奈奎斯特稳定判据
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13 第十三讲 奈奎斯特稳定判据
Im E
Im
D C -1 B Re B’
D’
E’ A’
C’
Re
A
Fig.13.12 双极点系统
Fig.13.13 双极点系统的频率响应
Im
Re -1
Fig.13.14 原点处有双极点的系统的根轨迹
◆ 奈奎斯特稳定性的一些说明 说明 #1. 设想沿着频率增大的方向且ω>0时的开 环频率曲线一直行走。如果临界点(-1,+0j) 是在右边经过的，那么系统就不稳定；但 如果临界点是在左边经过的，则系统是稳 定的。
D
C
A
B
1 1/2 Re
Re -3 Im
C
E -5/2
B
-2
-1 s平面
C
F
F
B D Re
F(s)平面
F(s)平面
图.13.5 包围 F(s)的一个极点的轨迹
图.13.6 不包围 F(s)的一个极点 的轨迹
在复平面上绘制矢量，矢量的长度为
幅值M ，矢量的相角是与正实轴所成 的夹角为Φ。 图: 当sp在S平面绕封闭曲线移动时， 在F（s）平面也有一个相应的封闭曲线。
例
Ncw-Nccw=2-2=0 Z=N+P=(2-2)+0=0. 这个系统稳定.
C’
Im
0
-1 b d c a C D’ A’ Re
0
X
B’
Fig.13.17 完整的奈奎斯特图
◆ 奈奎斯特稳定判据的另一种方法
· 考虑一个系统. 初始状态为
r = e = c = b = 0
R G B H
GH(s) 平面内包围点（-1，j0）。
Im
Im
Re Re
Im
D C -1 B Re B’
D’
E’ A’
C’
Re
A
Fig.13.12 双极点系统
Fig.13.13 双极点系统的频率响应
Im
Re -1
Fig.13.14 原点处有双极点的系统的根轨迹
◆ 奈奎斯特稳定性的一些说明 说明 #1. 设想沿着频率增大的方向且ω>0时的开 环频率曲线一直行走。如果临界点(-1,+0j) 是在右边经过的，那么系统就不稳定；但 如果临界点是在左边经过的，则系统是稳 定的。
D
C
A
B
1 1/2 Re
Re -3 Im
C
E -5/2
B
-2
-1 s平面
C
F
F
B D Re
F(s)平面
F(s)平面
图.13.5 包围 F(s)的一个极点的轨迹
图.13.6 不包围 F(s)的一个极点 的轨迹
在复平面上绘制矢量，矢量的长度为
幅值M ，矢量的相角是与正实轴所成 的夹角为Φ。 图: 当sp在S平面绕封闭曲线移动时， 在F（s）平面也有一个相应的封闭曲线。
例
Ncw-Nccw=2-2=0 Z=N+P=(2-2)+0=0. 这个系统稳定.
C’
Im
0
-1 b d c a C D’ A’ Re
0
X
B’
Fig.13.17 完整的奈奎斯特图
◆ 奈奎斯特稳定判据的另一种方法
· 考虑一个系统. 初始状态为
r = e = c = b = 0
R G B H
GH(s) 平面内包围点（-1，j0）。
Im
Im
Re Re
第4讲 5.5奈奎斯特稳定判据
N =Z −P
N < 0,逆时针旋转
N > 0,顺时针旋转
2012-1-6
第五章 频率响应
7
二、奈氏稳定判据
K1 ( S + z / 1 )( S + z / 2 )⋯( S + z / m ) G(S ) H (S ) = ( S + p1 )( S + p2 )⋯( S + pn )
令F ( S ) = 1 + G ( S ) H ( S ) = 0
取下图所示的 奈氏途径,C 2 部分在GH平台上的映 射曲线为 一半径无穷大的 半圆，它与 奈氏曲线G(jω)H( jω)相连接后为 下图所示：
2012-1-6
第五章 频率响应
14
例4
K GH = 2 ，K > 0，T > 0 S (1 + TS )
K
解 : G ( jω ) =
ω 2 1 + T 2ω 2
2012-1-6 第五章 频率响应 4
2）围线Cs的顺时针方向围绕F（S）的一个极点 围线Cs的顺时针方向围绕F Cs的顺时针方向围绕
结论:围线Cs以顺时针方向围绕F(S)的一个极点,则其在F(S)平面 结论:围线Cs以顺时针方向围绕F(S)的一个极点,则其在F(S)平面 Cs以顺时针方向围绕F(S)的一个极点 F(S) 上的映射曲线C 亦按逆时针方向围绕F(S) F(S)平面的坐标原点旋转一 上的映射曲线CF亦按逆时针方向围绕F(S)平面的坐标原点旋转一 周.
