第九章 9.7解析几何

1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质【知识拓展】1．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．2．y 2＝ax 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4.3．设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是(a4，0)，准线方程是x ＝－a4.( × )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F (p 2，0)的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( √ )1．(2016·四川)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( ) A ．(0,2) B ．(0,1) C ．(2,0) D ．(1,0)答案 D解析 ∵对于抛物线y 2＝ax ，其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0， ∴对于y 2＝4x ，焦点坐标为(1,0)．2．(2016·甘肃张掖一诊)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( ) A ．9B ．8C ．7D ．6 答案 B解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1. 根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.3．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4]答案 C解析 Q (－2,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0， 解得－1≤k ≤1.4．(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________________． 答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y解析 设抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)或x 2＝2py (p ≠0)．将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .5．(2017·合肥调研)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为________． 答案 2解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2，圆x 2＋y 2－6x －7＝0，即(x －3)2＋y 2＝16， 则圆心为(3,0)，半径为4.又因为抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，所以3＋p2＝4，解得p ＝2.题型一 抛物线的定义及应用例1 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________． 答案 4 解析 如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ， 交抛物线于点P 1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.引申探究1．若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．解由题意可知点(3,4)在抛物线的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝42＋22＝16＋4＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为2 5.2．若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．解由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为|1＋5|12＋(－1)2＝32，所以d1＋d2的最小值为32－1.思维升华与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．答案 5解析如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为[1－(－1)]2＋(0－1)2＝ 5.题型二 抛物线的标准方程和几何性质 命题点1 求抛物线的标准方程例2 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( ) A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y答案 D解析 ∵x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为2，∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，∴b 2a 2＝3，ba＝ 3. x 2＝2py (p >0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p 2，x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，即y ＝±3x .由题意得p 21＋(3)2＝2，∴p ＝8.故C 2的方程为x 2＝16y . 命题点2 抛物线的几何性质例3 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1|AF |＋1|BF |为定值； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切． 证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(p2，0)．由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫my ＋p2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*) 则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2.因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2， 所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.(2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24.因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式，得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p 2(|AB |－p )＋p 24＝2p(定值)． (3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |.所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．(1)(2016·全国乙卷)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A ．2B ．4C ．6D ．8(2)(2016·昆明三中、玉溪一中统考)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，已知点A 、B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为( ) A.33B ．1C.233D ．2 答案 (1)B (2)A解析 (1)不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，则圆的方程可设为x 2＋y 2＝r 2(r >0)，如图，又可设A (x 0,22)，D ⎝⎛⎭⎫－p2，5， 点A (x 0,22)在抛物线y 2＝2px 上，∴8＝2px 0，①点A (x 0,22)在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴x 20＋8＝r 2，②点D ⎝⎛⎭⎫－p2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上， ∴5＋⎝⎛⎭⎫p 22＝r 2，③联立①②③，解得p ＝4，即C 的焦点到准线的距离为p ＝4，故选B. (2)设|AF |＝a ，|BF |＝b ，分别过A 、B 作准线的垂线，垂足分别为Q 、P ， 由抛物线的定义知，|AF |＝|AQ |，|BF |＝|BP |， 在梯形ABPQ 中，2|MN |＝|AQ |＋|BP |＝a ＋b .|AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos120°＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab . 又ab ≤(a ＋b 2)2，所以(a ＋b )2－ab ≥(a ＋b )2－14(a ＋b )2＝34(a ＋b )2，得到|AB |≥32(a ＋b )， 所以|MN ||AB |≤12(a ＋b )32(a ＋b )＝33，即|MN ||AB |的最大值为33. 题型三 直线与抛物线的综合问题 命题点1 直线与抛物线的交点问题例4 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝________. 答案 2解析 抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝4＋8k 2，x 1x 2＝4.所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k ，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16.