第五章 5-4 奈氏稳定判据
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54奈奎斯特稳定判据解析
j?1
Im S平面
?? ??
Байду номын сангаас
?
Re
??
Im
?
F(s)
? (s)
F(s)平面 Re
当S 平面上动点 s从s1经过某曲线 CS到达s2，映射到 F(s)平面上也将是一段
曲线CF ，该曲线完全由 F(s)表达式和 s平面上的曲线 CS决定。若只考虑动点 s
从s1到达s2相角的变化量，则有
?? F (s) ? ? F (s2 ) ? ? F (s1)
于是，映射到 F(s)平面上，当变点 F(s)沿CF 绕行一周后的幅角变化也应等于 0°。这表 明，围线CF此时不包围原点。
s平面
A BC
? ?H
?2 ?1 a
1
2
D
3
bG F E
CS顺时针
?
2
1.5
F (s)平面
G 1
0.5 0
E D
F
H
C
-0.5
B
-1 A
-1.5
-2 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
函数F(s)是复变量s的单值函数， s可以在整个 s平面上变化，对于其 上的每一点，除有限 (n) 个极点外，函数 F(s)都有唯一的一个值与之对应。
s平面上的点与 F(s)平面上的点有对应关系
F (s) ? K (s ? z1)(s ? z2 ) (s ? zm ) (s ? p1 )(s ? p2 ) (s ? pn )
s平面
F(s)平面
F(s) 的零点
原点
F(s) 的极点
无限远点
s平面上的其他点
原点外的有限点
注意，虽然函数 F(s)从s平面到F(s)平面的映射是一一对应的，然而逆过
5.3-5.4奈氏判据和稳定裕度
如此定义的封闭曲线肯定包围了F(s)的位于s 平面右半部的所有零点和极点。
3. Nyquist稳定判据
• 设复变函数F(s) 在s平面的右半部有Z个零点和P个 极点。根据映射定理，当s 沿着s平面上的乃氏回 线移动一周时，在F(s) 平面上的映射曲线CF将按 逆时针方向围绕坐标原点旋转R = P－Z周。
• 如果开环稳定，即P=0，则闭环系统稳定的条件是： 映射曲线CF 围绕坐标原点的圈数为R=0。
• 根据系统闭环特征方程有
G( s) H ( s ) F ( s ) 1
F(s) 的 映 射 曲 线 CF 围 绕 原 点 运 动 情 况 ， 相 当 于 G(s)H(s)的封闭曲线CGH 围绕(－1，j0)点的运动情况 。
s lim e j
0
当ω从0- 沿小半圆变到0+ 时，s按逆时针方向旋转了 180°。
G(s)H(s)在其平面上的映射为
G(s) H (s)
s lim ei
0
K ( s z1 )( s z2 ) ( s zm ) s ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
s平面 q2
j
j1
jV
F(s) 0 U
p2
z1
0 p1 z2
q1 j2 s
封闭曲线包围z1时的映射情况
• 若s平面上的封闭曲线Γs包围着F(s) 的Z个零点，则 在F(s)平面上的映射曲线ΓF将按顺时针方向围绕着 坐标原点旋转Z周； • 用类似分析方法可以推论，若s平面上的封闭曲线Γs 包围了F(s) 的P个极点，则当s沿着Γs顺时针移动一 周时，在F(s) 平面上的映射曲线ΓF将按逆时针方向 围绕着原点旋转P周。
