奈奎斯特稳定判据
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奈奎斯特稳定性判据
(c)(2k1)180
时，可应用对数频率特性稳定性判据，判定系统的 稳定性。基于Bode图和基于Nyquist图的两种稳定性 判据是一致的，只是坐标系不同而已。 负反馈闭环系统，位于右半s平面极点的个数为
(3)
二、对数频率特性稳定性判据
式中：P —开环传递函数位于右半s平面极点的个 数；
—N 相 频特性曲线正穿越次数。在 L() 0 对应的频率范围内， 自下(而) 上穿越 (2k线1的)次18数0 ，其中自下而上起 始于或终止于该线的次数，折半计算； N —相频特性曲线负穿越次数。在 L() 0 对应的频率范围内， (自 )上而下穿越 (2k1)线18的0次数，其中自上而下起 始于或终止于该线的次数，折半计算；
【2 开环对数频率曲线(Bode图)的绘制】
1 思路：将复杂的 G(s)H(s)分解为典型环节的串联
G (s) G 1 (s)G 2 (s)G 3 (s).G .k .(s.)..
L ( () ) 2 G l( G 0 g j(j )H ) ( H j(j ) ) G 2 1 l G 0 g G 1 2 2 l G 0 g G 2k 2lG 0 g k
Z —闭环传递函数，位于右半s平面极点的 个数，即特征方程位于右半s平面根的 个数。
一、奈奎斯特稳定性判据
【3 奈奎斯特稳定性判据】
由式（1）可知：系统渐近稳定的充分必要条件是 (2)
由式（1）还可知：渐近稳定的必要条件是 N ；N 发散不稳定的充分条件是 N 。N 当开环频率特性通过[GH]平面上点时，且当曲线 在点 (1, 左j0)右作微小移动时，会使系统由渐近 稳定变成发散不稳定，或会使系统由发散不稳定 变成渐近稳定，系统称为临界稳定。
三、例题详解
【解答】 首先将各点的坐标改写成
时，可应用对数频率特性稳定性判据，判定系统的 稳定性。基于Bode图和基于Nyquist图的两种稳定性 判据是一致的，只是坐标系不同而已。 负反馈闭环系统，位于右半s平面极点的个数为
(3)
二、对数频率特性稳定性判据
式中：P —开环传递函数位于右半s平面极点的个 数；
—N 相 频特性曲线正穿越次数。在 L() 0 对应的频率范围内， 自下(而) 上穿越 (2k线1的)次18数0 ，其中自下而上起 始于或终止于该线的次数，折半计算； N —相频特性曲线负穿越次数。在 L() 0 对应的频率范围内， (自 )上而下穿越 (2k1)线18的0次数，其中自上而下起 始于或终止于该线的次数，折半计算；
【2 开环对数频率曲线(Bode图)的绘制】
1 思路：将复杂的 G(s)H(s)分解为典型环节的串联
G (s) G 1 (s)G 2 (s)G 3 (s).G .k .(s.)..