lim G ( S ) H ( S ) = lim s →0 ρ →0 K
ρν
e − jνθ
1)ν = 1，C 2 部分在GH平面上的映 射曲线为一半径无穷大 的半圆。
奈奎斯特稳定判据及应用
奈奎斯特稳定判据及应用奈奎斯特稳定判据是一种用于分析线性时不变系统稳定性的常用方法。
该方法的基本思想是通过对系统的频率响应进行分析，判断系统的稳定性。
下面我将详细介绍奈奎斯特稳定判据及其应用。
奈奎斯特稳定判据是由德国数学家埃尔温·奈奎斯特（Ernst Siegfried H Stabilization）在20世纪20年代提出的。
该判据基于系统的开环频率响应曲线和频率扰动的关系，通过分析系统的极点和奈奎斯特曲线的特性来判断系统的稳定性。
在分析一个系统的稳定性时，首先需要了解系统的传递函数。
传递函数是描述系统输入和输出之间关系的数学模型，通常表示为H(s)，其中s是复频率。
传递函数中的极点（也称为极值）是指使传递函数无穷大的复频率值。
对于线性时不变系统，只有当所有的极点都位于s平面的左半平面时，系统才是稳定的。
根据奈奎斯特稳定判据，一个线性时不变系统是稳定的，当且仅当奈奎斯特曲线上的点环绕虚轴的次数等于系统极点位于虚轴右侧的个数。
这可以通过两个主要步骤来实现。
首先，我们需要绘制系统的开环频率响应曲线。
开环频率响应曲线是指系统传递函数H(s)的模量和幅角随频率变化的曲线。
我们可以通过画出传递函数的特定频率响应曲线来获得。
其次，我们需要绘制奈奎斯特曲线。
奈奎斯特曲线是通过将开环频率响应曲线绕过s 轴上方的点连接而得到的曲线。
具体来说，奈奎斯特曲线的性质如下：- 如果系统的开环频率响应曲线没有通过-1+j0（虚轴上的-1点），则奈奎斯特曲线将通过-1+j0；- 如果系统的开环频率响应曲线通过-1+j0，但未环绕虚轴上的任何点，则奈奎斯特曲线将通过-1+j0；- 如果系统开环频率响应曲线经过-1+j0，并绕过了虚轴上的n 个点，则奈奎斯特曲线将通过-1+j0并绕过虚轴上的n 个点。
通过绘制奈奎斯特曲线，我们可以根据它的形状和特性判断系统的稳定性。
奈奎斯特稳定判据的应用广泛，尤其在控制系统设计和分析方面。
奈奎斯特稳定判据
二、控制系统的频域稳定性判据
3. n阶系统 n阶系统稳定的充要条件是当ω由0→∞时， 特征矢量D(jω)的相角变化量为 Δ Arg[D(jω)]= n² 90 °
奈奎斯特稳定判据
三、奈奎斯特判据（奈氏判据） 1. 0型系统（开环没有串联积分的系统）
⑴开环是稳定的系统
如果已知开环系统是稳定的，那么当ω由0→∞时， 若矢量F(j ω)的相角变化量为0，也就是F(j ω)的轨迹不包 围原点，那么闭环系统的特征方程式DB(s)的根全部在s 左半平面，系统是稳定的。否则，系统是不稳定的。 这样，系统稳定问题转化为找出ω由0→∞时，矢量 F(j ω)的相角变化量问题。
奈奎斯特稳定判据
四、伯德图上的稳定性判据 奈氏判据除了可以表示在极坐标图上， 还可以表示在伯德图上。
w + w=+ w=0 -1 P=0 w
0
180
-
+
四、伯德图上的稳定性判据
由图可知，幅相曲线不包围（-1，j0）点。 此结果也可以根据ω增加时，幅相曲线自下 向上（幅角减小）和自上向下（幅角增加） 穿越实轴区间（-∞，-1）的次数决定。
如果把自上向下的穿越称为正穿越，正穿越次 数用N+表示。把自下向上的穿越称为负穿越，负 穿越次数用N-表示，则R可以用N+和N-之差确定， 即 R= N+- N-
由图可知， N+=1， N-=1，故R=0。
四、伯德图上的稳定性判据
1.Bode图与Nyquist图的对应关系 a. Nyquist图的单位圆 | G(j )H(j ) | 1 对应 Bode图的横轴 20lg | G(j )H(j ) | 0 b. | G(j )H(j ) | 1 单位圆外 对应 20lg| G(j )H(j ) | 0 横轴以上区域
4.4 奈奎斯特稳定判据
4.4.1 幅角原理
设为一单值复变函数，其零极点图如图 4.5(a)所示。在 s S平面上取一封闭曲线，记为 ，要求 s 不通过 s F(s)的任一极点和零点。设 包围了F(s)的Z个零点 s 和P个极点。记 在F平面上的映射为 F ，因为 F(s)为一单值复变函数，所以， F 是惟一的，也是 一个封闭曲线，如图4.5(b)所示。
则
0
lim G ( j ) H ( j )
