22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(第三课时)
（2） y =-3( x -1)2-2
开口向下
对称轴是x=1
顶点是（1，-2） （4） y =-5( x +2)2-6 开口向下 对称轴是x=-2 顶点是（-2，-6）
拓展 将二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)配方为y＝a(x-h)2+k的形式.
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 另 h=k=-
a＞ 0
a ＜0
图象
h＞0
h＜0 h＞0 h＜0 开口向下 开口向上 a的绝对值越大，开口越小 直线x＝h (h,0) 顶点是最低点 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 顶点是最高点 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
开口
对称性 顶点 增减性
知识汇总 函数 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 a的符号 开口方向 a＞0 a＜0 a＞0 a＜0 a＞0 a＜0 向上 向下 向上 向下 向上 对称轴 顶点坐标 最值
x= － 1 1 2 1 2 向左平移1 1 2 向下平移1 y ( x 1 ) 1 y x y ( x 1) 2 个单位 个单位 2 2
平移方法2:
相同点: （1）图像都是抛物线, 形状相同, 开口方向相同. （2）都是轴对称图形. （3）顶点都是最高点. （4）在对称轴左侧,都随 x 的增大而增大,
在对称轴右侧,都随 x 的增大而减小
（5）它们的增长速度相同. 不同点: （1）对称轴不同. （2）顶点不同. （3）最小值不相同.
在同一坐标系中作出下列二次函数: y= y= x2
y=
（x-2）2
（x-2）2+1
观察三条抛物线的相互关系,并 分别指出它们的开口方向,对称 轴及顶点. y= x2 向右平移2 y= 个单位
8
6 4 2
y=2(x－2)2＋4就可以通过平移 y=2x2得到，如演示所示
－4
－2
O
2
4
练一练 1.某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一 天可售出约100件，该店想通过降低售价、增加销售量的办 法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低1 元，其销售量可增加约10件. （1）请表示出商品降价x元与利润y元之间的关系？ （2）将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？ 最大利润是多少？
简记为“上加下减，左加右减”.
例题
1 2 y ( x 1 ) 1 的图像.指出它的开口方向、 例3.画出函数 2顶点与对称轴Fra bibliotek 先列表 x …
解:
-4
-3
-2
-1
0
1
2
…
1 y ( x 1) 2 1 … 2
-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 …
k＞0时，y=ax² 向上平移k个单位 k<0时，y=ax² 向下平移|k|个单位
2.填表
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 （0,0） （0,1）
y 2x
2
开口向上
开口向上 开口向上
直线x=0
直线x=1 直线x=-1
y 2( x 1)2
y 2( x 1) 2
(-1, 0)
(h,0) . 直线x=h 顶点坐标_____ 二次函数y=a(x-h)²对称轴为________, h＞0时，y=ax² 向右平移h个单位 h＜0时, y=ax² 向左平移|h|个单位 y=a(x-h)² ； y=a(x-h)².
二次函数y=ax2+k的性质 y＝ax2 +k a＞0 y x a＜ 0 y x 开口向下 y轴
图象 开口向上
开口 对称轴 顶点 增减性
a的绝对值越大，开口越小
顶点坐标是原点（0，k）
x=0时,y小 =k 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 x=0时,y大 =k
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
二次函数y＝a(x-h)2的性质 y＝a(x-h)2
4. 抛物线的顶点为(3,5) 此抛物线的解析式可设为( B A. y=a(x+3)2+5 C. y=a(x-3)2-5 B. y=a(x-3)2+5 D. y=a(x+3)2-5
5.抛物线c1的解析式为y=2(x-1)2+3抛物线c2与抛物线c1关于
x轴对称,请直接写出抛物线c2的解析式 y=-2(x-1)2-3 .
