赫尔维茨判据
机械工程控制基础 第五章
第五章简介：本章介绍了单输入单输出控制系统稳定性的定义及其判定依据。
对于不同的系统，稳定性的定义不同。
系统的稳定性指标是控制系统设计过程中需要考虑的众多性能指标中最重要的指标,不稳定的系统是无法使用的。
主要包括赫尔维茨判据、劳斯判据、幅角原理、奈奎斯特稳定性判据等概念.重点是赫尔维茨稳定性判据和劳斯稳定性判据及其在系统分析中的应用.难点是应用复变函数的幅角原理推导奈奎斯特稳定性判据和对稳定裕度的理解。
随堂测试：一、知识点名称1：控制系统稳定性的基本概念1。
是保证控制系统正常工作的先决条件。
（）A．稳定性B．快速性C．准确性D．连续性正确答案：A解析：不稳定的系统是无法使用的。
2。
是控制系统最重要的性能指标。
（）A．稳定性B．快速性C．准确性D．连续性正确答案:A解析：稳定性是控制系统最重要的性能指标知识点名称2：单输入单输出控制系统稳定的条件1.单输入单输出控制系统稳定的条件为(）A 特征方程根具有副实部B特征方程根具有副实部C极点位于复平面的右半部D极点位于虚轴上正确答案:A解析：单输入单输出控制系统稳定的充分必要条件为特征方程根全部具有副实部2。
某单位反馈系统的开环传递函数为,则该系统稳定的K值范围为（) A.K〉0 B。
K>1 C。
0〈K<10 D K〉-1正确答案:A解析:其特征方程为,根据二阶螺丝准则和朱里准则，该系统稳定条件为;所以的K的取值范围为K〉0知识点名称3：赫尔维茨稳定性判据1。
赫尔维茨矩阵的各项主子式行列式的值全部为正,是线性系统稳定的条件。
(）A.充分 B 必要C充要 D 即不充分也不必要正确答案:C解析：线性系统稳定的充要条件赫尔维茨矩阵的各项主子式行列式的值全部为正。
2。
如果满足主子式前提下，若所有次顺序赫尔维茨矩阵的主子式为正，则所有次顺序赫尔维茨矩阵的主子式为正。
（）A BC D正确答案：B解析：如果满足条件,若所有奇次顺序赫尔维茨矩阵的主子式为正，则所有偶次顺序赫尔维茨矩阵的主子式必为正；反之亦然。
劳斯-霍尔维茨稳定性判据
第三章控制系统的时域分析法3.2 劳斯-霍尔维茨稳定性判据稳定性是控制系统最重要的问题，也是对系统最基本的要求。
控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。
如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并随时间推移而发散，即使扰动消失了，也不可能恢复原来的平衡状态。
因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是控制理论的基本任务之一。
常用的稳定性分析方法有：1. 劳斯－赫尔维茨（Routh－Hurwitz）判据：这是一种代数判据。
它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，来判断系统的稳定性.2. 根轨迹法：这是一种利用图解来系统特征根的方法。
它是以系统开环传递函数的某一参数为变量化出闭环系统的特征根在S平面的轨迹，从而全面了解闭环系统特征根随该参数的变化情况。
3. 奈魁斯特（Nyquist）判据：这是一种在复变函数理论基础上建立起来的方法。
它根据系统的开环频率特性确定闭环系统的稳定性，同样避免了求解闭环系统特征根的困难。
这一方法在工程上是得到了比较广泛的应用。
4. 李雅普诺夫方法上述几种方法主要适用于线性系统，而李雅普诺夫方法不仅适用于线性系统，也适用于非线性系统。
该方法是根据李雅普诺夫函数的特征来决定系统的稳定性。
一、稳定性的概念稳定性的概念可以通过图3-31所示的方法加以说明。
考虑置于水平面上的圆锥体，其底部朝下时，我们施加一个很小的外力（扰动），圆锥体会稍微产生倾斜，外作用力撤消后，经过若干次摆动，它仍会返回到原来的状态。
而当圆锥体尖部朝下放置时，由于只有一点能使圆锥体保持平衡，所以在受到任何极微小的外力（扰动）后，它就会倾倒，如果没有外力作用，就再也不能回到原来的状态。
