奈奎斯特稳定判据
合集下载
奈奎斯特稳定性判据
(c)(2k1)180
时，可应用对数频率特性稳定性判据，判定系统的 稳定性。基于Bode图和基于Nyquist图的两种稳定性 判据是一致的，只是坐标系不同而已。 负反馈闭环系统，位于右半s平面极点的个数为
(3)
二、对数频率特性稳定性判据
式中：P —开环传递函数位于右半s平面极点的个 数；
—N 相 频特性曲线正穿越次数。在 L() 0 对应的频率范围内， 自下(而) 上穿越 (2k线1的)次18数0 ，其中自下而上起 始于或终止于该线的次数，折半计算； N —相频特性曲线负穿越次数。在 L() 0 对应的频率范围内， (自 )上而下穿越 (2k1)线18的0次数，其中自上而下起 始于或终止于该线的次数，折半计算；
【2 开环对数频率曲线(Bode图)的绘制】
1 思路：将复杂的 G(s)H(s)分解为典型环节的串联
G (s) G 1 (s)G 2 (s)G 3 (s).G .k .(s.)..
L ( () ) 2 G l( G 0 g j(j )H ) ( H j(j ) ) G 2 1 l G 0 g G 1 2 2 l G 0 g G 2k 2lG 0 g k
Z —闭环传递函数，位于右半s平面极点的 个数，即特征方程位于右半s平面根的 个数。
一、奈奎斯特稳定性判据
【3 奈奎斯特稳定性判据】
由式（1）可知：系统渐近稳定的充分必要条件是 (2)
由式（1）还可知：渐近稳定的必要条件是 N ；N 发散不稳定的充分条件是 N 。N 当开环频率特性通过[GH]平面上点时，且当曲线 在点 (1, 左j0)右作微小移动时，会使系统由渐近 稳定变成发散不稳定，或会使系统由发散不稳定 变成渐近稳定，系统称为临界稳定。
三、例题详解
【解答】 首先将各点的坐标改写成
时，可应用对数频率特性稳定性判据，判定系统的 稳定性。基于Bode图和基于Nyquist图的两种稳定性 判据是一致的，只是坐标系不同而已。 负反馈闭环系统，位于右半s平面极点的个数为
(3)
二、对数频率特性稳定性判据
式中：P —开环传递函数位于右半s平面极点的个 数；
—N 相 频特性曲线正穿越次数。在 L() 0 对应的频率范围内， 自下(而) 上穿越 (2k线1的)次18数0 ，其中自下而上起 始于或终止于该线的次数，折半计算； N —相频特性曲线负穿越次数。在 L() 0 对应的频率范围内， (自 )上而下穿越 (2k1)线18的0次数，其中自上而下起 始于或终止于该线的次数，折半计算；
【2 开环对数频率曲线(Bode图)的绘制】
1 思路：将复杂的 G(s)H(s)分解为典型环节的串联
G (s) G 1 (s)G 2 (s)G 3 (s).G .k .(s.)..
L ( () ) 2 G l( G 0 g j(j )H ) ( H j(j ) ) G 2 1 l G 0 g G 1 2 2 l G 0 g G 2k 2lG 0 g k
Z —闭环传递函数，位于右半s平面极点的 个数，即特征方程位于右半s平面根的 个数。
一、奈奎斯特稳定性判据
【3 奈奎斯特稳定性判据】
由式（1）可知：系统渐近稳定的充分必要条件是 (2)
由式（1）还可知：渐近稳定的必要条件是 N ；N 发散不稳定的充分条件是 N 。N 当开环频率特性通过[GH]平面上点时，且当曲线 在点 (1, 左j0)右作微小移动时，会使系统由渐近 稳定变成发散不稳定，或会使系统由发散不稳定 变成渐近稳定，系统称为临界稳定。
三、例题详解
【解答】 首先将各点的坐标改写成
乃奎斯特稳定判据
显然，辅助方程即是闭环特征方程。其阶数为n阶，且分子 分母同阶。则辅助方程可写成以下形式：
F (s)
(s z )
i
n
(s p
j 1
i 1 n
。式中， zi ,pj 为F(s)的零、极点。
j
)
由(a)、(b)及(c)式可以看出： F(s)的极点为开环传递函数的极点；
F(s)的零点为闭环传递函数的极点；
2 T T s ( T T ) s k 1 0 1 2 1 2
由劳斯—赫尔维茨判据知闭环系统是稳定的。
15
[例7]设开环系统传递函数为： G ，试用乃氏 s ) k( 2 ( s 1 )( s 2 s 5 ) 判据判断闭环系统的稳定性。 [解]：开环极点为-1， -1 j2，都在s左半平面， 所以 。乃氏图如 P k 0 右。从图中可以看出： 乃氏图顺时针围绕 (-1,j2)点2圈。所以闭环 系统在s右半极点数 为： ， Z N P 2 0 2 k k 所以闭环系统是不稳定 的。