开口方向
对称轴
顶点坐标 ( -3,5 ) ( 1,-2 ) ( 3 ,7 ) ( 2,-6 )
向上
向下 向上 向下
对称轴 直线 x=-3
直线x=1 直线x=3 直线x=2
例4. 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管， 在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中 心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池 中心3m，水管应多长？ 解：如图建立直角坐标系，点（1，3）是图中这段抛物线 的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数是 y = a( x －1 )2 ＋3 (0≤x≤3). 由这段抛物线经过点（3，0）可得 3 A 2 2 0＝a(3－1) ＋3. 解得 a= 1
7.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m 的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平 距离x（m）满足关系式y=a（x-6）2+h．已知球网与O点的水平 距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m． （1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值 范围）; （2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由; （3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．
第二十二章 二次函数
22.1.3二次函数y=a（x-h)2+k 的图象和性质 (第三课时）
一.复习引入 二次函数y=ax2的性质
y＝ax2 a＞0 y x a＜0 y x
图象
开口
对称轴 顶点 增减性
开口向下 开口向上 a的绝对值越大，开口越小 y轴
顶点坐标是原点（0，0） x=0时,y小 =0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 x=0时,y大 =0 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
2.指出下面函数的开口方向，对称轴，顶点坐标，最值. （1）y=2(x+3)2+5 （3）y=-3(x-1)2-2 （2）y=4(x-3)2+7 （4）y=-5(x+2)2-6 )
3.对称轴是直线x=-2的抛物线是( C
A y=-2x2-2
C y=(x+2)2-2
B
y=2x2-2
D y=-5(x-2)2-6 )
1 2 y ( x 1 ) 1 抛物线 2
的开口向下,
对称轴是直线x=－1,
顶点是(－1, －1).
x -5 -4 -3 -2-1 O 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 y 1 ( x 1) 2 1
2
1 2 （2）抛物线 y ( x 1) 1 2
6.二次函数y=a(x-m)2+2m,无论m为何实数,图象的顶点
必在( D )上
A.直线y=-2x上 C.y轴上 B.x轴上 D.直线y=2x上
7.对于抛物线y=a(x-3)2+b其中a＞0,b 为常数,点( , y1 ) 点( ,y2)点(8,y3)在该抛物线上，则y1,y2,y3的大小 关系 y3＞y1＞y2 .
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5
x
向上平移1 2 （x-2）
个单位
y=
（x-2）2+1
顶点(0,0)
向右平移2 向上平移1 个单位 顶点(2,0) 个单位 顶点(2,1) 直线x=2
对称轴:y轴 向右平移2 直线x=2 即直线: x=0 个单位
有什么关系?
1 2 y x 2
1
y x
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 -1 平移方法1: 1 y ( x 1) 2 1 -2 2 -3 -4 1 2 向下平移1 1 2 y x y x 1 -5 个单位 2 2 -6 -7 向左平移1 y 1 ( x 1) 2 1 -8 2 个单位 -9 -10
直线x=0 （0 ，0） y最小=0 直线x=0 （0 ，0） y最大=0 直线x=0 （0 ，k） y最小=k 直线x=0 （0 ，k） y最大=k 直线x=h （h ，0） y最小=0 直线x=h （h ，0） y最大=0
向下
二次函数y=ax2+k和y=a(x-h)2的图象与y=ax2的图象 形状 相同，只是 位置 不同， y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象沿 对称轴上下 平移得到,平移规律：___________; 上加下减 x轴左右平移得到，平 y=a(x-h)2的图象可由y=ax2的图象沿________ 左加右减 . 移规律是_________
再描点 后连线.
解:
先列表
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
1 y ( x 1) 2 1 … 2
-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 …
再描点、连线 讨论
1 y ( x 1) 2 1 （1）抛物线 2
直线x=-1
1 y
的开口方向、对称轴、顶点?
各种形式的二次函数的关系 左 右 平 移
y = a( x - h )2 + k
上 下 平 移
y = ax2 + k
上下平移
y = a(x - h )2
左右平移
y=
ax2
《二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质》二次函数PPT课件(第3课时)
设抛物线解析式为y=ax2+k.由题意得
B（9, 0），C（8, 1.7）.
把B、C两点的坐标代入y=ax2+k，得
0=81a＋k , 1.7 64a＋k ,
解得
a= 0.1, h 8.1.
∴y=-0.1x2+8.1,∴h=k=8.1,即大门高8.1m.
点拔:此题还可以以AB所在直线为x轴,A点或B点为原点, 建立平面直角坐标系,求得抛物线的解析式，进而得出顶 点坐标,顶点的纵坐标即为h的值.
