第五章Nyquist稳定判据
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控制工程基础 (第12讲) 第五章 乃魁斯特(Nyquist)稳定性判据 PPT课件
如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点(k=0,1,2…)，
即包围的零点数与极点数相同，则在 F(s) 平面上，
相应的封闭曲线不包围 F(s) 平面上的原点。
上述讨论是映射定理的图解说明，奈奎斯特稳 定判据正是建立在映射定理的基础上。
相角（幅角）定理：
如果闭合曲线 s 以顺时针方向为正方向，在 s 平
在右半s平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这 种方法无须求出闭环极点，得到广泛应用。
奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形映 射基础上的 。
相角（幅角）定理：
如果闭合曲线 S 以顺时针方向为正方向，在[S]平
面上包围了Fs 的 Z 个零点和 P 个极点，但不经过
任何一个零点和极点，那么，对应的映射曲线 F 也以
奈魁斯特稳定判据是利用开环频率特性判别闭环系统的稳 定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的 概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。 它从代数判据脱颖而出，故可以说是一种几何判据。
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
2
奈魁斯特稳定判据无需求取闭环系统的特征根，而是利用
F(s) 的轨迹将逆时针方向包围 F(s)平面上原点两次
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
9
s平面
B3
2
1
A0
-1
-2
F -3 -3
-2
-1
j
Im
C
2
1.5
F (s)平面
1 B1
0.5
D
E1
0 C1
F1 -0.5
-1
A
-1.5
D1
5.5Nyquist稳定判据
由于F（jw）与 G（jw）H（jw）这两个矢量之间相差1，
所以可以直接用系统开环的Nyquist轨迹来判断稳定性。
4、总结：
Nyquist稳定判据（系统稳定的充要条件）
①系统开环稳定，G j H j Nyquist曲线 不包围 1, j 0 点，系统闭环后稳定。 ②若系统开环不稳定，有q个特征根都在S
N S S 2n S n S p1 S p2 0
2 2
① 1 A
稳 定 1 状 2 态 p p1 2
Im
不 稳 j j 定 1 Re 状 2 0 0 p p2 1 态
2
Im
B
Re
N j 2
:0
A 20 1 2 1 (2 ) 2 1 (5 ) 2
0 tg 1 tg 1 2 tg 1 5
A 0 20 A 0
0 0 270
四、“穿越”与系统稳定性的判 定 （1）
2
:0
称米哈伊洛夫稳定定理
二、Nyquist稳定判据
1、开环特征方程式与闭环特征方程式的关系
FS 1 GSHS
F
KNS 令 G SHS DS
S
D S KN DS
S
DB DK
S S
K1 S S1 S S 2 S S n K 2 S p1 S p2 S pn
2
③无论开环稳定或不稳定，若闭环不稳定， 则系统闭环后在右半平面根的个数为Z ,则
Z q 2 N q 2( N N )
N ：开环 Nyquist曲线在实轴 (,1) 段的正 穿越次数， N 负穿越次数。
第五章频域法-奈奎斯特稳定判据2009
K s(s + 1)(0.1s + 1)
，K=2，判断闭环系统是否稳定。 K=2，判断闭环系统是否稳定。 闭环系统是否稳定
− 6(0.33s + 1) 有开环右极点。判断闭环系统是否稳定 闭环系统是否稳定。 ，有开环右极点。判断闭环系统是否稳定。 s (− s + 1)
K s 2 (T1 s + 1)(T2 s + 1)
