第四章频率响应-Nyquist稳定判据20110331
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2
w = 0, a = k w = +∞, Q( jw) = 0, θ = −90 , a < 0, b < 0
.
b = 0时，w = 0, a = k
Nyquist稳定性判据应用（不要求） 稳定性判据应用（不要求） 稳定性判据应用
例2 某反馈系统的开环传递函数为 Q( s ) = 要求判断闭环系统的稳定性。
映射定理
S平面 平面
Im
n>0 ?（顺时针） （顺时针） n<0 ? （逆时针） 逆时针） n=0 ?（不包围） （不包围）
Im
W(s)平面 平面
0 Re
0 Re
C C’
4.8 .2 Nyquist稳定判据
R(s) G(s) C(s)
闭环传递函数为
C ( s) G ( s) = R( s) 1 + H ( s)G( s)
+∞
Ⅰ
0
∞ ⋅ e jω
θ
① 正虚轴： ω = 0 → +∞ ② 右半平面上半径为无穷大的半圆： π π jθ s = R ⋅ e ，R → ∞，θ从 → − 2 2 ③ 部分是负虚轴： ω = −∞ → 0
Γs
Ⅲ
−∞
Ⅱ ω
假设D形线不通过 假设 形线不通过W(s)的任一极点或零点，则s按顺时针方 的任一极点或零点， 按顺时针方 形线不通过 的任一极点或零点 向沿D形线连续变化一周 根据映射定理，函数W(s)描出的 形线连续变化一周， 向沿 形线连续变化一周，根据映射定理，函数 描出的 闭曲线顺时针方向包围原点的周数就是
j0 j0
+ −
D
C∞
s平面
ω =0
Im A' −
GH平面
B ε <<1 A F
E
ω = −∞ ∞ σ
' '
B'
'
ω =∞D ,E ,F
ω = 0+
Re
− j∞
C'
Nyquist稳定性判据应用 不要求） 稳定性判据应用(不要求） 稳定性判据应用 不要求
要求判断闭环系统的稳定性。 要求判断闭环系统的稳定性。 例2 某反馈系统的开环传递 函数为 k Q(s) = ,k = 2 ( s + 1)(0.1s + 1)
K K j 90. j 90. w = +∞, Q( jw) = = 3 e = 0e 3 − jw w
K Q( jw) = −1.1w2 + jw(1 − 0.1w2 ) K [−1.1w2 − jw(1 − 0.1w2 )] Q( jw) = (1.1w2 ) 2 + w2 (1 − 0.1w2 ) 2 − K1.1w2 a= (1.1w2 ) 2 + w2 (1 − 0.1w2 ) 2 − jKw(1 − 0.1w2 ) b= (1.1w2 ) 2 + w2 (1 − 0.1w2 ) 2
2
s ( s 2 + 1.2 s + 9)
Title(‘Nyquist plot of G(s)=9(s^2+0.2s+1)/[s(s^2+1.2s+9)]’)
最小相位系统和非最小相位系统
最小相位传递函数： 最小相位传递函数：在s右半平面内既无极点也无零 点的传递函数； 反之， 右半平面内有极点和（ 点的传递函数 ； 反之 ， 在 s 右半平面内有极点和 （ 或 ）零点的传递函数，称为非最小相位传递函数。 零点的传递函数，称为非最小相位传递函数。 非最小相位传递函数 最小相位系统：具有最小相位传递函数的系统；反 最小相位系统： 具有最小相位传递函数的系统； 具有非最小相位传递函数的系统， 之，具有非最小相位传递函数的系统，称非最小相位 系统。 系统。¨
G Plane
1
-1
γ
G ( jω )
ϕ
Re
γ
-1
1 h
G ( jω )
ϕ
Re
Positive Phase Margin 正相角值裕度
Negative Gain Margin 负增益裕度
Stable System 稳定系统
Unstable System 不稳定系统
对数坐标图中的稳定裕度
先假设W(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向做一条曲线Γs 先假设W(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向做一条曲线Γ W(s)在虚轴上没有零 包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为Nyquist路径或“ 包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为Nyquist路径或“D形围 Nyquist路径或 如下图所示。它可分为三部分： 线”。如下图所示。它可分为三部分：
s=-jε ε s=-jε ε
A’A’
Im Im
+jε ε -jε ε
C B ε A
∞ E Re -1
-1 0 0ω＝+∞∞ +∞ ω＝∞ ω＝- ∞∞ ω＝-
’ BB’
Re Re
-j∞ F ∞
s=+jε ε s=+jε ε ’ CC’
w → 0 + 为ε e
j 90.