2
抛物线 y 1 (x 1)2 1 ？
2
平移方法：
y
1
y 1 x2 2
1
个 单 位
向 下 平 移
y 1 (x 1)2 1 2
向左平移 1个单位
y 1 x2 1 2
-5 -4 -3 -2 -1-1 O1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
-7
-8
-9
y 1 (x 1)2 1
-10
链接中考
1.抛物线y=3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（ A ）
A．（1，1）
B．（﹣1，1）
C．（﹣1，﹣1）
D．（1，﹣1）
2.将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下
平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ A ）
A．y=﹣5（x+1）2﹣1 B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1
C．y=﹣5（x+1）2+3
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 第3课时
-.
导入新知
22_1_3 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质【人教九上数学学霸听课笔记】
应 用
则抛物线的顶点坐标是(4,3),
故可设抛物线的函数解析式为
y＝a(x－4)2＋3. ∵抛物线经过点(0,53),∴53＝a(0－4)2＋3,解得 a＝－112, ∴抛物线的函数解析式为 y＝－112(x－4)2＋3. 令 y＝0,得－112(x－4)2＋3＝0,
探 究
解得x1＝10,x2＝－2(不合题意,舍去).
探 感悟
究 与
实际问题中建立合适坐标系的重要性
应 用
在用二次函数建模方法解决实际问题时,建立不同的坐标系,
会得到不同的函数模型,比如例3中取水管与地面的交点为
原点,和取喷水头为原点建立坐标系之后,得到的函数解析
式会不同,我们可根据实际情况以计算简便为主选取合适的
坐标系.
探 究
练习 如图 J22－1－1,一名男生站在地面上的点 O 处推铅球,铅
应
用
探 究
练习 函数y＝4(x＋1)2－2的图象是由函数y＝4x2的图象如
与 何平移得到的?
应
用 解：将函数y＝4x2的图象先向左平移1个单位长度,再向下平移2
个单位长度得到函数y＝4(x＋1)2－2的图象.(平移方法不唯一)
探 目标三 能用二次函数y＝a(x－h)2＋k解决简单的实际问题
究 与
应 用
因为点(1,3)是图中这段抛物线的顶点,
所以可设这段抛物线对应的函数解析式
是y＝a(x－1)2＋3(0≤x≤3).
由这段抛物线经过点(3,0),可得 0＝a(3－1)2＋3,解得 a＝－34. 因此 y＝－34(x－1)2＋3(0≤x≤3). 当 x＝0 时,y＝－34×(0－1)2＋3＝2.25,即水管应 2.25 m 长.
1 个单位长度得到抛物线 y＝－12(x
22.1.3 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质说课稿
22.1.3 第3课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质教学设计【典型例题】例1对二次函数y＝－5(x＋2)2－6的说法错误的是(C)A.开口向下B．最大值为－6C.顶点(2，－6) D．x＜－2时，y随x的增大而增大例2如何平移二次函数y＝4(x＋3)2－7的图象，可得到二次函数y＝4x2的图象？解：二次函数y＝4(x＋3)2－7的图象向右平移3个单位长度，向上平移7个单位长度即可得到二次函数y＝4x2的图象.例3要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3 m，如图所示，水管应多长？解：水管应长2.25 m.教师为学生理解问题、顺利解答问题，进行分层次设问：(1)分析该题的突破口是什么？(2)如何建立平面直角坐标系？(3)你能求出该抛物线的函数解析式吗？(4)根据解析式你能求出水管的长度吗？学生思考讨论，小组合作探究，教师进行点拨指导，进行板书过程. 【变式训练】1.抛物线y＝a(x＋k)2＋k(k≠0)，当k取不同的值时，抛物线的顶点恒在(B)A.直线y＝x上B．直线y＝－x上C．x轴上 D．y轴上2.对于抛物线y＝－(x＋2)2＋3，下列结论中正确的有(A)【课堂检测】1.二次函数y ＝2(x －2)2－1的图象大致是(A)A B C D2.在平面直角坐标系中，对于二次函数y ＝(x －2)2＋1，下列说法中错误的是(C) A.y 的最小值为1B.图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x ＝2C.当x ＜2时，y 的值随x 值的增大而增大，当x ≥2时，y 的值随x 值的增大而减小D.当x ＜2时，y 的值随x 值的增大而减小，当x ≥2时，y 的值随x 值的增大而增大3.把二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后，得到二次函数y ＝12(x ＋1)2－1的图象.(1)试确定a ，h ，k 的值.(2)指出二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.解：(1)a ＝12，h ＝1，k ＝－5.(2)开口向上，对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为(1，－5). 学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.。