说明： 说明： (s)包围原点的周数等于 (s)包围 点的周数。 包围原点的周数等于G 包围1）1+G0(s)包围原点的周数等于G0(s)包围-1点的周数。 的图像不包围2）若p=0,则G0(s)的图像不包围-1点。 p=0,则 (s)的图像不包围 ∞→+∞的图像 的图像。 3）只需画G0（jω）在ω从-∞→+∞的图像。 只需画G jω） (jω)与 jω)对称 只画ω 0→+∞的 (jω)图像 对称， 图像。 4）G0(jω)与G0(-jω)对称，只画ω从0→+∞的G0(jω)图像。 5）奈氏判据可用于具有延时单元的系统。 奈氏判据可用于具有延时单元的系统。 的零点（ 6）D围线不经过F(s)=1+G0(s)的零点（闭环极点）和极点（开环极点）， 围线不经过F(s)=1+G (s)的零点 闭环极点）和极点（开环极点）， 若D围线经过F(s)的极点（开环极点），则改用“广义D围线” 围线经过F(s)的极点（开环极点），则改用“广义D围线” F(s)的极点 ），则改用 Nyquist 稳定判据： 稳定判据： 如果开环传函G (s)有 个右半复平面的极点，则闭环系统稳定的充分必要条件是： 如果开环传函G0(s)有p个右半复平面的极点，则闭环系统稳定的充分必要条件是： 连续变到+∞ +∞时 开环（幅相）频率特性图G jω）逆时针方向包围 当ω从-∞连续变到+∞时，开环（幅相）频率特性图G0（jω）逆时针方向包围 复平面上的-1点 圈 复平面上的 点p圈。 若系统不稳定，可求出右根的个数z= 若系统不稳定，可求出右根的个数 n+ p
，K=2，判断闭环系统是否稳定。 K=2，判断闭环系统是否稳定。 闭环系统是否稳定
− 6(0.33s + 1) 有开环右极点。判断闭环系统是否稳定 闭环系统是否稳定。 ，有开环右极点。判断闭环系统是否稳定。 s (− s + 1)
K s 2 (T1 s + 1)(T2 s + 1)
说明： 说明： (s)包围原点的周数等于 (s)包围 点的周数。 包围原点的周数等于G 包围1）1+G0(s)包围原点的周数等于G0(s)包围-1点的周数。 的图像不包围2）若p=0,则G0(s)的图像不包围-1点。 p=0,则 (s)的图像不包围 ∞→+∞的图像 的图像。 3）只需画G0（jω）在ω从-∞→+∞的图像。 只需画G jω） (jω)与 jω)对称 只画ω 0→+∞的 (jω)图像 对称， 图像。 4）G0(jω)与G0(-jω)对称，只画ω从0→+∞的G0(jω)图像。 5）奈氏判据可用于具有延时单元的系统。 奈氏判据可用于具有延时单元的系统。 的零点（ 6）D围线不经过F(s)=1+G0(s)的零点（闭环极点）和极点（开环极点）， 围线不经过F(s)=1+G (s)的零点 闭环极点）和极点（开环极点）， 若D围线经过F(s)的极点（开环极点），则改用“广义D围线” 围线经过F(s)的极点（开环极点），则改用“广义D围线” F(s)的极点 ），则改用 Nyquist 稳定判据： 稳定判据： 如果开环传函G (s)有 个右半复平面的极点，则闭环系统稳定的充分必要条件是： 如果开环传函G0(s)有p个右半复平面的极点，则闭环系统稳定的充分必要条件是： 连续变到+∞ +∞时 开环（幅相）频率特性图G jω）逆时针方向包围 当ω从-∞连续变到+∞时，开环（幅相）频率特性图G0（jω）逆时针方向包围 复平面上的-1点 圈 复平面上的 点p圈。 若系统不稳定，可求出右根的个数z= 若系统不稳定，可求出右根的个数 n+ p
机械工程控制基础(第5章_系统的稳定性)
（5.2.3）
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比较式（5.2.2）与式（5.2.3）可看出根与系数有如下的关系：
n an1 si an i 1
n a n2 si s j an i j
i 1, j 2
an3 an
i jk
s s s
i
n
j k
（5.2.4）
i 1, j 2 , k 3
n a0 n 1 si i 1 an
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从式（5.2.4）可知，要使全部特征根 s1 , s2 , , sn 均具有负实部，就必 须满足以下两个条件，即系统稳定的必要条件: (1)特征方程的各项系数 ai (i 0,1, 2,, n 1, n) 都不等于零，因为若有一 系数为零，则必出现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根，才 能满足式（5.2.4）中各式。 (2)特征方程的各项系数 ai的符号都相同，这样才能满足式(5.2.4)中各式。 按习惯，一般取 ai 为正值，因此，上述两个条件可归结为系统稳定 的一个必要条件，即
E 来越小，系统最终趋于稳定； ( s )
若反馈的结果，加强了E(s)的作用（即正反馈），则使 Xo(s) 越来越 大，此时，此闭环系统是否稳定，则视 Xo( s ) 是收敛还是发散而定。
