北师大版数学八下5.4《分式方程(第一课时)》 教案

分式方程
第一课时
一、教学目标：
（1）通过对实际问题的分析，感受分式方程刻画现实世界的有效模型的意义.
（2）通过观察，归纳分式方程的概念.
（3）体会分式方程到整式方程的转化思想．
（4）掌握分式方程的解法
二、教学重点：
掌握分式方程的概念和分式方程的解法.
三、教学难点：
利用分式的基本性质、等式的基本性质将等式方程转化为一元一次方程去解，并体会两者的联系与区别.
四、教学过程:
（一）回顾与思考
1. 什么叫做一元一次方程?
只含有一个未知数，并且未知数的指数为1，这样的方程叫做一元一次方程.
2. 下列方程哪些是一元一次方程?
(1)3x-5=3 (2)x+2y=5 5)3(2=−x x 15
13)4(=+−x x
3.解一元一次方程的步骤有哪些？
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 4. 请解方程： 解： 去分母，得 5x-3(x+1)=15
去括号，得 5x-3x-3=15
移项，得 5x-3x=15+3
合并同类项， 得 2x=18
系数化为1，得 x=9
经检验：x=9是原方程的根.
15
13=+−x x
（二）新知探究
1．小麦实验田问题
有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000kg 和15000kg.已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg ，分别求出这两块试验田每公顷的产量.
你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
（1）第一块面积=第二块面积，
（2）每公顷的产量土地面积
总产量=
（3）第一块实验田每公顷的产量=+kg 3000第二块试验田每公顷的产量
如果设第一块实验田每公顷的产量为xkg ，那么第二块试验田每公顷的产量是（x+3000）kg.
根据题意，可得方程：
2.高速公路问题 从甲地到乙地有两条长路：一条是全长600km 的普通公路，另一条是全长480km 的高速公路.某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45h km /，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间.
这一问题中有哪些等量关系？
如果设客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间为
xh ，那么它由普通公路从甲地到乙地所需的时间为2x h .
根据题意，可得方程
452600480=−x
x 3.捐款问题
（这个题目不要求学生讨论.让学生独立完成.）
为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园.某学校号召同学们自愿捐款.已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，
3000150009000+=x x
而且两次人均捐款恰好相等.如果设第一次捐款人数为x 人，那么x 满足怎样的方程？(20
50004800+=x x ) 讨论：
上面的问题中出现了方程:
， ， 它们有什么共同特点？(这些方程的分母中都含有未知数.) 归纳：
分式方程的定义：
分母中含有未知数的方程叫做分式方程（fractionai equation).
我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不出现在分母中.
随堂练习：
1.下列关于x 的方程中,其中哪几个是分式方程?
2.下列方程中哪些是分式方程？
（三）再探新知——分式方程的解法
1.探究： 你能求出前面问题中所列的方程 的解吗？请类比刚才解方程 的步骤试一试. 解：去分母，方程两边同乘x(x+3000)得
9000（x+3000)=15000x
去括号，得
3000150009000+=x x 45
2600480=−x x 2050004800+=x x 12131)1
(=−−+x x x a x =+−22)2(11
)1()3(2
=−−x x 2112)4(=−+x x 0
312)3(432)2(3312)1(=−+=−+=−x •x
x x x 1)6(11)5(14943423)4(2==−−−=++y x •x x •x x x x •3000150009000+=x x 15
1
3=+−x x
9000x+27000000=15000x
移项，得
9000x-15000x=-27000000
合并同类项，得
-6000x=-27000000
系数化为1，得
x=4500
经检验：x=4500是原方程的根.
2.思考：根据解方程过程总结解分式方程一般需要经过哪几步？
①.转化（去分母）：分式方程化为整式方程
②.求解：解整式方程
③.检验：检验由这个整式方程所得的根是不是原方程的根.
④.写根
3.归纳：
上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母. 例1 解方程x
x 321=− 解：方程两边都乘以x(x-2),得
x=3(x-2)
解这个方程，得
x=3
检验：将x=3带入原方程，得
左边=1=右边
所以，x=3是原方程的根.
例2 解方程452600480=−x
x （两种解法） 解： 方程两边都乘以2x ，得
960-600=90x
解这个方程，得
x=4
检验：将x=4代入原方程，得
左边=45=右边
所以，x=4是原方程的根.
解法2： 原方程可化为：
32032=−x
x 方程两边都乘以x ，得
32-20=3x
解这个方程，得 x=4
检验：将x=4代入原方程，得
左边=45=右边
所以，x=4是原方程的根.
4.议一议：
解分式方程 22121−−=−−x x x 时，小亮的解为2=x ，他的答案正确吗？ 答：不正确， x=2不是原方程的根，因为它使得原方程的分母为零.
5.归纳：
①使得原方程的分母为零的根，我们称它为原方程的增根.产生增根的原因是，我们在等号的两边同乘了一个可能使分母为零的整式．所以解分式方程必须检验．
②验根的方法：
解分式方程进行检验的关键是：看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零.有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式（即最简公分母），看它的值是否为零.如果为零，则为增根；如果不为零，则为原方程的根.
补充例题：
例3 解方程 4
1622222−=−+−+−x x x x x 解：方程两边同乘以（x+2)(x-2) ，得
()()16222
2=+−−x x 解这个方程，得 x=-2
检验：当 x=-2时， （x+2)(x-2) =0
所以，x=-2是增根，原方程无解.
例4 已知13−x 与1
4+−x 互为相反数，求x 的值. 解： ∵13−x 与 1
4+−x 互为相反数 ∴01
413=+−+−x x 解之，得 x=7
经检验： x=7是原分式方程的根.
∴ x=7
随堂练习：
1.解方程：
2.m 为何值时，方程012=−++x m x m 会产生增根. （四）课堂小结
1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
2.解分式方程的步骤：
转化（去分母）→求解→检验→写根.
3.增根的定义：使得原方程的分母为零的根，我们称它为原方程的增根.
4.产生增根的原因:我们在等号的两边同乘了一个可能使分母为零的整式．
5.验根的方法： 解分式方程进行检验的关键是：看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零. 为了简便起见，也可将它代入所乘的整式（即最简公分母），看它的值是否为零.如果为零，则为增根；如果不为零，则为原方程的根.
（五）布置作业
习题3.6第1、2、3题
习题3.7第1题
x x 413)1(=−1412)2(2−=−x x 423532)3(=−+−x
x x。