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质第1课时二次函数y＝ax2＋k的图象和性质教学目标1．能解释二次函数y＝ax2＋k和y＝ax2的图象的位置关系．2．掌握y＝ax2上、下平移规律．3．体会图形的变化与图形上的点的坐标变化之间的关系，领悟y＝ax2与y＝ax2＋k相互转化的过程．教学重难点重点：抛物线y＝ax2＋k的图象与性质．难点：理解抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k之间的位置关系．教学过程与方法知识点一：y＝ax2＋k的图象1．回顾与思考(5分钟)(1)回顾：抛物线y＝x2和y＝－x2的图象和性质及它们之间的关系．(2)思考：y＝x2＋1，y＝x2－1的图象怎样？它们与y＝x2之间又有怎样的关系呢？2．自主学习(15分)(1)参照教材P32例2的填表、描点．(2)讨论①抛物线y＝x2＋1，y＝x2－1的开口方向、对称轴、顶点各是什么？②抛物线y＝x2＋1，y＝x2－1与抛物线y＝x2有什么位置关系？(3)归纳与交流①把抛物线y＝x2向__上__平移__1__个单位，就得到抛物线y＝x2＋1，把抛物线y＝x2向__下__平移__1__个单位，就得到抛物线y＝x2－1.②一般情况：当k>0，把抛物线y＝ax2向__上__平移__k__个单位，可得y＝ax2＋k；当k<0时，把抛物线y＝ax2向__下__平移__|k|或－k__个单位，可得y＝ax2＋k.③y＝ax2＋k的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值分别是什么？解：a＞0时，开口向上，对称轴是y轴，顶点(0，k)，最小值为k.a＜0时，开口向下，对称轴是y轴，顶点(0，k)，最大值为k.知识点二：y＝ax2＋k的性质3．合作与探究(5分钟)(1)抛物线y＝ax2＋k与y＝ax2的图象的异同点是什么？(2)抛物线y＝ax2＋k与y＝ax2的增减性又是怎样？4．课堂小结(5分钟)1．二次函数y＝ax2＋k的图象和性质(包括开口方向、对称轴、顶点坐标)．2．抛物线y＝ax2＋k与y＝ax2之间的联系与区别(包括平移、开口、对称轴、顶点等)．处理方法：可以让学生围绕这两个问题先小结，然后教师进行补充或强调．5．独立作业(15分钟)(1)必做题：P33练习．(2)选做题：习题22.1第5题(1)．(3)备用题：①二次函数y ＝ax 2＋k 的图象经过点A (1，－3)，B (－2，－6)，求这个二次函数的解析式． 解：该二次函数的解析式为：y ＝－x 2－2.②已知二次函数y ＝－2x 2＋3，当x 取何值时，y 随x 的增大而增大；当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？解：当x <0时，y 随x 的增大而增大；当x >0时，y 随x 的增大而减小．③二次函数y ＝ax 2＋k (a ，k 为常数)，当x 取值x 1、x 2时(x 1≠x 2)，函数值相等，则当x 取x 1＋x 2时，函数值为__0__．④函数y ＝ax 2－a 与y ＝a x(a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能为( A )第2课时 二次函数y ＝a (x －h )2的图象和性质教学目标1．会用描点法画二次函数y ＝a (x －h )2的图象．2．理解抛物线y ＝a (x －h )2与y ＝ax 2之间的位置关系．3．在图象的平移过程中，渗透变与不变的辩证思想．教学重难点重点：二次函数y ＝a (x －h )2的图象和性质．难点：把握抛物线y ＝ax 2通过平移后得到y ＝a (x －h )2时平移的方向和距离．教学过程与方法1．师生互动，提出问题(3分钟)(1)抛物线y ＝－12x 2＋3与y ＝－12x 2的位置有什么关系？ (2)抛物线y ＝－12x 2＋3的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？ 2．探究新知(10分钟)知识点一：y ＝a (x －h )2的图象和性质(1)在同一坐标系中画出二次函数y ＝－12x 2、y ＝－12(x ＋1)2、y ＝－12(x －1)2的图象． ①列表时怎样取值才能使抛物线具有对称性？