三、乃奎斯特稳定判据在Ⅰ、Ⅱ型系统中的应用：
具有开环0值极点系统，其开环传递函数为：
Gk (s) k ( i s 1) s (T j s 1)
j 1 i 1 n m
G k ( s )不解析， 可见，在原点有 重0极点。也就是在s=0点， 若取乃氏路径同上时（即通过虚轴的整个s右半平面），不满足 柯西幅角定理。为了使乃氏路径不经过原点而仍然能包围整个s 右半平面，重构乃氏路径如下：以原点为圆心，半径为无穷小 做右半圆。这时的乃氏路径由以下四部分组成：
18
上面讨论的乃奎斯特判据和例子，都是假设虚轴上没有 开环极点，即开环系统都是0型的，这是为了满足柯西幅角 定理的条件。但是对于Ⅰ、Ⅱ型的开环系统，由于在虚轴上 （原点）有极点，因此不能使用柯西幅角定理来判定闭环系 统的稳定性。为了解决这一问题，需要重构乃奎斯特路径。
奈奎斯特稳定判据
二、控制系统的频域稳定性判据
3. n阶系统 n阶系统稳定的充要条件是当ω由0→∞时， 特征矢量D(jω)的相角变化量为 Δ Arg[D(jω)]= n² 90 °
奈奎斯特稳定判据
三、奈奎斯特判据（奈氏判据） 1. 0型系统（开环没有串联积分的系统）
⑴开环是稳定的系统
如果已知开环系统是稳定的，那么当ω由0→∞时， 若矢量F(j ω)的相角变化量为0，也就是F(j ω)的轨迹不包 围原点，那么闭环系统的特征方程式DB(s)的根全部在s 左半平面，系统是稳定的。否则，系统是不稳定的。 这样，系统稳定问题转化为找出ω由0→∞时，矢量 F(j ω)的相角变化量问题。
奈奎斯特稳定判据
四、伯德图上的稳定性判据 奈氏判据除了可以表示在极坐标图上， 还可以表示在伯德图上。
w + w=+ w=0 -1 P=0 w
0
180
-
+
四、伯德图上的稳定性判据
由图可知，幅相曲线不包围（-1，j0）点。 此结果也可以根据ω增加时，幅相曲线自下 向上（幅角减小）和自上向下（幅角增加） 穿越实轴区间（-∞，-1）的次数决定。
如果把自上向下的穿越称为正穿越，正穿越次 数用N+表示。把自下向上的穿越称为负穿越，负 穿越次数用N-表示，则R可以用N+和N-之差确定， 即 R= N+- N-
由图可知， N+=1， N-=1，故R=0。
四、伯德图上的稳定性判据
1.Bode图与Nyquist图的对应关系 a. Nyquist图的单位圆 | G(j )H(j ) | 1 对应 Bode图的横轴 20lg | G(j )H(j ) | 0 b. | G(j )H(j ) | 1 单位圆外 对应 20lg| G(j )H(j ) | 0 横轴以上区域
4.4 奈奎斯特稳定判据
4.4.1 幅角原理
设为一单值复变函数，其零极点图如图 4.5(a)所示。在 s S平面上取一封闭曲线，记为 ，要求 s 不通过 s F(s)的任一极点和零点。设 包围了F(s)的Z个零点 s 和P个极点。记 在F平面上的映射为 F ，因为 F(s)为一单值复变函数，所以， F 是惟一的，也是 一个封闭曲线，如图4.5(b)所示。
则
0
lim G ( j ) H ( j )
lim G( j ) H ( j ) 0
0
lim G ( j ) H ( j )
2
3 lim G ( j ) H ( j ) 2
奈氏曲线与实轴的交点：将频率特性化为代数 形式： 令
为了分析系统稳定性，通常要确定奈氏曲线的 下列特征： ① 0 的映射； ② 的映射； ③奈氏曲线与实轴的交点； 根据这些映射点画出 对应的奈氏曲线， 然后根据奈氏曲线关于实轴的对称性,画出 的奈氏曲线 0 。 ④奈氏路径中小半圆的映射。
小半圆上的点可以表示为:
G( j ) H ( j ) K (T1 T2 ) (1 2T1T2 ) 2 2 (T1 T2 ) 2 j K ( 2T1T2 1)
[(1 2T1T2 ) 2 2 (T1 T2 ) 2 ]
Im G( j ) H ( j ) V ( ) 0
4.4.2 奈奎斯特稳定判据
判别系统的稳定性，实际上就是判别系统的特征 方程在右半平面有没有极点。下பைடு நூலகம்将幅角原理应用于 稳定性分析。 为了应用幅角原理分析系统稳定性，需要进行下列几 项工作。 1）取 F(s)=1+G(s)H(s)：当 G(s)与 H(s) 没有零、极点对 消时， F(s) 的零点就是系统的全部闭环极点或特征根， F(s)的极点就是系统的开环极点；当G(s)与H(s)存在零、 极点对消时， F(s) 的零点加上对消掉的开环极点，就 是系统的全部闭环极点。 下面先讨论 G(s) 与 H(s) 没有零、极点对消的情况， 导出奈奎斯特稳定判据，最后用一个例子说明 G(s) 与 H(s)有零、极点对消时的处理方法。