lim G( j ) H ( j ) 0
0
lim G ( j ) H ( j )
2
3 lim G ( j ) H ( j ) 2
奈氏曲线与实轴的交点：将频率特性化为代数 形式： 令
为了分析系统稳定性，通常要确定奈氏曲线的 下列特征： ① 0 的映射； ② 的映射； ③奈氏曲线与实轴的交点； 根据这些映射点画出 对应的奈氏曲线， 然后根据奈氏曲线关于实轴的对称性,画出 的奈氏曲线 0 。 ④奈氏路径中小半圆的映射。
小半圆上的点可以表示为:
G( j ) H ( j ) K (T1 T2 ) (1 2T1T2 ) 2 2 (T1 T2 ) 2 j K ( 2T1T2 1)
[(1 2T1T2 ) 2 2 (T1 T2 ) 2 ]
Im G( j ) H ( j ) V ( ) 0
4.4.2 奈奎斯特稳定判据
判别系统的稳定性，实际上就是判别系统的特征 方程在右半平面有没有极点。下பைடு நூலகம்将幅角原理应用于 稳定性分析。 为了应用幅角原理分析系统稳定性，需要进行下列几 项工作。 1）取 F(s)=1+G(s)H(s)：当 G(s)与 H(s) 没有零、极点对 消时， F(s) 的零点就是系统的全部闭环极点或特征根， F(s)的极点就是系统的开环极点；当G(s)与H(s)存在零、 极点对消时， F(s) 的零点加上对消掉的开环极点，就 是系统的全部闭环极点。 下面先讨论 G(s) 与 H(s) 没有零、极点对消的情况， 导出奈奎斯特稳定判据，最后用一个例子说明 G(s) 与 H(s)有零、极点对消时的处理方法。
奈奎斯特判据
1. 围绕圈数的计算
（1 ）负穿 越：开 环系 统的幅 相频 率特 性曲线 由下 向上（ 顺时 针方向 ，幅 角减小 ）对
( ，1) 区间的穿越，计为 N 1。而从 ( ，1) 区间实轴开始的负穿越称为半次负穿越，
记为
N
1 2
。
（2 ）正穿 越：开 环系 统的幅 相频 率特 性曲线 由上 向下（ 逆时 针方向 ，幅 角增大 ）对
自动控制工程基础与应用
奈奎斯特判据
奈奎斯特判据又称频域稳定性判据，简称奈氏判据，它是在频域中利用系统的开环 频率特性来获得闭环系统稳定性的判断方法。
1.1 奈奎斯特判据的基本思想
幅角定理是奈奎斯特判据的数学基础，其基本表述如下。
假设单值有理函数 F(s) 在 s 平面上除有限个极点外都是可解析的，并设 F(s) 有 z 个零
图4-10 开环对数频率特性曲线
自动控制工程基础与应用
2π
奈奎斯特判据1.2 奈奎ຫໍສະໝຸດ 特判据奈奎斯特判据的描述如下。
已知系统的开环频率特性 Gk (j) ，则闭环系统稳定的充分必要条件为当 由 0 增至
时，辅助函数 F(s) 1 Gk (s) 的角度增量满足
F(j) 2pπ
：0
式中 p ——s 右半平面上开环极点的个数。
（4-10）
（1）当 p 0 时，因为 F( j) 1 Gk ( j) ，所以式（4-10）又可以写为
p0， 2， m0， n3
画出增补线（图中虚线），所以有 N 0 ， N 1 则开环对数频率特性曲线对 180 相位线的正负穿越次数之差为 R N N 1
奈奎斯特判据
1.3 奈奎斯特判据在伯德图中的应用
3. 对数频率稳定判据
由于 p 2R 2 0 ，即 p 2R ，所以该闭环系统不稳定。
（1 ）负穿 越：开 环系 统的幅 相频 率特 性曲线 由下 向上（ 顺时 针方向 ，幅 角减小 ）对
( ，1) 区间的穿越，计为 N 1。而从 ( ，1) 区间实轴开始的负穿越称为半次负穿越，
记为
N
1 2
。
（2 ）正穿 越：开 环系 统的幅 相频 率特 性曲线 由上 向下（ 逆时 针方向 ，幅 角增大 ）对
自动控制工程基础与应用
奈奎斯特判据
奈奎斯特判据又称频域稳定性判据，简称奈氏判据，它是在频域中利用系统的开环 频率特性来获得闭环系统稳定性的判断方法。
1.1 奈奎斯特判据的基本思想
幅角定理是奈奎斯特判据的数学基础，其基本表述如下。
假设单值有理函数 F(s) 在 s 平面上除有限个极点外都是可解析的，并设 F(s) 有 z 个零
图4-10 开环对数频率特性曲线
自动控制工程基础与应用
2π
奈奎斯特判据1.2 奈奎ຫໍສະໝຸດ 特判据奈奎斯特判据的描述如下。
已知系统的开环频率特性 Gk (j) ，则闭环系统稳定的充分必要条件为当 由 0 增至
时，辅助函数 F(s) 1 Gk (s) 的角度增量满足