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第三，控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性。
即讨论输入为零，系统仅存在有初始状态不为零时的稳定性，即
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5.2.2 系统稳定的充要条件
1. Routh表
（1）将系统的特征方程式（5.2.1）的系数按下列形式排成两行：
an
an1ห้องสมุดไป่ตู้
(第13讲) 第五章 乃魁斯特(Nyquist)稳定性判据
在控制系统应用中，由
F (s) 1 G (s)H (s)
很容易确定
的P数。因此，如果， F (s )
的轨迹图中确定了R，则s平面上封闭曲线内的零点数
很容易确定。
开环传递函数与闭环传递函数的关系：
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
14
R(s)
C(s) G (s )
G (s)
B1 ( s ) A1 ( s )
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控制系统系统的稳定性分析
3
奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stability Criterion) 闭环传递函数
C (s) R (s) G (s)
R(s) G (s )
C(s)
H(s )
1 H ( s )G ( s )
图5-4-1 闭环系统 结构图
1 H ( s )G ( s ) 0
例如：考虑下列开环传递函数：
06-7-20 控制系统系统的稳定性分析 6
G (s)H (s)
6 ( s 1)( s 2 )
其特征方程为：
6
F (s) 1 G (s)H (s) 1
( s 1)( s 2 )
( s 1 . 5 j 2 . 4 )( s 1 . 5 j 2 . 4 ) ( s 1)( s 2 )
控制系统系统的稳定性分析 11
如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点(k=0,1,2…)，
即包围的零点数与极点数相同，则在 F ( s ) 平面上，
相应的封闭曲线不包围
F (s)
平面上的原点。
上述讨论是映射定理的图解说明，奈奎斯特稳 定判据正是建立在映射定理的基础上。
第五章(2)Nyquist稳定判剧
3.Bode图判断 1)无开环极点的判断(V=0) N=N+-NZ=P-2N 2)有开环极点的判断(V≠0) N 先逆时针补画,然后再判断.向上补画V90逆时针 .
180
0
N
N
N
例5.4 Bode图判断
P=0,V=0 P=0,V=1
180 0
180
0
N
N 1)无开环极点的判断(V=0) 2)有开环极点的判断 (V≠0) N=N+-N-=0 先向上补画V90. Z=P-2N=0 N+=1,N-=1 N=N+-N-=0 Z=P-2N=0
s lim e
0
j
当ε从0ˉ沿小半圆变到0+时，θ按逆时针方向 旋转了π，G(s)H(s)在其平面上的映射为
G( s) H ( s)
K j s lim e
0
(T s 1)
j
m
s
j 1 n v v i 1
( s 1)
i
j s lim e 0
５.４ 频率稳定性判据
奈奎斯特稳定判据是根据系统开环频率特性判断系统 闭环系统稳定性的方法.既可以使用Nyquist图,又可以使用 Bode图. 教学要求: 理解奈奎斯特回线的概念,掌握奈奎斯特稳定判据及其 应用. 教学内容: 一.映射定理 二.奈奎斯特回线 三.奈奎斯特判据 四.奈奎斯特稳定判据应用 教学难点: 完整Nyquist图的绘制.
F ( s) ( s z j ) (s pi )
j 1 i 1 m n
1.包含一个零点: 假定在s平面上的封闭曲线包围了F(s)的一个零点z1，而 其他零极点都位于封闭曲线之外，则当s沿着s平面上的封闭 曲线顺时针方向移动一周时，相量(s-z1)的相角变化-2π弧度， 而其他各相量的相角变化为零。
河南理工大学自动控制原理第5章 第3讲 Nyquist稳定性判据及稳定裕度2012
其零点恰好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的的零点 在s右半平面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右 半零点个数为零，则闭环系统是稳定的。 如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据柯 西幅角定理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次 数应为：