5-4 频域：奈氏 判据
2. 奈氏判据 设： F (S ) = 1 + G (s )H (s ) ——闭环系统特征多项式 闭环系统特征多项式 的零点就是闭环系统的极点。 显然： 显然：F(s) 的零点就是闭环系统的极点。 (1) 1＋G(S)H(S)平面上的系统稳定性分析 ＋ 平面上的系统稳定性分析 假如s沿着奈氏路径绕一圈 根据幅角定理， 沿着奈氏路径绕一圈， 假如 沿着奈氏路径绕一圈，根据幅角定理，F(s)平 平 面上绘制的F(s)曲线 F逆时针方向绕原点的圈数 则为 曲线Γ 方向绕原点的圈数N则为 面上绘制的 曲线 逆时针方向绕原点的圈数 F(s)在s右半开平面内极点个数 与的零点个数 之差： 右半开平面内极点个数P与的零点个数 之差： 在 右半开平面内极点个数 与的零点个数Z之差 N= P - Z 说明系统闭环传递函数无极点在s右半开 当 Z=0 时，说明系统闭环传递函数无极点在 右半开 平面，系统是稳定的；反之，系统则是不稳定的。 平面，系统是稳定的；反之，系统则是不稳定的。
8
某系统G(jω)H(jω)轨迹如下，已知有 个开环极点分 轨迹如下， 例: 某系统 轨迹如下 已知有2个开环极点分 布在s的右半平面，试判别系统的稳定性。 布在 的右半平面，试判别系统的稳定性。 的右半平面 系统有2个开环极点分布在 的右半平面（ 个开环极点分布在s的右半平面 解：系统有 个开环极点分布在 的右半平面（P=2）， ）， G(jω)H(jω)轨迹在点 轨迹在点(-1, j0)以左的负实轴有 次正穿越，1次 以左的负实轴有2次正穿越 轨迹在点 以左的负实轴有 次正穿越， 次 负穿越，因为： 负穿越，因为：N= N + N = 2 ,1 = 1 求得： 所以系统是稳定系统。 求得：Z=P-2N=2-2=0 所以系统是稳定系统。
Im
8
某系统G(jω)H(jω)轨迹如下，已知有 个开环极点分 轨迹如下， 例: 某系统 轨迹如下 已知有2个开环极点分 布在s的右半平面，试判别系统的稳定性。 布在 的右半平面，试判别系统的稳定性。 的右半平面 系统有2个开环极点分布在 的右半平面（ 个开环极点分布在s的右半平面 解：系统有 个开环极点分布在 的右半平面（P=2）， ）， G(jω)H(jω)轨迹在点 轨迹在点(-1, j0)以左的负实轴有 次正穿越，1次 以左的负实轴有2次正穿越 轨迹在点 以左的负实轴有 次正穿越， 次 负穿越，因为： 负穿越，因为：N= N + N = 2 ,1 = 1 求得： 所以系统是稳定系统。 求得：Z=P-2N=2-2=0 所以系统是稳定系统。
Im
5-4稳定裕度
1
kg
08:37 11
作业： 5-17 5-18（1）
08:37
12
0
3
L( )
1
x
A(x ) 1
c x
0
c
( c )
h
( )
h0
0
一、 相角裕度
A(c ) G( jc ) H ( jc ) 1
c 称为系统的截止频率。
(c ) 与-1800(负实轴)的相角差称为相角裕度 ，即 此时定义：
C (s)
[解]：相位稳定裕度和幅值裕度可以很容易地从波德图中求得。 当k=10时，开环系 统波德图如左所示。 这时系统的相位稳 定裕度和幅值裕度 大约是8dB和21度， 是稳定的，因此系 统在不稳定之前， 增益可以增加8dB， 达到临界情况.
