奈奎斯特稳定判据
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为正负半次穿越。
正穿越
Im
负穿越
Im
Im
半次穿越
(－1，j0)
+
0 Re
(－1，j0)
_
0 Re
(-1, j0)
Re 0
14
在极坐标图中，闭环系统稳定的充要条件是：当w由 ０→＋∞变化时， G(jω)H(jω)曲线对(-1，-∞)实轴段的 正负穿越次数之差为N(+)- N(-)=Ｐ／２；否则，闭环系统不 稳定，且有Ｚ＝Ｐ－２[N(+)- N(-)]个右极点。
+j∞
0+ 0- 0
[s] F(s) 1 G(s)H(s) N(s) M(s)
N (s) ［Ｆ］
R→∞
［ＧＨ］
－１
０
０
１
-j∞
7
(1) 幅角原理在闭环系统稳定性分析中的应用
特征函数 F s 1 G s H s N (s) M(s)
N (s)
用曲线 s j j0 j0 j j 补足开环幅相频率曲线，形成 s j j 的奈奎斯特围线，则有：
5.4.2 幅角定理
由复变函数可知，对S复平面上除奇点外的任一点，经过
特征函数F(s)的映射，在F(s)平面上可以找到对应的象。设
辅助函数的幅角为：
n
n
F (s) s z j s pi
j1
i 1
n
(s zj)
F(s)
j 1 n
(s pi )
i 1
Im
s1
Γs
jw [s]
() 2Baidu Nhomakorabea
F(s2)
w
0
Re
w
16
5.4.4 对数幅频特性上的奈奎斯特判据
极坐标图 (-1,j0)点
伯德图 0db线和-180相角线
(-1, -∞)段
0db线以上区域
因此，奈氏曲线自上而下（或自下而上）地穿越（-1，j0）点
左边的负实轴(-1, -∞)段，相当于在伯德图中当L(ω)>0db时相
频特性曲线自下而上（或自上而下）地穿越-180°线。
s z j 2 (顺时针 ) s pi 2 (逆时针)
5
幅角定理： 在s平面上任一封闭曲线包围了F(s)的Z
个零点和P个极点，并且不经过F(s)的任一零 点和极点，则当s沿闭合路径顺时针方向转过 一周时，映射到F(s)平面内的F(s)曲线逆时针 绕原点（ P –Z）圈。即
R=P -Z
6
5.4.3 奈奎斯特稳定性判据
a.若P=0，且 Ｒ=0，即GH曲线不包围（-1，j0）点，则闭环系 统稳定；
b.若P≠0，且Ｒ=P，即GH曲线逆时针绕（-1，j0）点P圈，则 闭环系统稳定，否则是不稳定系统。 不稳定系统分布在s右半平面极点的个数可按下式求取： Z=PＲ
c.若GH曲线通过（-1，j0）点L次，则说明闭环系统有L个极 点分布在s平面的虚轴上。
N() 1 ，N() 0 N N() N() 1 Z P 2[N() N() ]
N() 0 ，N() 0 N N() N() 0
N() 1 ，N() 1 N N() N() 0
15
＋＋ － (1, j0)
Im G( jw )H ( jw )
N() 1 ，N() 2 N N() N() 1 Z P 2[N() N() ]
[GH] 0-
e→0
0+
R→∞
0 0-
w=+∞ 0 w=-∞
-j∞ 0+
m
(is 1)
G(s)H (s) s lim ee j K
i 1 nv
e 0
sv (Tj s 1)
K
ev
e jv
e 0
e jv
j 1
s lim re j
12
e 0
在极坐标图中，闭环系统稳定的充要条件是：当w由 ０→＋∞变化时， G(jω)H(jω)曲线逆时针包围[GH]平面上 (-1，j0)点的次数Ｎ＝Ｐ／２；否则，闭环系统不稳定， 且有Ｚ＝Ｐ－２Ｎ个右极点。
13
(2) 由“正负穿越次数之差”来判断
G(jω)H(jω)曲线对称实轴。应用中只画0→+∞部分。所谓
“穿越”是指轨迹穿过(-1,-∞) 段。
• 正穿越：从上而下穿过该段一次（相角增加），用N(+)表示。 • 负穿越：由下而上穿过该段一次（相角减少），用N(-)表示。 • 半次穿越：起始于或终止于(-1,-∞)段的负实轴的正、负穿越称
当开环传递函数G(s)H(s)中含有ν个积分环节时，则 在曲线(ω)最左端视为ω=0+处，由下至上补作v900虚线
段，找到w=0时起点，才能正确确定(ω)对-1800线的穿 越情况。
闭环右极点 个数
Ｚ＝Ｐ－Ｒ
开环右极点 个数
奈氏曲线围绕(-1,j0)点 的次数
［Ｆ］
－１ ０
［ＧＨ］
０ １
8
(2) 奈奎斯特稳定判据
Ｚ＝Ｐ－Ｒ
闭环系统稳定的充要条件是：当w由－∞→＋∞变化 时， G(jω)H(jω)曲线逆时针包围[GH]平面上(-1，j0)点 的次数R等于开环传递函数右极点个数P。
