第三章 计算力学习题
简明理论力学第三章例题作业
平衡稳定性分析
平衡稳定性是指物体在平衡状态 下受到微小扰动后恢复到原平衡 状态的能力。
•·
平衡稳定性分析主要通过研究物
体的势能和动能来确定。
分析物体在平衡状态下受到微小 扰动后的稳定性。
如果势能曲线在平衡点附近是凸 的，则该平衡是稳定的；如果是 凹的，则是不稳定的。
04
动量与动量守恒
动量与冲量
三角形法则
三角形法则是一种更直观的力的 合成方法，通过将两个力首尾相 接，形成一个三角形，合力方向 沿三角形第三边的方向。
力的分解
正交分解法
正交分解法是一种常用的力的分解方 法，将力分解为相互垂直的两个分力 ，便于计算和解决实际问题。
余弦定理
余弦定理是一种解决力的分解问题的 数学工具，通过余弦定理可以求出分 力的具体数值。
动量守恒定律
动量守恒定律表述为
在没有外力作用或合外力为零 的系统中，系统的总动量保持 不变。
适用范围
适用于封闭系统，不受外力或 合外力为零的情况。
实例
碰撞、火箭发射、行星运动等 。
05
角动量与角动量守恒
角动量
01
02
03
定义
角动量是描述物体绕固定 点旋转运动的物理量，等 于物体质量、速度和到旋 转轴的距离的乘积。
力矩是力和力臂的乘积，表示力对物体转动效果的量度。力矩的公 式为M=FL，其中F为力，L为力臂。
力偶
力偶是两个大小相等、方向相反且作用线平行的力，其作用效果使 物体产生旋转运动。力偶的公式为M=(F1-F2)d，其中F1和F2为作 用在物体上的两个力，d为两力之间的距离。
力的合成
平行四边形法则
力的合成遵循平行四边形法则， 即两个力的合力等于以这两个力 为邻边的平行四边形的对角线。
初三物理力学计算练习题
初三物理力学计算练习题题目一：力的计算1.一个物体的质量是5kg，受到的作用力是10N，求物体的加速度。
解析：根据牛顿第二定律可知：F = m * a其中，F表示作用力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
将已知数据带入公式：10N = 5kg * a解得：a = 2m/s²2.一个物体的质量是2kg，受到的作用力是20N，求物体的加速度。
解析：根据牛顿第二定律可知：F = m * a将已知数据带入公式：20N = 2kg * a解得：a = 10m/s²3.一个物体的质量是10kg，受到的作用力是50N，求物体的加速度。
解析：根据牛顿第二定律可知：F = m * a将已知数据带入公式：50N = 10kg * a解得：a = 5m/s²题目二：力的合成与分解1.有两个力分别为10N和20N，它们的合力大小是多少？解析：合力即为根据平行四边形法则绘制得到的对角线的长度，可以通过三角形法则计算：设两个力大小分别为F₁和F₂，合力大小为F₃，合力与力F₁的夹角为θ。
根据三角形法则可得：F₃² = F₁² + F₂² + 2F₁F₂cosθ已知F₁ = 10N，F₂ = 20N，角度θ为180°（因为两个力同向），代入计算得：F₃² = 10² + 20² + 2 * 10 * 20 * cos(180°)F₃² = 100 + 400 + 400F₃² = 900F₃ = 30N2.有两个力分别为15N和25N，它们的合力大小是多少？解析：根据同样的计算方法，代入已知数据进行计算：F₃² = 15² + 25² + 2 * 15 * 25 * cos(180°)F₃² = 225 + 625 + 750F₃² = 1600F₃ = 40N3.有两个力分别为12N和18N，它们的合力大小是多少？解析：同样地，代入已知数据进行计算：F₃² = 12² + 18² + 2 * 12 * 18 * cos(180°)F₃² = 144 + 324 + 432F₃² = 900F₃ = 30N题目三：斜面上的物体1.质量为20kg的物体放在一个倾斜角度为30°的斜面上，斜面的摩擦系数为0.1，求物体沿斜面下滑的加速度。
《建筑力学习题》-结构位移计算
第三章 静定结构的位移计算一、判断题：1、虚位移原理等价于变形协调条件，可用于求体系的位移。
2、按虚力原理所建立的虚功方程等价于几何方程。
3、在非荷载因素(支座移动、温度变化、材料收缩等)作用下，静定结构不产生内力，但会有位移且位移只与杆件相对刚度有关。
4、求图示梁铰C 左侧截面的转角时，其虚拟状态应取：A.;; B.D.C.=15、功的互等、位移互等、反力互等和位移反力互等的四个定理仅适用于线性变形体系。
6、已知M p 、M k 图，用图乘法求位移的结果为：()/()ωω1122y y EI +。
M k M p 21y 1y 2**ωω( a )M =17、图a 、b 两种状态中，粱的转角ϕ与竖向位移δ间的关系为：δ=ϕ 。
8、图示桁架各杆E A 相同，结点A 和结点B 的竖向位移均为零。
9、图示桁架各杆EA =常数，由于荷载P 是反对称性质的，故结点B 的竖向位移等于零。
二、计算题：10、求图示结构铰A两侧截面的相对转角ϕA，EI = 常数。
q11、求图示静定梁D端的竖向位移∆DV。
EI = 常数，a = 2m 。
10kN/m12、求图示结构E点的竖向位移。
EI = 常数。
q13、图示结构，EI=常数，M=⋅90kN m, P = 30kN。
求D点的竖向位移。
P14、求图示刚架B端的竖向位移。
q15、求图示刚架结点C的转角和水平位移，EI = 常数。
q16、求图示刚架中Ｄ点的竖向位移。
EI ＝ 常数 。