6
8dB 0
21 0
08:37
相位裕度和幅值裕度的计算：
08:37
10
[稳定裕度概念使用时的局限性]： 1、在高阶系统中，奈氏图中幅值为的1点或相角为-180度的点可 能不止一个，这时使用幅值和相位稳定裕度可能会出现歧义； 2、非最小相位系统不能使用该定义； 3、有时幅值和相位稳定裕度都满足，但仍有部分曲线很靠近(1,j0)点，这时闭环系统的稳定性依然不好。见下图：
2
由三角函数关系得： x 0.2x 1, 解得：x 2.24
A( x )
x 1 x
2
1 0.04 x
2
0.33216
所以，幅值裕度为： h 20lg A(x ) 9.6(dB)
08:37
8
当增益从k=10增大到k=100时，幅值特性曲线上移20dB，相位 特性曲线不变。这时系统的相位稳定裕度和幅值裕度分别是12dB和-30度。因此系统在k=10时是稳定的，在k=100时是不稳 定的。
控制工程基础 (第12讲) 第五章 乃魁斯特(Nyquist)稳定性判据 PPT课件
如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点(k=0,1,2…)，
即包围的零点数与极点数相同，则在 F(s) 平面上，
相应的封闭曲线不包围 F(s) 平面上的原点。
上述讨论是映射定理的图解说明，奈奎斯特稳 定判据正是建立在映射定理的基础上。
相角（幅角）定理：
如果闭合曲线 s 以顺时针方向为正方向，在 s 平
在右半s平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这 种方法无须求出闭环极点，得到广泛应用。
奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形映 射基础上的 。
相角（幅角）定理：
如果闭合曲线 S 以顺时针方向为正方向，在[S]平
面上包围了Fs 的 Z 个零点和 P 个极点，但不经过
任何一个零点和极点，那么，对应的映射曲线 F 也以
奈魁斯特稳定判据是利用开环频率特性判别闭环系统的稳 定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的 概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。 它从代数判据脱颖而出，故可以说是一种几何判据。
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
2
奈魁斯特稳定判据无需求取闭环系统的特征根，而是利用
F(s) 的轨迹将逆时针方向包围 F(s)平面上原点两次
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
9
s平面
B3
2
1
A0
-1
-2
F -3 -3
-2
-1
j
Im
C
2
1.5
F (s)平面
1 B1
0.5
D
E1
0 C1
F1 -0.5
-1
A
-1.5
D1
自动控制原理5.4 奈奎斯特判据
二、奈氏判据
设Gk s在s右半平面的极点数为p，则闭环系 统稳定的充要条件是：在 Gk s 平面上的
11
★奈氏判据
§5—4 奈奎斯特判据
Gk j 曲线及其镜像当从 时，将逆时
针绕（- 1，j0）点转p周。
(1) 若开环本身稳定,则p 0, 故稳定的充要条件是：
系统稳定，否则系统不稳定。 但Gk F s 1 所以F(s)的Γ曲线绕原点运动相当于 Gk j 的封闭 曲线绕(-1，j0)点运动， 因为F( s)与Gk s只差常数1。
9
★幅角定理（续）
§5—4 奈奎斯特判据
Gk GH的封闭曲线即为 时Gk j 的
1
Mk Nk
Nk Mk Nk
Nb Nk
1
★幅角定理（续）
§5—4 奈奎斯特判据
其中Nk s为开环特征式，Nb s为闭环特征式。
F s的特点：
1、Fs的极点 开环极点， Fs的零点 闭环极点；
2、Fs的零极点个数相等n m；
3、F s与G( s)只差常数1。
§5—4 奈奎斯特判据
[F(s)] 0
5
★幅角定理（续）
§5—4 奈奎斯特判据
★幅角定理：设s平面上不通过F(s)任何奇点的封 闭曲线Γ包围s平面上F(s)的z个零点和p个极点。 当s以顺时针方向沿着封闭曲线Γ移动一周时， 则在F(s)平面上相对应于封闭曲线Γ的映射函数
j
1'
s
j 2'
F s
曲线。
因为对应于奈氏回线中：
1) 0 ； 3) 0；
只有2)半径R ， Fs 1 Gk s，
而Gk
设Gk s在s右半平面的极点数为p，则闭环系 统稳定的充要条件是：在 Gk s 平面上的
11
★奈氏判据
§5—4 奈奎斯特判据
Gk j 曲线及其镜像当从 时，将逆时
针绕（- 1，j0）点转p周。
(1) 若开环本身稳定,则p 0, 故稳定的充要条件是：
系统稳定，否则系统不稳定。 但Gk F s 1 所以F(s)的Γ曲线绕原点运动相当于 Gk j 的封闭 曲线绕(-1，j0)点运动， 因为F( s)与Gk s只差常数1。
9
★幅角定理（续）
§5—4 奈奎斯特判据
Gk GH的封闭曲线即为 时Gk j 的
1
Mk Nk
Nk Mk Nk
Nb Nk
1
★幅角定理（续）
§5—4 奈奎斯特判据
其中Nk s为开环特征式，Nb s为闭环特征式。
F s的特点：
1、Fs的极点 开环极点， Fs的零点 闭环极点；
2、Fs的零极点个数相等n m；
3、F s与G( s)只差常数1。
§5—4 奈奎斯特判据
[F(s)] 0
5
★幅角定理（续）
§5—4 奈奎斯特判据
★幅角定理：设s平面上不通过F(s)任何奇点的封 闭曲线Γ包围s平面上F(s)的z个零点和p个极点。 当s以顺时针方向沿着封闭曲线Γ移动一周时， 则在F(s)平面上相对应于封闭曲线Γ的映射函数
j
1'
s
j 2'
F s
曲线。
因为对应于奈氏回线中：
1) 0 ； 3) 0；
只有2)半径R ， Fs 1 Gk s，
而Gk
5-4奈魁斯特稳定判据1.