L ( () ) 2 G l( G 0 g j(j )H ) ( H j(j ) ) G 2 1 l G 0 g G 1 2 2 l G 0 g G 2k 2lG 0 g k
Z —闭环传递函数，位于右半s平面极点的 个数，即特征方程位于右半s平面根的 个数。
一、奈奎斯特稳定性判据
【3 奈奎斯特稳定性判据】
由式（1）可知：系统渐近稳定的充分必要条件是 (2)
由式（1）还可知：渐近稳定的必要条件是 N ；N 发散不稳定的充分条件是 N 。N 当开环频率特性通过[GH]平面上点时，且当曲线 在点 (1, 左j0)右作微小移动时，会使系统由渐近 稳定变成发散不稳定，或会使系统由发散不稳定 变成渐近稳定，系统称为临界稳定。
三、例题详解
【解答】 首先将各点的坐标改写成
乃奎斯特稳定判据
显然，辅助方程即是闭环特征方程。其阶数为n阶，且分子 分母同阶。则辅助方程可写成以下形式：
F (s)
(s z )
i
n
(s p
j 1
i 1 n
。式中， zi ,pj 为F(s)的零、极点。
j
)
由(a)、(b)及(c)式可以看出： F(s)的极点为开环传递函数的极点；
F(s)的零点为闭环传递函数的极点；
2 T T s ( T T ) s k 1 0 1 2 1 2
由劳斯—赫尔维茨判据知闭环系统是稳定的。
15
[例7]设开环系统传递函数为： G ，试用乃氏 s ) k( 2 ( s 1 )( s 2 s 5 ) 判据判断闭环系统的稳定性。 [解]：开环极点为-1， -1 j2，都在s左半平面， 所以 。乃氏图如 P k 0 右。从图中可以看出： 乃氏图顺时针围绕 (-1,j2)点2圈。所以闭环 系统在s右半极点数 为： ， Z N P 2 0 2 k k 所以闭环系统是不稳定 的。
三、乃奎斯特稳定判据在Ⅰ、Ⅱ型系统中的应用：
具有开环0值极点系统，其开环传递函数为：
Gk (s) k ( i s 1) s (T j s 1)
j 1 i 1 n m
G k ( s )不解析， 可见，在原点有 重0极点。也就是在s=0点， 若取乃氏路径同上时（即通过虚轴的整个s右半平面），不满足 柯西幅角定理。为了使乃氏路径不经过原点而仍然能包围整个s 右半平面，重构乃氏路径如下：以原点为圆心，半径为无穷小 做右半圆。这时的乃氏路径由以下四部分组成：
18
上面讨论的乃奎斯特判据和例子，都是假设虚轴上没有 开环极点，即开环系统都是0型的，这是为了满足柯西幅角 定理的条件。但是对于Ⅰ、Ⅱ型的开环系统，由于在虚轴上 （原点）有极点，因此不能使用柯西幅角定理来判定闭环系 统的稳定性。为了解决这一问题，需要重构乃奎斯特路径。
奈奎斯特稳定判据
二、控制系统的频域稳定性判据
3. n阶系统 n阶系统稳定的充要条件是当ω由0→∞时， 特征矢量D(jω)的相角变化量为 Δ Arg[D(jω)]= n² 90 °
奈奎斯特稳定判据
三、奈奎斯特判据（奈氏判据） 1. 0型系统（开环没有串联积分的系统）
⑴开环是稳定的系统
如果已知开环系统是稳定的，那么当ω由0→∞时， 若矢量F(j ω)的相角变化量为0，也就是F(j ω)的轨迹不包 围原点，那么闭环系统的特征方程式DB(s)的根全部在s 左半平面，系统是稳定的。否则，系统是不稳定的。 这样，系统稳定问题转化为找出ω由0→∞时，矢量 F(j ω)的相角变化量问题。
奈奎斯特稳定判据
四、伯德图上的稳定性判据 奈氏判据除了可以表示在极坐标图上， 还可以表示在伯德图上。
w + w=+ w=0 -1 P=0 w
0
180
-
+
四、伯德图上的稳定性判据
由图可知，幅相曲线不包围（-1，j0）点。 此结果也可以根据ω增加时，幅相曲线自下 向上（幅角减小）和自上向下（幅角增加） 穿越实轴区间（-∞，-1）的次数决定。
如果把自上向下的穿越称为正穿越，正穿越次 数用N+表示。把自下向上的穿越称为负穿越，负 穿越次数用N-表示，则R可以用N+和N-之差确定， 即 R= N+- N-
