统计学参数估计和样本容量的确定
第三章 参数估计
第三章参数估计重点：1.总体参数与统计量2.样本均值与样本比例及其标准误差难点：1.区间估计2.样本量确实定知识点一：总体分布与总体参数统计分析数据的方法包括：描绘统计和推断统计〔第一章〕推断统计是研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计学方法，包括参数估计和假设检验两大类。
总体分布是总体中所有观测值所形成的分布。
总体参数是对总体特征的某个概括性的度量。
通常有总体平均数〔μ〕总体方差〔σ2〕总体比例〔π〕知识点二：统计量和抽样分布总体参数是未知的，但可以利用样本信息来推断。
统计量是根据样本数据计算的用于推断总体的某些量，是对样本特征的某个概括性度量。
统计量是样本的函数，如样本均值〔〕、样本方差〔 s2〕、样本比例〔p〕等。
构成统计量的函数中不能包括未知因素。
由于样本是从总体中随机抽取的，样本具有随机性，由样本数据计算出的统计量也就是随机的。
统计量的取值是根据样本而变化的，不同的样本可以计算出不同的统计量值。
[例题·单项选择题]以下为总体参数的是( )a．样本均值b．样本方差c．样本比例d．总体均值答案：d解析：总体参数是对总体特征的某个概括性的度量。
通常有总体平均数、总体方差、总体比例题·判断题：统计量是样本的函数。
答案：正确解析：统计量是样本的函数，如样本均值〔〕、样本方差〔〕、样本比例〔p〕等。
构成统计量的函数中不能包括未知因素。
[例题·判断题]在抽样推断中，作为推断对象的总体和作为观察对象的样本都是确定的、唯一的。
答案：错误解析：作为推断对象的总体是唯一的，但作为观察对象的样本不是唯一的，不同的样本可以计算出不同的统计量值。
〔一〕样本均值的抽样分布设总体共有n个元素，从中随机抽取一个容量为n的样本，在重置抽样时，共有n n种抽法，即可以组成n n不同的样本，在不重复抽样时，共有个可能的样本。
每一个样本都可以计算出一个均值，这些所有可能的抽样均值形成的分布就是样本均值的分布。
《统计学》名词解释及公式
第1章统计与统计数据一、学习指导统计学是处理和分析数据的方法和技术，它几乎被应用到所有的学科检验领域。
本章首先介绍统计学的含义和应用领域，然后介绍统计数据的类型及其来源，最后介绍统计中常用的一些基本概念。
本章各节的主要内容和学习要点如下表所示。
二、主要术语1. 统计学：收集、处理、分析、解释数据并从数据中得出结论的科学。
2. 描述统计：研究数据收集、处理和描述的统计学分支。
3. 推断统计：研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计学分支。
4. 分类数据：只能归于某一类别的非数字型数据。
5. 顺序数据：只能归于某一有序类别的非数字型数据。
6. 数值型数据：按数字尺度测量的观察值。
7. 观测数据：通过调查或观测而收集到的数据。
8. 实验数据：在实验中控制实验对象而收集到的数据。
9. 截面数据：在相同或近似相同的时间点上收集的数据。
10. 时间序列数据：在不同时间上收集到的数据。
11. 抽样调查：从总体中随机抽取一部分单位作为样本进行调查，并根据样本调查结果来推断总体特征的数据收集方法。
12. 普查：为特定目的而专门组织的全面调查。
13. 总体：包含所研究的全部个体（数据）的集合。
14. 样本：从总体中抽取的一部分元素的集合。
15. 样本容量：也称样本量，是构成样本的元素数目。
16. 参数：用来描述总体特征的概括性数字度量。
17. 统计量：用来描述样本特征的概括性数字度量。
18. 变量：说明现象某种特征的概念。
19. 分类变量：说明事物类别的一个名称。
20. 顺序变量：说明事物有序类别的一个名称。
21. 数值型变量：说明事物数字特征的一个名称。
22. 离散型变量：只能取可数值的变量。
23. 连续型变量：可以在一个或多个区间中取任何值的变量。
四、习题答案1. D2. D3. A4. B5. A6. D7. C8. B9. A10.A11.C、12.C13.B14.A15.C16.D17.C18.A19.C20.D21.A22.C23.C24.B25.D26.C27.B28.D29.A30.D31.A32.B33.C34.A35.A36.A37.D38.B39.B40.C41.C42.D43.C44.D45.A46.B47.C48.A49.C50.D51.A52.C53.D54.A55.B第2章数据的图表展示一、学习指导数据的图表展示是应用统计的基本技能。
样本量的确定
当研究的特征具有最大的变异程度时，调 查需要的样本容量也最大。
对于只取两个值的特征，则当这两个值在 总体中以50—50的比例出现时，特征的变 异程度最大。
SSI
第23页
如果所研究特征的真实变异程度大于确定 样本容量时我们估计的变异程度，那么， 调查估计值的精度就会低于期望的精度。