Monday, October 29, 2018
3
Gk ( s) [例5-6]开环传递函数为：
断闭环系统的稳定性。
k ，试用奈氏判据判 (T1s 1)(T2 s 1)
[解]：开环系统的奈氏 图如右。在s右半平面的 极点数为0，绕(-1,j0)点 的圈数N=0，则闭环系 统在s右半平面的个数： Z k N Pk 0。故闭环 系统是稳定的。
由三角函数关系得： g 0.2g 1, 解得： g 2.24 2 A( g ) 0.33216 2 2 g 1 g 1 0.04 g 所以，幅值裕度为： Lg 20log A( g ) 9.6(dB)
Monday, October 29, 2018
2
一、奈氏稳定判据
Z : 在左半s平面中闭环极点的个数 Z P R P 2N P : 在右半s平面中开环极点的个数 N : GH ( j )包围( 1, j 0)点的圈数
N：逆时针包围为正，顺时针包围为负 注意：若含有积分环节v，奈氏曲线需要在ω=0+ 处逆时针延长到半径为无穷大的v/4的圆，该延长 线是本曲线的一部分。
Monday, October 29, 2018
-
k s 1
C (s)
6
当k=1时，奈氏曲线通过(-1,j0)点，属临界稳定状态。
Pk 1 ，所以Z k 1， 当k<1时，奈氏曲线不包围(-1,j0)点，N=0， 闭环系统不稳定。
Monday, October 29, 2018
7
频率特性曲线对(-1,j0)点的包围情况可用频率特性的正负穿 越情况来表示。当 增加时，频率特性从上半s平面穿过负实轴 的 (,1)段到下半s平面，称为频率特性对负实轴的 (,1)段的 正穿越（这时随着 的增加，频率特性的相角也是增加的）； 意味着逆时针包围(-1,j0)点。反之称为负穿越。
5-4 奈奎斯特
G( j ) H ( j ) 与复变函数 F ( s) 1 G( s) H ( s) 位于S平面右半部的零、 极点数目联系起来的一种判据。奈氏判据是一种图解法，它依 据的是系统的开环频率特性。由于系统的开环特性可用解析法 或实验法获得，因此，应用奈氏判据分析系统的稳定性兼有方 便和实用的优点。奈氏判据还有助于建立相对稳定性的概念。
bm s m bm 1 s m 1 b1 s b0 G( s) H ( s) ( s p1 )( s p 2 ) ( s p n )
k ( s z1 )( s z 2 ) ( s z n ) ( s p1 )( s p 2 ) ( s p n )
6
前面我们已经指出， (s ) 的极点数等于开环传递函数 G(s) H (s) 的极点数，因 F 此当我们从 F (s ) 平面上确定了封闭曲线F 的旋转周数N以后，则在 S 平面上 封闭曲线s 包含的零点数Z（即系统的闭环极点数）便可简单地由下式计算出 来
Z=P-N
（5-109）
封闭曲线s和F 的形状是无关紧要的，因为它不影响上述结论。 关于幅角定理的数学证明请读者参考有关书籍，这里仅从几何图形上简单 说明。 设有辅助函数为
前面已经指出，辅助函数 F (s) 的极点等于系统的 开环极点， (s)的零点等于系统的闭环极点。因此，如 F 果奈氏轨迹中包围F (s)的零点数Z=0，系统是稳定的，
此时由F (s)映射到 F (s)平面上的封闭曲线F 逆时针绕 平面坐标原点的周数应为 N=P （5-114）( s) 2 ( P Z ) 2N N=P-Z
（5-112） （5-113）
Im
j
p1
0
F s
F (s1 )
bm s m bm 1 s m 1 b1 s b0 G( s) H ( s) ( s p1 )( s p 2 ) ( s p n )
k ( s z1 )( s z 2 ) ( s z n ) ( s p1 )( s p 2 ) ( s p n )
6
前面我们已经指出， (s ) 的极点数等于开环传递函数 G(s) H (s) 的极点数，因 F 此当我们从 F (s ) 平面上确定了封闭曲线F 的旋转周数N以后，则在 S 平面上 封闭曲线s 包含的零点数Z（即系统的闭环极点数）便可简单地由下式计算出 来
Z=P-N
（5-109）
封闭曲线s和F 的形状是无关紧要的，因为它不影响上述结论。 关于幅角定理的数学证明请读者参考有关书籍，这里仅从几何图形上简单 说明。 设有辅助函数为
前面已经指出，辅助函数 F (s) 的极点等于系统的 开环极点， (s)的零点等于系统的闭环极点。因此，如 F 果奈氏轨迹中包围F (s)的零点数Z=0，系统是稳定的，
此时由F (s)映射到 F (s)平面上的封闭曲线F 逆时针绕 平面坐标原点的周数应为 N=P （5-114）( s) 2 ( P Z ) 2N N=P-Z
