几何五大定理
初中数学几何定理
初中数学几何定理
几何学是数学的一个分支，主要研究空间中的图形、大小、位置等性质。
在初中数学中，几何学是一个重要的内容，其中有很多定理需要掌握。
下面就来介绍一些初中数学几何定理。
1. 同位角定理
同位角定理是初中数学中比较基础的一个定理，它是指两条平行线被一条横线所截，所得到的内角和相等。
这个定理在解决平行线问题时非常有用。
2. 垂直平分线定理
垂直平分线定理是指平面内任意一条线段的中垂线与该线段所在直线垂直相交。
这个定理在解决垂直问题时非常有用。
3. 相似三角形定理
相似三角形定理是指两个三角形的对应角度相等，对应边成比例。
这个定理在解决三角形问题时非常有用。
4. 勾股定理
勾股定理是指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这个定理在解决直角三角形问题时非常有用。
5. 正弦定理
正弦定理是指在任意三角形中，三条边的比例等于它们对应的正弦值的比例。
这个定理在解决三角形问题时非常有用。
6. 余弦定理
余弦定理是指在任意三角形中，三条边的比例等于它们对应的余弦值的比例。
这个定理在解决三角形问题时非常有用。
以上就是一些初中数学几何定理的介绍。
这些定理在解决几何问题时非常有用，掌握它们可以帮助我们更好地理解几何学的知识。
平面几何-五大定理及其证明
平面几何定理及其证明梅涅劳斯定理1 .梅涅劳斯定理及其证明 定理：一条直线与 ABC 的三边AB BC CA 所在直线分别交于点 D E 、F ,且D E 、F 均证明：如图，过点C 作AB 的平行线，交EF 于点G. 因为 CG // AB ，所以 CG CF --------------------- （ 1）AD FA因为 CG // AB ，所以 EC （ 2） DB BEC F ，即得 AD C FEC FA DB EC FA2.梅涅劳斯定理的逆定理及其证明定理：在 ABC 的边AB BC 上各有一点 D E ,在边 AC 的延长线上有一点 F ,若二、 塞瓦定理3 .塞瓦定理及其证明定理：在ABC 内一点P,该点与ABC 的三个顶点相连所在的 三条直线分别交 ABCE 边AB BC CA 于点D E 、F ,且D E 、F 三点均不是 ABC不是ABC 的顶点，则有AD BECF 1DB EC由（1）宁（2） DB可得兀AD BE CF DB EC FA1，那么，D E 、F 三点共线.证明：设直线EF 交AB 于点D ，则据梅涅劳斯定理有AD /BE CF 丽EC FA因为AD Bl CF DB EC FA1，所以有誥段AB 上，所以点D 与D 重合.即得D鴿.由于点D D 都在线 E 、F 三点共线.证明：运用面积比可得 ADDB S ADP S BDPS ADC S BDC根据等比定理有S ADP S ADCSADC S ADP S APCSSBDPBDCSBDCSBDPS的顶点，则有AD BE CF “1 DB EC FA .所以AD S A PC .同理可得BE SDB S BPCAPB, CFEC S APC FA SBPCS APB三式相乘得竺吏 DB EC CF i FA 4.塞瓦定理的逆定理及其证明 定理：在 ABC 三边AB BC CA 上各有一点 H 1，那么直线CD AE BF 三线共点. DE 、F ,且 D E 、 F 均不是 ABC 的顶点,AD BE若 DB EC证明：设直线AE 与直线BF 交于点P,直线CP 交AB 于点D ,则 据塞瓦定理有 AD Z DBBE EC CA1 -1,所以有 段AB 上，所以点D 与D 重合.即得 因为竺 DB EC CF FA AD DB D DDB •由于点D D 都在线 E 、F 三点共线.三、西姆松定理 5.西姆松定理及其证明 定理：从 ABC 外接圆上任意一点 F ,则D E 、F 三点共线. 证明：如图示，连接PC ,连接EF P 向BC CA AB 或其延长线引垂线, 垂足分别为DE、交BC 于点D ，连接P D• 因为PE 因为A 、 所以， 共圆. 所以， 即 PD BC 由于过点 F D E 、 四、 6 AE,PF AF,所以A 、F 、P 、E 四点共圆，可得B 、P 、C 四点共圆，所以 FEP = BCP 即 DEP = CDP + CEP = 180°。
盘点几何中的著名定理
盘点几何中的著名定理1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）2、射影定理（欧几里得定理）3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。
10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：$r=sqrt{[(s-a)(s-b)(s-c)]/s}$s为三角形周长的一半14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有$AB^2+AC^2=2(AP^2+BP^2)$16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有$nxxAB^2+mxxAC^2=(m+n)AP^2+(mn)/(m+n)BC^2$17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n （值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有$ABxxCD+ADxxBC=ACxxBD$,推广对于一般的四边形ABCD，则有$ABxxCD+ADxxBC=ACxxBD$20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。
小学数学五大几何模型