注意，公式（1）使用了有限总体校正因子n/N，对总体规模进行校 正。如果忽略这个因子，初始样本容量n1就可以按下列公式计算：
SSI
第30页
设计效果因子
一般来说，当样本容量的计算公式假定为简单随机抽样SRS， 但使用的是更复杂的选样方式时，达到既定精度所需的样本容量应
该乘以设计效果因子。
设计效果=对于同样规模的样本容量，给定样本设计下 估计量的抽样方差对简单随机抽样估计量的 抽样方差的比率。
对于简单随机抽样设计，设计效果 = 1
SSI
第20页
我们来看假设有一个首次开展的调查，试图估 计对某企业提供的服务持满意态度的顾客比例。对 “顾客满意”这一指标，设置两个可能的值：满意 或者不满意。
SSI
第21页
SSI
表2 列出了持满意和不满意态度的顾客可能占的比例的组合
1
100% 满意
2
90% 满意
3
80% 满意
4
70% 满意
5
60% 满意
6
50% 满意
7
40% 满意
8
30% 满意
9
20% 满意
10
10% 满意
11
0% 满意
0% 满意 10% 满意 20% 满意 30% 满意 40% 满意 50% 满意 60% 满意 70% 满意 80% 满意 90% 满意 10% 满意
统计学参数估计
统计学参数估计参数估计是统计学中的一个重要概念，它是指在推断统计问题中，通过样本数据对总体参数进行估计的过程。
这一过程是通过样本数据来推断总体参数的未知值，从而进行总体的描述和推断。
在统计学中，参数是指总体的其中一种特征的度量，比如总体均值、总体方差等。
而样本则是从总体中获取的一部分观测值。
参数估计的目标就是基于样本数据来估计总体参数，并给出估计的精确程度，即估计的可信区间或置信区间。
常见的参数估计方法包括点估计和区间估计。
点估计是一种通过单个数值来估计总体参数的方法。
点估计的核心是选择合适的统计量作为估计量，并使用样本数据计算出该统计量的具体值。
常见的点估计方法包括最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是一种寻找参数值，使得样本数据出现的概率最大的方法。
矩估计则是通过样本矩的函数来估计总体矩的方法。
然而，点估计只能提供一个参数的具体值，无法提供该估计值的精确程度。
为了解决这个问题，区间估计被引入。
区间估计是指通过一个区间来估计总体参数的方法。
该区间被称为置信区间或可信区间。
置信区间是在一定置信水平下，总体参数的真值落在该区间内的概率。
置信区间的计算通常涉及到抽样分布、标准误差和分位数等概念。
在实际应用中，参数估计经常用于统计推断、统计检验和决策等环节。
例如，在医学研究中，研究人员可以通过对患者进行抽样调查来估计其中一种药物的有效性和不良反应的发生率。
在市场调研中，市场研究人员可以通过抽取部分样本来估计一些产品的市场份额或宣传效果。
参数估计的准确性和可靠性是统计分析的关键问题。
估计量的方差和偏倚是影响估计准确性的主要因素，通常被称为估计量的精确度和偏倚性。
经典的参数估计要求估计量是无偏且有效的，即估计量的期望值等于真值，并且方差最小。
总之，参数估计是统计学中的一个重要概念，它通过样本数据对总体参数进行估计，并给出估计值的精确程度。
参数估计在统计推断、统计检验和决策等领域具有广泛的应用。
估计量的准确性和可靠性是参数估计的关键问题，通常通过方差和偏倚的分析来评价估计量的性质。
统计学
s n
还可以进一步推断相应总量指标的区间范围。 还可以进一步推断相应总量指标的区间范围。
2、总体比率的区间估计 、
由定理知：在大样本下， 由定理知：在大样本下，样本比率的分 1 布趋近于 N ( P, P(1 − P)) n 给定置信度 1 − α ，查正态表的 Zα ， 2 样本比例的抽样极限误差为
2 2 2 2
~ F (n1 − 1, n2 − 1)
得方差比 σ 12 / σ 22 的置信度为1 − α 的置信区间为
1 s12 s12 ( 2 , 2 s2 Fα ( n1 − 1, n2 − 1) s2 F
2 1−
1 ) α ( n1 − 1, n2 − 1)
2
例题：见书 页例11 例题：见书150页例 页例 练习：研究由机器A和机器 生产的钢管的内径， 和机器B生产的钢管的内径 练习：研究由机器 和机器 生产的钢管的内径， 随机抽取A生产的管子 生产的管子18只 测得样本方差0.34 随机抽取 生产的管子 只，测得样本方差 平方毫米，抽取B生产的管子 生产的管子13只 平方毫米，抽取B生产的管子13只，测得样本 方差0.29平方毫米。设两样本相互独立，且设 平方毫米。 方差 平方毫米 设两样本相互独立， 由A、B生产的管子内径分别服从正态分布 、 生产的管子内径分别服从正态分布 2 2 N ( µ1 ,σ 1 ), N ( µ 2 ,σ 2 ) µ i ,σ i 均未知。 均未知。 这里的 试求方差比的置信度为0.90的置信区间。 的置信区间。 试求方差比的置信度为 的置信区间