由图可知， N+=1， N-=1，故R=0。
四、伯德图上的稳定性判据
1.Bode图与Nyquist图的对应关系 a. Nyquist图的单位圆 | G(j )H(j ) | 1 对应 Bode图的横轴 20lg | G(j )H(j ) | 0 b. | G(j )H(j ) | 1 单位圆外 对应 20lg| G(j )H(j ) | 0 横轴以上区域
4.4 奈奎斯特稳定判据
4.4.1 幅角原理
设为一单值复变函数，其零极点图如图 4.5(a)所示。在 s S平面上取一封闭曲线，记为 ，要求 s 不通过 s F(s)的任一极点和零点。设 包围了F(s)的Z个零点 s 和P个极点。记 在F平面上的映射为 F ，因为 F(s)为一单值复变函数，所以， F 是惟一的，也是 一个封闭曲线，如图4.5(b)所示。
则
0
lim G ( j ) H ( j )
lim G( j ) H ( j ) 0
0
lim G ( j ) H ( j )
2
3 lim G ( j ) H ( j ) 2
奈氏曲线与实轴的交点：将频率特性化为代数 形式： 令
为了分析系统稳定性，通常要确定奈氏曲线的 下列特征： ① 0 的映射； ② 的映射； ③奈氏曲线与实轴的交点； 根据这些映射点画出 对应的奈氏曲线， 然后根据奈氏曲线关于实轴的对称性,画出 的奈氏曲线 0 。 ④奈氏路径中小半圆的映射。
小半圆上的点可以表示为:
G( j ) H ( j ) K (T1 T2 ) (1 2T1T2 ) 2 2 (T1 T2 ) 2 j K ( 2T1T2 1)
[(1 2T1T2 ) 2 2 (T1 T2 ) 2 ]
Im G( j ) H ( j ) V ( ) 0
4.4.2 奈奎斯特稳定判据
判别系统的稳定性，实际上就是判别系统的特征 方程在右半平面有没有极点。下பைடு நூலகம்将幅角原理应用于 稳定性分析。 为了应用幅角原理分析系统稳定性，需要进行下列几 项工作。 1）取 F(s)=1+G(s)H(s)：当 G(s)与 H(s) 没有零、极点对 消时， F(s) 的零点就是系统的全部闭环极点或特征根， F(s)的极点就是系统的开环极点；当G(s)与H(s)存在零、 极点对消时， F(s) 的零点加上对消掉的开环极点，就 是系统的全部闭环极点。 下面先讨论 G(s) 与 H(s) 没有零、极点对消的情况， 导出奈奎斯特稳定判据，最后用一个例子说明 G(s) 与 H(s)有零、极点对消时的处理方法。
(第13讲) 第五章 乃魁斯特(Nyquist)稳定性判据
在控制系统应用中，由
F (s) 1 G (s)H (s)
很容易确定
的P数。因此，如果， F (s )
的轨迹图中确定了R，则s平面上封闭曲线内的零点数
很容易确定。
开环传递函数与闭环传递函数的关系：
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
14
R(s)
C(s) G (s )
G (s)
B1 ( s ) A1 ( s )
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
3
奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stability Criterion) 闭环传递函数
C (s) R (s) G (s)
R(s) G (s )
C(s)
H(s )
1 H ( s )G ( s )
图5-4-1 闭环系统 结构图
1 H ( s )G ( s ) 0
例如：考虑下列开环传递函数：
06-7-20 控制系统系统的稳定性分析 6
G (s)H (s)
6 ( s 1)( s 2 )
其特征方程为：
6
F (s) 1 G (s)H (s) 1
( s 1)( s 2 )
( s 1 . 5 j 2 . 4 )( s 1 . 5 j 2 . 4 ) ( s 1)( s 2 )