小学数学五大几何模型知识框架一、等积模型DC BA①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、共角定理（鸟头定理）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△(1)(2)(3)(4)三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．S 4S 3S 2S 1O DC BA梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．A BC DO baS 3S 2S 1S 4四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCD ABCDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG ===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、共边定理（燕尾定理）有一条公共边的三角形叫做共边三角形。
初等几何五大ZB定理
初等几何五大ZB定理某日，燕尾模型讲毕，一六年级学霸级学生说，其可用燕尾模型证梅涅劳斯定理，大惊，问其如何得之，其说：一老师讲的。
六年级学生学梅涅劳斯定理，ZB大于实用。
既然学生感兴趣，咱就一装到底。
一、梅涅劳斯定理梅涅劳斯：古希腊数学家。
梅涅劳斯定理指的是：一条直线（红线）与一个三角形的三边或延长线相交，三角形的三个顶点按顺时针或逆时针方向，三条边顶点到交点的比值的积为1.其证明方法很多，相似三角形即可证明。
下面咱们用小学奥数的“燕尾模型”证明一下。
二、塞瓦定理塞瓦：意大利数学家、水利工程师，该定理于1678年发表于《直线论》一书。
塞瓦定理：可以简单记为三线共点的充要条件是：顺时针或逆时针的分线段的比值积为1.该定理可以用上面的梅涅劳斯定理证明。
三、斯坦纳定理斯坦纳：瑞士几何学家斯坦纳定理：两内角平分线相等的三角形必为等腰三角形。
早在2000多年前，《几何原本》就有定理：等腰三角形的两底角平分线的长相等。
可是它的逆定理书上却只字未提，估计作者也不会，呵呵。
直到1840年，莱默斯请求斯图姆给予纯几何证明，可斯图姆也不会，最后斯坦纳给出了证明，因此该定理也称作：斯坦纳——莱默斯定理。
现在很多高中生也能证明。
大家可以试试有没有难度。
四、托勒密定理托勒密定理:圆内接凸四边形的对边积的和等于对角线的积。
用相似可以证明五、西姆松定理西姆松定理：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边所在直线垂线，则三垂足在一点直线上，这条直线我们称作西姆松线。
这些定理一般的中考都不考，一和四和中学的相似联系比较紧密，尽量掌握，培优课上可能会有，感兴趣的同学可以看看。
数学几何必会定理
在 Rt△ABC 中，∠ACB =90 °，cd 是斜边 ab 上的高，则有射影定理如下：①CD2 =AD · DB ②BC2 =BD · BA③AC2 =AD ·AB④AC· BC=AB ·CD (等积式，可用面积来证明)3. 三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成 2：1 的两部分4. 四边形两边中心的连线和两条对角线中心的连线交于一点5. 间隔的连接六边形的边的中心所做出的两个三角形的重心是重合的(可忽略)2倍。
该点叫做三角形的重心。
交于一点。
该点叫做三角形的旁心。
三角形有三个旁心。
三角形的重心三角形的三条中线交于一点三角形三条中线的交点叫做三角形的重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍三角形的内心和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外接三角形三角形的三条内角平分线有一个且只有一个交点，这个交点到三角形三边的距离相等，就是三角形的内心三角形有且只有一个内切圆内切圆的半径公式：s 为三角形周长的一半三角形的外心经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆 .外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形三角形三边的垂直平分线有一个且只有一个交点，这个交点到三角形三个顶点的距离相等，就是三角形的外心三角形有且只有一个外接圆设三角形 ABC 的外心为 O，垂心为 H，从 O 向 BC 边引垂线，设垂足为 L，则 AH=2OL三角形的垂心三角形的三条高线交于一点三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角三角形的垂心在三角形外三角形的旁心与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形的旁心三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，这个交点到三角形一边及其他两边延长线的距离相等，就是三角形的旁心三角形有三个旁切圆，三个旁心7. (九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆 ) 三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上8. 欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上9. 库立奇大上定理：(圆内接四边形的九点圆) 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
初中几何定理大全初中数学几何121个定理总结
初中几何定理大全初中数学几何121个定理总结
一、三角形定理：
1、直角三角形三边定理：在直角三角形中，两个直角对边的平方和等于斜边的平方。
2、勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
3、余弦定理：在任意三角形中，每条边的平方等于其他两条边平方之和减去两倍乘积的余弦值。
4、正弦定理：在任意三角形中，每条边的平方等于其他两条边平方之和加上两倍乘积的正弦值。
5、比例定理：在任意三角形中，斜边的平方等于两条边的乘积除以其外角的余弦值的平方。
6、外接圆定理：任意三角形的外接圆半径等于其三边长的和除以4
7、外切圆定理：任意三角形的外切圆半径等于其两边长的乘积除以4倍其近角的正弦值。