s 小样本） n （小样本）
综述： 综述：总体均值的置信度为 1 − α 的置信区间 表示为： 表示为：x − ∆ x ≤ µ ≤ x + ∆ x 其中： 其中： σ s ∆ ≈ Zα 大样本下： 大样本下： x = Z α σ ( x) = Z α
(04)第4章 参数估计
（2）99%的置信区间是多少？
（3）若样本容量为40，而观测的数据不变，则 95%的置信区间又是多少？
5 - 31
统计学
STATISTICS
总体均值的区间估计
(例题分析)
12, s 4.1
解:(1)已知n=15, 1- = 95%， =0.05 ，x
统计学
STATISTICS
总体均值的区间估计
统计学
STATISTICS
大样本的估计方法
不论总体是不是服从正态分布，在大样本 （n 30）时，样本均值均服从正态分布。 若已知 2 x
x ~ N ( ,
总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为
n
)
z
n
~ N (0,1)
z 2
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量， 有更小标准差的估计量更有效
ˆ P( )
ˆ1 的抽样分布
B A
ˆ2 的抽样分布
ˆ
5 - 11
ˆ ˆ1 是比 2 更有效，是一个更好的估计量
统计学
STATISTICS
有效性
(efficiency)
x1 x2 x3 样本均值 x 3 x1 2 x2 3x3 和 x1 6
统计学
STATISTICS
第 4 章 参数估计
4.1 参数估计的基本原理 4.2 一个总体参数的区间估计 4.4 样本容量的确定
5-1
统计学
STATISTICS
4.1 参数估计的一般问题
4.1.1 估计量与估计值 4.1.2 点估计与区间估计 4.1.3 评价估计量的标准
(07)第7章 参数估计
STATISTICS
第 7 章 参数估计
7.1 参数估计的一般问题 7.2 一个总体参数的区间估计 7.3 必要的样本容量的确定
7-1
统计学
STATISTICS
学习目标
1. 2. 3. 4.
估计量与估计值的概念 点估计与区间估计的区别 一个总体参数的区间估计方法 必要的样本容量的确定方法
7-2
统计学
STATISTICS
置信水平
1. 将构造置信区间的步骤重复很多次，置 信区间包含总体参数真值的次数所占的 比重称为置信水平，也叫做置信度 2. 表示为 (1 -
为总体参数未在区间内的比重
相应的 为0.01，0.05，0.10
3. 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%
2. 则，将所有样本均值标准化为t统计量：
t x n ~ t (n 1)
3. 最终，总体均值 在1-置信水平下的置信 区间为： s
x t
2
s
7 - 24
n
统计学
STATISTICS
t 分布
t 分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比 正态分布平坦和分散。一个特定的t分布依赖于称之 为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐 趋于正态分布
2
n
或 p z
p(1 - p)
2
( 未知时)
n
统计学
STATISTICS
总体比重的区间估计
(例题分析)
解：已知 n=100，p＝65% , 1- = 95%， z/2=1.96
p z p (1 p )
2
【例】某城市想 要估计下岗职工 中女性所占的比 重，随机地抽取 了 100 名 下 岗 职 工，其中65人为 女性职工。试以 95%的置信水平 估计该城市下岗 职工中女性比重 的置信区间
《统计学》样本容量的确定
样本容量确定的两难
样本容量取得较大，收集的信息 就相对多，从而估计精度较高，但 进行观测所投入的费用、人力及时 间就比较多； 样本容量取得较小，则投入的费 用、人力及时间就相对节约，但收 集的信息也较少，从而估计精度较 低； 所以，精度和费用对样本量的影 响和要求是矛盾的，不存在既使精 度最高又使费用最省的样本量 。
估计总体均值时样本容量的确定 (例题分析)
解: 已知=2000，d=400, 1-=95%， z/2=1.96 置信度为95%的置信区间为：
n ( z 2 )2 2 (1.96 )2 20002
d2
4002
96.04 97
即应抽取97人作为样本。
估计总体比例时样本容量的确定
估计总体比例时ห้องสมุดไป่ตู้本容量的确定
1. 根据比例区间估计公式可得样本容量n为：
• •
重复抽样n
(
z
2
)2
d2
(1
)
•
2.