(第13讲) 第五章 乃魁斯特(Nyquist)稳定性判据
在控制系统应用中，由
F (s) 1 G (s)H (s)
很容易确定
的P数。因此，如果， F (s )
的轨迹图中确定了R，则s平面上封闭曲线内的零点数
很容易确定。
开环传递函数与闭环传递函数的关系：
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
14
R(s)
C(s) G (s )
G (s)
B1 ( s ) A1 ( s )
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
3
奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stability Criterion) 闭环传递函数
C (s) R (s) G (s)
R(s) G (s )
C(s)
H(s )
1 H ( s )G ( s )
图5-4-1 闭环系统 结构图
1 H ( s )G ( s ) 0
例如：考虑下列开环传递函数：
06-7-20 控制系统系统的稳定性分析 6
G (s)H (s)
6 ( s 1)( s 2 )
其特征方程为：
6
F (s) 1 G (s)H (s) 1
( s 1)( s 2 )
( s 1 . 5 j 2 . 4 )( s 1 . 5 j 2 . 4 ) ( s 1)( s 2 )
控制系统系统的稳定性分析 11
如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点(k=0,1,2…)，
即包围的零点数与极点数相同，则在 F ( s ) 平面上，
相应的封闭曲线不包围
F (s)
平面上的原点。
上述讨论是映射定理的图解说明，奈奎斯特稳 定判据正是建立在映射定理的基础上。
奈奎斯特稳定判据
幅角原理：如果封闭曲线内有Z个F(s)的零点， P个
F(s)的极点 ，则s 沿封闭曲线s 顺时针方向转一圈时，在
F(s)平面上，曲线F(s)绕其原点逆时针转过的圈数。
+
5. 4 . 3 奈氏判据
（1）0型系统
0
s为包围虚轴和整个右半平面。
s平面s 映射 F(s)
解：① 由开环传递函数知 P = 1 。 ② 作系统的开环对数频率特性曲线。
() = 90 + arctanT2 (180 arctanT1 )
270
arctan
(T1 1
T2 ) 2T1 T2
当() = 180时，g =(1/T1T2)1/2 ，A(g)=kT2
③ 稳定性判别。 G(s)H(s)有一个积分环节N =1 ，故
开环极坐标图如图
j
01
19
k(0.1s 1) Gk (s) s(s 1)
=0
Im
增补线
1 0.1k
Re 0
(3) 稳定性判别: 因为是1型系统，需作增补线如图
当 0.1k < 1 ，k > 10时， R =1/2，z = p 2R = 0
闭环系统是稳定的。
20
5.4.4 伯德图上的稳定性判据
Im
() 1
(+)
0
由图可知，幅相曲线 不 包 围 (1 ， j0) 点 。 此 结
Re 果也可以根据 增加时幅
相曲线自下向上(幅角减 小)和自上向下(幅角增加) 穿越实轴区间(，1)的 次数决定。
R = N N
自实轴区间（，1）开始向下的穿越称为半次正穿越，自实轴
区间（，1）开始向上的穿越为半次负穿越。
5-4 奈奎斯特稳定判据
2
（一）S平面与F (s ) 平面的映射关系
假设复变函数)s( F 为单值，且除了S平面上有限的奇点外，处处都为连续的正则 函数,也就是说 ) s ( F 在S平面上除奇点外处处解析， 那么，对于S平面上的每一个解析 点，的开环传递函数为
比较式（5—107）和式（5—106）可知，
辅助函数 F (s) 的零点 Z i ( i = 1, 2 , … … , n ) 即闭环传递函数的极点，即系统特征 方程 1 + G(s) H (s) = 0 的根。因此，如果辅助函数 F (s )的零点都具有负的实部，即 都位于S平面左半部，系统就是稳定的，否则系统便不稳定。
5-4
奈奎斯特稳定判据