(1, j0)
Im
G( jw)H ( jw)
w
w 0 Re
L(w ) dB
0
(w )
0
wc w
w
w
17
在对数频率特性图中，闭环系统稳定的充要条件是：
当w由０→＋∞变化时， 在开环对数幅频特性L(ω)>0db的
所有频段内，对数相频特性(w)曲线对-1800线的正负穿越 次数之差为N(+)- N(-)=Ｐ／２；否则，闭环系统不稳定，且 有Ｚ＝Ｐ－２[N(+)- N(-)]个右极点。
图中奈氏曲线是逆时针方向绕（-1，j0）点的1圈，即 N=1。
根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=P-N=1-1=0，
所以系统稳定。
10
+j∞
0+ 0- 0
[s] F(s) 1 G(s)H(s) N(s) M(s)
N (s) ［Ｆ］
R→∞
［ＧＨ］
－１
０
０
１
-j∞
11
[s] +j∞
9
例: 一系统开环传递函数为： G(s)H(s) a ( a 0)
s1
试判别系统的稳定性。
Im
w
解：本系统的开环频率特性
G( jw )H ( jw ) a jw 1
w
2
1
w 0
Re
当w j j0 j0 j 变化时， 系统的幅相曲线如图所示。
w
因为系统有一个开环极点位于s的右半平面，即：P=1。
[F(s)]
s2
s
0
F(s3) Re
0
s3 vF F(s1)
4
当s从s1开始沿任一闭合路径Γs (不经过F(s)的零点和 极点)顺时针旋转一圈，F(s)的相角变化情况如下：
(1)若特征函数的零点 zj和pi极点没有被曲线Γs包围，则有：
s zj 0o
s pi 0o
(２)若特征函数的零点 zj和pi极点被包围在曲线Γs里，则有：
正穿越
Im
负穿越
Im
Im
半次穿越
(－1，j0)
+
0 Re
(－1，j0)
_
0 Re
(-1, j0)
Re 0
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在极坐标图中，闭环系统稳定的充要条件是：当w由 ０→＋∞变化时， G(jω)H(jω)曲线对(-1，-∞)实轴段的 正负穿越次数之差为N(+)- N(-)=Ｐ／２；否则，闭环系统不 稳定，且有Ｚ＝Ｐ－２[N(+)- N(-)]个右极点。
+j∞
0+ 0- 0
[s] F(s) 1 G(s)H(s) N(s) M(s)
N (s) ［Ｆ］
R→∞
［ＧＨ］
－１
０
０
１
-j∞
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(1) 幅角原理在闭环系统稳定性分析中的应用
特征函数 F s 1 G s H s N (s) M(s)
N (s)
用曲线 s j j0 j0 j j 补足开环幅相频率曲线，形成 s j j 的奈奎斯特围线，则有：
5.4.2 幅角定理
由复变函数可知，对S复平面上除奇点外的任一点，经过
特征函数F(s)的映射，在F(s)平面上可以找到对应的象。设
辅助函数的幅角为：
n
n
F (s) s z j s pi
j1
i 1
n
(s zj)
F(s)
j 1 n
(s pi )
i 1
Im
s1
Γs
jw [s]
() 2Baidu Nhomakorabea
F(s2)
w
0
Re
w
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5.4.4 对数幅频特性上的奈奎斯特判据
极坐标图 (-1,j0)点
伯德图 0db线和-180相角线
(-1, -∞)段
0db线以上区域
因此，奈氏曲线自上而下（或自下而上）地穿越（-1，j0）点
左边的负实轴(-1, -∞)段，相当于在伯德图中当L(ω)>0db时相
频特性曲线自下而上（或自上而下）地穿越-180°线。
s z j 2 (顺时针 ) s pi 2 (逆时针)
5
幅角定理： 在s平面上任一封闭曲线包围了F(s)的Z
个零点和P个极点，并且不经过F(s)的任一零 点和极点，则当s沿闭合路径顺时针方向转过 一周时，映射到F(s)平面内的F(s)曲线逆时针 绕原点（ P –Z）圈。即
R=P -Z
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5.4.3 奈奎斯特稳定性判据
a.若P=0，且 Ｒ=0，即GH曲线不包围（-1，j0）点，则闭环系 统稳定；