（5-112） （5-113）
Im
j
p1
0
F s
F (s1 )
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d d x [( 2 k 1) arctg x ] 0
为 x的减函数
x
2
xm 亦为 的减函数
j
xm
xm 3时， 3） 3 2 3 3
1
0
2
arctg （
2 3 3 , 稳定
，临界稳定
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第五章 线性系统的频域分析法
1 0 . 1 min 2 2
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第五章 线性系统的频域分析法
4
200
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第五章 线性系统的频域分析法
5
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第五章 线性系统的频域分析法
6
5-4 频率域稳定判据
本节内容：
奈氏判据数学基础 奈奎斯特稳定判据 对数频率稳定判据
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F ( s ) s z1 s z 2 s p1 s p 2
2 0 ( 2 ) ( 2 ) 2
j
z1
j
F (s)
s
p1
s F (s) 映射
0
F (s)
0
z2
p2
F
F ( s ) 平面
s 平面
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, [ 0 , 90 ] 上映射为原点（n>m）
o
* 或（ K，j0）点（n=m）
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第五章 线性系统的频域分析法
13
1 、 奈氏判据数学基础…
2）G(s)H(s)含积分环节 G ( s ) H ( s )
1 s
G1 ( s )
在原点附近 s e j , [ 0 , 90 o ]
j
1
0
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第五章 线性系统的频域分析法
12
1 、 奈氏判据数学基础…
j
e
j
0
1）G(s)H(s)无虚轴上的极点
在 s j , [ 0 , )上映射的开环幅相曲线
G ( j ) H ( j ), [ 0 , )
在 s e
j
x
3 , Re G ( j x ) H ( j x )
K 12
3
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第五章 线性系统的频域分析法
重点练习
2.已知单位负反馈系统的开环传递函数为 10 s 2 G (s) 2 s s 0 .1 试绘制系统的开环对数渐近特性曲线。 解： K 200 , 20 lg K 46 . 02
A ( x ) 2 1x
2
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第五章 线性系统的频域分析法
23
2、奈奎斯特稳定判据…
( xm )
xm
arctg xm
x
1x
2
A ( xm ) 1 xm
3
[( 2 k 1) arctg x ] x 0
24
2、奈奎斯特稳定判据…
奈氏稳定判据总结：
Z=P-2N Z—闭环系统正实部极点个数 P—开环系统正实部极点个数
R—开环幅相曲线（ω：0 →+∞）逆时针包围临界点 j （-1，j0）的圈数
R 2N , N N N
1
0
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第五章 线性系统的频域分析法
25
2、奈奎斯特稳定判据…
系统不稳定
条件稳定系统
能源与动力学院 第五章 线性系统的频域分析法
22
2、奈奎斯特稳定判据…
例5-9， G ( s ) H ( s )
2e
s
s 1
, 0 , 确定系统稳定的
j
值范围
xm
1
0
2
解： ( x )
x
arctg x
( 2 k 1) ; k 0 ,1, 2 ,3
3
s
2 2
n
1)
2
( K ,T 0)
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第五章 线性系统的频域分析法
16
1 、 奈氏判据数学基础…