第三章已经介绍，闭环控制系统的稳定性由系统特征方 程根的性质唯一确定。对于三阶以下系统，解出特征根就能判 断系统是否稳定。三阶以上的高阶系统，求解特征根通常都很 困难，前面介绍了两种判别系统稳定性的方法，基于特征方程 的根与系数关系的劳斯判据和根轨迹法。 奈奎斯特（Nyquist）稳定判据（简称奈氏判据）是判断 系统稳定性的又一重要方法。它是将系统的开环频率特性 位于S平面右半部的 零、极点数目联系起来的一种判据。奈氏判据是一种图解法， 它依据的是系统的开环频率特性。由于系统的开环特性可用解 析法或实验法获得，因此，应用奈氏判据分析系统的稳定性兼 有方便和实用的优点。奈氏判据还有助于建立相对稳定性的概 1 念。
F (s) = ( s − z 1 )( s − z 2 )( s − z 3 ) ( s − p 1 )( s − p 2 )( s − p 3 )
（5-110）
其零、极点在S平面上的分布如图 5—39 所示，在 S平面上作一封闭曲线Γs ,
Γs不通过上述零、极点，在封闭曲线Γs 上任取一点S 1 , 其对应的辅助函数 F ( s1 ) 的幅角应为
（一）S平面与F (s ) 平面的映射关系
假设复变函数)s( F 为单值，且除了S平面上有限的奇点外，处处都为连续的正则 函数,也就是说 ) s ( F 在S平面上除奇点外处处解析， 那么，对于S平面上的每一个解析 点，的开环传递函数为
比较式（5—107）和式（5—106）可知，
辅助函数 F (s) 的零点 Z i ( i = 1, 2 , … … , n ) 即闭环传递函数的极点，即系统特征 方程 1 + G(s) H (s) = 0 的根。因此，如果辅助函数 F (s )的零点都具有负的实部，即 都位于S平面左半部，系统就是稳定的，否则系统便不稳定。
5-4
奈奎斯特稳定判据
第三章已经介绍，闭环控制系统的稳定性由系统特征方 程根的性质唯一确定。对于三阶以下系统，解出特征根就能判 断系统是否稳定。三阶以上的高阶系统，求解特征根通常都很 困难，前面介绍了两种判别系统稳定性的方法，基于特征方程 的根与系数关系的劳斯判据和根轨迹法。 奈奎斯特（Nyquist）稳定判据（简称奈氏判据）是判断 系统稳定性的又一重要方法。它是将系统的开环频率特性 位于S平面右半部的 零、极点数目联系起来的一种判据。奈氏判据是一种图解法， 它依据的是系统的开环频率特性。由于系统的开环特性可用解 析法或实验法获得，因此，应用奈氏判据分析系统的稳定性兼 有方便和实用的优点。奈氏判据还有助于建立相对稳定性的概 1 念。
F (s) = ( s − z 1 )( s − z 2 )( s − z 3 ) ( s − p 1 )( s − p 2 )( s − p 3 )
（5-110）
其零、极点在S平面上的分布如图 5—39 所示，在 S平面上作一封闭曲线Γs ,
Γs不通过上述零、极点，在封闭曲线Γs 上任取一点S 1 , 其对应的辅助函数 F ( s1 ) 的幅角应为
奈魁斯特稳定判据
Im
(a)由于 v 2 因此首先补上ω从0到
0
-1
0＋部分；又因P＝0，所以该部分起 Re 于正实轴。由图可见，不存在穿越，
0
即N＋－N－＝0，所以不稳定的极点
数为
（a） 2, P 0
z P 2( N N ) 0 2(0 0) 0
所以，闭环系统稳定。
0
Im
0
以s代 jω ，得： F ( j) 1 G( j)H ( j) ( j s1)( j s2 ) ( j sn ) ( j p1)( j p2 ) ( j pn )
上式即为开环频率特性和闭环特征式的关系。
二、奈奎斯特稳定判据
1、幅角定理： 在辅助函数中，以某一根si为例，在复平面上随频率ω的变
化(jω在虚轴上移动)，向量(jω- si)的辐角 j si 也在变化。
如果si位于虚轴左侧，那么当ω由 时，向量(jω- si)逆时
针转180°，则有
( j si )＝
:
如果si位于虚轴右侧，则有
( j si )＝
:
因为复数相乘，幅角相加。如果系统特征方程n个根全部在虚轴 左侧（系统是稳定的），则有
例: 已知系统开环传递函数
G(s)H (s)
100
(s 1)(s 2)(s 3)
试用奈氏判据判断闭环状态的稳定性。
解：开环系统有三个特征根: p1 1, p2 2, p3 3 三个特征根均在虚轴左侧（开环稳定，即P=0）
首先绘制出幅相特性图： ①特性曲线的起点（ω＝0）在实轴上； ②终点（ω∞）是以－270°进入原点； ③求系统开环幅相特性曲线与负实轴的交点值
:0
2
如果系统闭环后是稳定的，闭环特征方程的n个根应均在虚轴左
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
闭环系统稳定的充分必要条件为：在 Gk(s)平面上的开环频率特