R= F(s)|开环右半极点数 −F(s)|右半零点数 =P-Z
K
试判断闭环系统的稳定性。
s(T1s + 1)(T2 s + 1)
解 系统的开环频率特性为
G ( jω )H ( jω ) =
K
jω (1 + jω T1 )(1 + jω T2 )
[解]：显然这是I型系统。先根据奈
氏路径画出完整的映射曲线。
ω = 0−
从图上看出：映射曲线顺时针包 围(-1,j0)一圈，逆时针包围(-1,j0) 一圈，所以R=1-1=0，而P = 0 ， 故 Z = P − R = 0 ，闭环系统是稳 定的。
ω = +∞ −1 ω = −∞
ω = 0+
21
[例5]某最小相位系统的开环频率特性 如下图所示，试用奈氏判 据判断闭环系统稳定性。
（3）若R≠P，则系统闭环不稳定，在右半平面的极点数 Z=P-R
（4）若GH曲线通过（-1，j0）点L次，则说明闭环系统有L 个极点分布在s平面的虚轴上。
13
[例1] 设单位反馈系统的开环传递函数如下如示，试
用奈氏判据判定闭环系统的稳定性。G ( s) =
K
(T1 s + 1)(T 2 s + 1)
容易看出： δ ∠(s－z1)＝－2π
δ ∠(s－zi )＝0 (i＝2,3)
δ ∠(s－pj )＝0 ( j＝1,2,3)
R= F(s)|开环右半极点数 −F(s)|右半零点数 =P-Z
K
试判断闭环系统的稳定性。
s(T1s + 1)(T2 s + 1)
解 系统的开环频率特性为
G ( jω )H ( jω ) =
K
jω (1 + jω T1 )(1 + jω T2 )
[解]：显然这是I型系统。先根据奈
氏路径画出完整的映射曲线。
ω = 0−
从图上看出：映射曲线顺时针包 围(-1,j0)一圈，逆时针包围(-1,j0) 一圈，所以R=1-1=0，而P = 0 ， 故 Z = P − R = 0 ，闭环系统是稳 定的。
ω = +∞ −1 ω = −∞
ω = 0+
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[例5]某最小相位系统的开环频率特性 如下图所示，试用奈氏判 据判断闭环系统稳定性。
（3）若R≠P，则系统闭环不稳定，在右半平面的极点数 Z=P-R
（4）若GH曲线通过（-1，j0）点L次，则说明闭环系统有L 个极点分布在s平面的虚轴上。
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[例1] 设单位反馈系统的开环传递函数如下如示，试
用奈氏判据判定闭环系统的稳定性。G ( s) =
K
(T1 s + 1)(T 2 s + 1)
容易看出： δ ∠(s－z1)＝－2π
δ ∠(s－zi )＝0 (i＝2,3)
δ ∠(s－pj )＝0 ( j＝1,2,3)
54奈魁斯特稳定判据1汇总
Friday, February 21, 2020
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注意：若有v个积分环节的系统，则在∠G(j0+)延长 至∠G(j0+)+v×90°处，其延长线也为相频 曲线一部分。
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三、最小相位系统的奈氏判据：
开环频率特性Gk (s)在s右半平面无零点和极点的系统称为最小相 位系统。最小相位系统闭环稳定的充要条件可简化为：奈氏图
正穿越 负穿越
1
这时奈魁斯特稳定判据可以描述为：设开环系统传递函数Gk (s) 在右半平面的极点为P，则闭环系统稳定的充要条件是：当 从 0 时，频率特性曲线在实轴 (,1) 段的正负穿越次数
差为 P。
2
Friday, February 21, 2020
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二、在对数坐标图上判断系统的稳定性：
Friday, February 21, 2020
3
[例5-6]开环传递函数为：Gk 断闭环系统的稳定性。
(s)
(T1s
k 1)(T2 s
，试用奈氏判据判
1)
[解]：开环系统的奈氏 图如右。在s右半平面的 极点数为0，绕(-1,j0)点 的圈数N=0，则闭环系 统在s右半平面的个数： Zk N Pk 0。故闭环 系统是稳定的。
Friday, February 21, 2020
21
带有延迟环节系统的相位裕度的求法：