F(j) 2pπ
：0
式中 p ——s 右半平面上开环极点的个数。
（4-10）
（1）当 p 0 时，因为 F( j) 1 Gk ( j) ，所以式（4-10）又可以写为
p0， 2， m0， n3
画出增补线（图中虚线），所以有 N 0 ， N 1 则开环对数频率特性曲线对 180 相位线的正负穿越次数之差为 R N N 1
奈奎斯特判据
1.3 奈奎斯特判据在伯德图中的应用
3. 对数频率稳定判据
由于 p 2R 2 0 ，即 p 2R ，所以该闭环系统不稳定。
奈奎斯特稳定判据
幅角原理：如果封闭曲线内有Z个F(s)的零点， P个
F(s)的极点 ，则s 沿封闭曲线s 顺时针方向转一圈时，在
F(s)平面上，曲线F(s)绕其原点逆时针转过的圈数。
+
5. 4 . 3 奈氏判据
（1）0型系统
0
s为包围虚轴和整个右半平面。
s平面s 映射 F(s)
解：① 由开环传递函数知 P = 1 。 ② 作系统的开环对数频率特性曲线。
() = 90 + arctanT2 (180 arctanT1 )
270
arctan
(T1 1
T2 ) 2T1 T2
当() = 180时，g =(1/T1T2)1/2 ，A(g)=kT2
③ 稳定性判别。 G(s)H(s)有一个积分环节N =1 ，故
开环极坐标图如图
j
01
19
k(0.1s 1) Gk (s) s(s 1)
=0
Im
增补线
1 0.1k
Re 0
(3) 稳定性判别: 因为是1型系统，需作增补线如图
当 0.1k < 1 ，k > 10时， R =1/2，z = p 2R = 0
闭环系统是稳定的。
20
5.4.4 伯德图上的稳定性判据
Im
() 1
(+)
0
由图可知，幅相曲线 不 包 围 (1 ， j0) 点 。 此 结
Re 果也可以根据 增加时幅
相曲线自下向上(幅角减 小)和自上向下(幅角增加) 穿越实轴区间(，1)的 次数决定。
R = N N
自实轴区间（，1）开始向下的穿越称为半次正穿越，自实轴
区间（，1）开始向上的穿越为半次负穿越。
奈氏判据
14
例10 已知反馈控制系统的开环传递函数为
K G ( s) H ( s) (T1s 1)(T2 s 1)
试用奈氏判据分析系统的稳定性。
Im
( K 0, T1 0, T2 0)
GH
Re
0
该系统 稳定
1
0
K
图4-38
例10奈氏曲线
15
P 2
S2
Z2
P 1
0
0
F (S1 )
Re
S3
Ls
(a )
(b)
LF
图4-36
S 和 F(s) 的映射关系
8
设 F (s) 在S平面上，除有限个奇点外，为单值的连续函 数，若在S平面上任选一封闭曲线 Ls ，并使 Ls不通过 F (s) 的奇点，则S平面上的封闭曲线 Ls映射到F(s)平面 上也是一条封闭曲线 LF 。当解析点s按顺时针方向沿 Ls 变化一周时，则在 F (s) 平面上，LF 曲线按逆时针方 向旋转的周数N（每旋转2弧度为一周），或 LF 按逆 时针方向包围 F(s)平面原点的次数，等于封闭曲线 Ls 内包含F(s)的极点数P与零点数Z之差。即
11
二、奈奎斯特轨迹及其映射 v 0
j
( 2)
S
(3)
R
Im
0
F
F ( s ) s j F ( j ) ( I m) ~
S平面的右半圆
Re
0
( R )
GH
0
R F () 1 G() H () 1 e
Im
GH
0 0
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如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根 据柯西幅角原理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的
次数应为：
N = F(s)的右半零点数－F(s)的右半极点数
= 闭环系统右半极点数－开环系统右半极点数
当已知开环右半极点数时，便可由N判断闭环右极点数。
这里需要解决两个问题：
1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是
现考虑S平面上一点s1映射到F(s)平面上的点F(s1)可以用一
个向量来表示，即当
m
K (s1 zi )
F (s1)
i 1 n
(s1 p j )
j 1
m
m
F(s1)
K
F (s1) e jF (s1)