, Q( jw) =
K
ε
e
− j 90.
开环传递函数含有虚轴上的零、极点
G ( s) H (s) =
措施： 措施：
在虚轴上的零极点处 设计一个无穷小的半圆， 绕过该点。 例如：本例中变量s沿 着虚轴由-j∞到-j0-，从j0- 到j0+(沿着半径为ε的 半圆， ε<<1), 再沿着 正虚轴从j0+到j∞。
K s (Ts + 1)
jω + j∞
Nyquist 稳定判据如下： 稳定判据如下： 如果系统的开环传递函数Q(s)在右半 平面有 个极点，则闭环 在右半s平面有 个极点， 如果系统的开环传递函数 在右半 平面有p个极点 系统稳定的充要条件是： 系统稳定的充要条件是：当w从负无穷大连续地变到正无穷大 从负无穷大连续地变到正无穷大 逆时针方向包围复平面上的-1点 圈 时，开环函数Q(s))逆时针方向包围复平面上的 点p圈。 开环函数 逆时针方向包围复平面上的
k Q (s) = 0 .1 s 2 + 1 . 1 s + 1 k Q ( jw ) = (1 − 0 . 1 w 2 ) + j 1 .1 w k [ (1 − 0 . 1 w 2 ) − j 1 . 1 w ] Q ( jw ) = (1 − 0 . 1 w 2 ) 2 + 1 .1 w 2
k (1 − 0.1w ) Q( jw)的实部a= , 2 2 2 (1 − 0.1w ) + 1.1w − jk1.1w 虚部b = 2 2 2 (1 − 0.1w ) + 1.1w
n= z− p
n=W(s)的分子多项式 的分子多项式P(s)+N(s)在右半平面的零点数 分母 在右半平面的零点数-分母 的分子多项式 在右半平面的零点数 分母P(s) 在右半平面的零点数 =闭环系统在右半平面的极点数 开环传递函数在右半平面的 闭环系统在右半平面的极点数-开环传递函数在右半平面的 闭环系统在右半平面的极点数 极点数 因为闭环系统稳定的充分必要条件是闭环系统在右半平面的 极点数=0，所以z=0,则 极点数 ，所以 则 n=-p =-(开环传递函数在右半平面的极点数）。 开环传递函数在右半平面的极点数）。 开环传递函数在右半平面的极点数 循顺时针方向沿D形线连续地变化一周时 当s循顺时针方向沿 形线连续地变化一周时，函数 循顺时针方向沿 形线连续地变化一周时，函数1+Q(s) 描出的闭曲线应当逆时针方向包围原点p周 描出的闭曲线应当逆时针方向包围原点 周。p是开环传递 逆时针方向包围原点 是开环传递 函数在右半平面的极点数目。 函数在右半平面的极点数目。
K ,K = 2 K＝20 s( s + 1)(0.1s + 1)
解：Q(s)再D形围线上s=0处有极点，应采用广义D形围线。 Q ( s ) = Q (εe
+j∞ ∞ Im D
jjθ θ
)=
θ θ ε e jjθ ( ε e jjθ
j 20 2 20 − −θ j θ 2 ≈ ee jjθ θ + 1 )( 0 . 1 ε e + 1 ) ε ε
4.8 Nyquist 稳定性判据
4.8.1 映射定理
是复变量s的一个单值解析函数 设W(s)是复变量 的一个单值解析函数。它在复平 是复变量 的一个单值解析函数。 面上某一闭曲线C的内部共有 个极点和z个零点 的内部共有p个极点和 个零点。 面上某一闭曲线 的内部共有 个极点和 个零点。且 闭曲线C不通过 不通过W(s)的任一极点和零点，当s循顺时 的任一极点和零点， 闭曲线 不通过 的任一极点和零点 循 针方向沿闭曲线连续地变化一周时，函数W(s)所取的 针方向沿闭曲线连续地变化一周时，函数 所取的 值也随之连续地变化而在复平面上描出一个闭曲线C’ 值也随之连续地变化而在复平面上描出一个闭曲线 曲线C的映射）。可以证明 从原点指向动点W(s) 的映射）。可以证明， （曲线 的映射）。可以证明，从原点指向动点 的向量顺时针方向旋转的周数 等于z-p. 顺时针方向旋转的周数n等于 的向量顺时针方向旋转的周数 等于
