-+ )()cos(1k k a k εθβ+)(k a k ε⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-+---++++2112122211211cos sin arctan )(cos )cos(])1(cos[a a a k a a a a a k a k k ββϕεβϕθϕθβ关于)(t δ、)(k δ函数公式一览表)()0()()(t f t t f δδ=)()()()(000t t t f t t t f -=-δδ)()()()(t t t t δδδδ'-=-'=- )()0()()0()()(t f t f t t f δδδ'-'=')0()()(f dt t t f =⎰∞∞-δ)()()(00t f dt t t t f =-⎰∞∞-δ)(|)(|1)([1i ni i t t t f t f -'=∑=δδ)0()1()()()()(n n n f dt t t f -=⎰∞∞-δ)(||1)(t a at δδ=⎰⎰∞-∞∞-==tt d dt t )()(1)(εττδδ)()(0)(t d dt t tδττδδ='='⎰⎰∞-∞∞-)()()()()()(00000t t t f t t t f t t t f -'--'=-'δδδ)(1||1)()()(t a a at n nn δδ⋅=)()()()(k k k ak δδδδ=-=∑∞-∞===k f k k f k f k k f )0()()()()0()()(δδδ)()()(00t f dt t t t f '-=-'⎰∞∞-δ第1章 信号与系统的基本概念1.1 基本要求1. 了解信号与系统的基本概念与定义，信号与系统的关系；2. 了解信号的分类及时域描述方法，掌握常用信号()t δ、()U t 、sin()t ωθ+、t e α (α为实数)、st e (s j σω=+)、()Sa t 、sgn()t 的特点、性质，能画出它们的波形图；3. 了解信号的时域分解方法与信号的基本运算方法，掌握信号的波形变换[包括压缩、扩展、移位、反褶(倒置)、比例改变等]；4. 了解系统的分类及描述系统的方法，了解连续时间系统的数学模型及方框图模型；5. 了解系统的线性、时不变性、因果性和可逆性，初步学会相应的判断方法。
常用傅里叶变换表之欧阳道创编
时间：2021.03.06创作：欧阳道时域信号弧频率表示的傅里叶变换注释1线性2时域平移3频域平移,变换2的频域对应4如果值较大，则会收缩到原点附近，而会扩散并变得扁平. 当|a | 趋向无穷时，成为Delta函数。
5傅里叶变换的二元性性质。
通过交换时域变量和频域变量得到.6傅里叶变换的微分性质7变换6的频域对应8表示和的卷积—这就是卷积定理9矩形脉冲和归一化的sinc函数10变换10的频域对应。
矩形函数是理想的低通滤波器，sinc函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。
11tri 是三角形函数12变换12的频域对应13高斯函数exp( − αt2) 的傅里叶变换是他本身. 只有当Re(α) > 0时，这是可积的。
14 1518δ(ω) 代表狄拉克δ函数分布. 这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换19变换23的频域对应20由变换3和24得到.21由变换1和25得到，应用了欧拉公式: cos(at) = (eiat + e−iat) / 2.22由变换1和25得到23这里, n 是一个自然数. δ(n)(ω) 是狄拉克δ函数分布的n阶微分。
这个变换是根据变换7和16a>017变换本身就是一个公式24得到的。
将此变换与1结合使用，我们可以变换所有多项式。
24此处sgn(ω)为符号函数；注意此变换与变换7和24是一致的.25变换29的推广.26变换29的频域对应.27此处u(t)是单位阶跃函数; 此变换根据变换1和31得到.28u(t)是单位阶跃函数，且a > 0.34狄拉克梳状函数——有助于解释或理解从连续到离散时间的转变.时间：2021.03.06 创作：欧阳道。
信号与系统3.3典型信号的傅里叶级数
1 2
sin2ω1t
1 3
sin3ω1t
1 4
sin4ω1t
E
(1) n1
n 1
1 n
sin(n1t)
周期锯齿脉冲信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅
度以 1 的规律收敛。 n
第3章 傅里叶变换
四、周期三角脉冲信号
周期三角脉冲信号如图3-10所示。
f (t)
E
tT1ຫໍສະໝຸດ T1 20T1 2
第3章 傅里叶变换
三、周期锯齿脉冲信号
周期锯齿脉冲信号如图3-9所示。
f (t)
E
2
T1
2
t
T1
0
2
E
2
图3-9 周期锯齿脉冲信号
显然它是奇函数，因而an=0，由式(3-4)可以求出傅里