i1 n
s1 zi e j(s1zi )
K i1
n
s1 zi
m
n
e j
i
对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是 不稳定的。对于上面讨论的复变函数 F(s)＝1＋Gk(s)，其零点恰 好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的零点在s右半平面的 个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为零，
则闭环系统是稳定的。
奈奎斯特为了应用柯西幅角原理研究闭环系统的稳定性， 因此设想：
1 GH
1 Gk
……………..(c)
显然，令复变函数等于零即是闭环特征方程。复变函数的 阶数为n阶，且分子分母同阶。则复变函数可写成以下形式：
n
(s zi )
F(s)
i 1 n
。式中， zi , p j 为F(s)的零、极点。
(s pj)
j 1
由 (a)、(b)及(c)式可以看出：
F(s)的极点为开环传递函数的极点； F(s)的零点为闭环传递函数的极点；
5.4 奈奎斯特稳定判据
5.4.1 辐角原理 5.4.2 奈奎斯特稳定判据 5.4.3 系统含有积分环节时奈奎斯特稳定
判据的应用 5.4.4 奈奎斯特稳定判据应用举例
5.4.1 辐角原理
对于一个复变函数
F (s) K (s z1 )(s z2 ) (s zm ) (s p1 )(s p2 ) (s pn )
因子项(s+0) 的幅角b在变点s沿CS绕
行一周后的变化也等于0°。
于是，映射到F(S)平面上，当变点 F(s)沿CF绕行一周后的幅角变化也应 等于0°。这表明，围线CF此时不包
围原点。
b
GF E
CS顺时针
2
1.5
F ( s)平面
G 1
0.5 0
E D
F
H
C
-0.5
B
-1
A
-1.5
-2 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
射；
③ 以 s = j 代入F(s)，令从－∞→0 ，得第三部分的映射。
得到映射曲线后，就可由柯西幅角定理计算 N = Z－P，式 中Z、P是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。
若已知P，并能确定N，可求出Z = N + P 。当Z = 0时，
系统稳定；否则不稳定。
第2个问题：如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并 将它和开环频率特性Gk(j)相联系？
面上的点 为d f(0，-j1),见下图：
ds (1, j1)
s平面
2 1
F (s)平面
d f (0, j1)
F( j) 2 j ，当 1， 1时，F (1 j) 1 j j
j
1 j
F(s)的值域构成的复平面称为F(s)平面。S平面上的每一点 依照所给的函数关系，将映射到F(s)平面上的相应点。其中S平 面上的全部零点都映射到F(s)平面上的原点；S平面上的极点映 射到F(s)平面上时都变成了无限远点。除了S平面上的零、极点 之外的普通点，映射到F(s)平面上是除原点之外的有限远点。
F平面 Im Gk平面
4
4
3
3
2
2
F平面 原点 1
1 Gk平面原点
-2
-1 0 =1∞ 2
345
Re
-2
-1
0
12
3
4
5
Gk平面 -1
-1
(-1,j0)
= 0
点 -2 -2
-3 -3
-4 -4
根据上面的讨论，如果将柯西幅角定理中的封闭曲线取奈 奎斯特路径，则可将柯西幅角定理用于判断闭环控制系统的稳 定性。就是下面所述的奈奎斯特稳定判据。
1. 围线CS既不包围零点也不包围极点
如图所示，在S平面上当变点s沿围 线CS按顺时针方向运动一周时，我 们来考察F(S)中各因子项的幅角的变
化规律。
s平面
A
2
1 a
H
1
BC
D
23
现以图中未被包围的零点-2为例。
当变点s沿CS绕行一周后，因子(s+2)
的幅角a的变化为0°。
同理，对未被包围的极点也是一样，
2. 围线CS只包围零点不包围极点
如图所示围线CS包围一个零点z=-2，考察因子(s+2)幅角a，当 变点s沿CS顺时针绕行一周时，a的变化为-360°。映射到F(S)平 面上对应变点F(S)沿CF绕行一周后的幅角变化也应等于-360°。