因此，系统的稳定性定义为，系统在受到外作用力后，偏离了最初的工作点，而当外作用力消失后，系统能够返回到原来的工作点，则称系统是稳定的。
《赫尔维茨判据》课件
如上所述，通过计算系统的特征值，判断系统的稳定性。
PART 05
赫尔维茨判据的局限性
REPORTING
赫尔维茨判据的假设条件
01
假设系统矩阵A是实对称矩阵 。
02
假设系统矩阵A的所有特征值 都是实数。
03
假设系统矩阵A的所有特征值 都小于0。
赫尔维茨判据的适用范围限制
01
只适用于线性时不变系统，不适用于非线性或时变 系统。
02
只适用于连续时间系统，不适用于离散时间系统。
03
只适用于稳定系统，不适用于不稳定系统。
赫尔维茨判据的局限性分析
01
赫尔维茨判据只能判断系统的稳定性，无法判断系统的性 能和响应特性。
02
赫尔维茨判据的假设条件较为严格，实际应用中很难满足 所有条件。
03
赫尔维茨判据无法处理具有非负特征值的系统，因为其假 设条件要求所有特征值都小于0。
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REPORTING
对未来研究的展望和挑战
随着大数据时代的到来，如何将赫尔维茨判据 应用于大规模数据优化问题，是一个值得研究
的方向。
针对不同领域的问题，需要结合具体情境对赫尔维茨 判据进行改进和优化，以满足实际需求。
随着科技的不断发展，赫尔维茨判据的应用领 域将不断拓展，需要进一步探索其在其他领域 的应用。
未来研究需要进一步深化赫尔维茨判据的理论基 础，提高其在实际应用中的效果和效率。
实例
对于二阶系统，其传递函数为G(s) = (s^2 + 3s + 2)/(s^2 + 2s + 5)，其极点为s=-1和 s=-2，均位于负实轴上，因此该系统是稳定的。
劳思-赫尔维茨稳定判据内容
劳斯-赫尔维茨稳定判据内容劳斯–赫尔维茨稳定性判据（英语：Routh–Hurwitz stability criterion）是控制理论中的一个数学测试，是线性时不变系统（LTI）稳定的充分必要条件。
劳斯测试是由英国数学家爱德华·劳斯在1876年提出的快速算法，可以判断一线性系统其特征多项式的根是否都有负的实部。
德国数学家阿道夫·赫维兹在1895年独立的提出将多项式的系数放到一个方阵中（此方阵称为赫维兹矩阵），证明多项式稳定当且仅当赫维兹矩阵的主要子矩阵其行列式形成的数列均为正值。
二个程序是等价的，而劳斯测试提供一个有效计算赫维兹行列式的方法。
满足劳斯–赫尔维茨稳定性判据的多项式称为赫尔维茨多项式。
详解：此稳定性判据之所以重要，是因为若线性系统之特征方程式的根p均有负的实部，表示其解e为稳定的（BIBO稳定）。
因此稳定性判据提供了方式，可以在不求解线性系统的运动方程的情形下，判断其是否只有稳定解。
对于离散系统，对应稳定性的测试可以由Schur–Cohn判据、Jury稳定性判据及Bistritz稳定性判据来判断。
随着电脑的进步，此稳定性判据变的较少使用，另一种判断的方式则是用数值方法直接求解多项式，得到其解的近似值。
劳斯测试可以由辗转相除法以及在计算柯西指标时用施图姆定理来推导。
赫尔维茨利用另一种方式来推导其稳定性判据。
利用辗转相除法求解：劳斯–赫尔维茨稳定性判据和劳斯–赫尔维茨定理有关。
由定理的陈述，可得其中：1）p为多项式ƒ(z)的根中实部为负值的个数。
2）q为多项式ƒ(z)的根中实部为正值的个数。
（此假设ƒ(z)的根都不在虚轴上）3）w(x)为由施图姆定理得到的变号数（中间利用连续的辗转相除法），其中，y为实数。
根据代数基本定理，每个n次的多项式在复数平面上会有n个根（也就是，对于根都不在虚轴上的ƒ，p+q=n）。
因此可得到ƒ为（稳定的）赫尔维茨多项式当且仅当p−q=n。
系统的稳定性和代数稳定判据
an an2 an4 an6 ... 0 0
0
赫尔维茨行列式： 0
an1 an3 an5 ... 0 0 an an2 an4 ... 0 0
... ... ... ... ... ... ...