性曲线及其镜象当w从－∞变化到+∞时，将以逆时针的方向围绕
(－1，j0)点P圈。 对于开环系统稳定的情况，P=0，则闭环系统稳定的充分必
要条件是开环频率特性曲线及其镜象不包围(－1，j0)点。 不稳定的闭环系统在s右半平面的极点数为：Z = N + P。
F (s) F (s2 ) F (s1) 00 1800 (450 1350 ) 900
F (s)平面
df (0, j1)
8
1. 围线CS既不包围零点也不包围极点
如图所示，在S平面上当变点s沿围线 CS按顺时针方向运动一周时，我们 来考察F(S)中各因子项的辐角的变化 规律。 现以图中未被包围的零点-2为例。当 变点s沿CS绕行一周后，因子(s+2)的 辐角a的变化为0°。
F(S)平面上，围线CF应逆时针包围原点一次。
2 F
1.5
s平面 A B C
1
G
E
0.5
2
H
1
b
D
0H -0.5
D
GF E
CS顺时针
-1 A
C
-1.5
B -2
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
同理，当围线CS的内域只包含P个极点时， CF应逆时针包围原点 13 P次，或者说， CF顺时针包围原点－P次。
F(s)的零点为 闭环传递函数的极点；
17
奈奎斯特为了应用柯西辐角原理研究闭环系统的稳定性， 因此设想：
如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据 柯西辐角原理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次 数应为：
N=F(s)的右半零点数－F(s)的右半极点数 =闭环系统右半极点数－开环系统右半极点数
i
1
(
s1
zi
)
j
1
(
s1
p
j
)
s1 p j e j(s1 p j )
s1 p j
j 1
j 1
向量的幅值为
m
K s1 zi
F(s1)
i 1 n
s1 p j
j1
5
向量的相角为
m
n
F(s1) (s1 zi ) (s1 p j )
i1
j1
Im S平面
• Re
Im
•
F(s)
(s)
F(s)平面 Re
6
当S平面上动点s从s1经过某曲线CS到达s2，映射到F(s)平面上也 将是一段曲线CF ，该曲线完全由F(s)表达式和s平面上的曲线CS 决定。若只考虑动点s从s1到达s2相角的变化量，则有
F (s) F (s2 ) F (s1)
im1 (s2
zi )
n
(s2
j 1
⒋ 围线CS包围Z个零点和P个极点
由上述讨论显然可知，当变点s沿CS顺时针绕行一周时，CF应顺 时针包围原点Z－P次。亦即CF顺时针包围原点次数N=Z－P。
这就是所谓辐角原理。
2
F
1.5
s平面
1
A
B
C
0.5
E
H
2 1
D
0 -0.5
HG A
D
G
F
E
-1
CS顺时针
-1.5
-2
C B
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
第Ⅰ部分的映射是Gk(jw)曲线向右移1；
第Ⅱ部分的映射，一般在Gk(s)中，分母阶数比分子阶数高， 所以当s=∞·ej 时， Gk(s)→0，即F(s)=1。若分母阶数=分子阶 数，则Gk(s)→K(零极点形式的开环增益)，即F(s)=1+K。 第Ⅲ部分的映射是第Ⅰ部分的映射关于实轴的对称。
②F(s)对原点的包围，相当于Gk(s)对(-1,j0)的包围；即映射曲线 F(s)对原点的包围次数N与Gk(s)对(-1,j0)点的包围的次数一样。
③F(s)的极点就是Gk(s)的极点，因此F(s)在右半平面的极点数就 是Gk(s)在右半平面的极点数。
21
F平面 Im Gk平面
4
4
3
3
2
2
F平面 原点 1
1 Gk平面原点
-2
-1 0 w =1∞ 2
3
4
5
Re
-2
-1
0
12
3
4
5
Gk平面 -1
-1
(-1,j0)
点 -2 -2
w= 0
-3 -3
-4 -4
15
二、奈奎斯特稳定判据：
奈奎斯特当年就是巧妙地应用了辐角原理得到了奈奎斯特 稳定判据。设系统结构图如图所示
Gk (s) G(s)H (s)
(s) G(s) 1 G(s)H(s)
令： G(s) M1(s) , H (s) M 2 (s)
N1 ( s)
N2 (s)R(s)Fra bibliotekC(s)
G(s)
H (s)
p
j
)
im1 ( s1
zi )
n
(s1
j 1
p j )
im1 (s2
zi )
m
(s1 i 1
