奈奎斯特判据习题
奈氏判据例题
P 在右半面的个数的极点开环传递函数(s)k G R 0R 00j ,1--(s)k ><+∞→∞=右手式，逆时针，左手式，顺时针，）的次数包围（全闭合曲线开环传递函数R G ωZ在右半面的个数的极点闭环传递函数(s)b G P)(2−+−N N Z在右半面的个数的极点开环传递函数(s)k G -k N -N -1-,-0(s)，负穿越，，正穿越，）次数穿越负实轴（半闭合曲线开环传递函数+→→+∞+∞→=+ωG 在右半面的个数的极点闭环传递函数(s)b G例题1：已知系统开环传递函数)1)(1)(1()(321+++=s T s T s T Ks G k 和其)0[∞+∈，ω时的幅相曲线j1-，试分析该系统的稳定性求解：无积分环节 0=P2)10(2)(2−=−=−=−+N N R 2=−=R P Z 闭环不稳定例题2：已知系统开环传递函数)1)(1(21++=s T s T s KG k 和其)0(∞+∈，ω时的幅相曲线+=0ω，试分析该系统的稳定性求解：有积分环节，且阶次1=v ，需做补线补线为：从0=ω到+=0ω，顺时针补半径为∞，角度为2π×v 的大圆弧 0=P0)00(2)(2=−=−=−+N N R 0=−=R P Z 闭环稳定例题3：已知系统开环传递函数)1(2+=Ts s KG k 和其)0(∞+∈，ω的幅相曲线，试分析该系统的稳定性求解：有积分环节，且阶次2=v ，需做补线补线为：从0=ω到+=0ω，顺时针补半径为∞，角度为2π×v 的大圆弧 0=P2)10(2)(2−=−=−=−+N N R 2=−=R P Z 闭环不稳定例题4：已知)1()1(221++=s T s s T K G k 和ω求解：有积分环节，且阶次2=v ，需做补线补线为：从0=ω到+=0ω，顺时针补半径为∞，角度为2π×v 的大圆弧 0=P0)00(2)(2=−=−=−+N N R 0=−=R P Z 闭环稳定例题5：已知3sK G k =和求解：有积分环节，且阶次3=v ，需做补线补线为：从0=ω到+=0ω，顺时针补半径为∞，角度为2π×v 的大圆弧 0=P2)10(2)(2−=−=−=−+N N R 2=−=R P Z 闭环不稳定例题6：已知321)1)(1(ss T s T K G k ++=和=ω求解：有积分环节，且阶次3=v ，需做补线补线为：从0=ω到+=0ω，顺时针补半径为∞，角度为2π×v 的大圆弧 0=P0)11(2)(2=−=−=−+N N R 0=−=R P Z 闭环稳定例题7：已知)1)(1)(1)(1()1)(1(432165++++++=s T s T s T s T s s T s T K G k 和+=0ω求解：有积分环节，且阶次1=v ，需做补线补线为：从0=ω到+=0ω，顺时针补半径为∞，角度为2π×v 的大圆弧0=P0)11(2)(2=−=−=−+N N R 0=−=R P Z 闭环稳定例题8：已知1−=Ts KG k 和 j1-求解：无积分环节1=P1)021(2)(2=−=−=−+N N R0=−=R P Z 闭环稳定例题9：已知1+−−=Ts KG k 和j1-求解：无积分环节1=P0)00(2)(2=−=−=−+N N R 1=−=R P Z 闭环不稳定例题10：已知)1(+=Ts s K G k 和=0ω求解：有积分环节，且阶次1=v ，需做补线补线为：从0=ω到+=0ω，顺时针补半径为∞，角度为2π×v 的大圆弧 0=P0)00(2)(2=−=−=−+N N R 0=−=R P Z 闭环稳定说明，对积分项作处理，用ε+s 带入积分项)1arctan (arctan222211)(jT )(j )(1)(Ts )(s )s (ωεωωωεωεωωεT j k k eT KK j G KG +−++=++=++=当0=ω时，=∞⇒=0)()(ωθεωK M（4）两图对应关系。
5-4 奈奎斯特稳定判据