0 0 0 0 ... a1 0
0 0 0 0 ... a2 a0 n n
赫尔维茨行列式的构造：主对角线上的各项为特征方程的第二
❖且 a1a2 a3a0 0
15
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
特殊情况下劳斯阵列的列写及结论：
劳斯判据特殊情况
用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结论；
劳斯阵第一列所有系数均不为零，但也不全为正数，则系统 不稳定。表示s右半平面上有极点，右极点个数等于劳斯阵列 第一列系数符号改变的次数。
例如: 1 s5 2s4 24 s3 48s2 25s 50 (s2 1)( s2 25)( s 2) 2 s4 4 (s 1 j)( s 1 j)( s 1 j)( s 1 j)
[处理办法]：可将不为零的最后一行的系数组成辅助方程，将 此辅助方程式对s求导所得方程的系数代替全零的行。大小相等， 位置径向相反的根可以通过求解辅助方程得到。辅助方程应为 偶次数的。
对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以下 描述的代数稳定性判据。
11
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
劳斯判据
二、 劳思—赫尔维茨稳定性判据
（一）、劳思判据
设线性系统的特征方程为
ansn an1sn1 ... a1s a0 0
则该系统稳定的充要条件为：
特征方程的全部系数为正值；
稳定的充要条件和属性
Y1(s)
bmsm bm1sm1 ... b1s b0 sn an1sn1 ... a1s a0
劳思判据和郝尔薇茨稳定判据
s5 + 2s4 +14s3 + 88s2 + 200s + 800 = 0
上式各项系数均为正。 上式各项系数均为正。 列写劳思计算表并计算得
s5 s4 1 2 14 88 200 800
例6.1
设某控制系统如图所示，试确定 为何值时系统稳定 为何值时系统稳定。 设某控制系统如图所示，试确定K为何值时系统稳定。
解：系统的闭环传递函数为
K Xo (s) K s(s + 5)(s +1) = = 3 K Xi (s) 1+ s + 6s2 + 5s + K s(s + 5)(s +1)
6.2.1 劳思判据
劳思判稳准则特殊情况
劳思计算表第一列出现零的情况 因为不能用零作为除数，故第一列出现零时，计算表不能继续排下去。 因为不能用零作为除数，故第一列出现零时，计算表不能继续排下去。为解决该 问题，其办法是用一个小的正数ε代替 进行计算，再令ε→0求极限来判别第一列 代替0进行计算 问题，其办法是用一个小的正数 代替 进行计算，再令 求极限来判别第一列 系数的符号。 系数的符号。 劳思计算表中出现某一行各项全为零的情况 此时，劳思表将在全为零的一行处中断， 此时，劳思表将在全为零的一行处中断，其解决办法是将不为零的最后一行的各 项组成一个“辅助方程式” 将该方程式对s求导数 求导数， 项组成一个“辅助方程式”，将该方程式对 求导数，用求得的各项系数代替原来 为零的各项，然后按劳思计算表的写法继续写完以后各项， 为零的各项，然后按劳思计算表的写法继续写完以后各项，对称根可由辅助方程 求得。 求得。
自动控制原理总结之判断系统稳定性方法
判断系稳定性的方法一、 稳定性判据（时域）1、 赫尔维茨判据系统稳定的充分必要条件：特征方程的各项系数全部为正； 将系统特征方程各项系数排列成如下行列式；当主行列式及其对角线上的各子行列式均大于零时，即00031425313231211>∆>=∆>=∆>=∆-----------n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a Λ则方程无正根，系统稳定。
赫尔维茨稳定判据之行列式直接由系数排列而成，规律简单明确，使用也比较方便，但是对六阶以上的系统，很少应用。
例；若已知系统的特征方程为0516188234=++++s s s s试判断系统是否稳定。
解：系统特征方程的各项系数均为正数。
根据特征方程，列写系统的赫尔维茨行列式。
5181016800518100168=∆由△得各阶子行列式；8690017281685181016801281811680884321>=∆=∆>==∆>==∆>==∆各阶子行列式都大于零，故系统稳定。
2、 劳思判据（1）劳思判据充要条件：A 、系统特征方程的各项系数均大于零，即a i >0；B 、劳思计算表第一列各项符号皆相同。
满足上述条件则系统稳定，否则系统不稳定，各项符号变化的次数就是不稳定根的数目。