控制系统系统的稳定性分析 11
如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点(k=0,1,2…)，
即包围的零点数与极点数相同，则在 F ( s ) 平面上，
相应的封闭曲线不包围
F (s)
平面上的原点。
上述讨论是映射定理的图解说明，奈奎斯特稳 定判据正是建立在映射定理的基础上。
奈奎斯特稳定判据
幅角原理：如果封闭曲线内有Z个F(s)的零点， P个
F(s)的极点 ，则s 沿封闭曲线s 顺时针方向转一圈时，在
F(s)平面上，曲线F(s)绕其原点逆时针转过的圈数。
+
5. 4 . 3 奈氏判据
（1）0型系统
0
s为包围虚轴和整个右半平面。
s平面s 映射 F(s)
解：① 由开环传递函数知 P = 1 。 ② 作系统的开环对数频率特性曲线。
() = 90 + arctanT2 (180 arctanT1 )
270
arctan
(T1 1
T2 ) 2T1 T2
当() = 180时，g =(1/T1T2)1/2 ，A(g)=kT2
③ 稳定性判别。 G(s)H(s)有一个积分环节N =1 ，故
开环极坐标图如图
j
01
19
k(0.1s 1) Gk (s) s(s 1)
=0
Im
增补线
1 0.1k
Re 0
(3) 稳定性判别: 因为是1型系统，需作增补线如图
当 0.1k < 1 ，k > 10时， R =1/2，z = p 2R = 0
闭环系统是稳定的。
20
5.4.4 伯德图上的稳定性判据
Im
() 1
(+)
0
由图可知，幅相曲线 不 包 围 (1 ， j0) 点 。 此 结
Re 果也可以根据 增加时幅
相曲线自下向上(幅角减 小)和自上向下(幅角增加) 穿越实轴区间(，1)的 次数决定。
R = N N
自实轴区间（，1）开始向下的穿越称为半次正穿越，自实轴
区间（，1）开始向上的穿越为半次负穿越。
5-4 奈奎斯特稳定判据
2
（一）S平面与F (s ) 平面的映射关系
假设复变函数)s( F 为单值，且除了S平面上有限的奇点外，处处都为连续的正则 函数,也就是说 ) s ( F 在S平面上除奇点外处处解析， 那么，对于S平面上的每一个解析 点，的开环传递函数为
比较式（5—107）和式（5—106）可知，
辅助函数 F (s) 的零点 Z i ( i = 1, 2 , … … , n ) 即闭环传递函数的极点，即系统特征 方程 1 + G(s) H (s) = 0 的根。因此，如果辅助函数 F (s )的零点都具有负的实部，即 都位于S平面左半部，系统就是稳定的，否则系统便不稳定。
5-4
奈奎斯特稳定判据
第三章已经介绍，闭环控制系统的稳定性由系统特征方 程根的性质唯一确定。对于三阶以下系统，解出特征根就能判 断系统是否稳定。三阶以上的高阶系统，求解特征根通常都很 困难，前面介绍了两种判别系统稳定性的方法，基于特征方程 的根与系数关系的劳斯判据和根轨迹法。 奈奎斯特（Nyquist）稳定判据（简称奈氏判据）是判断 系统稳定性的又一重要方法。它是将系统的开环频率特性 位于S平面右半部的 零、极点数目联系起来的一种判据。奈氏判据是一种图解法， 它依据的是系统的开环频率特性。由于系统的开环特性可用解 析法或实验法获得，因此，应用奈氏判据分析系统的稳定性兼 有方便和实用的优点。奈氏判据还有助于建立相对稳定性的概 1 念。
F (s) = ( s − z 1 )( s − z 2 )( s − z 3 ) ( s − p 1 )( s − p 2 )( s − p 3 )
（5-110）
其零、极点在S平面上的分布如图 5—39 所示，在 S平面上作一封闭曲线Γs ,
Γs不通过上述零、极点，在封闭曲线Γs 上任取一点S 1 , 其对应的辅助函数 F ( s1 ) 的幅角应为
（一）S平面与F (s ) 平面的映射关系
