5-4 频域：奈氏 判据

针方向围绕原点的圈数为:
N=Z-P
若N＞0,即Z＞P,则ΓF与Γs移动方向一致; 若N=0,即Z=P,则ΓF 不包围原点; 若N＜0,即Z ＜ P,则ΓF与Γs移动方向相反.
5
证明:
Kr F (s)
n
(s z
i 1
n
i
)

式中
F ( s ) F ( s ) F ( s ) [ i
当 Z=0 时，说明系统闭环传递函数无极点在s右半平 面，系统是稳定的；反之，系统则是不稳定的。
11
（2）G(s)H(s)平面上的系统稳定性分析--奈氏判据
因1+ G(s)H(s) 与G(s)H(s) 相差1，则系统稳定性 可表述为： 闭环系统稳定的充要条件是：s沿奈氏路径绕一圈， G(s)H(s)曲线逆时针绕（-1，j0）点P圈。
b. 若P≠0，且N=-P，即GH曲线逆时针绕（-1，j0）点 P 圈，则闭环系统稳定，否则是不稳定系统。
不稳定系统分布在s右半平面极点的个数可按下 式求取：
Z=P­N c. 若GH曲线通过（-1，j0）点L次，则说明闭环系统 有L个极点分布在s平面的虚轴上。
13
Im
例: 一系统开环传递函数为：
G (s)H (s) 2 s 1
注意：这里对应的ω变化范围
0
。
24
例:已知某系统G(jω)H(jω)轨迹，有2个开环极点分
布在s的右半平面，试判别系统的稳定性。
解：系统有2个开环极点分布在s的右半平面（P=2），
G(jω)H(jω)轨迹在点(-1, j0)以左的负实轴有1次正穿越， 2次负穿越， N 2( N N ) 1 2 2 求得：Z=P+N=2-2=0 所以系统是稳定系统。
Im
Im
0
＋
( 1, j 0)

0
( 1, j 0)
Re


_
0
0
Re

G ( j ) H ( j )
G ( j ) H ( j )
23
如果G(jω)H(jω)按顺时针方向绕(-1, j0) 一周，则必正穿越一次。反之，若按逆时针方 向包围点 (-1, j0) 一周，则必负穿越一次。 这种正负穿越之和即为G(jω)H(jω)包围的圈 数。 N=2(N+-N-)
时，θ从-90°→+90°
m
K (τ i e G(s)H(s)
s e
jθ
jθ
1) K ( e
jθ
( e
jθ
i 1
)

j 1

n
(T j e
jθ
1)
)

e
j θ
15
所以， G ( j ) H ( j ) 从 90 变到
( 90 )
Z= P+N=2，闭环系统不稳定；
K=1时，奈氏曲线穿过 (-1, j0) 点两次，系统临界稳定。
2

试判别系统的稳定性。 解：本系统的开环频率特性
G ( j ) H ( j ) 2 j 1

1

0
Re

当
j j 0 j 0 j
变化，画出系统的奈氏曲线。
一个开环极点位于s的右半平面，即：P=1。 奈氏曲线是逆时针方向绕（-1，j0）点的1圈，即 N=-1。
射，这种映射是一一对应的.
例如函数
F (s) 2s s 1
4
若si = 2, 则F(s)=4/3;若si = -j,则F(s)=1- j
2. 幅角原理—柯西定理
在s平面上取一闭合路径Γs ,它不经过F(s)的零点和极点, F(s)在Γs内零点数为Z,极点数为P, s按顺时针方向沿Γs
绕一圈，则在F(s)平面上与之对应的闭合回路ΓF按顺时
20
5.判断N的简易方法
（1）正、负穿越的概念
G(jω)H(jω)奈氏曲线对称实轴。应用中只画
( 部分。所谓 “穿越” 是指 轨迹穿过 1 ,
0
)
N

段。 表示。 表示。
正穿越：从下而上穿过该段一次（相角减少），用 负穿越：由上而下穿过该段一次（相角增加），用
Im
Im
N

(－1，j0)
顺时针方向包围整个
j
s右半面。
当F(s)有若干个极点处于 s平面虚轴上时，则以这 些点为圆心，作半径为 无穷小的半圆，按逆时针 方向从右侧绕过这些点。
j 1 j 1
j s平面
R

