控制系统的频域稳定判据
合集下载
自动控制原理 第五章(第四和五次)
6
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
自动控制原理
G(s)H(s)
K
(10s 1)(2s 1)(0.2s 1)
Im
K=100
P=0; R=-2;
Z=0-(-2)=2 闭环系统在 s 右半平面有两个 极点，系统不稳定
-1
+∞
ω=0
Re
闭环传递函数在复平面右半平面有Z个极点
Z PR
R(>0)为Nyquist曲线逆时针包围（-1，j0）点的圈数; R(<0)为Nyquist曲线顺时针包围（-1，j0）点的圈数;
➢只要在这个闭合曲线 内没有F(s)的零点，系 统即为稳定的。
+∞ Im ∞
O Re
-∞
3
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
自动控制原理
➢对于真有理分式，s等于无穷
大的时候，|G(s)H(s)|=0，在
+∞ Im
G(s)H(s)曲线中对应坐标原点。
∞
➢我们只需考察S在虚轴上取值
O
的情况
Re
➢ s j 在复平面上的
自动控制原理
(2)开环传递函数含ν 个积分环节 ν型系统
Ga (S )
K S (TS 1)
Im
-1
0
(a)ν=1,从 0 点逆时针
0 Re
补画半径为无穷大的1/4圆。
0
P=0, N=0，Z=0，
所以，闭环系统稳定。
22
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
自动控制原理
Im
0 -1 0
＝0
曲线G，( j就)是HN( jyq)uist曲线
-∞
4
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
频域稳定性判据
频域稳定性判据的应用场景
频域稳定性判据广泛应用于控制系统的分析和设计。在控制系统分析和设计中，需要评估系统的稳定 性和性能指标。频域稳定性判据可以快速准确地判断系统的稳定性，为控制系统设计和优化提供依据 。
此外，频域稳定性判据还可以用于非线性系统和不确定系统的稳定性分析。通过扩展频域稳定性判据 的方法，可以对非线性系统和不确定系统的稳定性进行分析和评估。
考虑计算效率和精度
在选择合适的频域稳定性判据 时，还需考虑计算效率和精度 。
05
频域稳定性判据的应用实例
控制系统稳定性分析
控制系统稳定性分析是频域稳定性判据 的重要应用领域之一。通过分析系统的 频率响应，可以判断系统是否稳定，以 及系统对不同频率输入的响应特性。
频域稳定性判据在控制系统设计、优 化和故障诊断中具有广泛的应用，有 助于提高系统的性能和可靠性。
对未来研究的展望
随着控制系统变得越来越复杂， 对频域稳定性判据的研究也需要 不断深入。未来的研究可以进一 步探索更高效的算法和计算方法， 提高稳定性判据的准确性和计算 效率。
另外，随着人工智能和机器学习 技术的快速发展，可以考虑将这 些技术应用于频域稳定性判据中， 以实现自适应控制和智能控制。 例如，可以使用机器学习算法来 自动识别和分类系统的频率响应， 从而更快速和准确地判断系统的 稳定性。
频域稳定性判据的重要性
频域稳定性判据是控制系统设计和分析的重要工具之一。通 过频域稳定性判据，可以快速判断系统的稳定性，并优化系 统的性能。
频域稳定性判据具有直观、简便的优点，可以用于分析线性 时不变系统的稳定性和性能。在工程实践中，频域稳定性判 据广泛应用于控制系统设计和分析，如航空航天、电力、化 工等领域。
此外，随着绿色环保理念的普及， 未来的研究也可以考虑将பைடு நூலகம்域稳 定性判据应用于节能减排和可持 续发展的领域，例如通过优化控 制策略来降低能源消耗和减少排 放。
奈奎斯特稳定判据
二、控制系统的频域稳定性判据
3. n阶系统 n阶系统稳定的充要条件是当ω由0→∞时， 特征矢量D(jω)的相角变化量为 Δ Arg[D(jω)]= n² 90 °
奈奎斯特稳定判据
三、奈奎斯特判据（奈氏判据） 1. 0型系统（开环没有串联积分的系统）
⑴开环是稳定的系统