b = 0时，w1 = 0, w2 = 10
−K w2 = 10, a = 11 K = 2, a = −0.18; K = 20, a = −1.8
例：传递函数 G ( s ) =
程序3： num=[0 9 1.8 9]; den=[1 1.2 9 0]; nquist(num,den)
用 Matlab作Nyquist图 作 图 不要求） （不要求+ 1) ） 9( s + 0.2 s
ωc
定义相角裕量为
γ = ∠G( jωc ) − (−180o )
h= 1 1 或20lg dB | G( jωx ) | | G( jωx ) |
b点为交界频率
Leabharlann Baiduωx
定义幅值裕量为
Positive Gain Margin 正增益裕度
1 h
Im
G Plane
1
Negative Phase Margin Im 负相角值裕度
临界稳定的特点
最小相位系统临界稳定时 G(jw)曲线过 曲线过(-1,j0)点， 曲线过 点 该点： 该点：
-1
j
0
1
| G( jω) |= 1 ∠G( jω) = −180
o
若系统的开环幅相曲线如图：
a点： 但 b点： 但
4.9 稳定裕量的定义j
1/h
| G( jω) |=1
o ∠G( jω) ≠ −180
H(s)
为了保证系统稳定，特征方程 1 + H (s)G(s) = 0 的全部根，都必须位于左半s平面。虽然开环传递函数 H (s)G(s) 的极点和零点可能位于右半s平面，但如果闭环传递函数的 所有极点均位于左半s平面，则系统是稳定的。
设一个反馈控制系统的开环传递函数为
N (s) Q (s) = P (s)
1、1+Q(s)包围原点的周数就等于函数 、 包围原点的周数就等于函数Q(s)包围 点的周数。 包围-1点的周数 包围原点的周数就等于函数 包围 点的周数。 2、若Q(s)在右半 平面无极点（n=0)，则闭环系统稳定的充要 、 在右半s平面无极点 在右半 平面无极点（ ， 条件是Q(s)的图象不包围复平面的 点。 的图象不包围复平面的-1点 条件是 的图象不包围复平面的
构造函数
W （ s) = 1 + Q (s) = 1 + N (s) P (s) + N (s) = P (s) P (s)
W(s)的分子 的分子P(s)+N(s)正好是闭环系统的特征多项式，分母正 正好是闭环系统的特征多项式， 的分子 正好是闭环系统的特征多项式 好是开环传递函数的分母。 好是开环传递函数的分母。
∠G( jω) = −180
o
-1 r
b a
0
1
| G( jω) |≠1
若a点沿着单位圆顺时针转过r角，则
| G( jω) |= 1, ∠G( jω) = −180o 同时成立。
若b点沿着负实轴向左移动到(-1,j0)点，则
| G( jω) |= 1, ∠G( jω) = −180o 同时成立
a点截止频率
注意： 注意： 1、一般在Q(s)中，分母阶数比分子阶数高，所 、一般在 中 分母阶数比分子阶数高，
θ 以当s= 以当 ∞ e jθ时， Q(s)
0，(映射为原点 。因此 ， 映射为原点 映射为原点)。
实际中，只需要考虑s=jw沿虚轴变化的这一部分。 沿虚轴变化的这一部分。 实际中，只需要考虑 沿虚轴变化的这一部分 2、Q(jw)和Q(-jw)是关于实轴对称的。 、 是关于实轴对称的。 和 是关于实轴对称的 3、 当Q(s)的极点位于 形线上，采用广义 形围 、 的极点位于D形线上 的极点位于 形线上，采用广义D形围 线。在这些开环传递函数极点的右侧画一个无限小 的半圆绕过去。修改后的 形围线被称为 形围线被称为： 的半圆绕过去。修改后的D形围线被称为：“广义 D形围线”。 形围线” 形围线
w = 0, a = k w = +∞, Q( jw) = 0, θ = −90 , a < 0, b < 0
.