b.若P≠0，且Ｒ=P，即GH曲线逆时针绕（-1，j0）点P圈，则 闭环系统稳定，否则是不稳定系统。 不稳定系统分布在s右半平面极点的个数可按下式求取： Z=PＲ
c.若GH曲线通过（-1，j0）点L次，则说明闭环系统有L个极 点分布在s平面的虚轴上。
N() 1 ，N() 0 N N() N() 1 Z P 2[N() N() ]
N() 0 ，N() 0 N N() N() 0
N() 1 ，N() 1 N N() N() 0
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＋＋ － (1, j0)
Im G( jw )H ( jw )
N() 1 ，N() 2 N N() N() 1 Z P 2[N() N() ]
[GH] 0-
e→0
0+
R→∞
0 0-
w=+∞ 0 w=-∞
-j∞ 0+
m
(is 1)
G(s)H (s) s lim ee j K
i 1 nv
e 0
sv (Tj s 1)
K
ev
e jv
e 0
e jv
j 1
s lim re j
12
e 0
在极坐标图中，闭环系统稳定的充要条件是：当w由 ０→＋∞变化时， G(jω)H(jω)曲线逆时针包围[GH]平面上 (-1，j0)点的次数Ｎ＝Ｐ／２；否则，闭环系统不稳定， 且有Ｚ＝Ｐ－２Ｎ个右极点。
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(2) 由“正负穿越次数之差”来判断
G(jω)H(jω)曲线对称实轴。应用中只画0→+∞部分。所谓
“穿越”是指轨迹穿过(-1,-∞) 段。
• 正穿越：从上而下穿过该段一次（相角增加），用N(+)表示。 • 负穿越：由下而上穿过该段一次（相角减少），用N(-)表示。 • 半次穿越：起始于或终止于(-1,-∞)段的负实轴的正、负穿越称
当开环传递函数G(s)H(s)中含有ν个积分环节时，则 在曲线(ω)最左端视为ω=0+处，由下至上补作v900虚线
段，找到w=0时起点，才能正确确定(ω)对-1800线的穿 越情况。
闭环右极点 个数
Ｚ＝Ｐ－Ｒ
开环右极点 个数
奈氏曲线围绕(-1,j0)点 的次数
［Ｆ］
－１ ０
［ＧＨ］
０ １
8
(2) 奈奎斯特稳定判据
Ｚ＝Ｐ－Ｒ
闭环系统稳定的充要条件是：当w由－∞→＋∞变化 时， G(jω)H(jω)曲线逆时针包围[GH]平面上(-1，j0)点 的次数R等于开环传递函数右极点个数P。
(1, j0)
Im
G( jw)H ( jw)
w
w 0 Re
L(w ) dB
0
(w )
0
wc w
w
w
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在对数频率特性图中，闭环系统稳定的充要条件是：
当w由０→＋∞变化时， 在开环对数幅频特性L(ω)>0db的
所有频段内，对数相频特性(w)曲线对-1800线的正负穿越 次数之差为N(+)- N(-)=Ｐ／２；否则，闭环系统不稳定，且 有Ｚ＝Ｐ－２[N(+)- N(-)]个右极点。
图中奈氏曲线是逆时针方向绕（-1，j0）点的1圈，即 N=1。
根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=P-N=1-1=0，
所以系统稳定。
10
+j∞
0+ 0- 0
[s] F(s) 1 G(s)H(s) N(s) M(s)
N (s) ［Ｆ］
R→∞
［ＧＨ］
－１
０
０
１
-j∞
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[s] +j∞
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例: 一系统开环传递函数为： G(s)H(s) a ( a 0)
s1
试判别系统的稳定性。
Im
w
解：本系统的开环频率特性
G( jw )H ( jw ) a jw 1
w
2
1
w 0
Re
当w j j0 j0 j 变化时， 系统的幅相曲线如图所示。
w
因为系统有一个开环极点位于s的右半平面，即：P=1。
[F(s)]
s2
s
0
F(s3) Re
0
s3 vF F(s1)
4
当s从s1开始沿任一闭合路径Γs (不经过F(s)的零点和 极点)顺时针旋转一圈，F(s)的相角变化情况如下：
(1)若特征函数的零点 zj和pi极点没有被曲线Γs包围，则有：
s zj 0o
s pi 0o
(２)若特征函数的零点 zj和pi极点被包围在曲线Γs里，则有：