假设复变函数)s( F 为单值，且除了S平面上有限的奇点外，处处都为连续的正则 函数,也就是说 ) s ( F 在S平面上除奇点外处处解析， 那么，对于S平面上的每一个解析 点，的开环传递函数为
比较式（5—107）和式（5—106）可知，
辅助函数 F (s) 的零点 Z i ( i = 1, 2 , … … , n ) 即闭环传递函数的极点，即系统特征 方程 1 + G(s) H (s) = 0 的根。因此，如果辅助函数 F (s )的零点都具有负的实部，即 都位于S平面左半部，系统就是稳定的，否则系统便不稳定。
5-4
奈奎斯特稳定判据
第三章已经介绍，闭环控制系统的稳定性由系统特征方 程根的性质唯一确定。对于三阶以下系统，解出特征根就能判 断系统是否稳定。三阶以上的高阶系统，求解特征根通常都很 困难，前面介绍了两种判别系统稳定性的方法，基于特征方程 的根与系数关系的劳斯判据和根轨迹法。 奈奎斯特（Nyquist）稳定判据（简称奈氏判据）是判断 系统稳定性的又一重要方法。它是将系统的开环频率特性 位于S平面右半部的 零、极点数目联系起来的一种判据。奈氏判据是一种图解法， 它依据的是系统的开环频率特性。由于系统的开环特性可用解 析法或实验法获得，因此，应用奈氏判据分析系统的稳定性兼 有方便和实用的优点。奈氏判据还有助于建立相对稳定性的概 1 念。
F (s) = ( s − z 1 )( s − z 2 )( s − z 3 ) ( s − p 1 )( s − p 2 )( s − p 3 )
（5-110）
其零、极点在S平面上的分布如图 5—39 所示，在 S平面上作一封闭曲线Γs ,
Γs不通过上述零、极点，在封闭曲线Γs 上任取一点S 1 , 其对应的辅助函数 F ( s1 ) 的幅角应为
奈魁斯特稳定判据
Im
(a)由于 v 2 因此首先补上ω从0到
0
-1
0＋部分；又因P＝0，所以该部分起 Re 于正实轴。由图可见，不存在穿越，
0
即N＋－N－＝0，所以不稳定的极点
数为
（a） 2, P 0
z P 2( N N ) 0 2(0 0) 0
所以，闭环系统稳定。
0
Im
0
以s代 jω ，得： F ( j) 1 G( j)H ( j) ( j s1)( j s2 ) ( j sn ) ( j p1)( j p2 ) ( j pn )
上式即为开环频率特性和闭环特征式的关系。
二、奈奎斯特稳定判据
1、幅角定理： 在辅助函数中，以某一根si为例，在复平面上随频率ω的变
化(jω在虚轴上移动)，向量(jω- si)的辐角 j si 也在变化。
如果si位于虚轴左侧，那么当ω由 时，向量(jω- si)逆时
针转180°，则有
( j si )＝
:
如果si位于虚轴右侧，则有
( j si )＝
:
因为复数相乘，幅角相加。如果系统特征方程n个根全部在虚轴 左侧（系统是稳定的），则有
例: 已知系统开环传递函数
G(s)H (s)
100
(s 1)(s 2)(s 3)
试用奈氏判据判断闭环状态的稳定性。
解：开环系统有三个特征根: p1 1, p2 2, p3 3 三个特征根均在虚轴左侧（开环稳定，即P=0）
首先绘制出幅相特性图： ①特性曲线的起点（ω＝0）在实轴上； ②终点（ω∞）是以－270°进入原点； ③求系统开环幅相特性曲线与负实轴的交点值
:0
2
如果系统闭环后是稳定的，闭环特征方程的n个根应均在虚轴左
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5.4.2 幅角定理
由复变函数可知，对S复平面上除奇点外的任一点，经过
特征函数F(s)的映射，在F(s)平面上可以找到对应的象。设
辅助函数的幅角为：
n
n
F (s) s z j s pi
j1
i 1
n
(s zj)
F(s)
j 1 n
(s pi )
i 1
Im
s1
Γs
jw [s]
() 2
F(s2)
为正负半次穿越。
正穿越
Im
负穿越
Im
Im
半次穿越
(－1，j0)
+
0 Re
(－1，j0)
_
0 Re