b = 0时，w = 0, a = k
Nyquist稳定性判据应用（不要求） 稳定性判据应用（不要求） 稳定性判据应用
例2 某反馈系统的开环传递函数为 Q( s ) = 要求判断闭环系统的稳定性。
映射定理
S平面 平面
Im
n>0 ?（顺时针） （顺时针） n<0 ? （逆时针） 逆时针） n=0 ?（不包围） （不包围）
Im
W(s)平面 平面
0 Re
0 Re
C C’
4.8 .2 Nyquist稳定判据
R(s) G(s) C(s)
闭环传递函数为
C ( s) G ( s) = R( s) 1 + H ( s)G( s)
+∞
Ⅰ
0
∞ ⋅ e jω
θ
① 正虚轴： ω = 0 → +∞ ② 右半平面上半径为无穷大的半圆： π π jθ s = R ⋅ e ，R → ∞，θ从 → − 2 2 ③ 部分是负虚轴： ω = −∞ → 0
Γs
Ⅲ
−∞
Ⅱ ω
假设D形线不通过 假设 形线不通过W(s)的任一极点或零点，则s按顺时针方 的任一极点或零点， 按顺时针方 形线不通过 的任一极点或零点 向沿D形线连续变化一周 根据映射定理，函数W(s)描出的 形线连续变化一周， 向沿 形线连续变化一周，根据映射定理，函数 描出的 闭曲线顺时针方向包围原点的周数就是
j0 j0
+ −
D
C∞
s平面
ω =0
Im A' −
GH平面
B ε <<1 A F
E
ω = −∞ ∞ σ
' '
B'
'
ω =∞D ,E ,F
ω = 0+
Re
− j∞
C'
Nyquist稳定性判据应用 不要求） 稳定性判据应用(不要求） 稳定性判据应用 不要求
要求判断闭环系统的稳定性。 要求判断闭环系统的稳定性。 例2 某反馈系统的开环传递 函数为 k Q(s) = ,k = 2 ( s + 1)(0.1s + 1)
K K j 90. j 90. w = +∞, Q( jw) = = 3 e = 0e 3 − jw w
K Q( jw) = −1.1w2 + jw(1 − 0.1w2 ) K [−1.1w2 − jw(1 − 0.1w2 )] Q( jw) = (1.1w2 ) 2 + w2 (1 − 0.1w2 ) 2 − K1.1w2 a= (1.1w2 ) 2 + w2 (1 − 0.1w2 ) 2 − jKw(1 − 0.1w2 ) b= (1.1w2 ) 2 + w2 (1 − 0.1w2 ) 2
2
s ( s 2 + 1.2 s + 9)
Title(‘Nyquist plot of G(s)=9(s^2+0.2s+1)/[s(s^2+1.2s+9)]’)
最小相位系统和非最小相位系统
最小相位传递函数： 最小相位传递函数：在s右半平面内既无极点也无零 点的传递函数； 反之， 右半平面内有极点和（ 点的传递函数 ； 反之 ， 在 s 右半平面内有极点和 （ 或 ）零点的传递函数，称为非最小相位传递函数。 零点的传递函数，称为非最小相位传递函数。 非最小相位传递函数 最小相位系统：具有最小相位传递函数的系统；反 最小相位系统： 具有最小相位传递函数的系统； 具有非最小相位传递函数的系统， 之，具有非最小相位传递函数的系统，称非最小相位 系统。 系统。¨
G Plane
1
-1
γ
G ( jω )
ϕ
Re
γ
-1
1 h
G ( jω )
ϕ
Re
Positive Phase Margin 正相角值裕度
Negative Gain Margin 负增益裕度
Stable System 稳定系统
Unstable System 不稳定系统
对数坐标图中的稳定裕度
先假设W(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向做一条曲线Γs 先假设W(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向做一条曲线Γ W(s)在虚轴上没有零 包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为Nyquist路径或“ 包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为Nyquist路径或“D形围 Nyquist路径或 如下图所示。它可分为三部分： 线”。如下图所示。它可分为三部分：
s=-jε ε s=-jε ε
A’A’
Im Im
+jε ε -jε ε
C B ε A
∞ E Re -1
-1 0 0ω＝+∞∞ +∞ ω＝∞ ω＝- ∞∞ ω＝-
’ BB’
Re Re
-j∞ F ∞
s=+jε ε s=+jε ε ’ CC’
w → 0 + 为ε e
j 90.