（5）闭合曲线 F 包围原点圈数R的计算 R= GH 包围（-1，j0）点圈数N×2
N：GH 穿越（-1，j0）左侧实轴的次数
N N
：正穿越次数和（从上向下） ：负穿越次数和（从下向上）
G ( s ) H ( s ) 在原点有极点
G ( s ) H ( s ) 有虚数极点
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第五章 线性系统的频域分析法
11
1 、 奈氏判据数学基础…
（4）G(s)H(s)闭合曲线的绘制
F 平面上封闭曲线 GH 即 G ( j ) H ( j ) : 而 GH 关于虚轴对称， 因此只需画 G ( j ) H ( j ) : 0 的半封闭曲线
第五章 线性系统的频域分析法
8
1 、 奈氏判据数学基础…
j
z1
j
F (s)
s
p1
s F (s) 映射
0
F (s)
0
z2
p2
F
F ( s ) 平面
s 平面
幅角原理：R=P-Z Z — s平面闭合曲线Γ包围F(s)的零点个数 P — s平面闭合曲线Γ包围F(s)的极点个数 R — 当s沿Γ顺时针运动一周，F(s)平面上闭合曲线гF 逆时针包围原点的圈数。
第五章 线性系统的频域分析法
7
1 、 奈氏判据数学基础
（1）幅角原理
s为复数变量
F F（s）为s的有理分式函数，设： ( s )
F ( s ) s z1 s z 2 s p1 s p 2
( s z 1 )( s z 2 ) ( s p 1 )( s p 2 )
j [ G1 ( j
n
) 1 180 ]
0
90 ， s j n
0
第五章 线性系统的频域分析法
15
1 、 奈氏判据数学基础…
j
j j
0
0
0
G (s)H (s) : K s (Ts 1)( s
2 2
K
1)
K
s
2 2
n
s (Ts 1)(
n
1)
2
s (Ts 1)(
系统稳定
系统不稳定
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第五章 线性系统的频域分析法
21
2、奈奎斯特稳定判据…
j
1
0
j
1 0
k 2 k k 3, N N 1, R 0 , Z 0
k k 3, N 1， N 2 , R 2， Z 2
系统稳定
k 为（ 0，） ( 5 , 20 3 , 20 ) 稳定。
映射为 G ( s ) H ( s ) S e
j
j
e
j
j [ ( ) G（ j 0 )] 1
1
G ( j ) H ( j )
e
0
j
0
G ( j0)H ( j0)
G ( j0 )H ( j0 )
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第五章 线性系统的频域分析法
14
1 、 奈氏判据数学基础…
j j
R 2 N 2( N N )
0
1 1
1
0
0
N 1, N 0
R 2
N 0, N 0
R 0
17
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第五章 线性系统的频域分析法
1 、 奈氏判据数学基础…
j j
2
1 2
0
1
1
0
0
N 1, N
斜率：-20υdb/dec
直线或延长线上一点：
L a ( ) 20 lg K 20 lg 0 ( db ) ①任选 ω 0 , ② 0 1 L a ( ) 20 lg K ( db ) ③ 0 K 1 , L a ( ) 0 ( db )
4)
3） F 和 GH 只相差常数1， F 对原点的包围的圈数= GH
对（-1，j0）点包围的圈数
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第五章 线性系统的频域分析法
10
1 、 奈氏判据数学基础…
（3）s平面闭合曲线Г 的选择
j j j
j n
e
j
e
j
e
0 0
j
0
e
j
j n
G ( s ) H ( s ) 虚轴上无极点
重点回顾
幅相曲线绘制三要素
（1）开环幅相曲线的起点（ 0 ）和终点( ) （2）开环幅相曲线与实轴的交点 交点处的频率 x -------穿越频率
x : I m [ G ( j x ) H ( j x )] 0
或 ( x ) G ( j x ) H ( j x ) k , k 0 ,1, 2 交点处坐标
完成书P216习题5-14：指出N-、N+、R、Z
切记：Z为s右半平面闭环极点个数，P开环右半平面 极点数。任何时候Z（个数）均不能小于零。
能源与动力学院 第五章 线性系统的频域分析法
19
2、奈奎斯特稳定判据…