ω 负穿越 相角减小的穿越，N半次穿越 G ( j0+ ) H ( j0+ ) гGH起始或终止于(-1,j0)点左侧负实轴 R=2N=2(N+-N-) N+=0,N-=1 R=2(0-1)=-2
课堂习题
P210 图5-32,计算各小图中,гF包围原点的圈数R
2.Nyquist稳定判据 闭环系统稳定的充分必要条件 1. Nyquist曲线不穿越点(-1,j0) 2. 且逆时针包围(-1,j0)点的圈数R等于开环传 递函数的正实部极点数P 闭合曲线г包围函数F(s)=1+G(s)H(s)的零点数 即闭环控制系统正实部极点数为 Z=P-R=P-2N
εe
jθ
∞e jθ
s = εe
, θ ∈ [0°,+90°]
1 sv G1 ( s )
− jνθ
ε为无穷小
θ
G( s) H ( s) =
1 ν s
G1 ( s ) = K
=
s =εe jθ
1
ε
ν
e
→ ∞e
− jνθ
∏ (τ
j =1 n −ν i =1
m
j
s + 1)
s→0 τ is +1 → 1
∏ (T s + 1)
例5-8 已知单位反馈系统开环幅相曲线(K=10,P=0,v=1),如图 所示，试确定系统闭环稳定时K值的范围 幅相曲线与负实轴交点频率分别ω1,ω2,ω3 解：
G ( jω i ) =
G ( jω1 ) = −2 , G ( jω 2 ) = −1.5 , G ( jω 3 ) = −0.5 10 10 ω = K 若令G(jω1)=-1, 1 K = 若令 G(j ω )=-1, 2 2 2 1 .5 10 −1 同理 K 3 = − 0.5 = 0.5 判断闭环系统稳定性 10
自动控制原理5.4 奈奎斯特判据
设Gk s在s右半平面的极点数为p，则闭环系 统稳定的充要条件是：在 Gk s 平面上的
11
★奈氏判据
§5—4 奈奎斯特判据
Gk j 曲线及其镜像当从 时，将逆时
针绕（- 1，j0）点转p周。
(1) 若开环本身稳定,则p 0, 故稳定的充要条件是：
系统稳定，否则系统不稳定。 但Gk F s 1 所以F(s)的Γ曲线绕原点运动相当于 Gk j 的封闭 曲线绕(-1，j0)点运动， 因为F( s)与Gk s只差常数1。
9
★幅角定理（续）
§5—4 奈奎斯特判据
Gk GH的封闭曲线即为 时Gk j 的
1
Mk Nk
Nk Mk Nk
Nb Nk
1
★幅角定理（续）
§5—4 奈奎斯特判据
其中Nk s为开环特征式，Nb s为闭环特征式。
F s的特点：
1、Fs的极点 开环极点， Fs的零点 闭环极点；
2、Fs的零极点个数相等n m；
3、F s与G( s)只差常数1。
§5—4 奈奎斯特判据
[F(s)] 0
5
★幅角定理（续）
§5—4 奈奎斯特判据
★幅角定理：设s平面上不通过F(s)任何奇点的封 闭曲线Γ包围s平面上F(s)的z个零点和p个极点。 当s以顺时针方向沿着封闭曲线Γ移动一周时， 则在F(s)平面上相对应于封闭曲线Γ的映射函数
j
1'
s
j 2'
F s
曲线。
因为对应于奈氏回线中：
1) 0 ； 3) 0；
只有2)半径R ， Fs 1 Gk s，
而Gk
奈奎斯特定理相关习题
1924年奈奎斯特(Nyquist)就推导出在理想低通信道的最高大码元传输速率的公式:理想低通信道的最高大码元传输速率C= N (其中W是想低通信道的带宽,N是电平强度)1。
带宽为4KHZ,如果有8种不同的物理状态表示数据,信噪比为30dB.那么按奈氏准则和香农定理计算,分别计算其最大限制的数据传输速率.① C=2 F log2N=2*4K*log28=24Kbps② 分贝(dB)的计算是:10lgS/N 即本题为:10lgS/N=30 则:S/N=103C=F log2(1+S/N)= 4K*log21001=40Kbps2。
对于带宽为6MHz的信道，若用4种不同的状态来表示数据，在不考虑热噪声的情况下，该信道的最大数据传输速率是多少答：由无热噪声的奈奎斯特公式: C=2Hlog2N=2*6M*log24=24Mbps，即该信道的最大数据传输速率是24Mbps。
3。