（2）劳思计算表的求法：A 、列写劳思阵列，并将系统特征方程的系数按如下形式排列成列首两行，即：111212432134321275311642w s v s u u s c c c c s b b b b s a a a a s a a a a s n n n n n n n n n n n n MM MMMMΛΛΛΛ----------B 、计算劳思表Λ176131541213211-------------=-=-=n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a b a a a a a b a a a a a b系数b i 的计算要一直进行到其余的b i 值都等于零为止。
Hurwitz判据
(t ) xi (t ) b(t )
E ( s ) X i ( s ) B( s ) X i ( s ) X o ( s ) H ( s )
Xi(s) + E(S) - B(S) H(s) G(s) Xo(s)
输出为希望值时，即
xor (t ) xo (t ) X o ( s) X or ( s ) E1 ( s) 0 ( E1 ( s)为误差e(t )的Laplace 变换) 此时应该有E ( s)＝（ 0 E ( s )不起调节作用） E ( s) X i ( s)－X o ( s) H ( s ) X i ( s)－X or ( s ) H ( s ) 0 X i ( s )＝X o ( s ) H ( s) X i ( s) X i ( s ) X or ( s) H ( s) X or ( s ) H ( s)
a1 0 ＝a0 2 0
即：稳定条件为： 2 0
Hurwitz判据
应用
– 已知特征方程即可确定系统稳定性，也可用 来确定个别参数对系统稳定性的影响。 – 例题
结构不稳定系统及其改进措施
结构不稳定系统及其改进措施
– 1、仅靠调整参数无法稳定的系统称结构不 稳定系统。 – 2、改进措施
an 1 an 3
Hurwitz判据
列写方法：
– 以对角线上各系数为基础，自an-1起，至a0 止，每行的对角线系数为基准，向右下标依 次下降，向左依次上升。
判据：
– 系统稳定的充要条件为：当ai>0时，主行列 式Δn及其对角线各行列式Δ1 、 Δ2 、… Δn-1 具有正值。
Hurwitz判据
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若系统特征方程式为 ansn＋an-1sn-1＋…＋a1s＋a0= 0 赫尔维茨判据为：系统稳定的必要和充分条件是an>0的 情况下，对角线上所有子行列式（如表中横竖线所隔）Δi (i=1，2，…,n)均大于零。 赫尔维茨行列式由特征方程的系数按下述规则构成：主 对角线上为特征方程式自an-1至a0的系数，每行以主对角线 上的系数为准，若向左，系数的注脚号码依次下降；若向右， 系数的注脚号码则依次上升。注脚号码若大于n或小于零时， 此系数为零。 当n较大时，应用赫尔维茨判据比较麻烦，故它常应用于n较 小的场合。
7 1 2 90 0 8 14
所以系统是稳定的。
0 a3
a12 a a 0
a3 4 a1 0 0
a4 a2 a0 0
0 a3 a1 0
0 a4 a2 a0 a0 3 0
所以，稳定条件是特征方程式所有系数为正数，还要 Δ3>0 。 例设系统特征方程式为 s3 + 7s2 + 14s + 8 = 0 试用赫尔维茨判据判别系统的稳定性。 解 从特征方程式看出所有系数为正数，满足稳定的必要条件。 下面计算赫尔维茨行列式
1. 当n=1，特征方程式为
a1s a0 0
稳定条件为a1>0，Δ1= a0＞０，即要求系统特征方程的所 有系数为正数。 2. 当n=2，特征方程式为
稳定条件为a 2 ＞０，
a2 s 2 a1s a0 0
1 a1 0
2
a1 a2 0 a0
a1a0 0
即只要特征方程的所有系数为正数，系统总是稳定的。
4. 当n=4，特征方程式为
a4 s4 a3s3 a2 s2 a1s a0 0
稳定条件为 a4>0，Δ1= a3＞0，
2
a3 a1
a4 a2
a4 a2 a0
a2 a3 a1a4 0
a3 a3 a1 a1 a1
2 0 3
a3 3 a1 0
0
a3 a4 a0 a2 a2
3. 当n=3，特征方程式为 稳定条件为
a3s3 a2 s2 a1s a0 0
a3>0，Δ1= a2＞0；
2 a2 a0
a2 3 a0 0
a3 a1
a3 a1 0
a1a2 a0 a3 0
0 a2 a0 2 0 a0
即要求所有系数为正数，而且还需Δ2＞0。