8、锐角三角形边长定理：在锐角三角形中，一条边大于另外两条边的和，小于他们的差。
9、内切圆定理：任意三角形的内切圆半径等于其两边长的乘积除以4倍其外角的正弦值。
10、锐角三角形的内接圆定理：任意锐角三角形内接圆半径等于其三边长乘积除以4其外角的余弦值。
二、平行线定理：
1、平行线定理：平行线与平行线之间分别成等腰角和相邻角成等式。
2、垂线定理：垂线与平行线之间相邻角成等式。
平面几何-五大定理及其证明
平面几何 定理及其证明一、 梅涅劳斯定理1．梅涅劳斯定理及其证明定理：一条直线和∆ABC 的三边AB 、BC 、CA 所在直线分别交于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是∆ABC 的顶点，则有．证明：如图，过点C 作AB 的平行线，交EF 于点G ． 因为CG // AB ，所以 ————（1） 因为CG // AB ，所以 ————（2）由（1）÷（2）可得，即得． 2．梅涅劳斯定理的逆定理及其证明 定理：在∆ABC 的边AB 、BC 上各有一点D 、E ，在边AC 的延长线上有一点F ，若，那么，D 、E 、F 三点共线． 证明：设直线EF 交AB 于点D /，则据梅涅劳斯定理有．因为 ，所以有．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 和D /重合．即得D 、E 、F 三点共线．二、 塞瓦定理3．塞瓦定理及其证明定理：在∆ABC 内一点P ，该点和∆ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交∆ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三点均不是∆ABC 的顶点，则有．证明：运用面积比可得．根据等比定理有 ADC ADC ADP APCADP BDP BDC BDC BDP BPCS S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆-===-， 所以．同理可得，． 三式相乘得．4．塞瓦定理的逆定理及其证明定理：在∆ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是∆ABC 的顶点，若，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点．证明：设直线AE 和直线BF 交于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则据塞瓦定理有．因为 ，所以有．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 和D /重合．即得D 、E 、F 三点共线． 三、 西姆松定理5．西姆松定理及其证明 定理：从∆ABC 外接圆上任意一点P 向BC 、CA 、AB 或其延长线引垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．ABCDEFPA B C DEFD / A B CD E F G证明：如图示，连接PC ，连接 EF 交BC 于点D /，连接PD /．因为PE ⊥AE ，PF ⊥AF ，所以A 、F 、P 、E 四点共圆，可得∠FAE =∠FEP ．因为A 、B 、P 、C 四点共圆，所以∠BAC =∠BCP ，即∠FAE =∠BCP ． 所以，∠FEP =∠BCP ，即∠D /EP =∠D /CP ，可得C 、D /、P 、E 四点共圆．所以，∠CD /P +∠CEP = 1800。
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第一大定理：共角定理（鸟头定理）
即在两个三角形中，它们有一个角相等（互补），则它们就是共角三角形。
它们的面积之比，就是对应角（相等角、互补角）两夹边的乘积之比。
雪帆华数:这个不建议记，符合这种的直接用，不符合这种的呢？还不如直接记推导的思路。
2013-5-20 22:15回复
第二大定理：等积变换定理。
1、等底等高的两个三角形面积相等；
2、两个三角形（底）高相等，面积之比等于高（底）之比。
3、在一组平行线之间的等积变形。
如图所示，S△ACD=S△BCD；反之，如果S△ACD=S△BCD，则可知直线AB平行于C D。
第三大定理：梯形蝴蝶定理。
这个为了竞赛，不得不记
2013-5-20 22:15回复
对，竞赛的数学图形题都是这一类型的题。
2013-5-22 13:22回复任意四边形中，同样也有蝴蝶定理。
上述的梯形蝴蝶定理，就是因为AD‖EC得来的。
如果知道鸟头定理是怎么推导的，这个简直就是小菜。
2013-5-20 22:16回复
:是的，共角定理。
2013-5-21 12:22回复这个很好，尤其是由△ABC和△ADC的面积得出对角线的比，对于任意四边形都可以，可以当个定理来用了。
2013-5-21 19:17回复第四大定理：相似三角形定理。
1、相似三角形：形状相同,大小不相等的两个三角形相似；
2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。
3、相似三角形性质：1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比；
②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有BC平行DE 这样的一对平行线！
图形：
太深也得学！现在竞赛相似形很多。
2013-5-21 12:23回复第五大定理：燕尾定理。
性质：1.S△ABG：S△ACG=S△BGE：S△CGE=BE：CE
2.S△BGA：S△BGC=S△GAF：S△GCF=AF：CF
3.S△AGC：S△BGC=S△AGD：S△BGD=AD：BD
这就是燕尾模型。
2013-5-20 22:08回复
这个可以有，只是还是那句话，鸟头定理都理解了，这个也能理解。
2013-5-20 22:17回复:是的，共角定理很重要！
2013-5-21 12:23回复
第一大定理练习：。