②这三条抛物线的对称轴、顶点坐标分别是什么？③这三条抛物线能否经过相互的平移得到？怎样平移？3．交流探究：教材P 34～P 35(5分钟)4．归纳总结(5分钟)抛物线y ＝a (x －h )2与抛物线y ＝ax 2的形状相同，只是位置不同，它可以由抛物线y ＝ax 2平移得到：当h >0时，向右平移h 个单位，当h <0时，向左平移|h |个单位，它的对称轴是直线x ＝h ，顶点坐标为(h ，0)．知识点二：y ＝a (x －h )2的性质5．讨论(5分钟)(1)a >0，开口__向上__，当x ＝__h __时，函数y 有最__小__值＝__0__，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而__减小__，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而__增大__．(2)a <0，开口__向下__，当x ＝__h __时，函数y 有最__大__值＝__0__，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而__增大__，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而__减小__．6．课堂练习(3分钟)(1)抛物线y ＝2(x ＋1)2可以由抛物线__y ＝2x 2__向__左__平移1个单位得到．(2)抛物线y ＝－23(x －4)2可以由抛物线__y ＝－23x 2__向右平移__4__个单位得到． (3)已知二次函数y ＝－13(x －2)2，说出函数图象的对称轴和顶点及最值、增减性． 解：二次函数y ＝－13(x －2)2的对称轴为x ＝2，顶点为(2，0)，有最大值0.当x <0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小．7．课堂小结(3分钟)(1)抛物线y＝a(x－h)2与y＝ax2的关系．(2)抛物线y＝a(x－h)2的对称轴、顶点．(3)平移规律：“左加右减”．(4)你还有哪些困惑和收获？8．独立作业(11分钟)(1)必做题：习题22.1第5题(2)．(2)备用题：①已知抛物线y＝a(x＋h)2的顶点是(－3，0)，它是由抛物线y＝－4x2平移得到的，则a ＝__－4__，h＝__3__．②把抛物线y＝(x＋1)2向__右__平移__4__个单位后得到抛物线y＝(x－3)2.③把抛物线y＝x2＋mx＋n向左平移4个单位，得到抛物线y＝(x－1)2，则m＝__－10__，n＝__25__．第3课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质教学目标1．会用描点法画出二次函数y ＝a (x －h )2＋k (a 、h 、k 是常数，a ≠0)的图象，掌握抛物线y ＝a (x －h )2＋k 与y ＝ax 2的图象之间的关系，熟练掌握函数y ＝a (x －h )2＋k 的有关性质，并能用函数y ＝a (x －h )2＋k 的性质解决一些实际问题．2．经历探索y ＝a (x －h )2＋k 的图象及性质的过程，体验y ＝a (x －h )2＋k 与y ＝ax 2、y ＝ax 2＋k 、y ＝a (x －h )2之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．3．通过观察函数的图象，归纳函数的性质等活动，感受学习数学的价值．教学重难点重点：二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k 的性质．难点：教材P 36例4的解答需要选取合适的坐标系，有一定的难度，是本节教学的难点． 教学过程与方法1．回顾与思考(3分钟)我们已经学习了形如y ＝ax 2，y ＝ax 2＋k ，y ＝a (x －h )2的函数，知道了它们可以经过互相平移得到．二次函数y ＝a (x －h )2＋k 又是一条怎样的抛物线呢？它与这三条抛物线之间有什么关系？知识点一：y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质2．合作与探究：教材P 35例3(15分钟)(1)在同一坐标系内，画出二次函数y ＝－12x 2，y ＝－12x 2－1，y ＝－12(x ＋1)2－1的图象． 处理方法：师生一起完成列表，再由学生画出图象，如图．(2)指出y ＝－12(x ＋1)2－1的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性． (3)y ＝－12(x ＋1)2－1可以由y ＝－12x 2怎样平移而得到？ (4)归纳：y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质及由y ＝ax 2平移得到函数图象的规律．知识点二：y ＝a (x －h )2＋k 的实际运用3．解决问题，交流思想(16分钟)(1)读懂教材P 36例4题意．(2)怎样建立平面直角坐标系？(3)怎样才能与二次函数联系起来？4．