(-1, j0)
Re 0
14
在极坐标图中，闭环系统稳定的充要条件是：当w由 ０→＋∞变化时， G(jω)H(jω)曲线对(-1，-∞)实轴段的 正负穿越次数之差为N(+)- N(-)=Ｐ／２；否则，闭环系统不 稳定，且有Ｚ＝Ｐ－２[N(+)- N(-)]个右极点。
13
(2) 由“正负穿越次数之差”来判断
G(jω)H(jω)曲线对称实轴。应用中只画0→+∞部分。所谓
“穿越”是指轨迹穿过(-1,-∞) 段。
• 正穿越：从上而下穿过该段一次（相角增加），用N(+)表示。 • 负穿越：由下而上穿过该段一次（相角减少），用N(-)表示。 • 半次穿越：起始于或终止于(-1,-∞)段的负实轴的正、负穿越称
+j∞
0+ 0- 0
[s] F(s) 1 G(s)H(s) N(s) M(s)
N (s) ［Ｆ］
R→∞
［ＧＨ］
－１
０
０
１
-j∞
7
(1) 幅角原理在闭环系统稳定性分析中的应用
特征函数 F s 1 G s H s N (s) M(s)
N (s)
用曲线 s j j0 j0 j j 补足开环幅相频率曲线，形成 s j j 的奈奎斯特围线，则有：
当开环传递函数G(s)H(s)中含有ν个积分环节时，则 在曲线(ω)最左端视为ω=0+处，由下至上补作v900虚线
段，找到w=0时起点，才能正确确定(ω)对-1800线的穿 越情况。
闭环右极点 个数
Байду номын сангаас
Ｚ＝Ｐ－Ｒ
开环右极点 个数
奈氏曲线围绕(-1,j0)点 的次数
［Ｆ］
－１ ０
［ＧＨ］
０ １
8
(2) 奈奎斯特稳定判据
Ｚ＝Ｐ－Ｒ
闭环系统稳定的充要条件是：当w由－∞→＋∞变化 时， G(jω)H(jω)曲线逆时针包围[GH]平面上(-1，j0)点 的次数R等于开环传递函数右极点个数P。
[GH] 0-
e→0
0+
R→∞
0 0-
w=+∞ 0 w=-∞
-j∞ 0+
m
(is 1)
G(s)H (s) s lim ee j K
i 1 nv
e 0
sv (Tj s 1)
K
ev
e jv
e 0
e jv
j 1
s lim re j
12
e 0
在极坐标图中，闭环系统稳定的充要条件是：当w由 ０→＋∞变化时， G(jω)H(jω)曲线逆时针包围[GH]平面上 (-1，j0)点的次数Ｎ＝Ｐ／２；否则，闭环系统不稳定， 且有Ｚ＝Ｐ－２Ｎ个右极点。
[F(s)]
s2
s
0
F(s3) Re
0
s3 vF F(s1)
4
当s从s1开始沿任一闭合路径Γs (不经过F(s)的零点和 极点)顺时针旋转一圈，F(s)的相角变化情况如下：
(1)若特征函数的零点 zj和pi极点没有被曲线Γs包围，则有：
s zj 0o
s pi 0o
(２)若特征函数的零点 zj和pi极点被包围在曲线Γs里，则有：
w
0
Re
w
16
5.4.4 对数幅频特性上的奈奎斯特判据
极坐标图 (-1,j0)点
伯德图 0db线和-180相角线
(-1, -∞)段
0db线以上区域
因此，奈氏曲线自上而下（或自下而上）地穿越（-1，j0）点
左边的负实轴(-1, -∞)段，相当于在伯德图中当L(ω)>0db时相
频特性曲线自下而上（或自上而下）地穿越-180°线。
a.若P=0，且 Ｒ=0，即GH曲线不包围（-1，j0）点，则闭环系 统稳定；
b.若P≠0，且Ｒ=P，即GH曲线逆时针绕（-1，j0）点P圈，则 闭环系统稳定，否则是不稳定系统。 不稳定系统分布在s右半平面极点的个数可按下式求取： Z=PＲ
c.若GH曲线通过（-1，j0）点L次，则说明闭环系统有L个极 点分布在s平面的虚轴上。
(1, j0)
Im
G( jw)H ( jw)
w
w 0 Re
L(w ) dB
0
(w )
0
wc w
w
w
17
在对数频率特性图中，闭环系统稳定的充要条件是：
当w由０→＋∞变化时， 在开环对数幅频特性L(ω)>0db的