A BC
s平面
H
D
2 a 1
GFE
CS顺时针
2
1.5
1
0.5
F(s) F(s2 ) F(s1)
im1(s2
zi )
n
( s2
j1
p j )
im1(s1
zi )
n
( s1
j1
p j )
[例]设：F(s) s 2 ，当s平面上的动点沿平行于虚轴的直线，从
s
(-1，j1)到(-1，j0) ，映射到F(s)平面上的点将沿某曲线从(0，-
j1)到(-1，-j0) ，相角的变化为：
满足柯西幅角条件的？
2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并将它和开 环频率特性Gk(j)相联系？
第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向 做一条曲线CS包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈奎斯特
路径。如下图所示。它可分为三部分：
Ⅰ
0
e j
Cs
Ⅲ Ⅱ
① 正虚轴： s j 0
第Ⅲ部分的映射是第Ⅰ部分的映射关于实轴的对称。
②F(s)对原点的包围，相当于Gk(s)对(-1,j0)的包围；即映射曲线 F(s)对原点的包围次数N与Gk(s)对(-1,j0)点的包围的次数一样。 ③F(s)的极点就是Gk(s)的极点，因此F(s)在右半平面的极点数就 是Gk(s)在右半平面的极点数。
0
D
-0.5
E G A
-1
C
-1.5
-2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
同理，当围线CS的内域包含Z个零点时(但不包含极点)， CF应顺
时针包围原点Z次。
3. 围线CS只包围极点不包围零点
这种情况如图所示，如果围线CS包围一个极点 ，则当变点s沿CS 顺时针绕行一周时，因子(s+0)-1的幅角-b将变化360°。映射到
奈奎斯特所构造的的F(s)＝1＋Gk(s)，Gk(s)为开环传递函数。
因此，有以下三点是明显的：
①由Gk(j)可求得F(j) ，而Gk(j)是开环频率特性。
奈奎斯特路径的第Ⅰ部分的映射是Gk(j)曲线向右移1； 第Ⅱ部分的映射，一般在Gk(s)中，分母阶数比分子阶数高， 所以当s=∞·ej 时， Gk(s)→0，即F(s)=1。若分母阶数=分子 阶数，则Gk(s)→K(零极点形式的开环增益)，即F(s)=1+K。
1
(
s1
zi
)
j
1
(
s1
p
j
)
s1 p j e j(s1 p j )
s1 p j
j 1
j 1
向量的幅值为
m
K s1 zi
F(s1)
i 1 n
s1 p j
j1
向量的相角为
m
n
F(s1) (s1 zi ) (s1 p j )
i1
j1
Im S平面
• Re
Im
•
F(s)
(s)
向量的相角为 F (s1) (s1 zi ) (s1 p j ) 45 135 90
若取ds点为(-1，j0) 则在F(s)平面的向量的
幅值为1
向量的相角为－180°
s平面
ds(1, j1)
2 1
F (s)平面
df (0, j1)
当S平面上动点s从s1经过某曲线CS到达s2，映射到F(s)平面上也 将是一段曲线CF ，该曲线完全由F(s)表达式和s平面上的曲线CS 决定。若只考虑动点s从s1到达s2相角的变化量，则有
则开环传递函数为：Gk
(s)
M1(s)M 2 (s) N1(s)N2 (s)
闭环传递函数为：(s) M1N2 M1M 2 N1N2
…………… (a) …………… (b)
将闭环特征式与开环特征式之比构成一个复变函数，得：
F (s) M1M 2 N1N2 N1 N 2
1 M1 M2 N1 N2
[奈奎斯特稳定判据]：若系统的开环传递函数在右半平面上有P 个极点，且开环频率特性曲线对(－1，j0)点包围的次数为N， （N > 0顺时针，N < 0 逆时针），则闭环系统在右半平面的极 点数为：Z = N + P。若Z = 0 ，则闭环系统稳定，否则不稳定。
F(s)平面 Re
[例]设：F(s) s 2 ，则s平面上
次数应为：
N = F(s)的右半零点数－F(s)的右半极点数
= 闭环系统右半极点数－开环系统右半极点数
当已知开环右半极点数时，便可由N判断闭环右极点数。
这里需要解决两个问题：
1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是