设系统的开环传递函数为：Gk (s)es ，我们知道增加了延迟环节
后系统的幅值特性不变，相角特性滞后了 。表现在奈氏图和
波德图上的情况如下（假设Gk(s)）为最小相位系统。
L( )
乃奎斯特稳定盘踞
10
[例5-8]系统结构图如右：试判断闭 R(s)
k
C(s)
环系统的稳定性并讨论稳定性和k
-
s1
的关系。
[是解一]：个开半环径系为统k 奈，氏圆图心 在( k ,0 ) 的圆。2显然， k>=21时，包围(-1,j0)点，
k<1时不包围(-1,j0)点。
由图中看出：当k>1时， 奈氏曲线逆时针包围 (-1,j0)点一圈，N=-1， 而 Pk 1，则 ZkNPk0 闭环系统是稳定的。
奈魁斯特稳定判据
1
奈魁斯特稳定判据
基本思想：利用系统的开环频率特性判别 闭环系统的稳定性。
2
1、奈魁斯特稳定判据： 对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是
不稳定的。对于上面讨论的辅助方程 F(s)1Gk(s)，其零点恰 好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的的零点在s右半平 面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为 零，则闭环系统是稳定的。
Ⅰ
0
ej
s
Ⅲ Ⅱ
它可分为三部分：Ⅰ部分是正虚轴，0
Ⅱ部分是右半平面上半径为无穷大的半圆；
sRej,R ,从 ；Ⅲ部分是负虚
轴， 0。 2 2
4
F(s)平面上的映射是这样得到的：以 s j代入F(s)并令从
0变化，得第一部分的映射；在F(s)中取sRej 使角度由
2
2，R得第二部分的映射；令从0，得第三部分
的映射。稍后将介绍具体求法。
得到映射曲线后，就可由柯西幅角定理计算 NZk Pk ，式中：
Zk , Pk 是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。确定了N，可求出 Zk NPk 。当 ZR 0时，系统稳定；否则不稳定。
[例5-8]系统结构图如右：试判断闭 R(s)
k
C(s)
环系统的稳定性并讨论稳定性和k
-
s1
的关系。
[是解一]：个开半环径系为统k 奈，氏圆图心 在( k ,0 ) 的圆。2显然， k>=21时，包围(-1,j0)点，
k<1时不包围(-1,j0)点。
由图中看出：当k>1时， 奈氏曲线逆时针包围 (-1,j0)点一圈，N=-1， 而 Pk 1，则 ZkNPk0 闭环系统是稳定的。
奈魁斯特稳定判据
1
奈魁斯特稳定判据
基本思想：利用系统的开环频率特性判别 闭环系统的稳定性。
2
1、奈魁斯特稳定判据： 对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是
不稳定的。对于上面讨论的辅助方程 F(s)1Gk(s)，其零点恰 好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的的零点在s右半平 面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为 零，则闭环系统是稳定的。
Ⅰ
0
ej
s
Ⅲ Ⅱ
它可分为三部分：Ⅰ部分是正虚轴，0
Ⅱ部分是右半平面上半径为无穷大的半圆；
sRej,R ,从 ；Ⅲ部分是负虚
轴， 0。 2 2
4
F(s)平面上的映射是这样得到的：以 s j代入F(s)并令从
0变化，得第一部分的映射；在F(s)中取sRej 使角度由
2
2，R得第二部分的映射；令从0，得第三部分
的映射。稍后将介绍具体求法。
得到映射曲线后，就可由柯西幅角定理计算 NZk Pk ，式中：
Zk , Pk 是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。确定了N，可求出 Zk NPk 。当 ZR 0时，系统稳定；否则不稳定。
5第五节奈魁斯特稳定判据
第五节奈奎斯特稳定判据一、幅角定理：对于一个复变函数)())(()())(()(2121n m p s p s p s z s z s z s K s F ++++++=式中-z i (i=1,2,…,m)为F (s )的零点，-p j (j=1,2,…,n)为F (s )的极点。
函数F (s )是复变量s 的单值函数，s 可以在整个S 平面上变化，对于其上的每一点，除有限(n)个极点外，函数F (s )都有唯一的一个值与之对应。