所有频段内，对数相频特性(w)曲线对-1800线的正负穿越 次数之差为N(+)- N(-)=Ｐ／２；否则，闭环系统不稳定，且 有Ｚ＝Ｐ－２[N(+)- N(-)]个右极点。
9
例: 一系统开环传递函数为： G(s)H(s) a ( a 0)
s1
试判别系统的稳定性。
Im
w
解：本系统的开环频率特性
G( jw )H ( jw ) a jw 1
w
2
1
w 0
Re
当w j j0 j0 j 变化时， 系统的幅相曲线如图所示。
w
因为系统有一个开环极点位于s的右半平面，即：P=1。
N() 1 ，N() 0 N N() N() 1 Z P 2[N() N() ]
N() 0 ，N() 0 N N() N() 0
N() 1 ，N() 1 N N() N() 0
15
＋＋ － (1, j0)
Im G( jw )H ( jw )
N() 1 ，N() 2 N N() N() 1 Z P 2[N() N() ]
图中奈氏曲线是逆时针方向绕（-1，j0）点的1圈，即 N=1。
根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=P-N=1-1=0，
所以系统稳定。
10
+j∞
0+ 0- 0
[s] F(s) 1 G(s)H(s) N(s) M(s)
N (s) ［Ｆ］
R→∞
［ＧＨ］
－１
０
０
１
-j∞
11
[s] +j∞
s z j 2 (顺时针 ) s pi 2 (逆时针)
5
幅角定理： 在s平面上任一封闭曲线包围了F(s)的Z
个零点和P个极点，并且不经过F(s)的任一零 点和极点，则当s沿闭合路径顺时针方向转过 一周时，映射到F(s)平面内的F(s)曲线逆时针 绕原点（ P –Z）圈。即
R=P -Z
6
5.4.3 奈奎斯特稳定性判据
由复变函数可知，对S复平面上除奇点外的任一点，经过
特征函数F(s)的映射，在F(s)平面上可以找到对应的象。设
辅助函数的幅角为：
n
n
F (s) s z j s pi
j1
i 1
n
(s zj)
F(s)
j 1 n
(s pi )
i 1
Im
s1
Γs
jw [s]
() 2
F(s2)
为正负半次穿越。
正穿越
Im
负穿越
Im
Im
半次穿越
(－1，j0)
+
0 Re
(－1，j0)
_
0 Re
(-1, j0)
Re 0
14
在极坐标图中，闭环系统稳定的充要条件是：当w由 ０→＋∞变化时， G(jω)H(jω)曲线对(-1，-∞)实轴段的 正负穿越次数之差为N(+)- N(-)=Ｐ／２；否则，闭环系统不 稳定，且有Ｚ＝Ｐ－２[N(+)- N(-)]个右极点。
13
(2) 由“正负穿越次数之差”来判断
G(jω)H(jω)曲线对称实轴。应用中只画0→+∞部分。所谓
“穿越”是指轨迹穿过(-1,-∞) 段。
• 正穿越：从上而下穿过该段一次（相角增加），用N(+)表示。 • 负穿越：由下而上穿过该段一次（相角减少），用N(-)表示。 • 半次穿越：起始于或终止于(-1,-∞)段的负实轴的正、负穿越称
+j∞
0+ 0- 0
[s] F(s) 1 G(s)H(s) N(s) M(s)
N (s) ［Ｆ］
R→∞
［ＧＨ］
－１
０
０
１
-j∞
7
(1) 幅角原理在闭环系统稳定性分析中的应用
特征函数 F s 1 G s H s N (s) M(s)
N (s)
用曲线 s j j0 j0 j j 补足开环幅相频率曲线，形成 s j j 的奈奎斯特围线，则有：
当开环传递函数G(s)H(s)中含有ν个积分环节时，则 在曲线(ω)最左端视为ω=0+处，由下至上补作v900虚线
段，找到w=0时起点，才能正确确定(ω)对-1800线的穿 越情况。
闭环右极点 个数
Байду номын сангаас
Ｚ＝Ｐ－Ｒ
开环右极点 个数
奈氏曲线围绕(-1,j0)点 的次数
［Ｆ］
－１ ０
［ＧＨ］
０ １
8
(2) 奈奎斯特稳定判据
Ｚ＝Ｐ－Ｒ
闭环系统稳定的充要条件是：当w由－∞→＋∞变化 时， G(jω)H(jω)曲线逆时针包围[GH]平面上(-1，j0)点 的次数R等于开环传递函数右极点个数P。