现考虑S平面上一点s1映射到F(s)平面上的点F(s1)可以用一
个向量来表示，即当
m
K (s1 zi )
F (s1)
i 1 n
(s1 p j )
j 1
m
m
F(s1)
K
F (s1) e jF (s1)
i1 n
s1 zi e j(s1zi )
K i1
n
s1 zi
m
n
e j
i
对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是 不稳定的。对于上面讨论的复变函数 F(s)＝1＋Gk(s)，其零点恰 好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的零点在s右半平面的 个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为零，
则闭环系统是稳定的。
奈奎斯特为了应用柯西幅角原理研究闭环系统的稳定性， 因此设想：
1 GH
1 Gk
……………..(c)
显然，令复变函数等于零即是闭环特征方程。复变函数的 阶数为n阶，且分子分母同阶。则复变函数可写成以下形式：
n
(s zi )
F(s)
i 1 n
。式中， zi , p j 为F(s)的零、极点。
(s pj)
j 1
由 (a)、(b)及(c)式可以看出：
F(s)的极点为开环传递函数的极点； F(s)的零点为闭环传递函数的极点；
5.4 奈奎斯特稳定判据
5.4.1 辐角原理 5.4.2 奈奎斯特稳定判据 5.4.3 系统含有积分环节时奈奎斯特稳定
判据的应用 5.4.4 奈奎斯特稳定判据应用举例
5.4.1 辐角原理
对于一个复变函数
F (s) K (s z1 )(s z2 ) (s zm ) (s p1 )(s p2 ) (s pn )
因子项(s+0) 的幅角b在变点s沿CS绕
行一周后的变化也等于0°。
于是，映射到F(S)平面上，当变点 F(s)沿CF绕行一周后的幅角变化也应 等于0°。这表明，围线CF此时不包
围原点。
b
GF E
CS顺时针
2
1.5
F ( s)平面
G 1
0.5 0
E D
F
H
C
-0.5
B
-1
A
-1.5
-2 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
射；
③ 以 s = j 代入F(s)，令从－∞→0 ，得第三部分的映射。
得到映射曲线后，就可由柯西幅角定理计算 N = Z－P，式 中Z、P是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。
若已知P，并能确定N，可求出Z = N + P 。当Z = 0时，
系统稳定；否则不稳定。
第2个问题：如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并 将它和开环频率特性Gk(j)相联系？
面上的点 为d f(0，-j1),见下图：
ds (1, j1)
s平面
2 1
F (s)平面
d f (0, j1)
F( j) 2 j ，当 1， 1时，F (1 j) 1 j j
j
1 j
F(s)的值域构成的复平面称为F(s)平面。S平面上的每一点 依照所给的函数关系，将映射到F(s)平面上的相应点。其中S平 面上的全部零点都映射到F(s)平面上的原点；S平面上的极点映 射到F(s)平面上时都变成了无限远点。除了S平面上的零、极点 之外的普通点，映射到F(s)平面上是除原点之外的有限远点。
F平面 Im Gk平面
4
4
3
3
2
2
F平面 原点 1
1 Gk平面原点
-2
-1 0 =1∞ 2
345
Re
-2
-1
0
12
3
4
5
Gk平面 -1
-1
(-1,j0)
= 0
点 -2 -2
-3 -3
-4 -4
根据上面的讨论，如果将柯西幅角定理中的封闭曲线取奈 奎斯特路径，则可将柯西幅角定理用于判断闭环控制系统的稳 定性。就是下面所述的奈奎斯特稳定判据。
1. 围线CS既不包围零点也不包围极点
如图所示，在S平面上当变点s沿围 线CS按顺时针方向运动一周时，我 们来考察F(S)中各因子项的幅角的变
化规律。
s平面
A
2
1 a
H
1
BC
D
23
现以图中未被包围的零点-2为例。
当变点s沿CS绕行一周后，因子(s+2)
的幅角a的变化为0°。
同理，对未被包围的极点也是一样，