如果已知开环系统是稳定的，那么当ω由0→∞时， 若矢量F(j ω)的相角变化量为0，也就是F(j ω)的轨迹不包 围原点，那么闭环系统的特征方程式DB(s)的根全部在s 左半平面，系统是稳定的。否则，系统是不稳定的。 这样，系统稳定问题转化为找出ω由0→∞时，矢量 F(j ω)的相角变化量问题。
奈奎斯特稳定判据
四、伯德图上的稳定性判据 奈氏判据除了可以表示在极坐标图上， 还可以表示在伯德图上。
w + w=+ w=0 -1 P=0 w
0
180
-
+
四、伯德图上的稳定性判据
由图可知，幅相曲线不包围（-1，j0）点。 此结果也可以根据ω增加时，幅相曲线自下 向上（幅角减小）和自上向下（幅角增加） 穿越实轴区间（-∞，-1）的次数决定。
如果把自上向下的穿越称为正穿越，正穿越次 数用N+表示。把自下向上的穿越称为负穿越，负 穿越次数用N-表示，则R可以用N+和N-之差确定， 即 R= N+- N-
由图可知， N+=1， N-=1，故R=0。
四、伯德图上的稳定性判据
1.Bode图与Nyquist图的对应关系 a. Nyquist图的单位圆 | G(j )H(j ) | 1 对应 Bode图的横轴 20lg | G(j )H(j ) | 0 b. | G(j )H(j ) | 1 单位圆外 对应 20lg| G(j )H(j ) | 0 横轴以上区域
自动控制原理第5章-频域分析
（4）频率特性主要适用于线性定常系统，也可以有条件 地推广应用到非线性系统中。
第5章 控制系统的频域分析
§5.1 频 率 特 性
一、频率特性概述
1、 RC网络的频率特性
T
du0 (t) dt
u0 (t)
ui (t)
其传递函数为：
G(s) U0(s) 1 Ui (s) Ts 1
在复数域内讨论RC网络，并求输出电压
(T)2 1
——RC网络的频率特性
G( j)
1
(T)2 1 —幅频特性
() arctan T —相频特性
第5章 控制系统的频域分析
比较
G( j)
1
jT 1
和
G(s) 1 Ts 1
可见，只要用jω代替该网络的传递函数G(s)中的复变 量S，便可得其频率特性G(jω)。结论具有一般性。
2、线性定常系统的频率特性
设 ui (t) Um sin t
U U e •
j00 复阻抗 Z R 1 jRC 1
i
m
第5章 控制系统的频域分析
jC
jC
•
•
•
U0
1
•
I
jC
1 Ui
jC Z
1
jC
jCUi jCR 1
1
jT
•
U 1
i
于是有：
•
U0
•
Ui
1
jT 1
•
(T RC)
G( j)
U0
•
Ui
1
e j () G( j) e j ()
第5章 控制系统的频域分析
5.2.2 典型环节的频率特性
1、积分环节
传递函数： G(s) 1
第5章 控制系统的频域分析
§5.1 频 率 特 性
一、频率特性概述
1、 RC网络的频率特性
T
du0 (t) dt
u0 (t)
ui (t)
其传递函数为：
G(s) U0(s) 1 Ui (s) Ts 1
在复数域内讨论RC网络，并求输出电压
(T)2 1
——RC网络的频率特性
G( j)
1
(T)2 1 —幅频特性
() arctan T —相频特性
第5章 控制系统的频域分析
比较
G( j)
1
jT 1
和
G(s) 1 Ts 1
可见，只要用jω代替该网络的传递函数G(s)中的复变 量S，便可得其频率特性G(jω)。结论具有一般性。
2、线性定常系统的频率特性
设 ui (t) Um sin t
U U e •
j00 复阻抗 Z R 1 jRC 1
i
m
第5章 控制系统的频域分析
jC
jC
•
•
•
U0
1
•
I
jC
1 Ui
jC Z
1
jC
jCUi jCR 1
1
jT
•
U 1
i
于是有：
•
U0
•
Ui
1
jT 1
•
(T RC)
G( j)
U0
•
Ui
1
e j () G( j) e j ()
第5章 控制系统的频域分析
5.2.2 典型环节的频率特性
1、积分环节
传递函数： G(s) 1
自动控制理论之频率域稳定判据及稳定裕度探讨讲诉
图5－47绘出了K>1 和 K<1的两条闭合曲线，可见：