[GH] 0-
e→0
0+
R→∞
0 0-
w=+∞ 0 w=-∞
-j∞ 0+
m
(is 1)
G(s)H (s) s lim ee j K
i 1 nv
e 0
sv (Tj s 1)
K
ev
e jv
e 0
e jv
j 1
s lim re j
12
e 0
在极坐标图中，闭环系统稳定的充要条件是：当w由 ０→＋∞变化时， G(jω)H(jω)曲线逆时针包围[GH]平面上 (-1，j0)点的次数Ｎ＝Ｐ／２；否则，闭环系统不稳定， 且有Ｚ＝Ｐ－２Ｎ个右极点。
[F(s)]
s2
s
0
F(s3) Re
0
s3 vF F(s1)
4
当s从s1开始沿任一闭合路径Γs (不经过F(s)的零点和 极点)顺时针旋转一圈，F(s)的相角变化情况如下：
(1)若特征函数的零点 zj和pi极点没有被曲线Γs包围，则有：
s zj 0o
s pi 0o
(２)若特征函数的零点 zj和pi极点被包围在曲线Γs里，则有：
w
0
Re
w
16
5.4.4 对数幅频特性上的奈奎斯特判据
极坐标图 (-1,j0)点
伯德图 0db线和-180相角线
(-1, -∞)段
0db线以上区域
因此，奈氏曲线自上而下（或自下而上）地穿越（-1，j0）点
左边的负实轴(-1, -∞)段，相当于在伯德图中当L(ω)>0db时相
频特性曲线自下而上（或自上而下）地穿越-180°线。
a.若P=0，且 Ｒ=0，即GH曲线不包围（-1，j0）点，则闭环系 统稳定；
b.若P≠0，且Ｒ=P，即GH曲线逆时针绕（-1，j0）点P圈，则 闭环系统稳定，否则是不稳定系统。 不稳定系统分布在s右半平面极点的个数可按下式求取： Z=PＲ
c.若GH曲线通过（-1，j0）点L次，则说明闭环系统有L个极 点分布在s平面的虚轴上。
(1, j0)
Im
G( jw)H ( jw)
w
w 0 Re
L(w ) dB
0
(w )
0
wc w
w
w
17
在对数频率特性图中，闭环系统稳定的充要条件是：
当w由０→＋∞变化时， 在开环对数幅频特性L(ω)>0db的
所有频段内，对数相频特性(w)曲线对-1800线的正负穿越 次数之差为N(+)- N(-)=Ｐ／２；否则，闭环系统不稳定，且 有Ｚ＝Ｐ－２[N(+)- N(-)]个右极点。
9
例: 一系统开环传递函数为： G(s)H(s) a ( a 0)
s1
试判别系统的稳定性。
Im
w
解：本系统的开环频率特性
G( jw )H ( jw ) a jw 1
w
2
1
w 0
Re
当w j j0 j0 j 变化时， 系统的幅相曲线如图所示。
w
因为系统有一个开环极点位于s的右半平面，即：P=1。
N() 1 ，N() 0 N N() N() 1 Z P 2[N() N() ]
N() 0 ，N() 0 N N() N() 0
N() 1 ，N() 1 N N() N() 0
15
＋＋ － (1, j0)
Im G( jw )H ( jw )
N() 1 ，N() 2 N N() N() 1 Z P 2[N() N() ]
图中奈氏曲线是逆时针方向绕（-1，j0）点的1圈，即 N=1。
根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=P-N=1-1=0，
所以系统稳定。
10
+j∞
0+ 0- 0
[s] F(s) 1 G(s)H(s) N(s) M(s)
N (s) ［Ｆ］
R→∞
［ＧＨ］
－１
０
０
１
-j∞
11
[s] +j∞
s z j 2 (顺时针 ) s pi 2 (逆时针)
5
幅角定理： 在s平面上任一封闭曲线包围了F(s)的Z
个零点和P个极点，并且不经过F(s)的任一零 点和极点，则当s沿闭合路径顺时针方向转过 一周时，映射到F(s)平面内的F(s)曲线逆时针 绕原点（ P –Z）圈。即
R=P -Z
6
5.4.3 奈奎斯特稳定性判据