2. 围线CS只包围零点不包围极点
如图所示围线CS包围一个零点z=-2，考察因子(s+2)幅角a，当 变点s沿CS顺时针绕行一周时，a的变化为-360°。映射到F(S)平 面上对应变点F(S)沿CF绕行一周后的幅角变化也应等于-360°。
A BC
s平面
H
D
2 a 1
GFE
CS顺时针
2
1.5
1
0.5
F(s) F(s2 ) F(s1)
im1(s2
zi )
n
( s2
j1
p j )
im1(s1
zi )
n
( s1
j1
p j )
[例]设：F(s) s 2 ，当s平面上的动点沿平行于虚轴的直线，从
s
(-1，j1)到(-1，j0) ，映射到F(s)平面上的点将沿某曲线从(0，-
j1)到(-1，-j0) ，相角的变化为：
满足柯西幅角条件的？
2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并将它和开 环频率特性Gk(j)相联系？
第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向 做一条曲线CS包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈奎斯特
路径。如下图所示。它可分为三部分：
Ⅰ
0
e j
Cs
Ⅲ Ⅱ
① 正虚轴： s j 0
第Ⅲ部分的映射是第Ⅰ部分的映射关于实轴的对称。
②F(s)对原点的包围，相当于Gk(s)对(-1,j0)的包围；即映射曲线 F(s)对原点的包围次数N与Gk(s)对(-1,j0)点的包围的次数一样。 ③F(s)的极点就是Gk(s)的极点，因此F(s)在右半平面的极点数就 是Gk(s)在右半平面的极点数。
0
D
-0.5
E G A
-1
C
-1.5
-2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
同理，当围线CS的内域包含Z个零点时(但不包含极点)， CF应顺
时针包围原点Z次。
3. 围线CS只包围极点不包围零点
这种情况如图所示，如果围线CS包围一个极点 ，则当变点s沿CS 顺时针绕行一周时，因子(s+0)-1的幅角-b将变化360°。映射到
奈奎斯特所构造的的F(s)＝1＋Gk(s)，Gk(s)为开环传递函数。
因此，有以下三点是明显的：
①由Gk(j)可求得F(j) ，而Gk(j)是开环频率特性。
奈奎斯特路径的第Ⅰ部分的映射是Gk(j)曲线向右移1； 第Ⅱ部分的映射，一般在Gk(s)中，分母阶数比分子阶数高， 所以当s=∞·ej 时， Gk(s)→0，即F(s)=1。若分母阶数=分子 阶数，则Gk(s)→K(零极点形式的开环增益)，即F(s)=1+K。
1
(
s1
zi
)
j
1
(
s1
p
j
)
s1 p j e j(s1 p j )
s1 p j
j 1
j 1
向量的幅值为
m
K s1 zi
F(s1)
i 1 n
s1 p j
j1
向量的相角为
m
n
F(s1) (s1 zi ) (s1 p j )
i1
j1
Im S平面
• Re
Im
•
F(s)
(s)
向量的相角为 F (s1) (s1 zi ) (s1 p j ) 45 135 90
若取ds点为(-1，j0) 则在F(s)平面的向量的
幅值为1
向量的相角为－180°
s平面
ds(1, j1)
2 1
F (s)平面
df (0, j1)
当S平面上动点s从s1经过某曲线CS到达s2，映射到F(s)平面上也 将是一段曲线CF ，该曲线完全由F(s)表达式和s平面上的曲线CS 决定。若只考虑动点s从s1到达s2相角的变化量，则有
则开环传递函数为：Gk
(s)
M1(s)M 2 (s) N1(s)N2 (s)
闭环传递函数为：(s) M1N2 M1M 2 N1N2
…………… (a) …………… (b)
将闭环特征式与开环特征式之比构成一个复变函数，得：
F (s) M1M 2 N1N2 N1 N 2
1 M1 M2 N1 N2
[奈奎斯特稳定判据]：若系统的开环传递函数在右半平面上有P 个极点，且开环频率特性曲线对(－1，j0)点包围的次数为N， （N > 0顺时针，N < 0 逆时针），则闭环系统在右半平面的极 点数为：Z = N + P。若Z = 0 ，则闭环系统稳定，否则不稳定。
F(s)平面 Re
[例]设：F(s) s 2 ，则s平面上