当K>1 时，曲线逆时针包围了（－1，j0）点1圈即R=1 闭环系统稳定；当K<1时，曲线未包围（－1，j0）点，即 R=0，闭环系统不稳定。
在本例中，K值大才能使系统稳定，K值小反而使闭环系 统不稳定，这是与常见的最小相位系统截然不同之处。
因此，我们可以看出，辅助函数具有如下特征：
1）辅助函数F(S)是闭环特征多项式与开环特征多项式 之比，故其零点和极点分别为闭环极点和开环极点。
2）因为开环传递函数分母多项式的阶次一般大于或等 于分子多项式的阶次，故F(S)零点、极点的个数相同，均 为n个。
3）F(S)与开环传递函数G(S)H(S)之间只差常量1。 F(S)=1+G(S)H(S)的几何意义为：F平面上的坐标原点就是 GH平面上的（－1，j0）点，如图5-42所示。
负实数，即S平面右半部分无开环极点，P=0。频率特性及
其镜像组成的封闭曲线如图5－44右所示。可见，当ω 从 －∞→＋∞ 时，闭合曲线并未包围（－1，j0）点，故N＝ 0。因此闭环系统总是稳定的。我们也可以利用劳斯判据 进行判定。
例5-8 设系统开环传递函数为
5.2 G(s)H (s) (s 2)(s2 2s 5)
图5-45 例5-8系统的极坐标图及其镜像
例5-9 系统结构图如图5-46所示，试判断系统的稳定性并 讨论K值对闭环系统稳定性的影响。
图5-46 解：图示系统是一个开环不稳定系统，其开环传递函数在 S平面右半部分有一个极点P＝1，频率特性曲线如图5－ 47所示。当ω ＝0时，曲线从负实轴（－K，j0）出发；当 ω→∞时，曲线以－90°渐近角趋于坐标原点；当ω从－∞ 变化到＋∞，频率特性（图中实线部分）及其镜像（虚线 部分）包围（－1，j0）点的圈数R与K值有关。
控制系统的频域分析法解析
l 只要将F(jω)曲线向负实轴方向平行移动1个单位，即是 G(jω)H(jω)曲线。
l F(jω)曲线对原点的包围情况与G(jω)H(jω)曲线对于 (-l，j0)点的包围情况完全相当。
二、奈魁斯特稳定判据 2、奈魁斯特轨迹 （2）沿jω轴路径：
奈魁斯特轨迹在G(jω)H(jω)平面上的映射关系： 当奈魁斯特轨迹顺时针包围F(s)的z个零点和P个极点时，
一、柯西定理（围线映射）定理
（3）如果C以顺时针方向包围F(s)的一个零点， C’将以顺时针方向包围原点一次。 如果C以顺时针方向包围F(s)的一个极点， C’将以逆时针方向包围原点一次。
[s] C
C’
[F(s)]
[s] C
[F(s)] C’
一、柯西定理（围线映射）定理
（4）如果围线C以顺时针方向包围F(s)的z个零点和p个极点， 则围线映射C’将以顺时针方向包围F(s)原点N次，N=z-p。 若z>p, N为正值, 顺时针包围; 若z<p, N为负值, 逆时针包围。
si,i1,2,..z. F(s)的零点 pi,i1,2,..p. F(s)的极点
一、柯西定理（围线映射）定理
辐角原理： F (s)1G (s)H (s)
（1）除奇点外（使F(s)为不定值的解），F(s)是s的单值函数。 当s在根平面上的变化轨迹为一封闭曲线C时，在F(s)平面上也有 一封闭曲线C’与之对应。 即当s连续取封闭曲线上数值时，F(s) 也将沿着另一曲线连续变化，把c’称作c的围线映射。它们分
G(s) G闭(s)1G(s)H(s)
设有z个零点，p个极点。
设 G(s)H(s)N0 , 1G(s)H(s)D0N0 F(s)
D0
D0
F(s)的极点是开环传递函数的极点；
l F(jω)曲线对原点的包围情况与G(jω)H(jω)曲线对于 (-l，j0)点的包围情况完全相当。
二、奈魁斯特稳定判据 2、奈魁斯特轨迹 （2）沿jω轴路径：
奈魁斯特轨迹在G(jω)H(jω)平面上的映射关系： 当奈魁斯特轨迹顺时针包围F(s)的z个零点和P个极点时，
一、柯西定理（围线映射）定理
（3）如果C以顺时针方向包围F(s)的一个零点， C’将以顺时针方向包围原点一次。 如果C以顺时针方向包围F(s)的一个极点， C’将以逆时针方向包围原点一次。
[s] C
C’
[F(s)]
[s] C
[F(s)] C’
一、柯西定理（围线映射）定理