)1,1(j d s -⋅)1,0(j d f -⋅平面s 平面)(s F ⇒⨯1-2-[例]设：，则S 平面上d s 点（-1，j 1），映射到F(s )平面上的点d f 为(0，-j 1)，见下图：ss s F 2)(+=jjj F j j F -=+-+=+-=-=+++=+1)1(112)(时，，，当ωσωσωσF (s )的值域构成的复平面称为F (s )平面。
S 平面上的每一点依照所给的函数关系，将映射到F (s )平面上的相应点。
其中S 平面上的全部零点都映射到F (s )平面上的原点；S 平面上的极点映射到F (s )平面上时都变成了无限远点。
除了S 平面上的零、极点之外的普通点，映射到F (s )平面上是除原点之外的有限远点。
注意，虽然函数F (s )从S 平面到F (s )平面的映射是一一对应的，然而逆过程往往并非如此。
例如已知)2)(1()(++=s s s Ks F 这个函数在有限的S 平面上除S =0,－1, －2以外均解析，除此三点外，S 平面上的每一个S 值在F (s )平面只有一个对应点，但是F (s )平面上的每一个点在S 平面上却有三个映射点。
最简单的说明方式就是将方程改写成)()2)(1(s F Ks s s =++当F (s )取一个常数时上式是一个三次方程，应有三个根与之对应。
现考虑S 平面上一点s 1映射到F (s )平面上的点F (s 1)可以用一个向量来表示，即当∏∏=+∠=+∠∠++==nj p s j j mi z s j i s F j j i ep sez s K e s F s F 1)(11)(1)(11111)()(向量的幅值为∑+∠-∑+∠=∠==nj j mi i p s z s s F 11111)()()(⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+∠-+∠==∑∑++===∏∏n j j m i i p s z s j nj jmi iep sz s K 1111)()(1111∏∏==++=nj j m i i p sz s K s F 11111)()()(∏∏==++=nj jm i ip sz s K s F 11111)(向量的相角为ReIm ReIm S 平面F(s)平面⨯)(s ϕ)(s F⨯⨯∙∙平面)(s F 平面s 1-2-⨯[例]设：，则s 平面上d s 点（-1，j1），映射到F (s )平面上的点d f 为（0，-j1），计算如下：ss s F 2)(+=jjjj F j j j F -=+-+=+-=-=+++=+11)1(112)(时，，，当ωσωσωσωσ⇒)1,1(j d s -⋅⋅)1,0(j d f -⋅⋅向量的相角为︒-=︒-︒=+∠-+∠=∠9013545)()()(111j i p s z s s F 向量的幅值为111)1(=-=+-+=+-j jjj F 若取d s 点为(-1，j0)则在F (s )平面的向量的幅值为1向量的相角为－180°当S 平面上动点s 从s 1经过某曲线C S 到达s 2，映射到F (s )平面上也将是一段曲线C F ，该曲线完全由F (s )表达式和s 平面上的曲线C S 决定。
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K 0 ﹣ 1 ﹣K 0
﹣1,j0
无论K取何值，均不包围 -1，j0点，闭环系统稳定。
只要K>1，逆时针包围-1，j0点 一次，闭环系统稳定。K<1，不 包围，闭环系统不稳定。K＝1？
例
开环为二阶系统，利用奈魁斯特稳定判据判别 系统的闭环稳定性。
K K ( 2 ) GH T 2 s 2 2Ts 1 T 2 s 2 2Ts 1 ( 3)GH K T 2 s 2 2Ts 1
K (6 2 10) K ( 3 2 ) G( j j 2 2 3 2 (6 10) ( 3 ) (6 2 10)2 ( 3 3 )2
K (6 2 10) K ( 3 2 ) G( j j 2 2 3 2 (6 10) ( 3 ) (6 2 10)2 ( 3 3 )2
(1) GH
P=0
K ﹣1 w ﹣K w
P=1
P=2
w
﹣1
﹣1
K
K>1，逆时针包围(-1， K取任意值，均不 K取任意值，曲线 j0)一次，闭环稳定。 包围(-1，j0)点，有 均不包围(-1，j0)点，K<1，不包围(-1，j0)点， 2个不稳定闭环极 闭环不稳定。 K ＝ 1 ， 闭环稳定。 点。闭环不稳定。 曲线穿过 (-1 ， j0) ，临 （奈氏判据第一条） (奈氏判据第二条) 界稳定。
解释：
F ( s ) 1 G( s ) H ( s )
F(s)的极点是开环极点 F(s)的零点是闭环极点