l/217、求图示刚架横梁中Ｄ点的竖向位移。
EI ＝ 常数 。
18、求图示刚架中D 点的竖向位移。
E I = 常数 。
ql l l/219、求图示结构Ａ、Ｂ两截面的相对转角，EI ＝ 常数 。
l/23l/320、求图示结构A 、B 两点的相对水平位移，E I = 常数。
21、求图示结构B 点的竖向位移，EI = 常数 。
l l22、图示结构充满水后，求A 、B 两点的相对水平位移。
E I = 常数 ，垂直纸面取1 m 宽，水比重近似值取10 kN / m 3。
计算固体力学第三章_1
8. 可处理大变形和非线形材料带来的非线形问题.
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3 协调模型分析
1. 建立协调模型的一般方法
大部分有限单元,都是根据虚功原理, 或由它导出的能量 原理建立的, 这类单元统称为“协调模型”或“相容模 型”（Conforming model)。
每个节点有三个转动 分量和三个位移分量.
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如图1.4, 用120个节点和297个平面应变三角形单 元模拟. 将对称性应用于整个杆端的一半. 此分析 的目的是找出杆端应力集中最高的位置.
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有限元法无论对什么样的结构（杆系，平面，三维， 板壳）分析过程是一样的，一般为：
有限元法基本步骤:
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有限元法基本步骤
将物体划分为具体有相关节点的等价系统,选择最适当 的单元类型来最接近的模拟实际的物理性能. 所用的单元总 数和给顶物体内单元大小和类型的变化是需要工程判断的 主要问题. 单元必须小到可以给出有用的结果,又必须足够大以节省 计算费用.
一点的位移列阵： 一点的应变列阵：
一点的应力列阵：
一点的体积力列阵： 一点的表面力列阵：
边界外法线方向余弦矩阵：
其中：
平衡方程：（内力与体积力的关系方程）
写成矩阵形式：
其中
A - 微分算子矩阵
几何方程：(应变与位移的关系方程)
写成矩阵形式：
物理方程（应力与应变的关系方程)
计算力学大作
以下确定 Q(y)，和 R(x)； 将 u，V 代入 exy 表达式得
PLx PLx 2 dQ( y) vPy 2 dR( x) (1 v) P h 2 ( y2 ) EJ 2 EJ dy 2 EJ dx EJ 4
再分别对 x 和 y 求导并积分有
Q( y )
vPy 3 (1 v) Py 3 (1 v) Pyh 2 Ay B 6 EJ 3EJ 4 EJ PLx 2 Px3 R( x) Ax C 2 EJ 6 EJ
{
联立解得：
c1 2P h3
c2 0
c3
3P 2h
c4
P 2
故： 有上式求解应力：
A
P y y3 ( L x)(1 3 4 3 ) 2 h h
X
2 A P( L x) y y 2 J
{ 利用广义 Hooked 定律
eij
2 A y 0 x 2 2 A P h2 xy ( y2 ) yx 2J 4
目录
计算力学大作业 ......................................................................................................... 1 一． 解析部分 ................................................................................................... 1 二． 数值计算结果 ............................................................................................ 4 第一组： ..................................................................................................... 4 第二组 ......................................................................................................... 8 第三组 ......................................................................................................... 9 第四组 ....................................................................................................... 10 三． COMSOL 计算 .......................................................................................... 11 1x16 网格................................................................................................... 11 1x20 网格................................................................................................... 13 Finer 网格（由 COMSOL 自动生成） ....................................................... 14 较短梁讨论 ....................................................................................................... 15