（4）如果围线C以顺时针方向包围F(s)的z个零点和p个极点， 则围线映射C’将以顺时针方向包围F(s)原点N次，N=z-p。 若z>p, N为正值, 顺时针包围; 若z<p, N为负值, 逆时针包围。
si,i1,2,..z. F(s)的零点 pi,i1,2,..p. F(s)的极点
一、柯西定理（围线映射）定理
辐角原理： F (s)1G (s)H (s)
（1）除奇点外（使F(s)为不定值的解），F(s)是s的单值函数。 当s在根平面上的变化轨迹为一封闭曲线C时，在F(s)平面上也有 一封闭曲线C’与之对应。 即当s连续取封闭曲线上数值时，F(s) 也将沿着另一曲线连续变化，把c’称作c的围线映射。它们分
G(s) G闭(s)1G(s)H(s)
设有z个零点，p个极点。
设 G(s)H(s)N0 , 1G(s)H(s)D0N0 F(s)
D0
D0
F(s)的极点是开环传递函数的极点；
自动控制原理--第5章 频域分析法
例如，惯性环节对数幅频特性和相频特性分别为
L() 20lg | G( j) | 20lg 2T 2 1
arctanT
当=0时，L()=0dB， =0， 曲线起始于坐标原点；当=1/T时， L()=-3dB， =-45；
自动控制原理
30
5-4 频域稳定性判据
一、映射定理
闭环特征函数 F(s)=1+G(s)H(s)
T
如果τ>T，则∠G(j)>0°，极坐标曲线在第Ⅰ象限变化；如果τ<T， 则∠G(j)<0°，极坐标曲线在第Ⅳ象限变化，如图所示。
自动控制原理
16
5.3.2 对数坐标图
通过半对数坐标分别表示幅频特性和相频特性的图形， 称为对数坐称图或波德(Bode)图。
1.对数坐标 对数频率特性曲线由对数幅频特性和相频特性两部分
系统的传递函数为 C(s) G(s)
R(s)
假定输入信号r(t)为
r(t) Asint
R(s) L[ Asint] A
A
s 2 2 (s j)(s j)
自动控制原理
7
G(s)
K (s z1 )(s z2 )(s zm ) (s s1 )(s s2 )(s sn )
nm
2j
AG( j) sin(t )
B sin(t )
G( j ) G( j ) e jG( j) G( j) e j
即
G( j) G(s) s j
这里的结论同RC网络讨论的结果是一致的。
自动控制原理
10
5.3 频率特性的图示方法
频率特性的图示方法主要有三种，即极坐标图、对数坐 标图和对数幅相图，现分述如下。
所以K=10。因此，所求开环传递函数
L() 20lg | G( j) | 20lg 2T 2 1
arctanT
当=0时，L()=0dB， =0， 曲线起始于坐标原点；当=1/T时， L()=-3dB， =-45；
自动控制原理
30
5-4 频域稳定性判据
一、映射定理
闭环特征函数 F(s)=1+G(s)H(s)
T
如果τ>T，则∠G(j)>0°，极坐标曲线在第Ⅰ象限变化；如果τ<T， 则∠G(j)<0°，极坐标曲线在第Ⅳ象限变化，如图所示。
自动控制原理
16
5.3.2 对数坐标图
通过半对数坐标分别表示幅频特性和相频特性的图形， 称为对数坐称图或波德(Bode)图。
1.对数坐标 对数频率特性曲线由对数幅频特性和相频特性两部分
系统的传递函数为 C(s) G(s)
R(s)
假定输入信号r(t)为
r(t) Asint
R(s) L[ Asint] A
A
s 2 2 (s j)(s j)
自动控制原理
7
G(s)
K (s z1 )(s z2 )(s zm ) (s s1 )(s s2 )(s sn )
nm
2j
AG( j) sin(t )
B sin(t )
G( j ) G( j ) e jG( j) G( j) e j
即
G( j) G(s) s j
这里的结论同RC网络讨论的结果是一致的。
自动控制原理
10
5.3 频率特性的图示方法
频率特性的图示方法主要有三种，即极坐标图、对数坐 标图和对数幅相图，现分述如下。
所以K=10。因此，所求开环传递函数
自动控制原理稳定性判据知识点总结
自动控制原理稳定性判据知识点总结自动控制原理是探讨控制对象的动态特性以及如何设计稳定的控制系统的学科。