, Q( jw) =
K
ε
e
− j 90.
开环传递函数含有虚轴上的零、极点
G ( s) H (s) =
措施： 措施：
在虚轴上的零极点处 设计一个无穷小的半圆， 绕过该点。 例如：本例中变量s沿 着虚轴由-j∞到-j0-，从j0- 到j0+(沿着半径为ε的 半圆， ε<<1), 再沿着 正虚轴从j0+到j∞。
K s (Ts + 1)
jω + j∞
Nyquist 稳定判据如下： 稳定判据如下： 如果系统的开环传递函数Q(s)在右半 平面有 个极点，则闭环 在右半s平面有 个极点， 如果系统的开环传递函数 在右半 平面有p个极点 系统稳定的充要条件是： 系统稳定的充要条件是：当w从负无穷大连续地变到正无穷大 从负无穷大连续地变到正无穷大 逆时针方向包围复平面上的-1点 圈 时，开环函数Q(s))逆时针方向包围复平面上的 点p圈。 开环函数 逆时针方向包围复平面上的
k Q (s) = 0 .1 s 2 + 1 . 1 s + 1 k Q ( jw ) = (1 − 0 . 1 w 2 ) + j 1 .1 w k [ (1 − 0 . 1 w 2 ) − j 1 . 1 w ] Q ( jw ) = (1 − 0 . 1 w 2 ) 2 + 1 .1 w 2
k (1 − 0.1w ) Q( jw)的实部a= , 2 2 2 (1 − 0.1w ) + 1.1w − jk1.1w 虚部b = 2 2 2 (1 − 0.1w ) + 1.1w
n= z− p
n=W(s)的分子多项式 的分子多项式P(s)+N(s)在右半平面的零点数 分母 在右半平面的零点数-分母 的分子多项式 在右半平面的零点数 分母P(s) 在右半平面的零点数 =闭环系统在右半平面的极点数 开环传递函数在右半平面的 闭环系统在右半平面的极点数-开环传递函数在右半平面的 闭环系统在右半平面的极点数 极点数 因为闭环系统稳定的充分必要条件是闭环系统在右半平面的 极点数=0，所以z=0,则 极点数 ，所以 则 n=-p =-(开环传递函数在右半平面的极点数）。 开环传递函数在右半平面的极点数）。 开环传递函数在右半平面的极点数 循顺时针方向沿D形线连续地变化一周时 当s循顺时针方向沿 形线连续地变化一周时，函数 循顺时针方向沿 形线连续地变化一周时，函数1+Q(s) 描出的闭曲线应当逆时针方向包围原点p周 描出的闭曲线应当逆时针方向包围原点 周。p是开环传递 逆时针方向包围原点 是开环传递 函数在右半平面的极点数目。 函数在右半平面的极点数目。
K ,K = 2 K＝20 s( s + 1)(0.1s + 1)
解：Q(s)再D形围线上s=0处有极点，应采用广义D形围线。 Q ( s ) = Q (εe
+j∞ ∞ Im D
jjθ θ
)=
θ θ ε e jjθ ( ε e jjθ
j 20 2 20 − −θ j θ 2 ≈ ee jjθ θ + 1 )( 0 . 1 ε e + 1 ) ε ε
4.8 Nyquist 稳定性判据
4.8.1 映射定理
是复变量s的一个单值解析函数 设W(s)是复变量 的一个单值解析函数。它在复平 是复变量 的一个单值解析函数。 面上某一闭曲线C的内部共有 个极点和z个零点 的内部共有p个极点和 个零点。 面上某一闭曲线 的内部共有 个极点和 个零点。且 闭曲线C不通过 不通过W(s)的任一极点和零点，当s循顺时 的任一极点和零点， 闭曲线 不通过 的任一极点和零点 循 针方向沿闭曲线连续地变化一周时，函数W(s)所取的 针方向沿闭曲线连续地变化一周时，函数 所取的 值也随之连续地变化而在复平面上描出一个闭曲线C’ 值也随之连续地变化而在复平面上描出一个闭曲线 曲线C的映射）。可以证明 从原点指向动点W(s) 的映射）。可以证明， （曲线 的映射）。可以证明，从原点指向动点 的向量顺时针方向旋转的周数 等于z-p. 顺时针方向旋转的周数n等于 的向量顺时针方向旋转的周数 等于