F ( s ) 的极点
j0 j0

j
10
2. 奈氏判据 设：
F s 1 G s H s
jθ
p j)
对n-m＞0的系统，ε就趋向于零。 G ( j ) H ( j ) 从–(n–m)90°变到 +(n–m)90°。 结论: 当 s 沿奈氏路径从+j∞到 -j∞时，对n>m的系 统，G(s)H(s)的奈氏曲线以无穷小半径，绕原点逆时针转 过（n - m）π。
17
4.奈氏判据应用举例
5.3 频域中的稳定性判据
（ Nyquist稳定性判据）
1
5.3.1 引言
基本思想：利用开环频率特性判别闭环系统稳定性。 系统的开环传递函数
G (s)H (s) P (s) Q (s)
P ( s ) 和 Q ( s ) 是 s 的多项式
则闭环系统的特征式
Q (s) P (s) Q (s) Kr
G (s)H (s)
K ( s 1) s ( s 1)
( K 0)
G ( j ) H ( j )
K ( j 1) j ( j 1)
G ( j ) H ( j ) | 0 270 G ( j ) H ( j ) | 0 90
1)若F(s)的零点(如–Z2 )或极点(如–P1 )在Γ s之外, s沿Γ s绕 行一圈时,相角变化皆为0.
2)若F(s)的零点(如–Z1 )在Γ s之内, s沿Γ s绕行一圈时,相角 变化为-2π . 3)若F(s)的极点在Γ s之内时, s沿Γ s绕行一圈时,相角变化为 2π . 结论：若F(s)在Γ s中有Z个零点和P个极点，则当s沿Γ s顺 时针方向旋转一圈时， F(s)相角的变化：
i 1
n

j 1
n
j
]
(s p j )
j 1

i 1
n
i

(s z
i 1
n
i
)
为 F ( s )所有零点幅角之和

j 1
n
i

(s
j 1
n
pj)
为 F ( s )所有极点幅角之和
6
7
当s沿Γ s绕行时, ( s z i ) 和 ( s p i ) 将随之变化.
,K取值不同
(a) (b) (c)
K T1 T 2 / T1 T 2
K ( T1 T 2 ) / T1 T 2 K T1 T 2 / T1 T 2
:曲线不包围（-1，j0）点，系统稳定。 : 曲线通过（-1，j0）点，系统临界稳定。 :曲线包围（-1，j0）点，系统不稳定。
例5-9 判断闭环系统的 稳定性 ：
G (s)H (s)
K
r
s(s a) K
( a 0)
G ( j ) H ( j )
r
j ( j a )
G ( j ) H ( j ) | 0 90
解 ：1型二阶系统 ，v=1, 先作+j0→+j∞时的奈氏曲线。 再根据对称性，作出-j0 →-j∞时的奈氏曲线。 s从-j0→ +j0时补180°顺时 针半径无穷大的虚圆弧.
Im
0



1

0
K1
2K

1

Re
0

19
例5-11:
分析如下系统的稳定性。开环传递函数
G S H S K s 1 T1 s 1 T 2 s
解：是最小相位系统,曲线于实轴交点
时,奈氏曲线不同。
(
KT 1 T 2 T1 T 2
,0 )
G ( j ) H ( j ) | 0 180
奈氏曲线不包围(-1,j0)点, 即N=0,而P=0,故系统稳定.
18
例5-10 试判断闭环系统的 稳定性 ： 解 ： 1型二阶系统 ，v=1, 先作+j0到+j∞时的奈氏曲线。 再根据对称性，作出-j0到 -j∞时的奈氏曲线。 s从-j0→ +j0时补180°顺时 针半径无穷大的虚圆弧. 奈氏曲线包围(-1,j0)点,即 N=1,而P=0,故系统不稳定.
_
(－1，j0)
0
Re
+
0
Re
正穿越
负穿越
21
Im
G ( j ) H ( j )
＋
＋ － ( 1, j 0)
0
Re