课堂练习：教材P 37练习(3分钟)5．课堂小结(4分钟)(1)本节课我们学习了哪些内容？引导学生从以下几个方面去回顾：①二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的性质；②抛物线y ＝a (x －h )2＋k 与y ＝ax 2的平移关系；③选取坐标系的方法．(2)谈一谈你的收获或困惑．6．独立作业(10分钟)(1)必做题：习题22.1第5题(3)，第7题(1)．(2)备用题：已知y ＝a (x －h )2＋k 是由抛物线y ＝－12x 2向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线．①求出a 、h 、k 的值；②在同一坐标系中，画出y ＝a (x －h )2＋k 与y ＝－12x 2的图象； ③观察y ＝a (x －h )2＋k 的图象，当x 取何值时，y 随x 的增大而增大；当x 取何值时，y 随x 的增大而减小，并求出函数的最值；④观察y ＝a (x －h )2＋k 的图象，你能说出对于一切x 的值，函数y 的取值范围吗？解：①a ＝－12，h ＝1，k ＝2 ②图略 ③当x <1时，y 随x 的增大而增大；当x >1时，y 随x 的增大而减小；当x ＝1时，函数有最大值2 ④对于一切x 的值y ≤2.。
九年级数学上册第二十二章二次函数22.1二次函数的图象和性质22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第
教材分析之前学生已经学过一次函数、反比例函数的图像和性质，以及会建立二次函数的模型和理解二次函数的图像相关概念和性质基础之上进行的。
是前面知识的应用和拓展，又为今后学习二次函数的应用及一元二次方程与二次函数之间的关系作预备。
充分体现了数形结合的思想，因此本课无论在知识上还是培养学生动手能力上都起了很大的作用。
学生已经会了上一节的二次函数图像及性质。
课标要求会用描点法画出二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质。
学情分析可能有些学生对二次函数还不理解，甚至还不会描点法画出函数图像，看图能力差，不能类比一次函数的一些观察图像的方法来学习二次函数的图像。
不能从图中获取相关的信息。
由于放假的原因，学生对上下平移和左右平移的知识有很多淡忘，所以完成本节知识在理解方面会有难点。
教学目标知识目标：让学生经历二次函数y＝a(x－h)2+k性质探究的过程，理解函数y＝a(x－h)2+k的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2+k的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系能力目标：通过画图象独立去探索交流图象的性质培养分析解决问题的能力。
能说出二次函数y ＝a(x－h)2+k的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系。
情意目标：在学习中体会知识之间的联系，体会知识的发生发展过程和知识体系。
教学重点：会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2+k的图象，理解二次函数y＝a(x－h)2+k的性质。
能说出顶点坐标。
教学难点：理解二次函数y＝a(x－h)2+k的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2+k的图象与二次函数y＝ax2关系。
教学手段导学案教学方法问答法、练习法、讨论法教学过程1、创设情境：:（组织方法）复习两个上下平移及左右平移的二次数学图像，对照图像说出开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、性质。
详见导学案。
解决哪些教学目标：在学习中体会知识之间的联系，体会知识的发生发展过程和知识体系。
学生可能出现的困难：忘记或混淆上下平移和左右平移。
22.1.3 二次函数的y=a(x-h)2+k的图像和性质2024-2025学年人教版数学九年级上册
的解析式为 = −. − ，则=____
(3) 若抛物线 = + 的最小值为 4，且经过点(1，5)，
则该抛物线的解析式是_________，将此抛物线向下平移
3
= +
= +
个单位，得到的新的抛物线的解析式是__________.
课堂小结
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
第3课时 二次函数的
= ( − ) +的图像和性质
第1节 二次函数 = + 的图像和性质
第2节 二次函数 = ( − ) 的图象和性质
第3节 二次函数 = ( − ) +的图象和性质
九年级上册•人教版
学习目标
中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁,轴表示桥面,轴经过中
间抛物线的最高点,左右两条抛物线关于轴对称.经过测算,中间抛
物线的函数解析式为 =
−
+ .