例5-8 单位负反馈系统开环幅相曲线如图（k=10， p=0，v=1），试确定系统闭环稳定的k值范围 解：
为 x的减函数
x
2
xm 亦为 的减函数
j
xm
xm 3时， 3） 3 2 3 3
1
0
2
arctg （
2 3 3 , 稳定
，临界稳定
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第五章 线性系统的频域分析法
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4
200
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5
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6
5-4 频率域稳定判据
本节内容：
奈氏判据数学基础 奈奎斯特稳定判据 对数频率稳定判据
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F ( s ) s z1 s z 2 s p1 s p 2
2 0 ( 2 ) ( 2 ) 2
j
z1
j
F (s)
s
p1
s F (s) 映射
0
F (s)
0
z2
p2
F
F ( s ) 平面
s 平面
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, [ 0 , 90 ] 上映射为原点（n>m）
o
* 或（ K，j0）点（n=m）
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第五章 线性系统的频域分析法
13
1 、 奈氏判据数学基础…
2）G(s)H(s)含积分环节 G ( s ) H ( s )
1 s
G1 ( s )
在原点附近 s e j , [ 0 , 90 o ]
j
1
0
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第五章 线性系统的频域分析法
12
1 、 奈氏判据数学基础…
j
e
j
0
1）G(s)H(s)无虚轴上的极点
在 s j , [ 0 , )上映射的开环幅相曲线
G ( j ) H ( j ), [ 0 , )
在 s e
j
x
3 , Re G ( j x ) H ( j x )
K 12
3
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第五章 线性系统的频域分析法
重点练习
2.已知单位负反馈系统的开环传递函数为 10 s 2 G (s) 2 s s 0 .1 试绘制系统的开环对数渐近特性曲线。 解： K 200 , 20 lg K 46 . 02
A ( x ) 2 1x
2
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第五章 线性系统的频域分析法
23
2、奈奎斯特稳定判据…
( xm )
xm
arctg xm
x
1x
2
A ( xm ) 1 xm
3
[( 2 k 1) arctg x ] x 0
24
2、奈奎斯特稳定判据…
奈氏稳定判据总结：
Z=P-2N Z—闭环系统正实部极点个数 P—开环系统正实部极点个数
R—开环幅相曲线（ω：0 →+∞）逆时针包围临界点 j （-1，j0）的圈数
R 2N , N N N
1
0
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第五章 线性系统的频域分析法
25
2、奈奎斯特稳定判据…
系统不稳定
条件稳定系统
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22
2、奈奎斯特稳定判据…
例5-9， G ( s ) H ( s )
2e
s
s 1
, 0 , 确定系统稳定的
j
值范围
xm
1
0
2
解： ( x )
x
arctg x
( 2 k 1) ; k 0 ,1, 2 ,3
3
s
2 2
n
1)
2
( K ,T 0)
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第五章 线性系统的频域分析法
16
1 、 奈氏判据数学基础…
（5）闭合曲线 F 包围原点圈数R的计算 R= GH 包围（-1，j0）点圈数N×2
N：GH 穿越（-1，j0）左侧实轴的次数
N N
：正穿越次数和（从上向下） ：负穿越次数和（从下向上）
G ( s ) H ( s ) 在原点有极点