叶级数的系数bn。这样，便可得到周期锯齿脉冲信号的傅 里叶级数为
第3章 傅里叶变换
f(t)
E π
sinω1t
1 5
cos51t
2E
cos1t
1 3
cos31t
1 5
cos51t
其频谱函数如图3-8所示 由于对称方波的偶次谐波恰恰落在频谱包络线的零值 点，所以它的频谱只包含基波和奇次谐波。 该信号既是偶函数，又是奇谐函数，因此在它的频谱 中只包含基波和奇次谐波的余弦分量。
第3章 傅里叶变换 图3-8 对称方波频谱
T1
E
为ω１。脉冲间隔
T1
越大，谱线越密。
信号的周期T1增大 时，谱线的间隔变
小。反之变大
2
n
谱线包络 按抽样函 数衰减
4
2
4
第3章 傅里叶变换
信号与系统公式大全
1 f (k ) = 2π
jθ
)e jθk dθ
af1 (t ) + bf 2 (t ) ↔ aF1 ( jω ) + bF2 ( jω ) f (t ± t 0 ) ↔ e ± jωt0 F ( jω )
af1 (k ) + bf 2 (k ) ↔ aF1 (e jθ ) + bF2 (e jθ ) f (k ± m) ↔ e± jθm F (e jθ ) e ± jkθ 0 f (k ) ↔ F (e j (θ θ 0 ) ) f ( k / n) f ( n ) (k ) = ↔ F (e jnθ ) 0 f ( − k ) ↔ F ( e − jθ ) f1 (k ) * f 2 (k ) ↔ F1 (e jθ ) F2 (e jθ ) f1 (k ) f 2 (k ) ↔ 1 2π
a k sin( βk )ε (k )
az sin β z 2 − 2az cos β + a 2
sgn(t )
1
β3
1 2β 3
[ βt − sin( βt )]ε (t )
a k cosh( βk )ε (k )
a k sinh( βk )ε (k )
az sinh β z 2 − 2az cosh β + a 2
∞ f (t ) ↔ F (η )dη s t
∫
f (k ) ↔ zm k+m
F (η )
f (0) = lim F ( z ) , f (1) = lim [ zF ( z ) − zf (0)]
z →∞
F ( jt ) ↔ 2πf (−ω )
∞
f (0 + ) = lim sF ( s ), F ( s ) 为真分式
信号与系统的公式汇总分类
1连续傅里叶变换∫∫∞∞−∞∞−−==ωωπωωωd e j F t f dtet f j F t j tj )(21)()()(2连续拉普拉斯变换连续拉普拉斯变换((单边单边))∫∫∞+∞−∞−==−j j st stds e s F jt f dte tf s F σσπ)(21)()()(03离散Z 变换变换((单边单边))∫∑≥==−∞=−Lk k kk dz z z F j k f z k f z F 0,)(21)()()(1π4离散傅里叶变换∫∑==∞−∞=−πθθθθθπ2)(21)()()(d e e F k f e k f e F k j j k kj j 线性)()()()(2121ωωj bF j aF t bf t af +↔+线性)()()()(2121s bF s aF t bf t af +↔+线性)()()()(2121z bF z aF k bf k af +↔+线性)()()()(2121θθj j e bF e aF k bf k af +↔+时移)()(00ωωj F et t f t j ±↔±时移)()(00s F e t t f st ±↔±时移)()(z F zm k f m±↔±（双边）时移)()(θθj m j e F e m k f ±↔±频移))(()(00ωωω∓j F t f etj ↔±频移)()(00s s F t f e t s ∓↔±频移)()(00z e F k f e j k j ωω∓↔±（尺度变换尺度变换））频移)()()(00θθθ∓j jk e F k f e ↔±尺度变换)(||1)(aj F e a b at f a bj ωω↔+尺度变换)(||1)(asF e a b at f s a b↔+尺度变换)()(azF k f a k ↔尺度变换)(0)/()()(θjn n e F n k f k f ↔⎩⎨⎧=反转)()(ωj F t f −↔−反转)()(s F t f −↔−反转)()(1−↔−z F k f （仅限双边）反转)()(θj e F k f −↔−时域卷积)()()(*)(2121ωωj F j F t f t f ↔时域卷积)()()(*)(2121s F s F t f t f ↔时域卷积)()()(*)(2121z F z F t f t f ↔时域卷积)()()(*)(2121θθj j e F e F k f k f ↔频域卷积)(*)(21)()(2121ωωπj F j F t f t f ↔时域微分)0()0()()()0()()(2−−−′−−↔′′−↔′y sy s F s t f f s sF t