因为MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2. 命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题例5 (2016·全国丙卷)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程． (1)证明 由题意知，F ⎝⎛⎭⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0， 且A ⎝⎛⎭⎫a 22，a ，B ⎝⎛⎭⎫b 22，b ，P ⎝⎛⎭⎫－12，a ，Q ⎝⎛⎭⎫－12，b ， R ⎝⎛⎭⎫－12，a ＋b 2.记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a＝－aba ＝－b ＝b －0－12－12＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)解 设过AB 的直线为l ，设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)， 则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12， S △PQF ＝|a －b |2. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝1，x 1＝0(舍去)． 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)．而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)， 所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1(x ≠1)．思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．(2017·北京东城区质检)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程． 解 (1)设Q (x 0,4)，代入y 2＝2px ，得x 0＝8p .所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p .由题设得p 2＋8p ＝54×8p ，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2. 所以C 的方程为y 2＝4x . (2)依题意知l 与坐标轴不垂直， 故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 故AB 的中点为D (2m 2＋1,2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)．又l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1m y ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4m y －4(2m 2＋3)＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m ，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故MN 的中点为E (2m 2＋2m 2＋3，－2m )，|MN |＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝4(m 2＋1)2m 2＋1m 2， 由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |，从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即4(m 2＋1)2＋(2m ＋2m )2＋(2m2＋2)2＝4(m 2＋1)2(2m 2＋1)m 4，化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1. 所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.7．直线与圆锥曲线问题的求解策略典例 (12分)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 思维点拨 (3)中证明QA →·QB →＝0.解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1m y ，∴它的焦点F (0，14m )．[2分](2)∵|RF |＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14.[4分] (3)存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)>0⇒m >－12.[6分]设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2m，x 1·x 2＝－2m.(*)∵P 是线段AB 的中点，∴P (x 1＋x 22，mx 21＋mx 222)，即P (1m ，y P )，∴Q (1m ，1m)．[8分]得QA →＝(x 1－1m ，mx 21－1m )，QB →＝(x 2－1m ，mx 22－1m)， 若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →＝0， 即(x 1－1m )·(x 2－1m )＋(mx 21－1m )(mx 22－1m)＝0，[10分]结合(*)化简得－4m 2－6m＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，而2∈(－12，＋∞)，－12∉(－12，＋∞)．∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形．[12分]解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤： 第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)； 第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2(或y 1y 2，y 1＋y 2)的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况．1．(2017·昆明调研)已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过F 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，如果OA →·OB →＝－12，那么抛物线C 的方程为( ) A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．y 2＝8x D ．y 2＝4x答案 C解析 由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，直线方程为x ＝my ＋p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋p2，消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋p 2)(my 2＋p 2)＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12⇒p ＝4，即抛物线C 的方程为y 2＝8x .2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( ) A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2 答案 B解析 ∵y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为(p2，0)，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px ，得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 22＝p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.3．(2016·上饶四校联考)设抛物线C ：y 2＝3px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C 的方程为( ) A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16x D ．y 2＝2x 或y 2＝16x答案 C解析 ∵抛物线C ：y 2＝3px (p >0)的焦点为F (3p4，0)，∴|OF |＝3p 4， ∵以MF 为直径的圆过点(0,2)，设A (0,2)，连接AF ，AM ，可得AF ⊥AM ，在Rt △AOF 中，|AF |＝4＋9p 216，∴sin ∠OAF ＝|OF ||AF |＝3p 44＋9p 216，根据抛物线的定义，得直线AO 切以MF 为直径的圆于点A ， ∴∠OAF ＝∠AMF ，可得在Rt △AMF 中，sin ∠AMF ＝|AF ||MF |＝3p 44＋9p 216，∵|MF |＝5，|AF |＝4＋9p 216，∴4＋9p 2165＝3p 44＋9p 216， 整理得4＋9p 216＝15p 4，解得p ＝43或p ＝163，∴C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于( ) A ．－4B ．4C ．p 2D ．－p 2 答案 A解析 ①若焦点弦AB ⊥x 轴， 则x 1＝x 2＝p 2，∴x 1x 2＝p 24；∴y 1＝p ，y 2＝－p ，∴y 1y 2＝－p 2， ∴y 1y 2x 1x 2＝－4. ②若焦点弦AB 不垂直于x 轴， 可设AB 的直线方程为y ＝k (x －p2)，联立y 2＝2px ，得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 24.∴y 1y 2＝－p 2.故y 1y 2x 1x 2＝－4.5.