zi
)
n
j 1
(s2
pj)
n
(s1
j 1
p
j
)
m
n
(s zi ) (s p j )
i 1
j 1
例
F (s) F (s2 ) F (s1)
F(s) s 2 s
(s2 2) (s2 0) (s1 2) (s1 0)
G 1
0.5 0
E D
F
H
C
-0.5
B
-1
A
-1.5
-2 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
2. 围线CS只包围零点不包围极点
如图所示围线CS包围一个零点z=-2，先考察因子(s+2)辐角a，当 变点s沿CS顺时针绕行一周时，a的变化为-360°。映射到F(S)平 面上对应变点F(S)沿CF绕行一周后的辐角变化也应等于-360°。
22
[奈奎斯特稳定判据]：若系统的开环传递函数在右半平面上有P 个极点，且开环频率特性曲线对(－1，j0)点包围的次数为N， （N > 0顺时针，N < 0 逆时针），则闭环系统在右半平面的极点 数为：Z = N + P。若Z = 0 ，则闭环系统稳定，否则不稳定。
[奈奎斯特稳定判据的另一种描述]： 设开环系统传递函数Gk(s)在右半s平面上的极点数为P，则
当已知开环右半极点数时，便可由N判断闭环右极点数。
18
这里需要解决两个问题：
1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是 满足柯西辐角条件的？
2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并将它和开环
频率特性Gk(jw)相联系？
第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向
映射到F(s)平面上是除原点之外的有限点。
注意，虽然函数F(s)从S平面到F(s)平面的映射是一一对应的，然 而逆过程往往并非如此。例如已知
F(s)
K
s(s 1)( s 2)
s(s 1)(s 2) K F (s)
这个函数在有限的S平面上除S=0,－1, － 2以外均解析，除此三 点外，S平面上的每一个S值在F(s)平面只有一个对应点，但是 F(s)平面上的每一个点在S平面上却有三个映射点。最简单的说 明方式就是将方程改写成
s平面
2 1
F (s)平面
d f (0, j1)
3
F(s)
K (s z1)(s z2 )(s zm ) (s p1)(s p2 )(s pn )
F(s)的值域构成的复平面称为F(s)平面。其中S平面上的全部
零点都映射到F(s)平面上的原点；S平面上的极点映射到F(s)平面
上时都变成了无限远点。除了S平面上的零、极点之外的普通点，
线CS移动一周时，在F(s)平面上映射的封闭曲线CF将以顺时针方 向绕原点旋转N圈。N，Z，P的关系为：N=Z－P。
s平面
2
F (s)平面
Cs顺时针
示意图 CF 顺时针
若N为正，表示CF顺时针运动，包围原点；
若N为0，表示CF顺时针运动，不包围原点；
若N为负，表示CF逆时针运动，包围原点。
对于一个复变函数
第四节 奈奎斯特稳定判据
1
一、辐角定理： 对于一个复变函数
F (s)
K (s z1 )(s z2 )(s zm ) (s p1 )(s p2 )(s pn )
式中-zi(i=1,2,…,m)为F(s)的零点， -pj(j=1,2,…,n)为F(s)的极点。
[柯西辐角原理]：S平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线CS包 围S平面上F(s)的Z个零点和P个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲
① 以 s = jw 代入F(s)，令w 从0→∞变化，得第一部分的映射； ② 以 s=R·ej 代入F(s)，令R→∞， : ，得第二部分的映
22
射；
③ 以 s = jw 代入F(s)，令w从－∞→0 ，得第三部分的映射。
得到映射曲线后，就可由柯西辐角定理计算 N = Z－P，式 中Z、P是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。
同理，对未被包围的极点也是一样， 因子项(s+0) 的辐角b在变点s沿CS绕 行一周后的变化也等于0°。
于是，映射到F(S)平面上，当变点 F(s)沿CF绕行一周后的辐角变化也应 等于0°。这表明，围线CF此时不包 11 围原点。
s平面