f 时域差分)1()0()()2()0()()1()2()1()()2()1()()1(22121zf f z z F z k f zf z zF k f f f z z F z k f f z F z k f −−↔+−↔+−+−+↔−−+↔−−−−频域卷积ψπθψπψd e F eF k f k f j j )()(21)()()(22121−∫↔时域微分)()()()()()(ωωωωj F j j F j t f t f n n ↔′时域差分)()1()1()(θθj j e F e k f k f −↔−−频域微nn nd j F d d j dF jt f jt t tf ωωωω)()()()()(↔−S 域微分nn nds s F d s F t f t t tf )()()()()(′−↔−Z 域微分dzz dF zk kf )()(−↔频域微θθd e dF jk kf j )()(↔分分时域积分)()0()()(,)(ωδπωωFjjFfdxxft+↔=−∞∫∞−时域积分sfssFdxxft)0()()()1(−−∞−+↔∫部分求和1)()(*)(−↔=∑−∞=zzifkkfkiε时域累加∑∑∞−∞=∞−∞=−+−↔kjjjkkeFeeFkf)2()(1)()(0πθδπθθ频域积分)(,)()()()0(=−∞↔−+∫∞−FdjFjttftfωττπS域积分∫∞↔sdFttfηη)()(Z域积分ηηηdFzmkkfz mm∫∞+↔+1)()()(lim)0(zFfz→∞=,)]0()([lim)1(zfzzFfz−=→∞对称)(2)(ωπ−↔fjtF初值)(),(lim)0(sFssFfs→∞+=为真分式初值)(lim)(zFzMf Mz∞→=（右边信号）,)()([lim)1(1MzfzFzMf Mz−=++∞→帕斯瓦尔∫∫∞∞−∞∞−==ωωπdjFdttfE22|)(|21|)(|终值),(lim)(==∞→sssFfs在收敛域内终值)()1(lim)(1zFzfz−=∞→（右边信号）帕斯瓦尔∫∑∞−∞==πθθπ222|)(|21|)(|deFkf jk信号与系统公式性质一览表常用连续傅里叶变换、拉普拉斯变换、常用连续傅里叶变换、拉普拉斯变换、ZZ 变换对一览表连续傅里叶变换对∫∞∞−−=dtet f j F tj ωω)()(拉普拉斯变换对（单边）∫∞−−=0)()(dte tf s F stZ 变换对（单边）∑∞=−=0)()(k kz k f z F 函数)(t f 傅里叶变换)(ωj F 函数)(t f 象函数)(s F 函数0),(≥k k f 象函数函数),(≥k k f 象函数1)(t δ)(21ωπδ)(t δ1)(k δ10),(≥−m m k δm z −)()()(t t n δδ′n j j )(ωω)(t δ′s11−z z 0),(≥−m m k εm z z z−⋅−1)(t ε)(1ωπδω+j )(t εs1)(k ε1−z z )(2k k ε32)1(−+z z z )(t t ε21)(ωωδπ−′j )()(t t t t nεε12!1+n s n s )(k k ε2)1(−z z )()1(k a k kε+22)(a z z −0,)()(>−−αεεααt te t e t t 2)(11ωαωαj j ++)()(t te t e t t εεαα−−2)(11αα++s s )(k a k εa z z −)(1k ka k ε−2)(a z z −)sin()cos(00t t ωω)]()([)]()([0000ωωδωωδπωωδωωδπ−−+−++j )()cos(t t εβ22β+s s )(k e k εααe z z −)(k ka k ε2)(a z az−t 1)sgn(ωπj −)()sin(t t εβ22ββ+s )(k ekj εββj e z z −)(2k a k kε322)(a z z a az −+||t 22ω−)()cosh(t t εβ22β−s s )(2)(k aa a kk ε−−22a z z −)(2)(k aa a kk ε−+222a z z −t j e 0ω±)(20ωωπδ∓)()sinh(t t εβ22ββ−s )(2)1(k k k ε−3)1(−z z )(2)1(k kk ε+32)1(−z z )()cos(t t e t εβα−22)(βαωαω+++j j )()cos(t t e t εβα−22)(βαα+++s s )(k b a b a kk ε−−))((b z a z z−−)(11k ba b a k k ε−−++))((2b z a z z −−)()sin(t t e t εβα−22)(βαωβ++j )()sin(t t e t εβα−22)(βαβ++s )()cos(k k εβ1cos 2)cos (2+−−ββz z z z )()sin(k k εβ1cos 2sin 2+−ββz z z 0),(||>−αεαt