你能计算出中间抛物线的最高点离轴的高度吗?
O
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x
获取新知
例1
在同一直角坐标系中，通过画出二次函数 = + ，
1 x2
y
;把抛物线
2 向右 平移 1 个单位就
得到抛物线y - 12（x-1）
2
(
− )
平移
的图象还可以由抛物线
2
个单位得到.
y
O
-4
-2
2
y - 1（x-1）
2
2
4 x
-2
2
y - 1（x+1）
2
-4
-6
-8
22.1.3二次函数第三课时教案
人教版数学九年级上22.1.3二次函数y=a（x-h）2+k的图像和性质教学设计图象上下平移的口诀：k 值正上移，负下移. (3)归纳与总结：通过对二次函数 y = 2x 2 + 1， y = 2x 2 - 1 的探究，你能说出二次函数 y = ax 2 + k （a ＞0）的图象特征和性质吗？ 一般地，当 a ＞0 时，抛物线 y = ax 2 + k 的对称轴是 y 轴，顶点是（0，k ），开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小．当 x ＜0 时， y 随 x 的增大而减小，当 x ＞0 时， y 随 x 的增大而增大．当 a ＜0 时，抛物线 y = ax 2 + k 的对称轴是 y 轴，顶点是（0，k ），开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越小，抛物线的开口越小．当 x ＜0 时， y 随 x 的增大而增大，当 x ＞0 时， y 随 x 的增大而减小．完成相应练习2. 类比探究二次函数y=a(x-h)2的图象和性质画出二次函数y=-2，y=-2，y=-2的图象，并探究它们的图象特征和性质。
(1)自主学习：参照教材P33-34“探究”的填表、描点、画图。
(2)讨论：①观察y ＝－21(x ＋1)2，y ＝－21(x －1)2的图象，分别指出他们的开口方向、对称轴、顶点。
抛物线y ＝－21(x ＋1)2的开口向下，对称轴是经过点(－1，0)且与x 轴垂直的直线，把它记作x ＝－1，顶点是(－1，系,总结出二次函数y = ax 2+ k 的图象性质。
教师引导学生根据画函数图象的步骤画出函数的图象，交流合作，各组选派代表发表意见用从特殊到一般的学习方法，还培养了学生的交流沟通能力、总结归纳能力。
0)；抛物线y ＝－21(x －1)2的开口向下，对称轴是x ＝1，顶点是(1，0)．②y=-2，y=-2与抛物线y=-2有什么关系？归纳：抛物线y ＝a(x －h)2与抛物线y ＝ax 2有什么关系？抛物线y ＝a(x －h)2与y ＝ax 2形状相同，位置不同． 当h ＞0时，把抛物线y ＝ax 2向右平移h 个单位，可以得到抛物线y ＝a(x －h)2；当h ＜0时，把抛物线y ＝ax 2向左平移∣h ∣个单位，可以得到抛物线y ＝a(x －h)2．图象左右平移的口诀：h 值正右移，负左移.(3)归纳与总结： y=a(x-h)2的图像性质：a>0,开口向____,当x=___时,函数y 有最___值=____,在对称轴的左侧,y 随x 的增大而____,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而____.a<0,开口向____,当x=____时,函数y 有最___值=____,在对称轴的左侧,y 随x 的增大而____,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而_____.完成相应练习3. 类比探究二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(1)自主学习：学生观察所画的函数图象，互相交流、探讨，再让学生发表各自的见解，教师补充完善。
人教版九年级数学上册22、1、3二次函数y=a(x-h)2 k的图像和性质 教案
二次函数y＝ax2＋k的图像性质教学设计【教学目标】知识与能力: 1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋k的图象,掌握它的图象特征，并会总结它的性质。
2、理解二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2的的图像和性质的异同，能用平移的方法解决图象间关系。
过程与方法：经历操作、研究、归纳和总结二次函数y＝ax2＋k的图像性质及它与函数y＝ax2的关系，让学生进一步体尝试去发现二次函数的图象特征；体会其性质；渗透由特殊到一般的辩证唯物主义观点和数形结合的数学思想，培养观察能力和分析问题、解决问题的能力。
情感态度与价值观：1、培养学生探索、观察、发现的良好品质以及克服困难的毅力，并学会归纳总结自己的结论，体会成功的喜悦，加强继续学习的兴趣。
2、通过细心画图，培养学生严谨细致的学习态度。
【教学重难点】教学重点：会用描点法画出二次函数y＝ax2＋k的图象，理解二次函数y＝ax2＋k 的图象性质。
教学难点：理解抛物线y＝ax2＋k与抛物线y＝ax2的之间的位置关系【教法学法分析】数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，感受数学的自然美。