b = 0时，w1 = 0, w2 = 10
−K w2 = 10, a = 11 K = 2, a = −0.18; K = 20, a = −1.8
例：传递函数 G ( s ) =
程序3： num=[0 9 1.8 9]; den=[1 1.2 9 0]; nquist(num,den)
用 Matlab作Nyquist图 作 图 不要求） （不要求+ 1) ） 9( s + 0.2 s
ωc
定义相角裕量为
γ = ∠G( jωc ) − (−180o )
h= 1 1 或20lg dB | G( jωx ) | | G( jωx ) |
b点为交界频率
Leabharlann Baiduωx
定义幅值裕量为
Positive Gain Margin 正增益裕度
1 h
Im
G Plane
1
Negative Phase Margin Im 负相角值裕度
临界稳定的特点
最小相位系统临界稳定时 G(jw)曲线过 曲线过(-1,j0)点， 曲线过 点 该点： 该点：
-1
j
0
1
| G( jω) |= 1 ∠G( jω) = −180
o
若系统的开环幅相曲线如图：
a点： 但 b点： 但
4.9 稳定裕量的定义j
1/h
| G( jω) |=1
o ∠G( jω) ≠ −180
H(s)
为了保证系统稳定，特征方程 1 + H (s)G(s) = 0 的全部根，都必须位于左半s平面。虽然开环传递函数 H (s)G(s) 的极点和零点可能位于右半s平面，但如果闭环传递函数的 所有极点均位于左半s平面，则系统是稳定的。
设一个反馈控制系统的开环传递函数为
N (s) Q (s) = P (s)
1、1+Q(s)包围原点的周数就等于函数 、 包围原点的周数就等于函数Q(s)包围 点的周数。 包围-1点的周数 包围原点的周数就等于函数 包围 点的周数。 2、若Q(s)在右半 平面无极点（n=0)，则闭环系统稳定的充要 、 在右半s平面无极点 在右半 平面无极点（ ， 条件是Q(s)的图象不包围复平面的 点。 的图象不包围复平面的-1点 条件是 的图象不包围复平面的
构造函数
W （ s) = 1 + Q (s) = 1 + N (s) P (s) + N (s) = P (s) P (s)
W(s)的分子 的分子P(s)+N(s)正好是闭环系统的特征多项式，分母正 正好是闭环系统的特征多项式， 的分子 正好是闭环系统的特征多项式 好是开环传递函数的分母。 好是开环传递函数的分母。
∠G( jω) = −180
o
-1 r
b a
0
1
| G( jω) |≠1
若a点沿着单位圆顺时针转过r角，则
| G( jω) |= 1, ∠G( jω) = −180o 同时成立。
若b点沿着负实轴向左移动到(-1,j0)点，则
| G( jω) |= 1, ∠G( jω) = −180o 同时成立
a点截止频率
注意： 注意： 1、一般在Q(s)中，分母阶数比分子阶数高，所 、一般在 中 分母阶数比分子阶数高，
θ 以当s= 以当 ∞ e jθ时， Q(s)
0，(映射为原点 。因此 ， 映射为原点 映射为原点)。
实际中，只需要考虑s=jw沿虚轴变化的这一部分。 沿虚轴变化的这一部分。 实际中，只需要考虑 沿虚轴变化的这一部分 2、Q(jw)和Q(-jw)是关于实轴对称的。 、 是关于实轴对称的。 和 是关于实轴对称的 3、 当Q(s)的极点位于 形线上，采用广义 形围 、 的极点位于D形线上 的极点位于 形线上，采用广义D形围 线。在这些开环传递函数极点的右侧画一个无限小 的半圆绕过去。修改后的 形围线被称为 形围线被称为： 的半圆绕过去。修改后的D形围线被称为：“广义 D形围线”。 形围线” 形围线