G ( s ) H ( s ) 有虚数极点
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第五章 线性系统的频域分析法
11
1 、 奈氏判据数学基础…
（4）G(s)H(s)闭合曲线的绘制
F 平面上封闭曲线 GH 即 G ( j ) H ( j ) : 而 GH 关于虚轴对称， 因此只需画 G ( j ) H ( j ) : 0 的半封闭曲线
第五章 线性系统的频域分析法
8
1 、 奈氏判据数学基础…
j
z1
j
F (s)
s
p1
s F (s) 映射
0
F (s)
0
z2
p2
F
F ( s ) 平面
s 平面
幅角原理：R=P-Z Z — s平面闭合曲线Γ包围F(s)的零点个数 P — s平面闭合曲线Γ包围F(s)的极点个数 R — 当s沿Γ顺时针运动一周，F(s)平面上闭合曲线гF 逆时针包围原点的圈数。
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7
1 、 奈氏判据数学基础
（1）幅角原理
s为复数变量
F F（s）为s的有理分式函数，设： ( s )
F ( s ) s z1 s z 2 s p1 s p 2
( s z 1 )( s z 2 ) ( s p 1 )( s p 2 )
j [ G1 ( j
n
) 1 180 ]
0
90 ， s j n
0
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15
1 、 奈氏判据数学基础…
j
j j
0
0
0
G (s)H (s) : K s (Ts 1)( s
2 2
K
1)
K
s
2 2
n
s (Ts 1)(
n
1)
2
s (Ts 1)(
系统稳定
系统不稳定
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21
2、奈奎斯特稳定判据…
j
1
0
j
1 0
k 2 k k 3, N N 1, R 0 , Z 0
k k 3, N 1， N 2 , R 2， Z 2
系统稳定
k 为（ 0，） ( 5 , 20 3 , 20 ) 稳定。
映射为 G ( s ) H ( s ) S e
j
j
e
j
j [ ( ) G（ j 0 )] 1
1
G ( j ) H ( j )
e
0
j
0
G ( j0)H ( j0)
G ( j0 )H ( j0 )
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14
1 、 奈氏判据数学基础…
j j
R 2 N 2( N N )
0
1 1
1
0
0
N 1, N 0
R 2
N 0, N 0
R 0
17
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第五章 线性系统的频域分析法
1 、 奈氏判据数学基础…
j j
2
1 2
0
1
1
0
0
N 1, N
斜率：-20υdb/dec
直线或延长线上一点：
L a ( ) 20 lg K 20 lg 0 ( db ) ①任选 ω 0 , ② 0 1 L a ( ) 20 lg K ( db ) ③ 0 K 1 , L a ( ) 0 ( db )
4)
3） F 和 GH 只相差常数1， F 对原点的包围的圈数= GH
对（-1，j0）点包围的圈数
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第五章 线性系统的频域分析法
10
1 、 奈氏判据数学基础…
（3）s平面闭合曲线Г 的选择
j j j
j n
e
j
e
j
e
0 0
j
0
e
j
j n
G ( s ) H ( s ) 虚轴上无极点
重点回顾
幅相曲线绘制三要素
（1）开环幅相曲线的起点（ 0 ）和终点( ) （2）开环幅相曲线与实轴的交点 交点处的频率 x -------穿越频率
x : I m [ G ( j x ) H ( j x )] 0
或 ( x ) G ( j x ) H ( j x ) k , k 0 ,1, 2 交点处坐标
完成书P216习题5-14：指出N-、N+、R、Z
切记：Z为s右半平面闭环极点个数，P开环右半平面 极点数。任何时候Z（个数）均不能小于零。
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19
2、奈奎斯特稳定判据…
例5-8 单位负反馈系统开环幅相曲线如图（k=10， p=0，v=1），试确定系统闭环稳定的k值范围 解：