同角三角函数的基本关系教案4

4-1.2.2同角三角函数的基本关系（2）
教学目的：
知识目标：根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明； 能力目标：（1）了解已知一个三角函数关系式求三角函数（式）值的方法。

（2）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力；
德育目标：训练三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法； 教学重点：同角三角函数的基本关系式
教学难点：如何运用公式对三角式进行化简和证明。

授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：
1．同角三角函数的基本关系式。

（1）倒数关系：sin csc 1αα⋅=，cos sec 1αα⋅=，tan cot 1αα⋅=．
（2）商数关系：
sin tan cos ααα=，cos cot sin α
αα=
． （3）平方关系：22sin cos 1αα+=，221tan sec αα+=，22
1cot csc αα+=．
（练习）已知tan α4
3
=，求cos α
2．tan αcos α= ，cot αsec α= ，（sec α+tan α）·（ ）=1 二、讲解新课：
例1
解：原式2
1sin 80==-cos80==．
例2
解：原式=
|cos40sin 40|cos40sin 40=-=-． 例3、已知α=αcos 2sin ，求的值。

及αα+αα
+αα
-αcos sin 2sin cos 2sin 5cos 4sin 2 解：2tan cos 2sin =α∴α
=α
6
1
1222tan 54tan cos 2sin 5cos 4sin -=-=+α-α=α+αα-α∴
5614241
tan tan 2tan cos sin cos sin 2sin cos sin 2sin 2
22222
=++=+αα+α=α+ααα+α=αα+α 强调（指出）技巧：1︒分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式
2︒“化1法”
例4、已知3
3
cos sin =
α+α，求的值。

及α-αα+αcos sin cot tan 解：将 33cos sin =
α+α 两边平方，得：3
1cos sin -=αα 3cos sin 1
cot tan -=α
α=
α+α∴
3
5
321cos sin 21)cos (sin 2=+
=αα-=α-α 315cos sin ±=α-α∴ 例5、已知,12
25
cot tan =
α+α
α+αα+αα-αα-αcos sin ,cot tan ,cot tan ,cot tan 3322求
解：由题设： ,2144
625
cot tan 2
2
-=
α+α
∴ 12
7
4144625cot tan ±=-±
=α-α
144
175
)127(1225)cot )(tan cot (tan cot tan 22±=±⨯=
α-αα+α=α-α
17284825
1441931225)1144337(1225)
cot tan cot )(tan cot (tan cot tan 2233=⨯=-⨯=αα-α+αα+α=α+α 5
7
251221cos sin 21cos sin ±=⨯
+±=αα+±=α+α (25
12
cos sin 1225cos sin 1cot tan =
αα∴=αα=
α+α ) 例6、已知)0(51
cos sin π<θ<=α+α，求的值。

及θ-θθ33cos sin tan 解：1︒ 由),2(0cos ,0,2512cos sin ππ
∈θ∴<θπ<θ<-=αα得：
由5
7cos sin ,2549)cos (sin 2
=θ-θ=α-α得： 联立：
3
4
t a n 53c o s 54s i n 57c o s s i n 51c o s s i n -=θ⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧
-=θ=θ⇒=θ-θ=θ+θ
2︒ 125
91)5
3()5
4(cos sin 3
3
3
3
=
--=θ-θ
例7、已知是第四象限角，
α+-=α+-=
α,5
3
cos ,524sin m m m m 求的值。

αtan 解：∵sin 2α + cos 2
α = 1 ∴1)5
3()524(22=+-++-m m m m
化简，整理得：8,00)8(21==∴=-m m m m
当m = 0时，是第四象限角不合）
与，α-=α=
α(53
cos ,54sin 当m = 8时，5
12
tan 135cos ,1312sin -=α∴=α-=α，
三、巩固与练习
1：已知12 sin α+5 cos α=0，求sin α、cos α的值. 解：∵12 sin α+5 cos α=0 ∴sin α=12
5-
cos α，又1cos sin
22
=+αα
则（12
5-
cos α）2
+α2
cos
=1，即α2
cos =
169
144
∴cos α=±13
12 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
-===-=13
12cos 13
5sin 1312cos 135sin αααα或
2.已知3tan =α，求（1）α
αα
αsin 3cos 5cos 2sin 4+-；原式=75
（2）αααα22cos 3cos sin sin 2-+；原式=59
说明：（1）为了直接利用3tan =α，注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式，把分子、分母同除以αcos ,将分子、分母转化为αtan 的代数式；
（2）可利用平方关系1cos sin 2
2
=+αα，将分子、分母都变为二次齐次式，再利用商数关系化归为αtan 的分式求值； 3
.
cos 9sin 8)2(;sin 7cos 6sin 5cos 4)1(,41)3(cos sin ,5
1
cos sin )2(sin sin )1(22232222x x x
x x
x ctgx x
x x x A A tg A A tg -+-=-=-⋅=-求求设
A
A A A tgA ctgA x x x x x x sin sec cos sin )5(cos sin 1cos sin 1)4(10cos 10cos 10sin 210sin )3(9
cos 6cos )2(130sec )1()4(2266442222+------︒+︒︒-︒+--︒化简
4.已知sec α—tg α=5，求sin α。

解1：∵sec α—tg α=5=5×1=5（sec2α—tg2α）=5（sec α+tg α）（sec α—tg α），故 sec α+tg α=1/5，
则sec α=13/5，tg α=—12/5；sin α=tg α·cos α=13
12- 解2：由已知：
0cos ,1sin ,5cos sin 1>∴≤=-ααα
α
则13
12sin ,1sin sin 15sin 12
-==⇒-=-ααααor
5.已知1sin sin 2
=+θθ，求θθ6
2
cos cos +值； 解：可求
2
15sin -=
θ2
5
53121531sin 3sin sin 2sin )cos 1(sin sin sin cos cos 22362-=--⨯
=-=-=-+=+=+θθθθθθθθθθ分析：本题关键时灵活地多次运用条件1sin sin 2
=+θθ从而结合同角三角函数关系式达到降次求解的目标；
小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；（2）尽量使分母不含三角函数式；（3）根式内的三角函数式尽量开出来；（4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常常将式子中的“1”作巧妙的变形，如：1=αααααα222222
cot csc tan sec cos sin
-=-=+
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．运用同角三角函数关系式化简、证明。

2．常用的变形措施有：大角化小，切割化弦等。

五、课后作业：习题4.4 第5，7，8题
思考:已知sin α=2sin β，tan α=3tan β，求α2cos 的值. 解：sin β=
2
sin α tan β=
3
tan α
又1+ tan 2
β=
β
2
cos 1，
∴1+
α
α
αα2
2
2
cos 336cos 184
sin 119
tan +=
+
-
=，即
即88
3cos 1cos 03cos 11cos 2
224===+-αααα或，解得
六、板书设计：。