et 222ωαα+)()(10t b t b ε+210s s b b +)()cos(k k εθβ+1cos 2)cos(cos 22+−−−βθβθz z z z )()sin(k k εθβ+1cos 2)sin(sin 22+−−+βθβθz z z zn t t )()(2)(2)(ωδπωδπn n j j ′)()(100t e b bb t εααα−−−)(01α++s s b s b )()cos(k k a k εβ22cos 2)cos (aaz z a z z +−−ββ)()sin(k k a k εβ22cos 2sin a az z az +−ββ)sgn(t ωj 2)()]sin([13t t t εβββ−)(1222β+s s )()cosh(k k a k εβ22cosh 2)cosh (aaz z a z z +−−ββ)()sinh(k k a k εβ22cosh 2sinh a az z az +−ββ)0(,0,0,>⎪⎩⎪⎨⎧><−−αααt e t e tt 222ωαω+−j)()sin()]1[213t t t εβββ−222)(1β+s 0),(>k k k a kε⎟⎠⎞⎜⎝⎛−a z z ln )(!k k a kεza e ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=2||,02||),cos()(τττπt t t t f 22)2()2()2cos(2ωτπωτπτ−⋅)()sin(21t t t εββ222)(β+s s )(!)(ln k k a kεza 1)!2(1k z1cosh∑∞−∞=Ωn tjn n e F T n F n n πωδπ2,)(2=ΩΩ−∑∞−∞=)()]cos()[sin(21t t t t εββββ+2222)(β+s s )(11k k ε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−1ln z z z )(121k k ε+11ln 21−+z z z ∑∞−∞=−=n T nT t t )()(δδTn n πωδωδ2)()(=ΩΩ−Ω=∑∞−∞=Ω)()cos(t t t εβ22222)(ββ+−s s )(])([1010t e b b e b b tt εαββαβαβα−−−−+−−))((01βα+++s s b s b ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=2||,02||,1)(τττt t t g ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛2sin 22ωτωωττSa teb t b b αα−+−])[(110201)(α++s b s b )(]))(())(())(([221022102210t e b b b eb b b e b b b ttt εγβγαγγβγβαββαγαβααγβα−−−−−+−+−−+−+−−+−))()((0122γβα+++++s s s b s b s b tWt Wt Sa W ππ)sin()(=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=2||,02||,1)(W W j F ωωω)()sin(t t Ae t εθβα+−,其中ββαθ)(10j b b Ae j −−=2201)(βα+++s b s b )(])()2()([2210221022210t e b b b te b b b eb b b t ttεαβαβαβαβααβαββααβ−−−−−+−−⋅−+−+−+−)()(20122βα++++s s b s b s b ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><−=∆2||,02||,||21)(τττt t t t f ⎟⎠⎞⎜⎝⎛422ωττSa )(])(21)2([22210212t e t b b b teb b eb t ttεαααααα−−−+−+−+3122)(α+++s b s b s b )()]sin([222210t t A e b b b t εθββγγγγ++++−−其中)()(1220βγβββθj jb b b Aej ++−=))((220122βγ++++s s b s b s b⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><+=2||,02||),2(1)(ττττt t t t f ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−212ωτωωτSa e j j ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−×⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−↔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<−−<=4)(sin 4)(sin )(82||,02||2),||21(2||,1)(1112111ττωττωττωττττττττt t t t t f )()]sin()([222210t t Ae e b b b t t εθββγαγγαγ+++−+−−−其中)()()(2210βαγββαβαθj j b j b b Aej +−−+−−=)]))[((220122βαγ+++++s s b s b s b双边拉普拉斯变换与双边Z 变换对一览表双边拉普拉斯变换对∫∞∞−−=dte tf s F st)()(双边Z 变换对∑∞−∞=−=k kzk f z F )()(函数象函数)(s F 和收敛域函数象函数)(z F 和收敛域)(t δ1，整个S 平面)(k δ1，整个Z 平面)()(t n δns ，有限S 平面)(k nδ∆0||,)1(>−z z z nn)(t ε0}Re{,1>s s)(k ε1||,1>−z z z)(t t ε0}Re{,12>s s )()1(k k ε+1||,)1(22>−z z z )()!1(1t n t n ε−−0}Re{,1>s s n)()!1(!)!1(k n k n k ε−−+1||,)1(>−z z z n n)(t −−ε0}Re{,1<s s)1(−−−k ε1||,1<−z z z)(t t −−ε0}Re{,12<s s )1()1(−−+−k k ε1||,)1(22<−z z z )()!1(1t n t n −−−−ε0}Re{,1<s s n)1()!1(!)!1(−−−−+−k n k n k ε1||,)1(<−z z z nn)(t e at ε−}Re{}Re{,1a s as −>+)(k a k ε||||,a z az z>−)(t te atε−}Re{}Re{,)(12a s a s −>+)()1(k a n nε+||||,)(22a z a z z >−)()!1(1t e n t atn ε−−−}Re{}Re{,)(1a s a s n−>+)()!1(!)!1(k a n k n k nε−−+||||,)(a z a z z nn>−)(t e at −−−ε}Re{}Re{,1a s as −<+)1(−−−k a k ε||||,a z az z<−)()!1(1t e n t atn −−−−−ε}Re{}Re{,)(1a s a s n−<+)1()!1(!)!1(−−−−+−k a n k n k n ε||||,)(a z a z z nn<−)()cos(t t εβ0}Re{,22>+s s sβ)()cos(k k εβ1cos 2cos 22+−−ββz z z z )()sin(t t εβ0}Re{,22>+s s ββ)()sin(k k εβ1cos 2sin 2+−ββz z z )()cos(t t etεβα−}Re{}Re{,)(22a s s s −>+++βαα)()cos(k k a kεβ1cos 2cos 22+−−ββza z za z )()sin(t t e t εβα−}Re{}Re{,)(22a s s −>++βαβ)()sin(k k a k εβ1cos 2sin 2+−ββza z za 0}Re{,||>−a et α}Re{}Re{}Re{,222a s a as a−>>−−1||,||<a a k |1|||||,)1)(()1(2az a az a z z a <<−−−0}Re{),sgn(||>−a t e t α}Re{}Re{}Re{,222a s a a s s−>>−1||sgn,||<a a k |1|||||,)1)(()(2az a az a z z z a <<−−−卷积积分一览表∫∞∞−−=τττd t f f t f t f )()()(*)(121)(1t f )(2t f )(*)(21t f t f )(1t f )(2t f )(*)(21t f t f )(t f )(t δ′)(t f ′)(t f )(t δ)(t f )(t f )(t ελλd f t∫∞−)()(t ε)(t ε)(t t ε)(t e t εα−)(t ε)()1(1t e t εαα−−)(t ε)(t t ε)(212t t ε)(1t e t εα−)(2t e t εα−2112),()(121ααεαααα≠−−−−t e e t t )(t e t εα−)(t e t εα−)(t te t εα−)(1t te t εα−)(2t e t