在自动控制系统的设计和分析中，稳定性是一个重要的概念。
本文将对自动控制原理中的稳定性判据进行总结，帮助读者更好地理解和应用这些知识。
1. 稳定性定义稳定性是指控制系统在一定的输入条件下，输出不随时间而无穷增长或无穷减小的性质。
一个稳定的控制系统能够保持输出的有限性，而不会因为扰动或非线性特性产生不可控制的结果。
2. 稳定性判据2.1. 线性系统的稳定性线性系统的稳定性判据可以分为两类：时域判据和频域判据。
2.1.1. 时域判据时域判据主要通过分析系统的状态转移方程或差分方程来判断系统的稳定性。
在稳定的线性系统中，初始状态被扰动后，系统状态在有限时间内收敛到稳定状态。
2.1.2. 频域判据频域判据通过系统的频率响应函数来判断稳定性。
常用的频域稳定性判据有：奈奎斯特稳定判据、Nyquist判据、波恩稳定判据等。
这些判据通过分析系统的极点位置和频率响应曲线来判断系统稳定性。
2.2. 非线性系统的稳定性非线性系统的稳定性判据相对于线性系统更加复杂。
常见的非线性稳定性判据有：李雅普诺夫稳定性判据、小扰动稳定性判据等。
2.2.1. 李雅普诺夫稳定性判据李雅普诺夫稳定性判据是对非线性系统进行稳定性判断的重要方法。
其基本思想是通过构造李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。
若李雅普诺夫函数为正定函数且导数小于等于零，系统即为稳定的。
2.2.2. 小扰动稳定性判据小扰动稳定性判据是通过对非线性系统进行线性化处理，然后判断线性化后的系统是否稳定来判断非线性系统的稳定性。
3. 典型的稳定性判据3.1. Nyquist判据Nyquist判据是频域判据中的一种，用于判断线性系统的稳定性。
通过绘制系统的频率响应曲线，然后判断曲线与虚轴的交点来确定系统的稳定性。
3.2. Routh-Hurwitz判据Routh-Hurwitz判据是一种时域判据，用于判断线性系统的稳定性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
[GH] 0-
e→0
0+
R→∞
0 0-
w=+∞ 0 w=-∞
-j∞
m
(is 1)
G(s)H (s) s lim ee j K
i 1 nv
e 0
sv (Tj s 1)
0+
K
ev
e jv
e 0
e jv
j 1
s lim re j
12
e 0
在极坐标图中，闭环系统稳定的充要条件是：当w由 ０→＋∞变化时， G(jω)H(jω)曲线逆时针包围[GH]平面上 (-1，j0)点的次数Ｎ＝Ｐ／２；否则，闭环系统不稳定， 且有Ｚ＝Ｐ－２Ｎ个右极点。
R=P -Z
6
三、奈奎斯特稳定性判据
+j∞
0+ 0- 0
[s] F(s) 1 G(s)H(s) N(s) M(s)
N (s) ［Ｆ］
R→∞
［ＧＨ］
－１
０
０
１
-j∞
7
(1) 幅角原理在闭环系统稳定性分析中的应用
特征函数 F s 1 G s H s N (s) M(s)
N (s)
a.若P=0，且 Ｒ=0，即GH曲线不包围（-1，j0）点，则闭环系 统稳定；
b.若P≠0，且Ｒ=P，即GH曲线逆时针绕（-1，j0）点P圈，则 闭环系统稳定，否则是不稳定系统。 不稳定系统分布在s右半平面极点的个数可按下式求取： Z=PＲ
c.若GH曲线通过（-1，j0）点L次，则说明闭环系统有L个极 点分布在s平面的虚轴上。
9
例: 一系统开环传递函数为： G(s)H(s) a ( a 0)
s1
试判别系统的稳定性。
Im
w
解：本系统的开环频率特性
G( jw )H ( jw ) a jw 1
w
2
1
w 0
Re
当w j j0 j0 j 变化时，
系统的幅相曲线如图所示。
w
因为系统有一个开环极点位于s的右半平面，即：P=1。
开环系统的特征方程式 D'(s) N (s)
闭环系统的特征方程式 D(s) N(s) M(s)
特征函数
F(s) 1 G(s)H(s) N(s) M(s)
n
N (s)
(s zj)
F(s)
j 1 n
(s pi )
i 1
2