性曲线及其镜象当w从－∞变化到+∞时，将以逆时针的方向围绕
(－1，j0)点P圈。 对于开环系统稳定的情况，P=0，则闭环系统稳定的充分必
要条件是开环频率特性曲线及其镜象不包围(－1，j0)点。 不稳定的闭环系统在s右半平面的极点数为：Z = N + P。
F (s) F (s2 ) F (s1) 00 1800 (450 1350 ) 900
F (s)平面
df (0, j1)
8
1. 围线CS既不包围零点也不包围极点
如图所示，在S平面上当变点s沿围线 CS按顺时针方向运动一周时，我们 来考察F(S)中各因子项的辐角的变化 规律。 现以图中未被包围的零点-2为例。当 变点s沿CS绕行一周后，因子(s+2)的 辐角a的变化为0°。
F(S)平面上，围线CF应逆时针包围原点一次。
2 F
1.5
s平面 A B C
1
G
E
0.5
2
H
1
b
D
0H -0.5
D
GF E
CS顺时针
-1 A
C
-1.5
B -2
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
同理，当围线CS的内域只包含P个极点时， CF应逆时针包围原点 13 P次，或者说， CF顺时针包围原点－P次。
F(s)的零点为 闭环传递函数的极点；
17
奈奎斯特为了应用柯西辐角原理研究闭环系统的稳定性， 因此设想：
如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据 柯西辐角原理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次 数应为：
N=F(s)的右半零点数－F(s)的右半极点数 =闭环系统右半极点数－开环系统右半极点数
i
1
(
s1
zi
)
j
1
(
s1
p
j
)
s1 p j e j(s1 p j )
s1 p j
j 1
j 1
向量的幅值为
m
K s1 zi
F(s1)
i 1 n
s1 p j
j1
5
向量的相角为
m
n
F(s1) (s1 zi ) (s1 p j )
i1
j1
Im S平面
• Re
Im
•
F(s)
(s)
F(s)平面 Re
6
当S平面上动点s从s1经过某曲线CS到达s2，映射到F(s)平面上也 将是一段曲线CF ，该曲线完全由F(s)表达式和s平面上的曲线CS 决定。若只考虑动点s从s1到达s2相角的变化量，则有
F (s) F (s2 ) F (s1)
im1 (s2
zi )
n
(s2
j 1
⒋ 围线CS包围Z个零点和P个极点
由上述讨论显然可知，当变点s沿CS顺时针绕行一周时，CF应顺 时针包围原点Z－P次。亦即CF顺时针包围原点次数N=Z－P。
这就是所谓辐角原理。
2
F
1.5
s平面
1
A
B
C
0.5
E
H
2 1
D
0 -0.5
HG A
D
G
F
E
-1
CS顺时针
-1.5
-2
C B
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
第Ⅰ部分的映射是Gk(jw)曲线向右移1；
第Ⅱ部分的映射，一般在Gk(s)中，分母阶数比分子阶数高， 所以当s=∞·ej 时， Gk(s)→0，即F(s)=1。若分母阶数=分子阶 数，则Gk(s)→K(零极点形式的开环增益)，即F(s)=1+K。 第Ⅲ部分的映射是第Ⅰ部分的映射关于实轴的对称。
②F(s)对原点的包围，相当于Gk(s)对(-1,j0)的包围；即映射曲线 F(s)对原点的包围次数N与Gk(s)对(-1,j0)点的包围的次数一样。
③F(s)的极点就是Gk(s)的极点，因此F(s)在右半平面的极点数就 是Gk(s)在右半平面的极点数。
21
F平面 Im Gk平面
4
4
3
3
2
2
F平面 原点 1
1 Gk平面原点
-2
-1 0 w =1∞ 2
3
4
5
Re
-2
-1
0
12
3
4
5
Gk平面 -1
-1
(-1,j0)
点 -2 -2
w= 0
-3 -3
-4 -4
15
二、奈奎斯特稳定判据：
奈奎斯特当年就是巧妙地应用了辐角原理得到了奈奎斯特 稳定判据。设系统结构图如图所示
Gk (s) G(s)H (s)
(s) G(s) 1 G(s)H(s)
令： G(s) M1(s) , H (s) M 2 (s)
N1 ( s)
N2 (s)R(s)Fra bibliotekC(s)
G(s)
H (s)
p
j
)
im1 ( s1
zi )
n
(s1
j 1
p j )
im1 (s2
zi )
m