N ＝1
N ＝ 2
22
若G(jω)H(jω)轨迹起始或终止于 (-1, j0)以 左的负轴上，则穿越次数为半次，且同样有+ 1/2 次穿越和-1/2次穿越。
即:N=-P （Z＝0） 的极点数
P—G(s)H(s)位于s右半平面
a. 若P=0，且 N=0，即GH曲线不包围（-1，j0）点， 则闭环系统稳定；(最小相位系统P=0)
12
闭环系统稳定的充要条件是：s沿奈氏路径绕一圈， G(s)H(s)曲线逆时针绕（-1，j0）点P圈。 即:N=-P （Z＝0） 的极点数 P—G(s)H(s)位于s右半平面
F(s)=1+G(s)H(s)-------
闭合路径Γs取 -------- S 右半平面（奈氏路径）
闭环系统稳定的充分必要条件是什么? （Z＝0 即：N=-P） 负号表示沿逆时针方向包围F(s)平面原点N圈 若P=0, 系统稳定的充分必要条件是N=0
9
5.3.3 奈魁斯特稳定判据
1．奈氏路径
s j j 0 j 0 j j
(2) F(s)的零点就是闭环系统的极点;
(3) F(s)的极点就是系统开环极点.
3
5.3.2 幅角原理
1.映射
复数s
F(s)
s平面
F(s) 复平面
s=σ+jω.
F(s)= u+jv.
在s平面上除了F(s)零点和极点外的任意点si ，经过复变函 数F(s)的映射，均可在F(s)平面上可以找到对应的点 F(si) 。所以复变函数F(s)就是从s平面到F(s)平面的映
P2
25
例: 已知两系统s= +j0 → j∞时的奈氏曲线，分析稳定性。
解: (a) N= 2(N+-N–)=2(1-0)= 2，且 P =0，所以
Z=P+N=2 系统不稳定。 (b) K>1时，N= 2(N+-N-)=2(1/2-1)= -1，且 P=1，所以 Z=P+N=0，闭环系统稳定； K<1时，N= 2(N+-N-)=2(1/2-0)= 1，且P =1，所以
根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=P+N=1-1=0 ,所以系统稳定。
14
3. s平面原点有F（S）极点时的奈氏路径 s=-j0→+j0时，以原点为圆心，作半径为
j0
Im
ε无穷小的半圆，按逆时针方向从右侧绕
过原点。 令
s e
j
0

Re

, ε→0 当从s=-j0→+j0
j0
——闭环系统特征多项式
பைடு நூலகம்
显然：F(s) 的零点就是闭环系统的极点。
(1) 1＋G(S)H(S)平面上的系统稳定性分析 假如s沿着奈氏路径绕一圈，根据幅角定理，F(s)平面 上绘制的F(s)曲线ΓF顺时针方向绕原点的圈数 N 则为 F(s)在s右半平面内零点个数 Z 与极点个数 P 之差：
N= Z - P
F ( s ) 2 ( Z P )
F(s)相角变化-2π 相当于 Γ F 顺时针包围F(s)平面原点一圈, 所以上式可写为 N=Z-P .
8
R( s) + B( s)
E (s)
C (s) G (s)
_
C(s) R(s)

G(s) 1 G(s)H(s)
H (s)
思考:
若 系统特征方程

。
结论: 当s从-j0→+j0时，G(s)H(s)的奈氏曲线以半径为无穷 大，顺时针转过
180 。
16
s→∞的奈氏曲线
令:
s Re
j
因为R→∞ ， 则有
K 1 (Re G(s)H(s)
s Re
jθ
m
jθ
zi ) e
j(n - m) θ

i 1

j 1
n
(Re
n
(s z
i 1
n
i
)
F (s) 1 G (s)H (s)
(s
j 1
pj)
2
5.3.1 引言
系统的开环传递函数
G (s)H (s) P (s) Q (s)
则闭环系统的特征式
F (s) 1 G (s)H (s)
Q (s) P (s) Q (s)
(1) F(s)是n阶有理分式,且零点数和极点数相同;