(1) 开环稳定情况： —[s]右半平面没有F(s)的极点
G(jω)H(jω) 不包围（-1，j0）点 = 奈氏轨迹不包围 F(s)的零点= 没有闭环极点在[s]右半平面= 闭环稳定 (2) 开环不稳定情况： — s右半平面有p个F(s)的极点 — p个开环极点 G(jω)H(jω) 逆时针包围（-1，j0）点p 次 = 奈氏轨 迹顺时针包围F(s)的p个极点 = 奈氏轨迹不包围F(s)的 任何零点 = 没有闭环极点在s右半平面 = 闭环稳定
在正频范围内计算ω>0：
确定起始点：ω=0时， 终点：ω→∞
G( j K 0.1K
分析 ：
G j ) 0
当 3时， 虚部为零。 3时， 虚部为负， 3时， 虚部为正。 K 把 3代入实部， 求出Re [G( j 2 3 28
围原点一次
F(s)的极点是开环极点；
F(s)的零点是闭环极点
奈魁斯特稳定判据总结
奈魁斯特轨迹的围线映射
• 当取s＝jω(-∞＜ω＜+∞)，围线映射F(jω)＝1＋G (jω)H(jω)
F(jω)曲线对原点的包围情况相当于G(jω)H(jω)曲 线对于(-l，j0)点的包围情况
奈魁斯特轨迹包围F(s)的零极点问题可以等效为
习题已知开环传递函数为 ：
K s 2s 5s 1
试确定闭环稳定条件，并画出极坐标图 。 分析：
系统为开环不稳定系统，有一个不稳定针绕(－1,j0)点一次。
K G ( j j 2 j 5 j 1 K K [(6 2 10) j( 3 3 )] 2 3 (6 10) j( 3 ) (6 2 10)2 ( 3 3 )2
×
不包围
×
不包围
逆包围一次
5.2.2奈魁斯特稳定判据应用
例5-3 开环为一阶系统，利用奈魁斯特稳定判据判别 系统的闭环稳定性。
K GH1 , Ts 1
GH 2
(1)
1 sT
K , Ts 1
K0
,开环稳定，p=0；
1 ,开环不稳定, p=1 s T
(2) 画开环系统的极坐标图
G(jω)H (jω)
K 例： G( s) H ( s) s(Ts 1)
0﹣ A
与虚轴无交点（在正频范围内无解）。
K=15
闭环系统稳定范围 10<K<28
0.1 K
K=35
K / 28
K=10
K=28
5.2.3 奈魁斯特轨迹穿过F(s)奇点情况 若开环极点在虚轴上，则奈氏轨迹经过时，开环传递 函数为不定值，其映射不封闭，需改进奈氏轨迹。
C
0+ B
[S]
5.2.1 奈魁斯特稳定判据
利用开环频率特性G(jω)H(jω)判别系统闭环稳定性。
（ 1 ）当系统为开环稳定时，只有当开环频率特性 G(jω)H(jω)不包围（-1，j0）点，闭环系统才是稳定 的。 （ 2 ）当开环系统不稳定时，若有 P 个开环极点在 [s] 右半平面时，只有当G(jω)H(jω)逆时针包围 1，j0）点P次，闭环系统才是稳定的。 （-
说明：
（1）通常遇到的是开环稳定系统，此时，记住第一条， 不用考虑方向。 （ 2 ）因为 G(jω)H(jω) 和 G(-jω)H(-jω) 共轭，与实轴对 称，只画出一半即可。判断是以 ω由- ∞→+∞变化为准 。方向：以ω增加的方向。 （3）何谓包围：绕点一个360°为准叫作包围一次。
×
×
逆包围2次
G(jω)H(jω)包围（－1，j0）点的问题
•
奈氏轨迹顺时针包围F(s)的一个零点，GH顺时针方向包 围(-1，j0)点一次 奈氏轨迹顺时针包围F(s)的一个极点，GH逆时针方向包 围(-1，j0)点一次
•
已知开环极点情况，考察G(jω)H(jω)图是否包围(-
1，j0) 点，判断闭环系统的稳定性
奈魁斯特稳定判据总结
利用开环频率特性判断闭环系统的 稳定性 F(s)=1+G(s)H(s)
闭环特征多项式
奈魁斯特轨迹
奈魁斯特轨迹包围F(s)=1+G(s)H(s)的零极点问题可
以等效为F(s)包围原点的问题
• 奈魁斯特轨迹顺时针包围F(s)的一个零点，F(s)顺时针方向包
围原点一次
• 奈魁斯特轨迹顺时针包围F(s)的一个极点， F(s)逆时针方向包
﹣1,j0
无论K取何值，均不包围 -1，j0点，闭环系统稳定。
只要K>1，逆时针包围-1，j0点 一次，闭环系统稳定。K<1，不 包围，闭环系统不稳定。K＝1？
例
开环为二阶系统，利用奈魁斯特稳定判据判别 系统的闭环稳定性。
K K ( 2 ) GH T 2 s 2 2Ts 1 T 2 s 2 2Ts 1 ( 3)GH K T 2 s 2 2Ts 1
K (6 2 10) K ( 3 2 ) G( j j 2 2 3 2 (6 10) ( 3 ) (6 2 10)2 ( 3 3 )2
K (6 2 10) K ( 3 2 ) G( j j 2 2 3 2 (6 10) ( 3 ) (6 2 10)2 ( 3 3 )2