力学第二版习题答案第三章
第三章基本知识小结⒈牛顿运动定律适用于惯性系、质点，牛顿第二定律是核心。
矢量式：22dtr d m dt v d m a m F=== 分量式：（弧坐标）（直角坐标）ρτττ2,,,vm ma F dt dv mma F ma F ma F ma F n n z z y y x x =======⒉动量定理适用于惯性系、质点、质点系。
导数形式：dt pd F =微分形式：p d dt F=积分形式：p dt F I∆==⎰)( （注意分量式的运用）⒊动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系。
若作用于质点或质点系的外力的矢量和始终为零，则质点或质点系的动量保持不变。
即∑==恒矢量。
则，若外p F0 （注意分量式的运用）⒋在非惯性系中，考虑相应的惯性力，也可应用以上规律解题。
在直线加速参考系中：0*a m f-=在转动参考系中：ωω⨯=='2,*2*mv f r m f k c⒌质心和质心运动定理 ⑴∑∑∑===i i c i i c i i ca m a m v m v m r m r m⑵∑=c a m F（注意分量式的运用）3.5.1 质量为2kg 的质点的运动学方程为j t t i t r ˆ)133(ˆ)16(22+++-= （单位：米，秒）， 求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。
解：∵j i dt r d a ˆ6ˆ12/22+== , j ia m F ˆ12ˆ24+== 为一与时间无关的恒矢量，∴质点受恒力而运动。
F=(242+122)1/2=125N ，力与x 轴之间夹角为：'34265.0/︒===arctg F arctgF x y α3.5.2 质量为m 的质点在o-xy 平面内运动，质点的运动学方程为：j t b i t a r ˆsin ˆcos ωω+= ，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。
证明：∵rj t b i t a dt r d a2222)ˆsin ˆcos (/ωωωω-=+-==r m a m F2ω-==, ∴作用于质点的合力总指向原点。
计算力学试题答案
计算力学试题答案一、选择题1. 计算力学中，下列哪个方法常用于求解结构的静态响应？A. 有限元法B. 边界元法C. 有限差分法D. 谱方法答案：A2. 在材料力学中，弹性模量的定义是：A. 应力与应变的比值B. 应变与应力的比值C. 应力与变形的比值D. 变形与应力的比值答案：A3. 下列哪种材料在受力时表现出塑性变形？A. 弹性材料B. 塑性材料C. 粘弹性材料D. 脆性材料答案：B4. 在动力学问题中，阻尼力通常与什么参数有关？A. 速度B. 位移C. 力的大小D. 时间答案：A5. 根据牛顿第二定律，力与加速度的关系是：A. 力等于质量与加速度的乘积B. 力等于质量与速度的乘积C. 力等于加速度与时间的乘积D. 力等于速度与时间的乘积答案：A二、填空题1. 在平面应力问题中，最大应位移发生在距离________最远的点。
答案：载荷点2. 根据能量守恒原理，当一个系统的总势能减少时，其________能会增加。
答案：动3. 材料的泊松比是指在单轴拉伸时，横向应变与________应变的比值。
答案：纵向4. 在结构动力学中，自然频率是指结构在无阻尼情况下的________频率。
答案：固有5. 根据虚功原理，当一个力对一个位移的虚功等于零时，该位移可以是系统的一个________。
答案：振型三、简答题1. 请简述有限元法的基本思想及其在工程中的应用。
答：有限元法是一种数值分析工具，通过将连续体划分为有限数量的单元，并在每个单元内假设位移的近似函数，建立整个结构的方程系统。
该方法在工程中广泛应用于结构分析、热传导、流体力学等领域，能够有效处理复杂的几何形状和边界条件问题。
2. 描述材料的屈服准则，并举例说明其在工程设计中的重要性。
答：屈服准则是描述材料从弹性状态过渡到塑性状态的条件。
常用的屈服准则包括冯·米塞斯准则和特雷斯准则。
在工程设计中，了解和应用屈服准则对于确保结构在预期载荷下的安全性至关重要，可以避免因材料屈服导致的结构破坏。
结构力学(王焕定第三版)教材习题第三章答案全解——哈工大老师提供
结构力学(王焕定第三版)教材习题答案全解第三章习题答案3-1 (a) 答：由图（a ）、（b ）可知结构对称（水平反力为零）荷载对称，因此内力对称。
所以可只对一半进行积分然后乘以 2 来得到位移。