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x 答案 C 解析 如图，分别过A 、B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知：|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°，连接A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形，过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于K ，则|KF |＝|A 1F 1|＝12|AA 1|＝12|AF |，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .故选C. 6．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，若点A (－1,0)，则|PF ||P A |的最小值是( ) A.12B.22C.32D.223 答案 B解析 抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1， 如图，过P 作PN 垂直直线x ＝－1于N ， 由抛物线的定义可知|PF |＝|PN |，连接P A ， 在Rt △P AN 中，sin ∠P AN ＝|PN ||P A |， 当|PN ||P A |＝|PF ||P A |最小时，sin ∠P AN 最小， 即∠P AN 最小，即∠P AF 最大，此时，P A 为抛物线的切线，设P A 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，所以Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝0，解得k ＝±1，所以∠P AF ＝∠NP A ＝45°， |PF ||P A |＝|PN ||P A |＝cos ∠NP A ＝22，故选B. 7．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝________. 答案 12解析 焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫34，0，方法一 直线AB 的斜率为33， 所以直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34， 即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ，得13x 2－72x ＋316＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.方法二 由抛物线焦点弦的性质可得 |AB |＝2p sin 2θ＝3sin 230°＝12.8．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM →＝MB →，则p ＝________. 答案 2 解析 如图，由AB 的斜率为3， 知∠α＝60°，又AM →＝MB →， ∴M 为AB 的中点．过点B 作BP 垂直准线l 于点P ， 则∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°， ∴|BP |＝12|AB |＝|BM |.∴M 为焦点，即p2＝1，∴p ＝2.9．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝________. 答案 6解析 抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)， 准线方程为x ＝－2.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意，c ＝2，c a ＝12，可得a ＝4，b 2＝16－4＝12. 故椭圆方程为x 216＋y 212＝1.把x ＝－2代入椭圆方程，解得y ＝±3. 从而|AB |＝6.*10.设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是________________． 答案 (2,4) 解析 如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2， 两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．当l 的斜率k 不存在时，符合条件的直线l 必有两条． 当k 存在时，x 1≠x 2， 则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2，又y 1＋y 2＝2y 0，所以y 0k ＝2. 由CM ⊥AB ，得k ·y 0－0x 0－5＝－1，即y 0k ＝5－x 0，因此2＝5－x 0，x 0＝3， 即M 必在直线x ＝3上．将x ＝3代入y 2＝4x ， 得y 2＝12，则有－23<y 0<2 3.因为点M 在圆上，所以(x 0－5)2＋y 20＝r 2，故r 2＝y 20＋4<12＋4＝16.又y 20＋4>4(为保证有4条，在k 存在时，y 0≠0)， 所以4<r 2<16，即2<r <4.11．(2016·沈阳模拟)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9. (1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值． 解 (1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p2)，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0.所以x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程为y 2＝8x . (2)由于p ＝4，则4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4， 于是y 1＝－22，y 2＝42， 从而B (4,42)．设C (x 3，y 3)， 则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1,42λ－22)．又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.12．设P ，Q 是抛物线y 2＝2px (p >0)上相异两点，P ，Q 到y 轴的距离的积为4，且OP →·OQ →＝0.(1)求该抛物线的标准方程；(2)过点Q 的直线与抛物线的另一交点为R ，与x 轴的交点为T ，且Q 为线段RT 的中点，试求弦PR 长度的最小值． 解 (1)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，∵OP →·OQ →＝0，则x 1x 2＋y 1y 2＝0.又点P ，Q 在抛物线上，∴y 21＝2px 1，y 22＝2px 2， 代入得y 212p ·y 222p＋y 1y 2＝0，y 1y 2＝－4p 2，∴|x 1x 2|＝(y 1y 2)24p 2＝4p 2.又|x 1x 2|＝4， ∴4p 2＝4，p ＝1，∴抛物线的标准方程为y 2＝2x .(2)设直线PQ 过点E (a,0)且方程为x ＝my ＋a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋a ，y 2＝2x ，消去x 得y 2－2my －2a ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2a ，① 设直线PR 与x 轴交于点M (b,0)， 则可设直线PR 的方程为x ＝ny ＋b ， 并设R (x 3，y 3)，同理可知，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 3＝2n ，y 1y 3＝－2b ，② 由①②可得y 3y 2＝b a.由题意得，Q 为线段RT 的中点， ∴y 3＝2y 2，∴b ＝2a .又由(1)知，y 1y 2＝－4，代入①， 可得－2a ＝－4，∴a ＝2， ∴b ＝4，y 1y 3＝－8， ∴|PR |＝1＋n 2|y 1－y 3| ＝1＋n 2·(y 1＋y 3)2－4y 1y 3 ＝21＋n 2·n 2＋8≥4 2.当n ＝0，即直线PR 垂直于x 轴时， |PR |取最小值4 2.*13.如图，由部分抛物线：y 2＝mx ＋1(m >0，x ≥0)和半圆x 2＋y 2＝r 2(x ≤0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C ”，若“黄金抛物线C ”经过点(3,2)和(－12，32)．(1)求“黄金抛物线C ”的方程；(2)设P (0,1)和Q (0，－1)，过点P 作直线l 与“黄金抛物线C ”相交于A ，P ，B 三点，问是否存在这样的直线l ，使得QP 平分∠AQB ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 解 (1)∵“黄金抛物线C ”过点(3,2)和(－12，32)，∴r 2＝(－12)2＋(32)2＝1,4＝3m ＋1，∴m ＝1.∴“黄金抛物线C ”的方程为y 2＝x ＋1(x ≥0)和x 2＋y 2＝1(x ≤0)．(2)假设存在这样的直线l ，使得QP 平分∠AQB ，显然直线l 的斜率存在且不为0，设直线l ：y ＝kx ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝x ＋1，消去y ，得k 2x 2＋(2k －1)x ＝0，∴x B ＝1－2k k 2，y B ＝1－kk， 即B (1－2k k 2，1－kk )，∴k BQ ＝k1－2k， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 2＝1，消去y ，得(k 2＋1)x 2＋2kx ＝0，∴x A ＝－2k k 2＋1，y A ＝1－k 2k 2＋1，即A (－2kk 2＋1，1－k 2k 2＋1)，∴k AQ ＝－1k，∵QP 平分∠AQB ，∴k AQ ＋k BQ ＝0， ∴k 1－2k －1k＝0，解得k ＝－1±2， 由图形可得k ＝－1－2应舍去，∴k ＝2－1， ∴存在直线l ：y ＝(2－1)x ＋1，使得QP 平分∠AQB .。