某调制解调器同时使用幅移键控和相移键控,采用0,兀/2,兀和3/2兀四种相位,每种相位又都有两个不同的幅值,问在波特率为1200的情况下数据速率是多少答:log28*1200 = 3600b/s4。
信道带宽为3KHz，信噪比为30db，则每秒能发送的比特数不会超过多bps答：由带热噪声的香农公式:C=Hlog2(1+S/N)=3K*log2(1+1030/10)<3K*log2210=30Kbps，所以每秒能发送的比特数不会超过30Kbps。
5. 采用8种相位、每种相位各有两种幅度的PAM调制方法，问在1200Baud的信号传输率下能达到的数据传输速率为多少我的答案是：S=B·LOG2N =1200xLOG2 16 =4800bps6。
采用每种相位各有两种幅度的带宽为8KHz的无噪信道上传输数字信号，若要达到64Kbps的数据速率，PAM调制方法至少要多少种不同的相位答：由无噪信道的奈奎斯特公式: C=2Hlog2N 得：N=2C/2H=264K/(2*8K)=24=16, 相位数=16/2=8即至少要8种不同的相位。
奈奎斯特稳定判据
二、控制系统的频域稳定性判据
3. n阶系统 n阶系统稳定的充要条件是当ω由0→∞时， 特征矢量D(jω)的相角变化量为 Δ Arg[D(jω)]= n² 90 °
奈奎斯特稳定判据
三、奈奎斯特判据（奈氏判据） 1. 0型系统（开环没有串联积分的系统）
⑴开环是稳定的系统
如果已知开环系统是稳定的，那么当ω由0→∞时， 若矢量F(j ω)的相角变化量为0，也就是F(j ω)的轨迹不包 围原点，那么闭环系统的特征方程式DB(s)的根全部在s 左半平面，系统是稳定的。否则，系统是不稳定的。 这样，系统稳定问题转化为找出ω由0→∞时，矢量 F(j ω)的相角变化量问题。
奈奎斯特稳定判据
四、伯德图上的稳定性判据 奈氏判据除了可以表示在极坐标图上， 还可以表示在伯德图上。
w + w=+ w=0 -1 P=0 w
0
180
-
+
四、伯德图上的稳定性判据
由图可知，幅相曲线不包围（-1，j0）点。 此结果也可以根据ω增加时，幅相曲线自下 向上（幅角减小）和自上向下（幅角增加） 穿越实轴区间（-∞，-1）的次数决定。
如果把自上向下的穿越称为正穿越，正穿越次 数用N+表示。把自下向上的穿越称为负穿越，负 穿越次数用N-表示，则R可以用N+和N-之差确定， 即 R= N+- N-
由图可知， N+=1， N-=1，故R=0。
四、伯德图上的稳定性判据
1.Bode图与Nyquist图的对应关系 a. Nyquist图的单位圆 | G(j )H(j ) | 1 对应 Bode图的横轴 20lg | G(j )H(j ) | 0 b. | G(j )H(j ) | 1 单位圆外 对应 20lg| G(j )H(j ) | 0 横轴以上区域
奈奎斯特稳定判据
次数应为：
N = F(s)的右半零点数－F(s)的右半极点数
= 闭环系统右半极点数－开环系统右半极点数
当已知开环右半极点数时，便可由N判断闭环右极点数。
这里需要解决两个问题：
1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是
现考虑S平面上一点s1映射到F(s)平面上的点F(s1)可以用一
个向量来表示，即当
m
K (s1 zi )
F (s1)
i 1 n
(s1 p j )
j 1
m
m
F(s1)
K
F (s1) e jF (s1)
i1 n
s1 zi e j(s1zi )
K i1
n
s1 zi
m
n
e j
i
对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是 不稳定的。对于上面讨论的复变函数 F(s)＝1＋Gk(s)，其零点恰 好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的零点在s右半平面的 个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为零，