不重复抽n样
(
N
N( z 2 )2 (1 ) 1)d2 ( z 2 )2 (1
)
d的取值一般小于0.1
其中： d z 2
p(1 p ) n
3. π未知，以样本比例p替代
4. π或p都未知时，可取0.5，这是一种谨慎估计
1. 估计总体均值时样本容量n为：
• •
重复抽样 n
(
z
2
d
)2
2
2
•
不重复抽样
n
(N
N( z 2 )2 2 1)d2 ( z 2 )2 2
其中：d
Z
2
•
n
2. 样本容量n与总体方差成正比，与绝对误差成
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第3章 3.2 参数估计方法
3.2.2 区间估计
是
否
正态总体？
σ2已知？
是
否
x Z 2
n
s x t 2
n
n≥30？
是
否
x Z 2
n
增大n？数学 变换?
第3章 3.2 参数估计方法
3.2.3 参数区间估计的几个例子
p Z
2
p(1 p) ( N n) n N 1
第3章 3.3 样本容量的确定
1、估计总体均值时样本容量的确定 2、估计总体比例时样本大小的确定
第3章 3.2 参数估计方法
3.2.1 点估计
用样本估计量的值直接作为总体参数的估计值
常用的点估计量有：
、
X 、
pP
2 s2
(X X )2
n 1
第3章 3.2 参数估计方法
3.2.1 点估计
一个总体参数的估计量可以有多个。点估计的优劣评价可 以参考如下标准：
1、无偏性： E(ˆ)
2、有效性：在两个无偏估计量中方差较小的估计量较为有效
总体
样本
参数
?
统计量
算术平均数 x
用来推断总体参数的统计量称为估计量（estimator), 其取值称为估计值（estimate) 。 同一个参数可以有多 个不同的估计量。参数是唯一的，但估计量（统计量） 是随机变量，取值是不确定的。
第3章 3.1 参数估计简介
参数估计中几个基本概念：
1、样本容量 2、样本个数 3、总体参数 4、样本统计量 5、重复抽样 6、不重复抽样 7、估计量和估计值
3、一致性：指随着样本容量的增大，估计量越来越接近被估计 的总体参数
第3章 3.2 参数估计方法
3.2.2 区间估计
在参数估计中，虽然点估计可以给出未知参数的一 个估计，但不能给出估计的精度。为此人们希望 利用样本给出一个范围，要求它以足够大的概率 包含待估参数真值。这就是导致区间估计 （Interval estimation）问题。
在重复抽样条件下，置信区间为：
S X t
2n
在不重复抽样条件下，置信区间为：
X t S 2n
N n N 1
第3章 3.2 参数估计方法 3.2.3 参数区间估计的几个例子
3、大样本时总体比例的区间估计np 5和n(1 p) 5
在重复抽样条件下，置信区间为：
p Z
2
p(1 p) n
在不重复抽样条件下，置信区间为：
第3章 参数估计和 样本容量的确定
第3章 参数估计和样本容量的确定
主要内容： 3.1 参数估计简介 3.2 参数估计方法 3.3 样本容量的确定
第3章 3.1 参数估计简介
概念：参数估计是推断统计的一种类型，研究根 据样本数据对总体数值特征进行估计的方法， 包括点估计和区间估计。
第3章 3.1 参数估计简介
1、正态总体且方差已知；或非正态总体且方差已知且 大样本时总体均值的估计
在重复抽样条件下，置信区间为：
X
Z /2
n
在不重复抽样条件下，置信区间为：
X
Zห้องสมุดไป่ตู้
2
n
N n N 1
其中 Z /2 为标准正态分布在
2
处的临界值。
第3章 3.2 参数估计方法
3.2.3 参数区间估计的几个例子
2、正态总体且方差未知时总体均值的区间估计