F(s) 1 G(s)H(s) N(s) M(s) N (s)
用曲线 s j j0 j0 j j 补足开环幅相频率曲线，形成 s j j 的奈奎斯特围线，则有：
闭环右极点 个数
Ｚ＝Ｐ－Ｒ
开环右极点 个数
奈氏曲线围绕(-1,j0)点 的次数
［Ｆ］
－１ ０
［ＧＨ］
０ １
8
(2) 奈奎斯特稳定判据
Ｚ＝Ｐ－Ｒ
闭环系统稳定的充要条件是：当w由－∞→＋∞变化 时， G(jω)H(jω)曲线逆时针包围[GH]平面上(-1，j0)点 的次数R等于开环传递函数右极点个数P。
为正负半次穿越。
正穿越
Im
负穿越
Im
Im
半次穿越
(－1，j0)
+
0 Re
(－1，j0)
_
0 Re
(-1, j0)
14
Re 0
在极坐标图中，闭环系统稳定的充要条件是：当w由０ →＋∞变化时， G(jω)H(jω)曲线对(-1，-∞)实轴段的正负 穿越次数之差为N(+)- N(-)=Ｐ／２；否则，闭环系统不稳定， 且有Ｚ＝Ｐ－２[N(+)- N(-)]个右极点。
ห้องสมุดไป่ตู้
N() 1 ，N() 0 N N() N() 1 Z P 2[N() N() ]
N() 0 ，N() 0 N N() N() 0
N() 1 ，N() 1 N N() N() 0
15
＋＋ － (1, j0)
Im G( jw )H ( jw )
N() 1 ，N() 2 N N() N() 1 Z P 2[N() N() ]
5.4控制系统的频域稳定判据
一、特征函数F(s)=1+G(s)H(s)
基本思想：利用开环频率特性判别闭环系统稳定性。 (1)开环频率特性和闭环频率特性之间的关系
1
开环传递函数
M (s) G(s)H(s)
N (s)
闭环传递函数 (s) G(s) G(s)N (s)
1 G(s)H(s) N(s) M(s)
(1)若特征函数的零点 zj和pi极点没有被曲线Γs包围，则有：
s zj 0o
s pi 0o
(２)若特征函数的零点 zj和pi极点被包围在曲线Γs里，则有：
s z j 2 (顺时针 ) s pi 2 (逆时针)
5
柯西幅角定理： 在s平面上任一封闭曲线包围了F(s)的Z
个零点和P个极点，并且不经过F(s)的任一零 点和极点，则当s沿闭合路径顺时针方向转过 一周时，映射到F(s)平面内的F(s)曲线逆时针 绕原点（ P –Z）圈。即
图中奈氏曲线是逆时针方向绕（-1，j0）点的1圈，即 N=1。
根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=P-N=1-1=0，
所以系统稳定。
10
+j∞
0+ 0- 0
[s] F(s) 1 G(s)H(s) N(s) M(s)
N (s) ［Ｆ］
R→∞
［ＧＨ］
－１
０
０
１
-j∞
11
[s] +j∞
13
(2) 由“正负穿越次数之差”来判断
G(jω)H(jω)曲线对称实轴。应用中只画0→+∞部分。所谓
“穿越”是指轨迹穿过(-1,-∞) 段。
• 正穿越：从上而下穿过该段一次（相角增加），用N(+)表示。 • 负穿越：由下而上穿过该段一次（相角减少），用N(-)表示。 • 半次穿越：起始于或终止于(-1,-∞)段的负实轴的正、负穿越称
特征函数F(s)的映射，在F(s)平面上可以找到对应的象。设
辅助函数的幅角为：
n
(s zj)
n
n
F (s) s z j s pi
j1
i 1
F(s)
j 1 n
(s pi )
i 1
Im
s1
Γs
jw [s]
() 2
F(s2)
[F(s)]
s2
s
0
F(s3) Re
0
s3
vF
F(s1)
4
当s从s1开始沿任一闭合路径Γs (不经过F(s)的零点和 极点)顺时针旋转一圈，F(s)的相角变化情况如下：
(２) 特征函数F(s)的特点：
n
(s zj)
F(s)
j 1 n
(s pi )
i 1
(1) F(s)的零点、极点分别为系统的闭环极点、开环极点； (2) F(s)的零点和极点个数相同(均为n)； (3) F(s)平面的坐标原点就是G(s)H(s)平面的点(-1，j0)。
3
二、幅角定理
由复变函数可知，对S复平面上除奇点外的任一点，经过