则闭环系统是稳定的。
奈奎斯特为了应用柯西幅角原理研究闭环系统的稳定性， 因此设想：
1 GH
1 Gk
……………..(c)
显然，令复变函数等于零即是闭环特征方程。复变函数的 阶数为n阶，且分子分母同阶。则复变函数可写成以下形式：
n
(s zi )
F(s)
i 1 n
。式中， zi , p j 为F(s)的零、极点。
(s pj)
j 1
由 (a)、(b)及(c)式可以看出：
奈奎斯特稳定判据
幅角原理：如果封闭曲线内有Z个F(s)的零点， P个
F(s)的极点 ，则s 沿封闭曲线s 顺时针方向转一圈时，在
F(s)平面上，曲线F(s)绕其原点逆时针转过的圈数。
+
5. 4 . 3 奈氏判据
（1）0型系统
0
s为包围虚轴和整个右半平面。
s平面s 映射 F(s)
解：① 由开环传递函数知 P = 1 。 ② 作系统的开环对数频率特性曲线。
() = 90 + arctanT2 (180 arctanT1 )
270
arctan
(T1 1
T2 ) 2T1 T2
当() = 180时，g =(1/T1T2)1/2 ，A(g)=kT2
③ 稳定性判别。 G(s)H(s)有一个积分环节N =1 ，故
开环极坐标图如图
j
01
19
k(0.1s 1) Gk (s) s(s 1)
=0
Im
增补线
1 0.1k
Re 0
(3) 稳定性判别: 因为是1型系统，需作增补线如图
当 0.1k < 1 ，k > 10时， R =1/2，z = p 2R = 0
闭环系统是稳定的。
20
5.4.4 伯德图上的稳定性判据
Im
() 1
(+)
0
由图可知，幅相曲线 不 包 围 (1 ， j0) 点 。 此 结
Re 果也可以根据 增加时幅
相曲线自下向上(幅角减 小)和自上向下(幅角增加) 穿越实轴区间(，1)的 次数决定。
R = N N
自实轴区间（，1）开始向下的穿越称为半次正穿越，自实轴
区间（，1）开始向上的穿越为半次负穿越。
广义奈奎斯特判据
广义奈奎斯特判据摘要：1.广义奈奎斯特判据的定义和作用2.广义奈奎斯特判据的应用场景3.广义奈奎斯特判据在实际工程中的应用4.广义奈奎斯特判据的局限性及其改进方法5.总结正文：广义奈奎斯特判据是一种在数字信号处理和通信系统中广泛应用的原理，用于判断一个系统是否能够实现无失真传输。
它主要通过分析系统的采样频率和信号频率之间的关系，从而为信号的采样和传输提供理论依据。
广义奈奎斯特判据的核心思想是，当采样频率大于信号频率的两倍时，就可以实现信号的无失真传输。
这一原理在数字信号处理领域具有重要意义，为数字音频、图像和视频的处理和传输提供了理论基础。
在实际应用中，广义奈奎斯特判据帮助我们设计出高效可靠的数字通信系统，确保信号在传输过程中的质量。
然而，在实际工程中，广义奈奎斯特判据并非万能。
有时，尽管满足了奈奎斯特采样定理，但在传输过程中仍然会出现失真。
这是因为在实际系统中，除了采样频率和信号频率之间的关系外，还存在其他因素影响信号的传输质量。
为了解决这个问题，研究人员对广义奈奎斯特判据进行了改进，提出了更符合实际应用的判据方法。
尽管广义奈奎斯特判据在数字信号处理和通信领域具有广泛的应用，但它仍然存在一定的局限性。
首先，广义奈奎斯特判据主要关注的是采样频率和信号频率之间的关系，而对于其他影响信号传输质量的因素，如系统的带宽、噪声等，并没有给予足够的重视。
其次，广义奈奎斯特判据是一种理想化的理论模型，在实际应用中，系统的性能往往受到多种因素的影响，很难完全满足这一判据。
为了解决这些问题，研究人员在广义奈奎斯特判据的基础上，提出了更加完善的判据方法。
这些方法不仅考虑了采样频率和信号频率之间的关系，还将其他影响因素纳入了考虑范围，使得判据更加符合实际应用需求。
总之，广义奈奎斯特判据是数字信号处理和通信领域的重要原理，它在实际工程中具有广泛的应用。
然而，由于其局限性，我们需要在实际应用中不断地对其进行改进，以提高判据的实用性和准确性。