如图示F P R (1−cos θ)M P = θ∈[0,π/2]；M =R sin θ θ∈[0,π/2]2 代入位移计算公式可得M P M1 π2 M P M2 π2 F P R (1−cos θ)∆Bx = ∑∫ EId s = 2⋅ EI ∫0EI R d θ= EI ∫02 R sin θR d θ=F P R 3 =(→)2EI3-1 (b) 答： 如图（a ）、（b ）可建立如下荷载及单位弯矩方程EIBARRF P( a )1pR ∆Bx =∑∫ MEIM d s =∫0π2 MEI P M R d θ= q EI 4∫0π2(1−2cos θ+cos 2 θ)R d θqR 4 ⎡ θ 1⎤3π⎞ qR 4= EI ×⎢θ−2sin θ+ 2 + 4sin2θ⎥⎦0 =⎝⎜ 4 − 2⎠⎟ 2EI (→)2 ⎣3-2 答：作M P 图和单位力弯矩图如下图： 由此可得内力方程根据题意EI (x ) = EI (l + x )代入位移公式积分可得 2 2 P 0s i n ( ) d (1 c o s ) (1 c o s ) q M R q R M R θθ α α θθ − = = − = − ∫AqRBα θ1( a ) θ( b )ABlq 03 0 p 6 x q M M xl = = xP M 图2 0 6q l1lM 图 x5 83 82l 代入位移公式并积分（查积分表）可得M P M l 2 q0x4∆Bx =∑∫ EI d x =∫0 6EI(l + x) d x7q0l40.07 ql4= (ln 2−)× = (→)123EI EI3-3 答：分别作出荷载引起的轴力和单位力引起的轴力如下图所示：由此可得C 点的竖向为移为：F NP F N1F NP F N1 ∆Cy =∑∫EA d s=∑ EA l =65112.5 kN× ×6 m+2×(62.5 kN× ×5 m+125 kN× ×5 m+75 kN× ×6 m)= 88EA=8.485×10−4 m当求CD 和CE 杆之间的夹角改变使：施加如图所示单位广义力并求作出F N2 图，则F∆=∑∫ F NP EA F N2 ds =∑ NP EAF N2 l2×62.5 kN ×(−0.15)×5 m +(−112.5 kN)×0.25×6 m =EA=−1.4×10−4 rad( 夹角减小）3-4 （a）答：先作出M p和M 如右图所示。
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一简述题
1如图所示一三角形钢板，两个结点固定，对第三个结点施以单位水平位移，测出所施加的力，从而得出相应的刚度系数。
其他点依此类推，这样测得的刚度系数所组成的刚度矩阵，是否与按照常规三角形单元刚度矩阵计算公式所得结果一样？用这样实测所得的刚度矩阵能否进行有限元分析？为什么？
2以位移为基本未知量的有限元法其解具有下限性质，试证明之。
3 请分别阐述单元刚度矩阵和整体刚度矩阵中任一元素的物理意义。
4 简述虚功原理，且使用虚功原理导出外荷载与节点荷载的等效关系式。
5试述弹性力学中按位移求解与有限单元法中按位移求解之间的异同点。
6 如果三节点三角形单元绕其中某一个节点作小的刚体转动，其转角为 ，证明单元内所有的应力均为零。
7二维单元在x,y坐标内平面平移到不同位置，单元刚度矩阵相同吗？在平面内旋转时又怎样？试证明之。
二分析计算题
1 判断有限元网格离散合理性
a) 对图1(a)所示的有限元网格，评论网格的优劣性，指出模型中的错误，并加以改正。
b) 评论图1(b)的网格划分合理吗?为什么?请加以改正。
图1
2 如图2所示，平面三角形构件以x-y坐标系表示的刚度矩阵方程如下：
图3
⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢
⎣⎡------221122
114
5.25
.25
.25
.25.25.25.45.25.20.55.283.15.283.15.21010y x y x y x y x P P P P v u v u
试建立以1x u ,1y u ,,
2x u (与图中,
2x P 同向的位移)及1x P ,1y P ,,
2x P 来表示的刚度矩阵方程。
3 某平面结构采用四节点矩形单元和三节点三角形单元建立有限元计算模型，其如图3所示。
试求结点2的等效荷载列阵{}2R 。
4 试求如图4所示的有限元网格的整体刚度矩阵，假设每个节点的自由度数为1，且设e K 表示第e 个单元的单元刚度矩阵（注意：结果应该用e
ij
k 表示）。
图2
图5
图6
5. 图5中两个三角形单元组成平行四边形，已知单元①按局部编码i ，j ，m 的单元刚度矩阵K ①和应力矩阵S ①是
K ①
=⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-----------5.53
5
.95.135
.1335.795
.134612616
6
26608称
对
S ①=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛- 1.50.5
-1.5
-5
.10
2103040
030300
－－－ 按图5示单元②的局部编码写出K ②，S ②。
5 如图6所示8结点矩形单元(每边中点为结点), 3点为坐标原点，a=b=2，单元厚为t 。
○
1 求该单元的位移函数和形函数和并检验其是否满足收敛性条件。
○2 求在2-6-3边作用均布水平荷载q 时的等效结点荷载。
图4。