εα−1221221212)()(1)(1)(21ααεαααααααα≠⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−+−−−−−t e e t t t )(t t ε)(t e t εα−)(1122t e t t εαααα⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−−)()cos(1t t e t εθβα+−)(2t e t εα−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+−−−+−−+−−1222122212arctan )()()cos()()cos(21ααβϕεβααϕθβααϕθβααt e e t t t )(t te t εα−)(t e t εα−)(212t e t tεα−卷积和一览表∑∞−∞=−=i i k f i ft f t f )()()(*)(121)(1t f )(2t f )(*)(21t f t f )(1t f )(2t f )(*)(21t f t f )(k f )(k δ)(k f )(k f )(k ε∑−∞=ki i f )()(k ε)(k ε)()1(k k ε+)(k k ε)(k ε)()1(21k k k ε+)(k a kε)(k ε0),(111≠−−+a k a a k ε)(1k a k ε)(2k a kε21211211),(a a k a a a a k k ≠−−++ε)(k a kε)(k a k ε)()1(k a k kε+)(k k ε)(k a kε)()1()1()(12k a a a k a k k εε−−+−)(k k ε)(k k ε)()1()1(61k k k k ε−+)()cos(1k k a k εθβ+)(k a k ε⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−+−−−++++2112122211211cos sin arctan )(cos )cos(])1(cos[a a a k a a a a a k a k k ββϕεβϕθϕθβ关于)(t δ、)(k δ函数公式一览表)()0()()(t f t t f δδ=)()()()(000t t t f t t t f −=−δδ)()()()(t t t t δδδδ′−=−′=−)()0()()0()()(t f t f t t f δδδ′−′=′)0()()(f dt t t f =∫∞∞−δ)()()(00t f dt t t t f =−∫∞∞−δ)(|)(|1)([1i ni i t t t f t f −′=∑=δδ)0()1()()()()(n n n f dt t t f −=∫∞∞−δ)(||1)(t a at δδ=∫∫∞−∞∞−==tt d dt t )()(1)(εττδδ)()(0)(t d dt t tδττδδ=′=′∫∫∞−∞∞−)()()()()()(00000t t t f t t t f t t t f −′−−′=−′δδδ)(1||1)()()(t a a at n nn δδ⋅=)()()()(k k k ak δδδδ=−=∑∞−∞===k f k k f k f k k f )0()()()()0()()(δδδ)()()(00t f dt t t t f ′−=−′∫∞∞−δ。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
信号与系统傅里叶变换对照表
傅里叶变换是信号与系统领域中非常重要的数学工具，它将一个时域信号转换为频域信号，可以帮助我们理解信号的频谱特性。
下面是一份傅里叶变换的对照表，列出了一些常见的信号和它们的傅里叶变换形式：
1. 单位冲激函数（单位脉冲）：
时域表示，δ(t)。
频域表示，1。
2. 正弦函数：
时域表示，sin(2πft)。
频域表示，jπ[δ(f-f0) δ(f+f0)]
3. 余弦函数：
时域表示，cos(2πft)。
频域表示，1/2[δ(f-f0) + δ(f+f0)] 4. 矩形脉冲信号：
时域表示，rect(t/T)。
频域表示，T sinc(fT)。
5. 三角脉冲信号：
时域表示，tri(t/T)。
频域表示，T^2 sinc^2(fT)。
6. 高斯脉冲信号：
时域表示，exp(-πt^2/σ^2)。
频域表示，exp(-π^2f^2σ^2)。
7. 指数衰减信号：
时域表示，exp(-at)。
频域表示，1/(a+j2πf)。
8. 阶跃函数（单位阶跃函数）：
时域表示，u(t)。
频域表示，1/(j2πf) + 1/2。
9. 周期方波信号：
时域表示，square(t/T)。
频域表示，(1/T)[δ(f-nf0) + δ(f+nf0)], n为整数。
以上仅列举了一些常见的信号及其傅里叶变换形式。
傅里叶变换对照表可以帮助我们在信号分析和系统设计中快速理解信号的频域特性，从而更好地理解信号与系统的行为和特性。