(1) GH
P=0
K ﹣1 w ﹣K w
P=1
P=2
w
﹣1
﹣1
K
K>1，逆时针包围(-1， K取任意值，均不 K取任意值，曲线 j0)一次，闭环稳定。 包围(-1，j0)点，有 均不包围(-1，j0)点，K<1，不包围(-1，j0)点， 2个不稳定闭环极 闭环不稳定。 K ＝ 1 ， 闭环稳定。 点。闭环不稳定。 曲线穿过 (-1 ， j0) ，临 （奈氏判据第一条） (奈氏判据第二条) 界稳定。
解释：
F ( s ) 1 G( s ) H ( s )
F(s)的极点是开环极点 F(s)的零点是闭环极点
(1) 开环稳定情况： —[s]右半平面没有F(s)的极点
G(jω)H(jω) 不包围（-1，j0）点 = 奈氏轨迹不包围 F(s)的零点= 没有闭环极点在[s]右半平面= 闭环稳定 (2) 开环不稳定情况： — s右半平面有p个F(s)的极点 — p个开环极点 G(jω)H(jω) 逆时针包围（-1，j0）点p 次 = 奈氏轨 迹顺时针包围F(s)的p个极点 = 奈氏轨迹不包围F(s)的 任何零点 = 没有闭环极点在s右半平面 = 闭环稳定
在正频范围内计算ω>0：
确定起始点：ω=0时， 终点：ω→∞
G( j K 0.1K
分析 ：
G j ) 0
当 3时， 虚部为零。 3时， 虚部为负， 3时， 虚部为正。 K 把 3代入实部， 求出Re [G( j 2 3 28
围原点一次
F(s)的极点是开环极点；
F(s)的零点是闭环极点
奈魁斯特稳定判据总结
奈魁斯特轨迹的围线映射
• 当取s＝jω(-∞＜ω＜+∞)，围线映射F(jω)＝1＋G (jω)H(jω)
F(jω)曲线对原点的包围情况相当于G(jω)H(jω)曲 线对于(-l，j0)点的包围情况
奈魁斯特轨迹包围F(s)的零极点问题可以等效为
习题已知开环传递函数为 ：
K s 2s 5s 1
试确定闭环稳定条件，并画出极坐标图 。 分析：
系统为开环不稳定系统，有一个不稳定针绕(－1,j0)点一次。
K G ( j j 2 j 5 j 1 K K [(6 2 10) j( 3 3 )] 2 3 (6 10) j( 3 ) (6 2 10)2 ( 3 3 )2
×
不包围
×
不包围
逆包围一次
5.2.2奈魁斯特稳定判据应用
例5-3 开环为一阶系统，利用奈魁斯特稳定判据判别 系统的闭环稳定性。
K GH1 , Ts 1
GH 2
(1)
1 sT
K , Ts 1
K0
,开环稳定，p=0；
1 ,开环不稳定, p=1 s T
(2) 画开环系统的极坐标图
G(jω)H (jω)
K 例： G( s) H ( s) s(Ts 1)
0﹣ A
与虚轴无交点（在正频范围内无解）。
K=15
闭环系统稳定范围 10<K<28
0.1 K
K=35
K / 28
K=10
K=28
5.2.3 奈魁斯特轨迹穿过F(s)奇点情况 若开环极点在虚轴上，则奈氏轨迹经过时，开环传递 函数为不定值，其映射不封闭，需改进奈氏轨迹。
C
0+ B
[S]
5.2.1 奈魁斯特稳定判据
利用开环频率特性G(jω)H(jω)判别系统闭环稳定性。
（ 1 ）当系统为开环稳定时，只有当开环频率特性 G(jω)H(jω)不包围（-1，j0）点，闭环系统才是稳定 的。 （ 2 ）当开环系统不稳定时，若有 P 个开环极点在 [s] 右半平面时，只有当G(jω)H(jω)逆时针包围 1，j0）点P次，闭环系统才是稳定的。 （-
说明：
（1）通常遇到的是开环稳定系统，此时，记住第一条， 不用考虑方向。 （ 2 ）因为 G(jω)H(jω) 和 G(-jω)H(-jω) 共轭，与实轴对 称，只画出一半即可。判断是以 ω由- ∞→+∞变化为准 。方向：以ω增加的方向。 （3）何谓包围：绕点一个360°为准叫作包围一次。
×
×
逆包围2次
G(jω)H(jω)包围（－1，j0）点的问题
•
奈氏轨迹顺时针包围F(s)的一个零点，GH顺时针方向包 围(-1，j0)点一次 奈氏轨迹顺时针包围F(s)的一个极点，GH逆时针方向包 围(-1，j0)点一次
•
已知开环极点情况，考察G(jω)H(jω)图是否包围(-
1，j0) 点，判断闭环系统的稳定性
奈魁斯特稳定判据总结
利用开环频率特性判断闭环系统的 稳定性 F(s)=1+G(s)H(s)
闭环特征多项式
奈魁斯特轨迹
奈魁斯特轨迹包围F(s)=1+G(s)H(s)的零极点问题可
以等效为F(s)包围原点的问题
• 奈魁斯特轨迹顺时针包围F(s)的一个零点，F(s)顺时针方向包
围原点一次
• 奈魁斯特轨迹顺时针包围F(s)的一个极点， F(s)逆时针方向包