矩阵论、数值分析复习_2015

n
0是相应的特征值，即
T 0 , 0, 那么 可由B的线性表出：
xi i Bx, x [ x1 , x2 xn ]T ,
i 1
可推得
Ax 0 x.
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例
求T的特征值和特征向量。
P2 (t ) 的线性变换T的定义为 d Tp(t ) p (t ) (t 1) p (t ), dt
a11
a 21 det(I n A) a n1 a12 an2 a1n a2n
a 22
a nn
是λ的 n 次多项式
f () det(I n A) n b1n1 bn1 bn .
求由 B1 到 B2 的变换矩阵P.
解
1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 P, 0 1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 0 1 2 1 1 0 0 1 1 1 0 . P 1 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2
解 取 P2 (t )的一个基 B {1, t , t 2 }, 则T在B下的 1 1 0 . 矩阵是 A 0 2 2 0 0 3 A的特征值是 1 1, 2 2, 3 3, 相应的特征向量
分别为 k1[1 0 0]T , k 2 [11 0]T , k3 [1 2 1]T . 因此，T的特征
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将 j ,1 j n 按顺序排列,并使用矩阵记号,则得
p11 p 21 [ 1 2 n ] [ 1 2 n ] pn 1 p12 p22 p1n p2 n . pnn
pn 2
简记为 其中 n 阶方阵
求 W1 W2 及W1 W2 的基和维数。 解 W W span{ 1, 2 ,3 , 4}.但由于 1 2 且 1, 2 , 3 线性无关，所以 维数公式（*）给出
4 1 2 3 ,
3 2 9 2 5 2
W1 W2 的一个基为
{1 [1 2 1 0]T , 2 [1 1 1 1]T ,3 [2 1 0 1]T }, dim(W1 W2 ) 3.
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如果把
则有 T j ,1 j n 按顺序排列，并使用矩阵记号，
a12 a22 am 2 a1n a2 n . amn
a11 a [T1T 2 T n ] [ 1 2 m ] 21 am1
为了简化记法和便于运算，令 那么上式可简写为 其中
W1 W2 .
W1
W1 W2
W1 W2 W1 W2 的充分必要条件是下列条件
（1）
W1 W2 {0};
（2） 若1 2 0, i Wi (i 1,2),则1 2 0; （3） dim(W1 W2 ) dimW1 dim W2 . 例 设{1 , 2 , 3 , 4 } 是 R4的一个基， V1 span{21 2 ,1}， V2 span{ 3 4 ,1 4 }，证明：R 4 V1 V2
B B P
P [ pij ]称为由基
B 到 B 的变换矩阵
(或过渡矩阵).显然,基变换矩阵P中的第j个列向量
Pj p1 j