为了更好地体现在课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，在本节课的教学过程中，将紧紧围绕教师组织——启发引导，学生探究——交流发现，组织开展教学活动。
为此设计了4个环节：（一）复习回顾——引入新课；（二）自主探究，合作交流——发现规律；（三）当堂训练——检查自我。
（四）课堂小结——深化巩固；这四个环节环环相扣、层层深入，注重关注整个过程和全体学生，充分调动了学生的参与性。
【教学过程】（一）复习回顾，引入新课回顾二次函数y＝ax2的图象和性质设计意图：此环节通过对前一节所学内容的复习，让学生回忆如何根据函数关系式的特征，判定函数y=ax2的图像特征，为进一步探索y=ax2+k的图像特征作铺垫，从而引入本节新课。
《22二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》课件九年级数学人教版上册
例1 画出函数
的图像.
括号内左加右减.
上下平移 y = ax2 左右平移
二次项系数a不变.
练一练
1.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到?
由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的.
2.如果一条抛物线的形状与 y 1 x2 2形状相同，且 3
y = a( x - h ) + k 已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)．
左 怎样移动抛物线 就可以得到抛物线
？
上
简记为：
y = a( x - h )2 + k
右 下 上下平移， 在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管 平 平 应多长?
∵函数y＝(x－1)2－4的图象的对称轴是经过点(1，－4)，且平行于y轴的直线，
已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)．
讲授新课
一 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
探究归纳
对称轴是直线x=-1;
例1 画出函数 顶点坐标是(-1,-2)
y=
(x－1)2＋3 (0≤x≤3)
顶点坐标是（4，-2），试求这个函数关系式.
y 1 (x 4)2 2 3
当堂练习
1.完成下列表格: 二次函数
y=2(x+3)2+5 y=－3(x－1)2－2 y = 4(x－3)2＋7 y=－5(2－x)2－6
开口方向 对称轴 顶点坐标
向上 向下 向上
直线x=－3 直线x=1 直线x=3
22.1.3 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
坐标及增减性等；
2．掌握二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象的平移规律． 课堂导入
一个运动员打高尔夫球，如果球的飞行高度 y(m)与水平距离 x(m)之间的函数
解析式为 y＝－510(x－25)2＋12，那么高尔夫球飞行过程中的最大高度是多少？
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第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
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第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
(3)当 y＝1.5 时，1.5＝－34(x－1)2＋3， 解得 x1＝1＋ 2，x2＝1－ 2， 故当 0<m<1＋ 2时，才不会淋湿衣裳．
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第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
8．[2018·湘潭]如图 22-1-16，点 P 为抛物线 y＝14x2 上的一动点．
后的铅球沿一段抛物线轨迹运行，当运行到最高 3 m 时，水平距离为 4 m.
(1)求这个二次函数的解析式． (2)该同学把铅球推出去多远？ 图 22-1-14
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第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
解：(1)设二次函数的解析式为 y＝a(x－4)2＋3， 把(0,0.6)代入，得 0.6＝a(0－4)2＋3，a＝－230， ∴y＝－230(x－4)2＋3. (2)当 y＝0 时，0＝－230(x－4)2＋3， 解得 x1＝4＋2 5，x2＝4－2 5(舍去)． 答：该同学把铅球推出去(4＋2 5) m.
2．[2017·金华]对于二次函数 y＝－(x－1)2＋2 的图象与性质，下列说法正确的 是( B )
A．对称轴是直线 x＝1，最小值是 2 B．对称轴是直线 x＝1，最大值是 2 C．对称轴是直线 x＝－1，最小值是 2 D．对称轴是直线 x＝－1，最大值是 2