(s1 i 1
zi
)
n
j 1
(s2
pj)
n
(s1
j 1
p
j
)
m
n
(s zi ) (s p j )
i 1
j 1
例
F (s) F (s2 ) F (s1)
F(s) s 2 s
(s2 2) (s2 0) (s1 2) (s1 0)
G 1
0.5 0
E D
F
H
C
-0.5
B
-1
A
-1.5
-2 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
2. 围线CS只包围零点不包围极点
如图所示围线CS包围一个零点z=-2，先考察因子(s+2)辐角a，当 变点s沿CS顺时针绕行一周时，a的变化为-360°。映射到F(S)平 面上对应变点F(S)沿CF绕行一周后的辐角变化也应等于-360°。
22
[奈奎斯特稳定判据]：若系统的开环传递函数在右半平面上有P 个极点，且开环频率特性曲线对(－1，j0)点包围的次数为N， （N > 0顺时针，N < 0 逆时针），则闭环系统在右半平面的极点 数为：Z = N + P。若Z = 0 ，则闭环系统稳定，否则不稳定。
[奈奎斯特稳定判据的另一种描述]： 设开环系统传递函数Gk(s)在右半s平面上的极点数为P，则
当已知开环右半极点数时，便可由N判断闭环右极点数。
18
这里需要解决两个问题：
1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是 满足柯西辐角条件的？
2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并将它和开环
频率特性Gk(jw)相联系？
第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向
映射到F(s)平面上是除原点之外的有限点。
注意，虽然函数F(s)从S平面到F(s)平面的映射是一一对应的，然 而逆过程往往并非如此。例如已知
F(s)
K
s(s 1)( s 2)
s(s 1)(s 2) K F (s)
这个函数在有限的S平面上除S=0,－1, － 2以外均解析，除此三 点外，S平面上的每一个S值在F(s)平面只有一个对应点，但是 F(s)平面上的每一个点在S平面上却有三个映射点。最简单的说 明方式就是将方程改写成
s平面
2 1
F (s)平面
d f (0, j1)
3
F(s)
K (s z1)(s z2 )(s zm ) (s p1)(s p2 )(s pn )
F(s)的值域构成的复平面称为F(s)平面。其中S平面上的全部
零点都映射到F(s)平面上的原点；S平面上的极点映射到F(s)平面
上时都变成了无限远点。除了S平面上的零、极点之外的普通点，
线CS移动一周时，在F(s)平面上映射的封闭曲线CF将以顺时针方 向绕原点旋转N圈。N，Z，P的关系为：N=Z－P。
s平面
2
F (s)平面
Cs顺时针
示意图 CF 顺时针
若N为正，表示CF顺时针运动，包围原点；
若N为0，表示CF顺时针运动，不包围原点；
若N为负，表示CF逆时针运动，包围原点。
对于一个复变函数
第四节 奈奎斯特稳定判据
1
一、辐角定理： 对于一个复变函数
F (s)
K (s z1 )(s z2 )(s zm ) (s p1 )(s p2 )(s pn )
式中-zi(i=1,2,…,m)为F(s)的零点， -pj(j=1,2,…,n)为F(s)的极点。
[柯西辐角原理]：S平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线CS包 围S平面上F(s)的Z个零点和P个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲
① 以 s = jw 代入F(s)，令w 从0→∞变化，得第一部分的映射； ② 以 s=R·ej 代入F(s)，令R→∞， : ，得第二部分的映
22
射；
③ 以 s = jw 代入F(s)，令w从－∞→0 ，得第三部分的映射。
得到映射曲线后，就可由柯西辐角定理计算 N = Z－P，式 中Z、P是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。
同理，对未被包围的极点也是一样， 因子项(s+0) 的辐角b在变点s沿CS绕 行一周后的变化也等于0°。
于是，映射到F(S)平面上，当变点 F(s)沿CF绕行一周后的辐角变化也应 等于0°。这表明，围线CF此时不包 11 围原点。
s平面