p2 j pnj

T
就是 B 中第j个基向量
j
3
在基 B 下的坐标.
例 已知
R 3 的两个基是
1 1 0 1 0 1 , 0 , 1 , B 0, 0, 1 , B1 1 2 1 1 1 1 1 1
dim(W1 W2 ) dimW1 dimW2 dim(W1 W2 ) 1.
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为了求 W1 W2 的基，设 知，存在
W1 W2 ，则由 W1
k1 , k 2 使 k11 k2 2 ，又由 W2 知，存在
k 3 , k 4 使 k33 k4 4 因而， k1 , k 2 , k3 , k 4 应满足方程。
小多项式 m A ( ) 的根。 证 设 0 是A的特征值，ｘ0是相应的特征向量，则有
0 mA ( A) x0 mA (0 ) x0 , x0 0,
故 mA (0 ) 0 ，即 0 是 m A ( ) 的根。
反之，若 0 是 m A ( ) 的根，那么由于 m A ( ) 可整除A的 特征多项式 f ( )，故 0 必是特征多项式的根，即 0 是 A 的特征值。
3
1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 O, 但 ( A 3I )( A 2 I ) 0 0 2 1 1 1 0 0 2 1 2 2
即
k11 k2 2 k33 k4 4 ,
k11 k2 2 k3 (3 ) k4 ( 4 ) 0.
用矩阵表示则为
1 1 2 1 k1 2 1 1 k 1 2 0 1 1 0 3 k3 0 1 1 7 k4
矩阵论复习
一、线性空间（子空间）的基与维数的求法、直和的概念
二、两个基之间过渡矩阵的求法
三、线性变换的概念及其矩阵表示 线性变换的特征值、特征向量的计算 四、特征多项式与最小多项式、Cayley-Hamilton定理 的简单应用 五、会求可逆矩阵将方阵化为Jordan标准型 六、向量与矩阵的范数、条件数的概念与计算 七、矩阵的三角分解
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V n 到V m的变换T 称为线性的，如果对任意的 数 k及V n中的任意向量 , , 恒有
T ( ) T T , T (k ) kT .
定义
记 T V m ,则称 为在T下的像， 称为 的原像。 特别，当T是 V n 到自身的一个线性变换，则称T是
V n 的线性变换。
设T是 V n 到V m 的线性变换，在
V n 和V m 中分别取基
B {1,2 ,n }和B {1, 2 ,m}, 则 a j 的像
Ta j (1 j n) 可由基 B 唯一地线性表出：
a1 j a m 2j T j aij i [ 1 2 m ] i 1 amj
TBa [T1T2 Tn ],
m n 矩阵
TB B A,
a12 a 22 am2
（1.2-1）
a11 a A 21 a m1
a1n a 2n . a mn
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（1.2-1）式叫做T的矩阵表示，称A为T在基偶 {B , B } 下的矩阵。
解得
[k1k2k3k4 ]T c[3 9 5 2]T ,
其中c为任意非零实数，从而
c(31 92 ) c[12 3 6 9]T .
因此，W1 W2 span{[12 3 6 9]T }, 即[4 1 2 3]T 是 W1 W2 的一个基。
R4
定义 若 W1 W2 中任一向量只能唯一地分解为 中的一个向量与 W2 中的一个向量之和，则 称为 W1 ,W2 的直和，记为 定理 的之一满足：
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定理
例
0是A 的特征值的充分必要条件是 0是A 的最小多项式
求
2 1 0 2 A 1 1 2 4
m A ( ) 的根。
的最小多项式。
解 由于 det(I A) ( 3)( 2) 所以A的最小多项式只能 有下列三种可能： ( 3)( 2); ( 3)( 2) 2 ; ( 3)( 2) 3
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定义
V n 中给定顺序的n个线性无关向量
所成的向量组称为
V n 的一个基
1 , 2 ,, n
(或基底), 记为B = 定理 设B是
i (1 i n) 称为第i个基向量.
{1 , 2 ,, n } .B 中的向量
V n的一个基,则Vn中任一向量都
可由B 唯一表示。 B {1 , 2 ,, n }, B {1 , 2 ,, n }是 V n 的两个基,则每个 j (1 j n) 都可由 B 线性表出: p1 j p n 2j j pij i [ 1 , 2 , , n ] , j 1,2, , n. i 1 p nj
则f (A)=O,即A 的特征多项式是A 的一个零化多项式.
定义 A的零化多项式中，次数最低的首一多项式称为 A的最小多项式 m A ( ) 可整除A的任何零化多项式
A的最小多项式，记为 m A ( ) 。 定理
g ( ) , 且 m A ( ) 是唯一的。
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定理
0 是A 的特征值的充分必要条件是 0是A 的最
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1
故
定理 设 W1 ,W2 是V的两个子空间，则
例
dim(W1 W2 ) dim(W1 W2 ) dim W1 dim W2 .
R 4 中的两个子空间是
W1 span{ a1 [1 2 1 0]T , a2 [1 1 1 1]T },
W2 span{ a3 [2 1 0 1]T , a4 [1 1 3 7]T },
f () det(I n A) n b1n1 bn1 bn
称为T的特征多项式，于是T的特征值就是T的特征多项式的根。
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为了求出T的特征值和特征向量，在 V n 中取一个基
B {1 , 2 ,, n }，且设T在B下的矩阵是A。 如果